MAT7381 Exercices Chapitre 2 - Loi normale

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1 MAT78 Eercces Chptre - Lo ormle Rppelos l coveto doptée ds ce cours : e ou e désge u vecteur de ; J ou J désge ue mtrce de Géérlemet C ou C désge l mtrce I-J/ Sot ~ (0 ; I ) O st que ( - ) et ( + ) sot lors dépedtes Sot z = + Détermer ue focto lére z = + telles que z et z sot dépedtes Sot = ~ (0 ; Σ) où Σ = 4 4 ) Sot z = + Détermer ue focto lére z = + telles que z et z sot dépedtes ) Détermer l mtrce de covrce du vecteur létore y = et motrer qu elle est ps défe postve c) Motrer que les vecteurs = 0,6 0,8 et = 0,8 0,6 sot des vecteurs propres de et que les vleurs propres correspodtes sot = 5 et = d) Sot L = [ ; ] Motrer que z = L est (0 ; D), où D = 0 = 0 50 Supposos que = (0 ; ) ~ (0 ;Σ) où y Détermer ue mtrce telle que y = y = A sot 4 Sot y ; ; y des vrles létores dépedtes, y de lo (µ ; ) Motrez que ( y y) E = + ( ), où = [Écrvez ( ) y y sous s forme mtrcelle y Cy et pplquez le théorème ] 5 Sot y,, y les moyees de échtllos de tlles,, dépedts trés de popultos ormles de moyees µ,, µ et de vrces ) Supposos que les moyees sot égles : µ = = µ = µ Motrez que y est ss s pour µ s et seulemet s = / Motrez que sous l cotrte =, l vrce de y est mmsée pour = [Cosdérez / = =, et utlsez l églté de Cuchy-Schwrtz; ou ecore, mmsez sous cotrte à l de du multplcteur de Lgrge] y y ) Détermez l mtrce de covrce du vecteur y = y c) Sot les costtes,, et,, Détermez ue codto écessre et suffste pour que

2 MAT78 Chptre Lo ormle multdmesoelle Eercces Cov( y ; y ) = 0 Eprmez l codto e termes de Σ et des vecteurs = et = 6 Sot y ; ; y vrles létores ormles dépedtes de vrces,, ) Détermez ue codto écessre et suffste pour qu ue comso lére y sot dépedte de l moyee y ) Supposez que les vrces sot égles: = Motrez que pour tout, l vrle y - y est dépedte de y, et cocluez que y et S = ( y y) /( ) sot dépedtes 7 Sot y, y, et y des vrles létores dépedtes, chcue de moyee 0 et de vrce Sot z = y, z = y + y, et z = y + y + y Détermez l mtrce de covrce de z = (z ; z ; z ) 8 Cosdérer u vecteur létore = 4 de lo ormle multvrée de moyee = et de mtrce de covrce = Les commdes R qu suvet chcue des questos vous proposet ue fço de procéder O deve ssez e le ses de chcue Voc commet ssr les doées Sgm<-mtr(c(69,645,8,-,645,6,06,845,8,06,96,4,-,845,4,76),4,4) mu<-c(,4,5,) ) Détermer l dstruto codtoelle de étt doé = 4 4 Sgm<-Sgm[,] Sgm<-Sgm[,:4] Sgm<-Sgm[:4,:4] SgmIverse<-solve(Sgm) L verse de ) Détermer l dstruto codtoelle de y = étt doé 6 c) Détermer l dstruto mrgle de z = L<-mtr(c(,,,6,,4,,4),4,) V<-t(L)%*%Sgm%*%L d) Détermer l dstruto codtoelle de étt doé + = = 4 e) Défr ue trsformto y = L telle que les compostes de y soet dépedtes (L est 4 4) f) Détermer l prolté que l moyee des compostes de sot féreure ou égle à 4 [O peut oter les proltés cumultves P(X ) d ue vrle X de lo ormle vec R à l de de l commde > porm(,m,sgm) où m est l moyee et sgm est l écrt-type] 5 REG0EerccesH 9 ovemre 0

3 MAT78 Chptre Lo ormle multdmesoelle Eercces 9 Sot y = y y y ~ (µ y ; Σ y ), où Σ y = 4 4 et µ y = = vec vecteurs propres ormlsés correspodts p = 5 5 Les vleurs propres de Σ sot =, =, et 5, p = et p = 0 6 z ) Trouver ue focto lére z = = L y de moyee 0 z 0 Chosr L de telle sorte que l mtrce de covrce de z sot o sgulère[il est possle de répodre ss fre le modre clcul, ms vous devez ustfer votre cho] ) Trouver deu foctos léres z = y et z = y telles que z et z sot dépedtes[ic uss, vous pouvez vous e trer ss ucu clcul, à codto de ustfer votre cho] ( y y) ( y y y) l vleur de [Vous pouvez smplfer les clculs e fst terver les vecteurs propres ds votre dscusso] c) Motrez que pour ue certe vleur de, l sttstque F = sut ue lo de Fsher et détermer 0 Sot y = y y ~ (µ y ; y ), où Σ y = 5 8 vecteurs propres ormlsés correspodts p = = Ay telle que Vr(z) = I et µ y = 4 Les vleurs propres de Σ sot = 4 et = 9, vec 5 et p = z 5 Trouver ue focto lére z = z Sot ~ (0 ; I ), > 0 fé Idetfez les los des vrles létores suvtes : ) ) + c) ( ) d) ( ) Supposos que = ~ (0 ;Σ) où Σ Trouvez l mtrce telle que y = y y = A sot (0 ; ) et e dédure ue focto de et qu sot de lo Sot y,, y des vrles létores dépedtes, chcue de lo (µ ; ) [Écrvez ces vrles sous forme m- trcelle et vérfez que ( ) y y = y'cy] ) Motrez que ) Motrez que c) Motrez que d) Motrez que y ( y y) ~ e) o cetrle, vec prmètre de o cetrlté µ / ~ ( y y) et ( y y) y sot dépedtes et y sot dépedtes 4 Sot X, X,, X m et Y, Y,, Y deu échtllos ormu dépedts de moyees et, respectvemet et de même vrce Y X Motrer que l «sttstque t» htuelle, T =, où S = S m ( X X ) ( Y Y ) m m, m X X m Y et Y, sut ue lo de Studet à m+- degrés de lerté lorsque = REG0EerccesH 9 ovemre 0

4 MAT78 Chptre Lo ormle multdmesoelle Eercces 5 Sot y,, y des vrles létores dépedtes de même moyee µ et de vrces Vr(y ) = et sot y = y y / ) Détermez Vr( y ) ) Détermez ue costte K telle que ( ) est u estmteur ss s de Vr( y ) K y y 6 Sot y ~ (µe ; Σ), où µ est u sclre, e = (,, )', et Σ est tel que Vr(y ) =, cov(y, y ) =, étt le coeffcet de corrélto commu etre toute pre de vrles ( y y) ) Motrez que ~ cetrle [Vous pouvez trouver ue epresso pour e focto du vecteur e, de ( ) l'detté I et des sclres et ] ) Motrez que -/(-) [Utlsez le ft que Vr( y ) 0] 7 Sot le reveu moye de tous les méges d ue vlle trée u hsrd d ue très grde (prtquemet fe) populto de vlles Supposos que ~ (β ; ) Sot y le reveu d u mége chos u hsrd ds ue vlle doée, et supposos que, codtoellemet, y ~ ( ; ), où est le reveu moye des méges de l vlle sélectoée (Vous supposerez que le omre de méges ds chque vlle est prtquemet f) Vous trez ue vlle ds l populto, pus r méges ds l vlle sélectoée Sot y, y,, y r les reveus de ces r méges et y leur moyee ) Motrer que E(y ) = E ( y ) = β ) Motrer que Vr(y ) = + c) Motrer que Cov(y ; y ) = pour d) Motrer que Vr( y ) = /r+ r e) Motrer que E ( ) r y y = ( y y) et que r mtrce de covrce Σ du vecteur y = [y ; y ; ; y r ] ] r f) Motrer que ( y ) y et y sot dépedtes ~ r [Écrre sous forme mtrcelle l moyee μ et l [Suggesto : Ue formulto équvlete à celle de l éocé c-dessus est celle-c : y = + ε, où est ue vrle létore ormle de moyee β et de mtrce de covrce, dépedtes de ε ~ (0 ; σ )] I 8 Sot y le pouls d ue persoe trée u hsrd et soums à u eercce d ue durée Nous supposeros que l relto etre y et est celle d ue régresso lére smple, c est-à-dre, y = + β + ε, où ε ~ (0 ; σ ) O suppose que β est u prmètre fe lors que est ue vleur qu vre d ue persoe à l utre Admettos que ~ (α ; ), dépedmmet de ε Supposos que mesures y, y,, y sot prses sur u même dvdu près des séces y y d eercces de durées,,, fées d vce O doc le modèle suvt :, ou y y = e + β + ε Doc y est de moyee μ = αe+β et de mtrce de covrce Σ = σ I + J ) Sot y = y = e' y Motrer que E( y ) = α + et que Vr( y ) = z e ' ) Sot E ue mtrce (-) dot les coloes sot orthogoles à e et z = z = ' y Motrer que E(z) = E E' et que Vr(z) = 0 [S o chost E de telle sorte que ses coloes soet orthogoles (ce 0 I qu o touours le losr de fre) lors EE est l mtrce C = I-(/)ee ] REG0EerccesH 4 9 ovemre 0

5 MAT78 Chptre Lo ormle multdmesoelle Eercces ' c) Motrer que ˆ C y ' C = ( ) y est u estmteur ss s de β et que l vrce de ( ) ˆ est d) Motrer que ˆ = cetrle[vérfer que ( y y) ˆ = [ ( ) y ] ( ) y' C ' Cy y' Cy ' C ] est u estmteur ss s de σ et que y e) Motrer que ˆ y est u estmteur ss s de ( ) ( ) ˆ ' C est de lo 9 Sot y ~ (µ ; I ) où µ (X) et X est ue mtrce q de rg ple ) Motrez que y'[i-x(x'x) - X']y ~ q cetrle ) Motrez que y'x(x'x) - X'y ~ q o cetrle vec prmètre de o cetrlté µ'µ 0 Sot y = [y ; ; y - ; y ] ~ (e ; I ) ) Détermer l dstruto coote du vecteur z = [ z ' ; y ], où z = [y ; ; y - ], et y est l moyee des oservtos ) Motrer que l dstruto codtoelle de z étt doé y est ormle de moyee y e et de mtrce de covrce σ I J ( y y) ( z c) Motrer que Q = = ye)'( I J )( z ye ) ( y y) d) Motrer que l dstruto codtoelle de Q = étt doé y est églemet l dstruto o codtoelle et que Q est dépedte de y E dédure que c est z μ Sot z = z u vecteur de lo ormle (z et z de dmesos et ) de moyee = et de mtrce de μ I 0 covrce = 0 Sot f = f(z I ) u vecteur ( = + ) dot les compostes sot foctos de z seulemet, P ue mtrce telle que P P = I ( z- μ)' Pff ' ' P( z- μ) ) Motrer que Q = ~ f ' PPf ' Pff ' ' P ) Motrer que Q = ( z- μ)' I - ( - )/ ' ' z μ f PPf Sot ~ p ( ; ), et u vecteur fe et que Q et Q sot dépedtes ~ ) '( ) Motrer que ~(0 ; ) ' Σ ) '( ) Sot u vecteur létore dépedt de Motrer que ~(0 ; ) ' Σ c) Sot ~ 4 (0 ; I) Motrer que e log 4 ~(0 ; ) e (log ) 4 u Sot,, vecteurs létores dépedts, = v ~ ( ; Σ), =,,, où = et Σ = REG0EerccesH 5 9 ovemre 0

6 MAT78 Chptre Lo ormle multdmesoelle Eercces (les u et les v sot de même vrce) Sot u u d d ; m m ) Motrer que Q = ( v u) ( ) ~ ; v v ; d = v - u ; m = (u +v )/; ( ), détermer et et éocer ue codto sous lquelle = 0 ( m m) ) Motrer que Q = ~ ( ), détermer ( ) et et éocer ue codto sous lquelle = 0 c) Motrer que Q = ( d d) ( ) ~ ( ), détermer et et éocer ue codto sous lquelle = 0 4 Sot y = [y ; y ; ; y q ] u vecteur de lo q (0 ; I) Détermer l espérce et l vrce de (y -y ) + (y -y ) + + (y q- -y q ) [Détermer l mtrce A telle que y A = [y -y ; y -y ; ;y q- -y q ]] 5 Sot y, y,,y vrles létores dépedtes de lo(0 ; σ ) Motrer que Q = ( y y ) ( ) est ue estmteur ss s de σ 6 Sot y ~ q (μ ; Σ) et A ue mtrce symétrque Motrer e suvt les étpes c-dessous, que Vr(y Ay) = tr(aσaσ) + 4μ AΣAμ ) S μ = 0, et Σ = I, lors Vr(y Ay) = tr(a ) ) S μ = 0, Vr(y Ay) = tr(aσaσ) c) S μ = 0 et u vecteur fe, lors Cov(y Ay ; y) = 0 d) Démotrer l éocé à prtr des résultts précédets [Utlser le ft que s X ~ (0 ; ), E(X ) = 0 et E(X 4 ) = ] 7 Sot y ~ (0 ; I) et A ue mtrce q de rg q, q < Motrer que l dstruto codtoelle de y y étt doée A y = 0 est h-deu à -q degrés de lerté [Vous pouvez, ss perte de géérlté, supposer que les coloes de A sot orthogoles Pourquo?] 8 Sot y ~ (0 ; Σ) et A ue mtrce symétrque Motrer que l focto géértrce des momets de y Ay est I-tAΣ -½ REG0EerccesH 6 9 ovemre 0