Champ électrostatique dans le vide

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1 Flèe MI Modle Physe II lément : lectcté Cos Pof..Tadl èe pate Chapte II Champ électostate dans le vde I. Défnton On dt en ne égon de l espace exste n champ électostate s ne chage électe placée en n pont de cette égon est somse à ne foce F F > et F ont même decton et même sens, s < et F ont même decton et de sens opposés. II. Champ électostate cée pa des chages ponctelles II. Champ cée pa ne chage ponctelle M Une chage placé en A cée n champ. Plaçons en M ne chage. lle est somse à ne foce F : F ' ² ' d où : A ² champ cée en M pa < dgé ves, > s élogne de s,, s, la chage n est pls consdée ponctelle. II. Champ cée pa plses chages ponctelles Chae chage placée en A, cée en M n champ avec A M. Le champ ésltant en M sea: : ²

2 III. Champ électostate cée pa ne dstbton de chages Po calcle le champ cée pa ne dstbton de chages, on se amène a calcl d champ cée pa des chages ponctelles en consdéant des chages élémentaes d. III. Cas d ne dstbton de chages lnéïe Un élément de longe dl en A pote la chage d λ.dl assmlable à ne chage ponctelle. d cée en M n champ : Le champ cée en M pa totes les chages d fl sea : III. Cas d ne dstbton de chages sface L élément de chage d cée en M n champ : Le champ cée pa totes les chages de la sface sea : d λ. dl 4 ² dl λ. 4 π ² π d σ ds σ ds s c III. Cas d ne dstbton de chages volme De même, dans ce cas le champ cée pa totes les chages épats dans le volme V, sea : emae : Méthodologe de calcl de : ρ dv v o décompose la dstbton en éléments de dstbton ponctels". o calcle. o Calcle d n fat est défn pa ses composantes 'l fat calcle sépaément. pltôt e de calcle les composantes de, l pet ête pls facle de echeche la decton de ps de calcle smplement son modle ; cec est possble d fat e le champ "a la syméte" de la dstbton de chage.

3 IV. Lgnes et tbe de champ - Lgnes de champ : Une lgne de champ est ne cobe tangente a champ électostate. aton des lgnes de champ : s dl est n élément d ne lgne de champ, on a : dl dl //, cette éaton pemet d obten les lgnes de champ. - Tbe de champ : La sface fomée pa l ensemble des lgnes de champ s appyant s n conto femé s appelle tbe de champ. V. Théoème de Gass V. Flx d champ électe. Consdéons n élément de sface d tavesé pa n champ. Pa défnton le flx élémentae est donné pa :. d. nd A taves la sface entèe : φ. d V. Flx d champ céé pa ne chage ponctelle V.. à taves n élément de sface. d. nd d cosθ d cosθ ² d cosθ Pa défnton, ² est l angle solde dω sos leel, deps le pont O, on vot la sface d. D où : dω

4 emae : - d appatent à ne sface femé, n est oenté ves l extée de la sface, le flx de est appelé flx sotant. - n dω est oenté en sens nvese, nos aons V.. Flx d champ à taves ne sface femée Cas o la chage est à l ntée à la sface Comme la sface est femée, n est oenté ves l extée, et le flx de cée pa la chage placé en O est n flx sotant. On a : dω φ dω Ω Ω est l angle solde, sos leel de O, on vot la sface. Ω 4π stéadans d où : φ 4 π Ω Cas où la chage est à l extéee de la sface La chage est à l'extée de la sface femée. Le même angle solde d Ω de sommet O, décope s dex éléments de sface d et d', dont les nomales, totes dex oentées ves l'extée de la sface femée, sont

5 d φ ' D'où : dω et ' dω Le flx total d champ dû à en O est : dø + dø' O Po l'ensemble des coples d'éléments assocés (d, d') consttant la sface on a des flx élémentaes s annlent dex à dex. Donc, a total, le flx de à taves est nl. ésltat : noncé d théoème de Gass Consdéons n ensemble de chages (ponctelles o non ) et ne sface femée. Les chages ext, stées à l extée de, céent n champ électostate dont le flx à taves est nl. Les chages nt, à l ntée de, céent n champ dont le flx est égal à nt. D ne manèe généale, on éct : φ femée. d nt Applcaton d théoème de Gass Le théoème de Gass pemet le calcl d champ pls apdement e la méthode decte. Po cela Il fat : - détemne la syméte de la dstbton de chage, - chos ne sface femée, - calcle le flx à taves la sface femée, - apple le théoème de Gass et en déde le champ. V. xpesson locale d théoème de Gass

6 Po ne dstbton volme de chage contene dans n volme V, et ayant ne densté volme ρ le théoème de Gass devent : - Flx de : φ().d dv() dv Geen Ostogadsky, - omme des chages : dv ρ. φ().d nt nt devent d apès le théoème de dv()dv ρ dv On en dédt : dv() ρ VI. ymétes de dstbtons de chages : ègles de syméte yméte plane Une dstbton est syméte pa appot à n plan P, s po dex ponts M et M symétes pa appot à P, la densté de chage véfe : ρ (M) ρ(m' ). Dans ce cas le champ électostate est paallèle a plan P. Antsyméte plane Une dstbton est antsyméte pa appot à n plan P, s po dex ponts M et M symétes pa appot à P, la densté de chage véfe : ρ ( M) ρ(m' ). Dans ce cas le champ électostate est pependclae a plan P. Invaance pa tanslaton la dstbton de chage est nvaante dans tote tanslaton paallèle à Oz alos le champ électostate ne dépend pas de z (l dépend des ates coodonnées). xemples : - Champ céé pa n fl nfn d axe Oz, - Champ céé pa n cylnde nfn d axe Oz Invaance pa otaton la dstbton de chage est nvaante dans tote otaton θ ato de Oz alos le champ ne dépend pas de θ. L axe Oz est n axe de syméte (axe de évolton).tot plan contenant cet axe est n plan de syméte. est poté pa l axe de syméte. yméte cylnde Dans ne syméte cylnde, la dstbton de chages est nvaante dans tote tanslaton paallèle à Oz et dans tote otaton θ ato de Oz.

7 n coodonnées cylndes (ρ,θ,z) le champ électostate est paallèle à e ρ ne dépend e de ρ : ( ρ) eρ yméte sphée La dstbton de chages a syméte sphée est nvaante pa otaton ato de tos les axes passant pa n pont O de la dstbton : O est alos n cente de syméte. n coodonnées sphées (,θ,ϕ), le champ électostate est adal et ne dépend e de : ()e emae : Le cente de syméte O est l ntesecton de tos les plans de syméte : le champ est nl en O. xemples d applcaton d théoème de Gass xemple : Calcl de céé pa ne sphèe chagée, en n pont M. - tde de la syméte : ne sphèe chagée nfomément pésente ne syméte sphée, est adal est ne dépend e de. - Chox de la sface de Gass : On chost la sface d ne sphèe de cente O et de ayon OM. - Calcl d flx : ().d.d d..4π ² - Théoème de Gass : φ s φ().4π² 4 ρ. ρ. π e 4 ρ. π Q e cas : < Q e ² ème cas : > emae : le champ est contn à la tavesée de la sface de la sphèe + chagée en volme : ( ) ( ). ρ O d M xemple : Calcl de céé pa ne coche de chages compse ente dex sphèes concentes. - La dstbton pésente la syméte sphée O d M

8 est adal est ne dépend e de. - face de Gass : On chost la sface de la sphèe de cente O et de ayon OM. - Calcl d flx : ().d.d d..4π ² φ s φ().4π² - Théoème de Gass : e cas : < 4 ème Q ρ( ) cas : > ρ. π( ) Q e e ² ² 4 ρ. π( ème cas : < < ) en et en l y a contnté d champ. emae : on néglge l épasse de la coche de chages, elle devent chagée en sface :, Q po <, po > e ² Dans ce cas pésente ne dscontnté vent d fat e l on néglge l épasse de la coche. ρ ρ( ² ) e xemple : Calcl de céé pa ne sphèe chagée en sface. xemple 4: Calcl de céé pa n cylnde nfn chagé en volme. xemple 5: Calcl de céé pa n plan chagé de dmensons nfnes.