IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion /05/2015

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1 IUT de Sait-Etiee - déartemet Techiques de Commercialisatio M. Ferraris Promotio /05/2015 Semestre 2 - MATHEMATIQUES DEVOIR 2 durée : 2 heures coefficiet 2/3 La calculatrice grahique est autorisée. Aucu documet ersoel 'est autorisé. Tout sera rédigé sur le réset feuillet. Il sera teu comte de la qualité de la rédactio et de la teue de la coie. Les résultats décimaux serot résetés arrodis à quatre chiffres sigificatifs. NOM, Préom : Groue : Exercice 1 : esembles et cardiaux (4 oits) U sodage a été effectué our évaluer la fréquetatio de deux ciémas cocurrets, les ciémas A et B. Sur 350 ersoes iterrogées, 204 ot réodu se redre au ciéma A et 188 au ciéma B (ue ersoe eut bie sûr fréqueter les deux ciémas). D u autre côté, 75 ersoes ot déclaré e se redre à aucu des deux ciémas. 1) Si o omme A l évéemet «être cliet du ciéma A», et de même our B, à quel esemble aartieet les ersoes qui e se redet à aucu des deux ciémas? 0,5 t 2) Orgaiser les doées de l éocé das u tableau de cotigece (e rereat les oms des évéemets tels que défiis das la questio récédete. 1,5 t 3) Réodez à chaque questio ci-dessous, e citat l esemble corresodat : 0,5 t a. Combie de ersoes fréquetet les deux ciémas? S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 1 sur 6

2 b. Combie de ersoes e fréquetet qu u seul ciéma? 0,5 t c. Combie de ersoes fréquetet l u ou l autre ciéma? 1 t Exercice 2 : déombremets (5 oits) 1) O lace dix ièces de moaie, chacue ouvat doer le résultat «ile» ou «face». Combie y a-t-il d issues ossibles à cette exériece? 1 t 2) Combie existe-t-il de ombres, etre 0 et 9999, dot les chiffres sot différets? 1 t 3) a. De combie de faços eut-o choisir quatre étudiats ris au hasard das u groue de 25 étudiats? 1 t S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 2 sur 6

3 b. Si ce groue se comose de 10 hommes et 15 femmes, quelle est la robabilité d avoir choisi seulemet ue femme, e choisissat au hasard quatre étudiats? 2 ts Exercice 3 : robabilités (5,5 oits) U site web roose u quizz comortat l ue arès l autre deux séries de questios. 60% des ges réodet hoorablemet (majorité de boes réoses) aux questios de la remière série. Si ue ersoe est das ce cas, alors le site choisit ue deuxième série lus difficile, das laquelle seuls 30% des ges ot ue majorité de boes réoses. Au cotraire, si ue ersoe a as eu u résultat hoorable à la remière série, alors le site choisit ue deuxième série mois difficile, das laquelle 50% des ges ot ue majorité de boes réoses. Evéemet A : réodre hoorablemet à la remière série Evéemet B : réodre hoorablemet à la deuxième série 1) Former, au choix, u arbre ou u tableau our reréseter la situatio. 1,5 t S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 3 sur 6

4 2) Si vous tetez le quizz, quelle est la robabilité que a. vous réodiez hoorablemet aux deux séries? 1 t b. vous réodiez hoorablemet à la deuxième série? 1,5 t c. vous réodiez hoorablemet à la remière série, sachat que vous e réodrez as bie à la deuxième série? 1,5 t Exercice 4 : loi de robabilités (6,5 oits) Jouos à faire tourer ue roue. Celle-ci se divise e 50 secteurs de même taille. Si o tombe sur les secteur 1, c est le jackot : o gage 80 ; si o tombe sur l u des secteurs 2 à 10, o gage 3 ; sio, o e gage rie. Pour ouvoir jouer (ue fois), il faut s acquitter d ue somme de 3. O aelle X la variable aléatoire désigat le gai (et) à l issue d ue artie. 1) Quelle est la loi de robabilité de X? 1 t S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 4 sur 6

5 2) a. Doer l esérace et l écart tye de X ; iterréter cocrètemet l esérace. 1 t b. Questio bous : commet eut-o utiliser la valeur de l écart tye? 1 t 3) Imagios deux joueurs, chacu jouat ue fois. X 1 désigera le gai du remier joueur et X 2 celui du deuxième. a. Doer la loi cojoite de X 1 et X 2, aisi que leurs lois margiales. 1,5 t S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 5 sur 6

6 b. Les variables X 1 et X 2 sot-elles idéedates? 1 t c. Quelle est la loi de robabilité du gai total X 1 + X 2? 1 t FIN DU SUJET S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 6 sur 6

7 IUT TC Mathématiques Formulaire "Déombremets et robabilités" 1) Oératios sur les esembles * distributivité A B C = A B A C * lois de Morga * remarque ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C = A B A C ( A B) ( A B) A ; ( A B) ( A B) = = A B = A B ; A B = A B 2) Cardiaux des esembles Soit u esemble E de cardial, et deux arties A et B de E. Card ( A) Card ( A) + = Card ( A B) = Card ( A) + Card ( B) Card ( A B) = Card ( A B) Card ( A B) Card ( A) 3) Déombremets * factorielle d'u ombre etier aturel : = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) remarques :! 1!. et! = avec etier aturel iférieur à * ombre de -listes d'élémets ris das u esemble coteat élémets : * ombre d'arragemets de élémets d'u esemble coteat élémets : * ombre de ermutatios d'u esemble de élémets :! * ombre de combiaisos de élémets d'u esemble coteat élémets : * soit E u esemble à élémets et A ue artie de E de cardial 1. P = A =! Nombre de combiaisos de élémets de E coteat exactemet 1 élémets de A : où = et = A =! ( )! = C =! ( )!! C C * réétitio as de réétitio ordre -listes arragemets as d'ordre combiaisos 4) Probabilités simles et coditioelles * formules géérales * e cas d'équirobabilité des évetualités ( ) ( A) = 0 ; 0 1 ( ) ( A) A + = 1 ( ) + ( ) = ( ) A B A B A ( ) = ( ) + ( ) ( ) A B A B A B 1 ( { e1} ) = ({ e2} ) =... = ( { ei }) =... = ({ e} ) = ( ) ( Ω) * robabilité que B se réalise, sachat que A est réalisé * A et B sot idéedats ssi A ( ) Card A Card A ( A) = = Card ( A B) ( B) = ( A B) = ( A) ( B) ( A) 5) Lois de robabilité * cas gééral : aramètres m ( ) = ( = i ) i = i i V ( X ) = ixi E ( X ) = E X E X σ ( X ) = V ( X ) E X X x x x i= 1 i= 1 m m i= 1 ( ) ( ) ( )