BUREAU D'APPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES

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1 BUREAU D'APPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES DT 04/00 Note sur la mortalté nfantle Samuel AMBAPOUR BAMSI BAMSI B.P Brazzavlle

2 DT 04/00 Note sur la mortalté nfantle Samuel AMBAPOUR* Résumé : La méthode bométrque magnée par J. Bourgeos-Pchat permet de séparer la mortalté nfantle en mortalté endogène et mortalté exogène. Elle est présentée et applquée c, du pont de vue de la théore statstque. Mots clés : Mortalté nfantle, Mortalté endogène, Mortalté exogène, Lo multnomale, Maxmum de vrasemblance. *BAMSI BP 3.734, Brazzavlle, CASP BP 085, Brazzavlle E-mal : ambapour_samuel@yahoo.fr Ces documents de traval ne reflètent pas la poston du BAMSI mas n engagent que ses auteurs.

3 Introducton On classe généralement les décès de mons d un an en deux catégores ; d une part, ceux qu provennent des causes antéreures à la nassance ou à l accouchement ; d autre part, ceux lés aux pérls extéreurs. Cette séparaton des décès respectvement en endogènes et exogènes, suppose en prncpe l utlsaton des statstques des décès par cause. Ces statstques sont souvent défectueuses vore ndsponbles pour certans pays. Pour paller cet handcap, on a parfos recours à des méthodes approxmatves, parm lesquelles la méthode bométrque de J. Bourgeos-Pchat (95). Dans cette note, la méthode bométrque est applquée du pont de vue de la théore statstque (R. Nadot ; 97).. Les deux composantes de la mortalté nfantle.. Défnton de la mortalté nfantle De façon classque, on défnt la mortalté nfantle, comme la proporton des enfants nés vvants qu meurent avant d attendre leur premer annversare. Même s conventonnellement, cette défnton est admse, l faut noter qu l y a un peu d arbtrare dans les lmtes fxées : la nassance et la fn de la premère année. En effet, cette défnton nous renvoe à un autre concept assez complexe, celu de la nassance. Le dctonnare de démographe défnt la nassance ou de façon précse la nassance vvante, comme une expulson ou une extracton complète de l utérus d un produt de concepton, qu, après séparaton d avec le corps de la mère, respre ou donne tout autre sgne de ve (Pressat, 979). Intutvement, on peut dre que la nassance n est pas un commencement, mas un événement dans une sute qu a débuté neuf mos plus tôt (Bourgeos-Pchat, 95). Cec dt, quelle dfférence y a t-l entre un enfant qu meurt dans le sen de sa mère (le jour ou l aurat dû naître) et celu qu meurt le premer jour de sa nassance. Certanement qu l ne dot pas y avor de dfférence bologque majeure. La preuve, dans un cas comme dans l autre, on utlse le même vocable, celu de la mortalté pérnatale. En effet, sous ce derner terme, on regroupe l ensemble de la mortnatalté (extracton de l utérus d un produt de concepton sans ve, après une certane durée de

4 gestaton) et de la mortalté néonatale (mortalté durant la premère semane). Comme on peut le constater, dans les deux cas, on met en exergue le caractère endogène de la mortalté. Les décès constatés c, sont dus à des causes antéreures à la nassance ou résultant de la nassance elle-même. Ils consttuent la mortalté nfantle endogène. Les décès endogènes sont à dstnguer de ceux qu sont mputables au mleu extéreur qu consttuent la mortalté exogène : l enfant meurt parce qu l rencontre dans le mleu où l vt la cause de sa mort. La statstque des causes des décès est souvent nsuffsante pour séparer ces deux types de décès. Les dfférences de légslaton en la matère complquent parfos les comparasons nternatonales. Notons toutefos que la dstncton entre les deux types de mortalté, perd de sa pertnence au fur et à mesure de la basse de la mortalté nfantle (Lerdon et Toulemon, 997)... La mortalté exogène Comme les décès exogènes résultent d une cause extéreure, ls sont donc par prncpe tous évtables par la préventon et les sons. Sont en cause c, les décès à caractère accdentel. On dt que s l enfant meurt c est parce que la mort lu a été apportée du dehors, sot par des mcrobes, sot par refrodssement, sot par une almentaton mal adaptée. Dans beaucoup de pays, s la mortalté nfantle a reculé, cela est dû pour l essentel à la basse de la mortalté exogène qu n est pas lon d être nulle. Dans les pays en développement, cette composante de la mortalté est encore très mportante..3. La mortalté endogène Dans ce cas, l enfant apporte la mort avec lu dès la nassance. Les causes des décès endogènes peuvent être classées en tros groupes : - les malades hérédtares ; l s agt des défauts de consttuton, dffcle à évter ; - les malformatons congéntales. S le mécansme de la grossesse est connu, on peut se débarrasser de ces causes ; - des causes endogènes acquses au moment de l accouchement (traumatsme obstétrcal) ; ce derner représente pour l enfant une aventure où les rsques sont lon d être néglgeables. 3

5 Contrarement à la mortalté exogène, l est plus dffcle de prévenr et de guérr une malade endogène.. Le modèle statstque de la méthode bométrque.. Rappel de la méthode bométrque de J. Bourgeos-Pchat Fg. (Pressat ; 973) b Décès Ensemble des décès nfantles cumulés Décès exogènes a Décès exogènes Décès cumulés endogènes Ensemble des décès endogènes log 3 (n+) 0 an J. Bourgeos-Pchat a ms au pont un procédé qu permet de séparer la mortalté nfantle en mortalté endogène et mortalté exogène. Ce procédé exge que l on connasse seulement la répartton par âge des décès de mons d un an. Ayant constaté que les décès exogènes de la premère année se répartssaent selon l âge d une manère à peu près ndépendante du nveau de la mortalté, l a établ ce qu sut (Henry, 97) : 4

6 - les ponts ayant comme abscsse une foncton ben détermnée de l âge exact et comme ordonnée les décès cumulés de la nassance jusqu à cet âge exact sont algnés à partr d au mons un mos ; - cette drote prolongée vers la gauche coupe l axe des ordonnées en un pont dont l ordonnée est égale aux décès endogènes. La dfférence au total est consttuée par les décès exogènes. La lo ans détermnée peut être llustrée par le graphque c-dessus (Pressat, 973)... Le modèle statstque En suvant R. Nadot, on peut dre que le modèle bométrque de J Bourgeos-Pchat repose sur les tros hypothèses suvantes : - H : au-delà d un certan âge A que l on suppose d envron un mos (8, 30, 3), tous les décès sont de nature exogène ; - H : au-delà de cet âge ; A, le total des décès jusqu à un âge B donné est une foncton de - H3 : on peut extrapoler cette foncton, pour les décès exogènes, avant l âge A. S l on note par PB le rapport entre le nombre de décès, entre les âges 0 et nombre N de nassances annuelles, on peut écrre P sous la forme suvante : P = α + β + B 3 log ( B ) B B et le On a pu vérfer que l expresson ( ) pour B > A, fournssat un bon ajustement dans un bon ajustement dans beaucoup de pays. Le paramètre α dans ces condtons représente le taux de mortalté endogène. Prenons mantenant la premère année de ve de l enfant et on la découpe en pérodes dont les lmtes sont les âges a et a ( =, ) avec : a =, a = A, a = ( ) Et sot le vecteur y y y = y 5

7 Où les y sont les décès observés dans chaque pérode. y = S est le nombre de décès dans les douze premers mos. L on peut consdérer y comme l observaton d une varable aléatorey, qu sut une lo multnomale (Tass, 99) : N! PY [ = y] = p p... p y! y!... y! N S! ( ) Où π = p ; y y y NS π p est la probablté de décéder entre a et a. La varable aléatore Y suvant une lo multnomale, l espérance mathématque des s écrt : [ ] E y [ ] ( E y = N α + β x ) = Np ; on peut alors formuler l hypothèse comme sut : 3 Où x = log ( a + ) ; α et β sont deux paramètres à estmer et représentent respectvement le taux de mortalté endogène (hypothèse 3) et exogène. Toujours sous l hypothèse, les probabltés de la lo de Y s écrvent : p p = α + β x ( x ) β α = ; =, π = α βx et la lo : [ ] ( ) y S NS = = α + β β ( α β ) ( 7 ) PY y x x où : S = y ; =, K ( ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) y.. Estmaton par la méthode du maxmum de vrasemblance Les paramètres du modèle peuvent être estmés en applquant la méthode du maxmum de vrasemblance. La log-vrasemblance de ( 7 ), s écrt : ζ = y Log ( α + βx ) + S Logβ + ( N S ) Log ( α βx ) ( 8 ) Où ζ = LogP Le calcul des dérvées premères par rapport à α et β et l annulaton de ces dérvées condut à l obtenton des estmateurs correspondants ; on obtent les équatons de vrasemblance suvantes : ζ = y( α + βx) ( N S)( α βx) = 0 α ( 9 ) ζ = y( α + βx) Sβ ( N S)( α βx) x = 0 β ( 0 ) Les estmateurs ˆα et ˆ β de α et β peuvent être obtenus de façon smple moyennant un peu d algèbre et quelques manpulatons. 6

8 ... Estmateur de β ( ) ( ) ( )( ( ) ( )( Consdérons l équaton 9 ; elle peut s écrre : α β α β y + x = N S y x ) α + β = + α + β + α β y x y N S y x x ( α + β ) = ( ) β( ) ( ) y x N S x x On peut réécrre ( ) de deux façons dfférentes, - d abord comme sut : ( α β )( ) β( + x N S = y x x ), on a alors : ( ) ( ) α + βx = N S = y β x x - ensute de la manère suvante : ( α βx )( N S ) ( N S y )[ β( x x )] =, on tre : ( α βx ) ( )( ) = N S y N S [ β( x x) ] ( 3 ) On porte ( ) et ( 3 ) dans ( 0 ) et en tenant compte de ( ), on obtent : ( ) β( ) β ( ) β( ) x N S x x + S x N S x x = 0 En rédusant cette expresson au même dénomnateur et après smplfcaton, on trouve : β Nx + S Nx = β N x x = S d où : ˆ β β 0 ( ) = SN ( x x) ) ( 4 )... Estmateur de α S l on porte l expresson de ˆ β dans ( ), on obtent : ˆ α + SN ( x x) x = y( NS) ( SN ( x x) )( x x) Sot encore ( ) ( ) ˆ α + SN x x x= y NS SN Et fnalement : ( ) ˆ α + SN x x x= yn D où : ( ) ˆ α = yn x x x ( 5 ) 7

9 ( ) S l on tent compte de 4, ˆ ˆ = yn β x α Et après réducton au même dénomnateur et smplfcaton, on a en défntve : yx ( S y) x N( x x) ; ( 7 ) ˆ α = + sot encore : ( yx Sx) N( x x) ( 8 ) ˆ = α ( 6 ).3. Proprétés des estmateurs On se lmte aux proprétés de l estmateur du taux de mortalté endogène..3.. Espérance mathématque L estmateur du taux de mortalté endogène est sans bas ; en effet : [ α ] = ( ) ( ) E ˆ E yx Sx N x x, [ ˆ α ] = ( ) [ ] [ ] 3) [ ] = = ( α + β ) E N x x x E y xe S En servant de (, on trouve que : E S Np N x, d où : E[ ˆ α ] = α,.3.. Varance [ ˆ α ] = [ ˆ, αα] Var Cov ˆ En remplaçant ˆα par sa valeur dans( 6 ), on a : [ ] ( ) ( ) ˆ ˆ α = ˆ β, Var Cov y N x y N β x. En développant cette expresson, on obtent : [ ] [ ] ( ˆ ˆ) Var ˆ α = N Cov y ˆ, y + xcov β, β N xcov y, β. Il nous faut mantenant calculer les dfférentes covarances de l expresson c-dessus : Cov y, y = N α + βx α βx ), pusque y sut une lo multnomale de - [ ] ( )( paramètre N et α + β x ; - ˆ β ˆ β ( ) ( ) ( ( ) ) Cov, = Cov S N x x, S N x x ( ) [ ] - ˆ ˆ Cov β, β N x x = Cov S, S. Comme sut une lo multnomale de paramètre et, d après ( 4 ). Ans, S N ( x x ) [, ] = β( )[ β( ] Cov S S N x x x x β, on aura donc : 8

10 Par la sute on a : ( ) Var ˆ β = N β x x β ; - ˆ Cov y, β = N ( x x ) Cov[ y, S ] ; y S α + β x or on sat que et suvent ensemble une lo multnomale de paramètre et β ( x x ), donc : - Cov y ˆ, β = β( α + βx) Enfn, on trouve la varance de ˆα par : [ ˆ α] = α( α) + β ( ) ( 9 ) Var N x x x x.4. Intervalle de confance S N est assez grand, on peut supposer que la lo des observatons est pratquement normale. Dans ces condtons ˆα sut donc une lo normale de moyenne α et de ( ) ( x ) ( ) [ ] varance N / α α + βxx x. Dans ce cas, u = ˆ α α Var ˆ α sut une lo normale rédute N (0,). L ntervalle de confance à 95% est donc : [ ] / ( 0 ) ˆ α α < Var α Dans( 9), on peut constater que α et β sont nconnus ; l n est donc pas possble de var α où calculer [ ˆ ] Var α. R. Nadot, recommande de remplacer cette varance par [ ] les valeurs de ˆα et ˆ β remplacent α et β. 3. Applcaton aux données de la vlle de Brazzavlle 3.. Les données Ce sont des données relatves au mouvement naturel de la populaton observé sur la pérode (CNSEE, 974). Ces données mensuelles ont été utlsées comme telles. D une part elles n ont pas été désasonnalsées, et d autres part on ne s est pas fé à leur qualté. Sur ce derner pont, notons par exemple, qu l exste un écart très mportant entre ces données et celles ssues du recensement de 974. Ces dernères apparassent comme sous-évaluées. Ces données d état cvl sont synthétsées dans le tableau. 9

11 Tableau : Mortalté nfantle et nassances par année Années y S N y : Nombre de décès dans le premer mos ; : nombre de décès dans les douze premers mos ; N : le nombre de nassances annuelles. S 3.. Les résultats Les paramètres du modèle statstque peuvent mantenant être calculés, en utlsant les données du tableau. Pour ce fare, on prend pour x la valeur ( ) 3 3 x = log / et pour x la valeur x = log (365 + ). Les résultats d applcaton des formules 4 et 5 sont consgnés dans le tableau c-après : 0

12 Tableau : Taux de mortalté nfantle (pour 000 nassances) Années Endogène Exogène Total 96 36,49 55,7 9, ,7 44,0 76, ,9 39,73 70, ,55 43,07 70, ,50 37,79 74, , 47,0 80, ,05 38,00 74, ,4 33,57 64, ,00 40,37 69, , 49, 75, ,96 45,96 74, ,9 47,97 86, ,53 33,7 6, ,76 30,6 68,9 Comme on l a déjà ndqué, les résultats du tableau confrment le fat que, la médecne a fat plus de progrès dans la lutte contre la mortalté exogène que dans celle contre la mortalté endogène. La mortalté exogène due à des facteurs socaux et hygénques, peut être combattue en créant des condtons agréables de ve et des structures santares approprées. La mortalté endogène basse lentement. S l on prend des chffres des années extrêmes, on a même l mpresson que cette mortalté nfantle a augmenté ou est restée sensblement statonnare. Et pourtant, on observe une tendance à la basse de la mortalté nfantle totale. En fat, «les malades endogènes des enfants, comme

13 certanes malades chronques des adultes font l objet d une mauvase thérape et d une mauvase prophylaxe». Fg.: Evoluton de la mortalté nfantle Endogène Exogène Total Année Concluson La méthode présentée dans cette note, malgré sa faclté de mse en œuvre et s mposant en ben des cas, ne dot pas être applquée de façon mécanque. Les tros hypothèses énoncées dovent fare l objet d une vérfcaton au mons approxmatvement. Souvent, c est la foncton utlsée pour l âge qu n est pas adaptée. C est par exemple le cas du Québec étudé par R. Nadot, où les courbes annuelles des décès cumulés en foncton de l âge montraent une concavté négatve. En ce qu concerne la vlle de Brazzavlle, nous n avons pas jugé utle de procéder à cette vérfcaton pour des rasons déjà évoquées.

14 Bblographe Bourgeos-Pchat, J., (95). La mesure de la mortalté nfantle. I. Prncpes et méthodes, Populaton,, avrl jun. Bourgeos-PIchat, J., (964). Evoluton récente de la mortalté nfantle en Europe, Populaton, 3, jun jullet. CNSEE., (974). Mouvement naturel de la populaton ( ), Brazzavlle, Congo. Henry, L.,(97). Démographe. Analyse et Modèles. Larousse, Pars. Lerdon, H., Toulemon, L., (997). Démographe. Approche statstque et dynamque des populatons. Economca. Nadot, R., (97). Mesure de la mortalté nfantle. Etude statstque de la méthode bométrque de Mr Jean Bourgeos-Pchat, Populaton, 5 Pressat, R., (973). L Analyse Démographque, 3 ème Edton, PUF. Pressat, R., (979). Dctonnare de Démographe, PUF. Tass, P., (99). Méthodes Statstques, ème Edton, Economca. 3

15 SERIE DES DOCUMENTS DE TRAVAIL DU BAMSI 0/00 STATIS : une méthode d analyse conjonte de pluseurs tableaux de données. Samuel AMBAPOUR 0/00 Estmaton des frontères de producton et mesures de l effcacté technque. Samuel AMBAPOUR 03/00 Estmaton d un modèle d emplo de court terme avec ajustement partel. Samuel AMBAPOUR 04/00 Note sur la mortalté nfantle Samuel AMBAPOUR 4