Bac SEN SA ET ED Page 1 / 9. Rappel : Equation de la tangente au point d abscisse x o : y = f (x o ).(x x 0 ) + f(x 0 )

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1 Exercice : Etude d une antenne parabolique ( 9 points ) Une antenne parabolique permet de capter des signaux grâce à un dispositif appelé tête, placé en un point appelé foer de la parabole. Un arc de parabole est représenté dans le repère de l'annexe. Il a pour extrémités les points A (- ;,5) et B ( ;,5). A - Equation de la parabole On admet que la parabole a une équation de la forme = ax² où a est une constante.. Déterminer la valeur de la constante a en utilisant les coordonnées du point B de la parabole. Donner alors l'équation de la parabole.. Vérifier par le calcul que le point C de coordonnées ( ; 0,5) appartient à la parabole. B - Tangente T à la parabole au point C On admet que la parabole de l'annexe est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [- ; ] par f(x) = 0,5 x².. Déterminer f'(x) où f ' est la dérivée de la fonction f. Pour quelle valeur x 0 la dérivée est-elle nulle?. Montrer que la tangente T à la parabole au point C ( ; 0,5) a pour équation = 0,5 x - 0,5.. Tracer la tangente T dans le repère de l'annexe. Rappel : Equation de la tangente au point d abscisse x o : = f (x o ).(x x 0 ) + f(x 0 ) C - Foer F de la parabole. Justifier que le point d'intersection K de la tangente T et de l'axe des abscisses a pour coordonnées K( ; 0).. Déterminer les coordonnées du vecteurkc.. Soit F le point d'intersection de la perpendiculaire à la tangente (T) passant par K et de l'axe des ordonnées. Déterminer graphiquement les coordonnées du point F. On veut déterminer par le calcul l'ordonnée du point F. 4. Sans calcul de produit scalaire, justifier que KC. KF = Déterminer les coordonnées du vecteur KF en fonction de l'ordonnée du point F. 6. Montrer que le produit scalairekc. KF est égal à - + 0,5. 7. En déduire l'ordonnée du point F. D - Aire sous la parabole. Colorier, dans le repère de l'annexe, la partie du plan dont l'aire correspond à l'intégrale : I = 0 0,5x. Calculer I. Bac SEN SA ET ED Page / 9

2 Exercice : Gain de la parabole ( points) Le gain de la parabole peut se calculer avec la formule ci-dessous : G = 0 log 0,5 πdf G est le gain en db D est le diamètre en m f est la fréquence d'utilisation en Hz c est la célérité de la lumière égale à.0 m/s log est le logarithme décimal.. Calculer le gain de la parabole si D = 60 cm et f = Hz. Arrondir à 0.. A partir de quelle fréquence peut-on utiliser une telle parabole sachant que le gain doit être supérieur ou égal à 0 db? Arrondir la fréquence à 0 7 Hz. Exercice : Adaptation d'impédance ( points) L'antenne est reliée à une ligne de transmission. Le rapport d'ondes stationnaires appelé ROS exprime la désadaptation d'impédance entre les deux. Si l'adaptation d'impédance n'est pas parfaite, il a réflexion d'une partie plus ou moins importante de l'énergie, caractérisée par le coefficient de réflexion ρ. + ρ On admet la relation : ROS = ρ On se propose d'étudier les variations du ROS en fonction de ρ à l'aide de la fonction f définie sur l'intervalle [ 0 ; [ par : f(x) = + x x. Soit f' la fonction dérivée de la fonction f. Montrer en utilisant le formulaire que : f'(x) = ( x). Déterminer le signe de f'(x).. En déduire le sens de variation de la fonction f. 4. Compléter le tableau de valeurs de l'annexe. Arrondir les valeurs à 0,. 5. Tracer la courbe représentative de f dans le repère de l'annexe. 6. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = Résoudre par le calcul l'équation f(x) = 0. Arrondir la solution au millième.. A l'aide d'une phrase faisant intervenir le rapport d'onde stationnaire ROS et le coefficient de réflexion ρ, traduire le résultat obtenu à la question 6.a. ou à la question 6.b. Bac SEN SA ET ED Page / 9

3 Annexe - A rendre avec la copie x Bac SEN SA ET ED Page / 9

4 Annexe - A rendre avec la copie x 0 0, 0,5 0,7 0, 0,9 f(x) x Bac SEN SA ET ED Page 4 / 9

5 Exercice : Etude d une antenne parabolique ( 9 points ) A - Equation de la parabole. Détermination de a = a.x².5 = a.² a =,5 ² soit finalement a = 0,5 et donc = 0,5x² 4. Appartenance de C à la parabole = a.x² = 0,5.² soit = 0,5 Le point C( ; 0,5) appartient donc bien à la parabole. B - Tangente T à la parabole au point C 4. Détermination de f'(x) f(x) = 0,5 x² donc f (x) = 0,5 x Valeur d annulation f (x) = 0 0,5 x 0 = 0 soit x 0 = 0 5. Equation de la tangente T =f (x 0 ).(x - x 0 ) + f(x 0 ) = f ()(x - ) + f() = 0,5.(x ) + 0,5 = 0,5x + 0,5 soit finalement = 0,5x 0,5 6. Tracé de la tangente T (voir annexe ) C - Foer F de la parabole. Coordonnées de K Le point K se situe sur l axe des abscisses donc = 0. 0 = 0,5.x 0,5 0,5 = 0,5.x x = 0,5 0,5 x = donc finalement K( ; 0) 9. Coordonnées du vecteurkc KC - 0,5-0 donc finalement KC 0,5 0. Détermination graphique des coordonnées du point F Graphiquement, les coordonnées du point F sont F(0 ; ). Justification de la valeur du produit scalaire Le produit scalairekc. KF est égal à 0 car les deux vecteurs sont perpendiculaires.. Détermination des coordonnées du vecteur KF KF 0 - Y - 0 donc finalement KF - Bac SEN SA ET ED Page 5 / 9

6 . Expression du produit scalairekc. KF KC. KF = x(-) + 0,5 KC. KF = - + 0,5. 4. Calcul de l ordonnée du point F KC. KF = ,5. = 0 = 0 soit finalement =,5 D - Aire sous la parabole. Coloriage de la surface (voir annexe ) 4. Calculer de I I = 0 0,5x x I = [0,5 ] 0 I = (0,5. ) (0,5. 0 ) soit finalement I =,5 u.a Exercice : Gain de la parabole ( points). Calcul du gain de la parabole G = 0 log 0,5 πdf π.0,6..0 G = 0 log (0,5.(.0 4. Calcul de la fréquence 9 )²) soit finalement G =,04 db G = 0 log 0,5 πdf 0 = 0 log 0,5 πdf = log 0,5 πdf 0 = 0,5 πdf 00 π. 0,6. f = ( 0,5..0 )² Soit finalement f =,5 GHz 00 = ( π. 0,6. f.0 π. 0,6. f 00 =.0 00 π.0,6 f =.0. )² Bac SEN SA ET ED Page 6 / 9

7 Exercice : Adaptation d'impédance ( points) 9. Détermination de la dérivée f'(x) = f'(x) =.( x) ( + x).( ) ( x)² x + + x ( x)² soit finalement f (x) = ( x) 0. Signe de f'(x) f (x) est toujours positive car le numérateur est toujours positif et le dénominateur aussi.. Sens de variation de la fonction f La dérivée étant toujours positive, la fonction f est donc toujours croissante sur l intervalle [0 ; ]. Tableau de valeurs de l'annexe. Courbe représentative de f (annexe ). 4. Résolution graphique de f(x) = 0 Graphiquement, l équation f(x) = 0 admet une solution unique x = 0,. 5. Résoudre par le calcul de l'équation f(x) = 0 f(x) = 0 + x x = 0 +x = 0(-x) +x = 0 0x 6. Conclusion 0x + x = 0 x = 9 9 x = soit finalement x = 0, Le rapport d onde stationnaire est égal à 0 lorsque le coefficient de réflexion vaut 0,. Bac SEN SA ET ED Page 7 / 9

8 Annexe - A rendre avec la copie.5 F x K (T) Bac SEN SA ET ED Page / 9

9 Annexe - A rendre avec la copie x 0 0, 0,5 0,7 0, 0,9 f(x),9 5, x 0, Bac SEN SA ET ED Page 9 / 9

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