Exercices sur les suites arithmétiques (2)

Transcription

1 ère S Exercices sr les sites arithmétiqes () Soit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso Exprimer e foctio de r Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso Détermier tel qe 09 r Soit e site arithmétiqe défiie sr telle qe 4 6 et 0 4 ) Calcler la raiso ) Calcler 4 Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Calcler S 0 Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Calcler la somme des dix premiers termes 6 Calcler la somme S 99 e tilisat e site (il fat rédiger coveablemet) Soit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso r Détermier l etier atrel tel qe la somme des premiers termes de cette site soit égale à 89 8 Soit a, b, c trois termes coséctifs d e site arithmétiqe tels qe a b c 9 () et a b c 9 () (les dex coditios doivet être vérifiées simltaémet) Détermier a, b, c 9 Soit e site arithmétiqe telle qe 0 et Détermier la raiso r 0 Soit la site défiie sr par so premier terme 0 et la relatio de récrrece Por tot etier atrel, o pose v (o admettra qe por tot etier atrel, o a : 0) ) Détermier la atre de la site v ) Exprimer e foctio de

2 Réposes 9 (cette formle est valable qe por les etiers atrels spériers o égax à car le premier terme de la site est ) 64 0 ) r ) 4 S 60 S 8 6 S 00 8 er cas : a ; b ; c ; e cas : a ; b ; c 9 r 6 Soltios détaillées : site arithmétiqe de premier terme et de raiso r Exprimos e foctio de r ( ) 9 : site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso Détermios l etier atrel tel qe 09 () () r 0 Ce type d exercice demade de savoir mettre e coexio totes les formles d cors ) v est e site arithmétiqe de premier terme v0 et r ) : site arithmétiqe telle qe 4 6 et 0 4 ) Calclos la raiso r de la site D après la relatio etre dex termes qelcoqes d idices et p, o a : 0 4 6r doc 4 6 6r d où r ) Calclos 0 r 4 0

3 4 : site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Calclos S 0 O pet assi écrire S k k k 0 Mavaise méthode (loge et fastidiese) : O calcle tos les termes jsq à S O pet assi vérifier le résltat avec la calclatrice (e tilisat les foctioalités por les calcls de sommes de termes coséctifs d e site) Détailler Calclatrice TI : O doit afficher sr l écra : somme (site((k 0) biompdf(0,0,k), K,, 0)) O obtiet : - somme (o sm e aglais) par Listes ( de stats ), choix MATH, pis somme ; - site (o seq avec e parethèse lorsqe la calclatrice est e aglais) par Listes, OPS pis site( Il est possible d obteir somme et site e allat das le cataloge (por cela, taper de 0 ) et o cherche das la liste Calclatrice CASIO GRAPH + : O fait : Me Math (F4) pis F6 : il s affiche le symbole S 0 S 9 9 S 60 Boe méthode : tilisatio de la formle sommatoire por les sites arithmétiqes D après la formle sommatoire por les termes coséctifs d e site arithmétiqe, o a : S 6 0 Or 0 r 0 : site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Calclos la somme des dix premiers termes S 0 9 O pet assi écrire S k 9 k k 0 O appliqe la formle sommatoire por la somme des termes coséctifs d e site arithmétiqe

4 derier S ombre de termes Or 9 0 9r = + 9 = = Doc S Calclos la somme S 99 er La somme est écrite sos forme développée Il s agit de la somme de tos les etiers atrels impairs de à 99 (somme écrite e extesio avec des petits poits) Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r 0 r soit O a (vérificatio immédiate) O effecte e réécritre de la somme (à l aide de la site) : S 0 49 O appliqe la formle sommatoire por la somme des termes coséctifs d e site arithmétiqe derier S ombre de termes er : site arithmétiqe de premier terme et de raiso r Détermios l etier atrel tel qe la somme des premiers termes de cette site soit égale à 89 Por tot etier atrel, o pose : S (somme des premiers termes) S (formle sommatoire doat la somme des termes coséctifs d e site arithmétiqe) r Doc : 4 S 9 S 9 S 0 Cherchos * tel qe S 89 () 9 () Cosidéros le polyôme x 9x 890 ( x ) So discrimiat est égal à O e dédit qe le polyôme admet dex racies distictes das : x et x x x 4 Remarqe : O pet assi écrire S k k 99 k impair k 49 o ecore S k k 0 Or la site est défiie sr * doc ()

5 8 a, b, c sot trois termes coséctifs d e site arithmétiqe tels qe a b c 9 () et a b c 9 () Détermios a, b, c Méthode : O ote r la raiso de la site arithmétiqe (o de la progressio arithmétiqe) Ne pas itrodire de site O va predre por icoe le ombre b por avoir les calcls les pls simples possibles O a doc a b r et c b r L égalité () doe alors : b r b b r 9 doc b 9 O obtiet fialemet b Par site, a r et c r L égalité () doe alors : r r soit 9 6r r 9 9 6r r 9 d où r 9 r 6 r 4 o r 4 O distige doc cas : er cas : r 4 a ; b ; c e cas : r 4 a ; b ; c 9 9 : site arithmétiqe telle qe 0 et Détermios la raiso r O pose : S 0 4 O appliqe la formle sommatoire des termes coséctifs d e site arithmétiqe 0 O a doc S 6 soit S Or 0 r d où r 0 Par coséqet, S r 6 r 6 O e dédit qe 6 r 0 d où 6 r 0 doc r Atre méthode : Figre (avec r 0 ) () 0 0 r 0 r 0 r 0 4r 0 r r 0 r 0 6 r 0 r 6 r 6 Atre méthode (o rédigée) : 0 et r r 6 r 6 r Versio o rédigée le 4--0 : O cherche d abord

6 0 0 r 0 r 6 r 0 : site défiie sr par so premier terme 0 et la relatio de récrrece Por tot etier atrel, o pose v (o défiit e site axiliaire) O pet aisémet démotrer à l aide d raisoemet de proche e proche qe 0 Tirer tos les traits de fractio à la règle O e dédit qe la site v est e site arithmétiqe de raiso et de premier terme v0 ) Exprimos e foctio de Faire le lie avec la qestio précédete O tilise la site v Or v O e dédit qe v d où v Le bt de l exercice est de détermier e formle explicite de e foctio de (avec e site axiliaire) Le bt de l exercice est de détermier e formle explicite por «trover» e foctio de (avec e site axiliaire) O pet tiliser la calclatrice : O défiit la site pis la site : v : v / / Por ce type de site, o est obligé d avoir e site «à côté» por povoir trover l expressio explicite d terme gééral e foctio de ) Détermios la atre de la site v v (o appliqe la règle d iversio d e fractio : v b ) a a b