Description nouvelle d un corps noir

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1 Desription nouvelle d un orps noir Raoul Carreton Résumé On peut fonder une loi du rayonnement du orps noir sur l existene d une durée naturelle, une onstante de temps. Un orps d ypotèses suffisantes est préisé et la loi établie. Cette loi se onfond presque ave la loi de Plank dans tout le domaine des températures qui peut être ouvert assez failement par des vérifiations expérimentales mais elle s éarte légèrement de la loi de Plank à partir de un million de degrés environ et elle diverge profondément de la loi de Plank aux températures élevées telle que un milliard de degrés K. L existene d une durée naturelle aurait des onséquenes importantes en méanique et en pysique. 1 Introdution L expliation du rayonnement du orps noir est à l origine de la méanique quantique. La loi de Plank de e rayonnement est vérifiée ave préision dans le domaine des températures assez failement aessibles, disons bien inférieures à un million de degrés Kelvin. Je réponds dans e qui suit aux deux questions suivantes : Quel est un orps d ypotèses simples suffisantes pour établir la loi de Plank? Existe-t-il un orps d ypotèses simples différent onduisant à une loi du rayonnement pratiquement identique à la loi de Plank pour les températures inférieures à un million de degrés Kelvin et s éartant ensuite de plus en plus de ette loi pour les températures supérieures? La réponse, positive, à ette dernière question, suggère l existene d une durée naturelle et dégage des perspetives nouvelles d expliation, de développement, ou de renouvellement, de la méanique quantique. Nota : L existene d une durée naturelle implique elle d une longueur naturelle en vertu de l existene d une vitesse naturelle, elle des ondes életro-magnétiques dans le vide. 2 Les fondements de la loi de Plank Un orps noir est une eneinte fermée ; soit T la température des parois de ette eneinte. Il s établit à l intérieur de ette eneinte un rayonnement dont les propriétés ne dépendent que de la température T. Maxwell puis Boltzmann [1] ont étudié la distribution des vitesses ou énergies de partiules s entreoquant dans une eneinte fermée, les partiules n éangeant de l énergie qu à travers es os. Cette distribution tend vers une limite, toujours la même, quelque soit l état initial des partiules et don les vitesses initiales. Le deuxième prinipe de la termodynamique, est à dire la roissane de l entropie ou évolution naturelle vers le désordre sont de même nature que ette évolution de la distribution des vitesses. On sait par ailleurs, selon un téorème de Poinaré, qu un système dynamique, tel elui des partiules dans l eneinte fermée, retourne vers un état proe de son état initial. En dépit des apparenes, il n y a pas de ontradition entre e téorème de Poinaré et la roissane de l entropie, ar le délai éventuel avant e retour peut être si grand qu il éappe à toute observation expérimentale. Boltzmann propose la probabilité, non normalisée, p = exp w qu une partiule éange l énergie w, k étant une onstante universelle. 1

2 Un életron peut éanger de l énergie ave un rayonnement, disons ave un amp de potons, sans préjuger de la nature, orpusulaire ou ondulatoire, des potons. Soit la fréquene d un poton, inlus dans le rayonnement du orps noir. ypotèse n 1 : L énergie w éangée par un életron ave un poton de fréquene est de la forme w = n.., n = 0, 1, 2,... ; est un quantum d ation. ypotèse n 2 : La probabilité non normalisée que l énergie éangée soit w est p. Il résulte des ypotèses n 1 et n 2 que l énergie moyenne de w, est à dire l espérane matématique de w, est. w = exp.. 1 ypotèse n : Soit u, T la densité spetrale de la densité volumique d énergie du amp. L ypotèse n est une relation entre et w et u, T issue de l életromagnétisme lassique, i.e. antérieure à l invention des quanta, à savoir : u, T = 8.π.2.w, désignant la vitesse de la lumière dans le vide. Les ypotèses 1, 2 et sont suffisantes pour établir la loi de Plank, à savoir : u, T = exp 8.π... 1 Nota : pour une desription moderne du orps noir, [2]. les ypotèses d une loi nouvelle Soit, et m, respetivement, la onstante de Plank et la masse de l életron. Soit θ = m. = seondes. θ est un intervalle de temps que je retiens omme unité de temps. Soit ϕ un intervalle de temps, disons petit, d ordre de grandeur de θ. Cet intervalle ϕ sera interprété omme étant une onstante de temps, une durée naturelle au oeur de trés nombreux pénomènes. Hypotèse A : Il existe des ontats potons-életrons ; aun d eux est instantané à une date t. Soit δt la durée de l intervalle de temps entre deux ontats suessifs d un életron déterminé, le premier ontat ave un poton, le ontat suivant ave un autre poton. L énergie éangée entre et életron et le amp de potons, sur et intervalle de durée δt, énergie notée w 1 δt, est θ. 2.ϕ δt 2.ϕ. Hypotèse B : δt > 2.ϕ. Autrement dit, jamais un életron ne peut avoir deux ontats suessifs à intervalle de temps inférieur ou égal à 2.ϕ. Hypotèse C : Soit t o une date de ontat d un életron spéifié ave un poton quelonque ; soit t > t o ; soit j le nombre de ontats de et életron ave des potons quelonques sur l intervalle de temps allant de t o à t, non ompris le ontat en t o. Nota : le nombre de ontats sur l intervalle fermé t o à t, y ompris le ontat à la date t o, est j +1. L ypotèse C est la suivante : L énergie éangée entre et életron et le amp de potons, sur et intervalle de temps de durée δt = t t o, énergie notée w j δt, est θ. 2.j.ϕ δt 2.j.ϕ. En vertu de l ypotèse B préédente, j < δt δt 2.ϕ ; je retiens 0 j < 2.ϕ. Remarque : L ypotèse C pourrait être ontraditoire ave les ypotèses préédentes A et B, si on savait déduire l énergie w 2 δt éangée sur un intervalle de temps δt, somme de deux intervalles onséutifs a et b, des énergies w 1 a et w 1 b sur aun des intervalles a et b. Par exemple, en pondérant les énergies par le temps durant lequel aune a été observée, on obtient : w 2 a + b = a.w 1a+b.w 1b a+b ; en retenant, suivant l ypotèse A, w 1 a = θ. 2.ϕ a 2.ϕ et w 1 b = θ. 2.ϕ b 2.ϕ, on trouve w 2 a + b = θ. 2.ϕ.a a 2.ϕ + 2.ϕ.b b 2.ϕ a+b, et w 2 a + b est différent de l énergie posée par l ypotèse C, à savoir, dans le as onsidéré, w 2 a + b = 4.ϕ a+b 4.ϕ. L éart entre les deux énergies éangées obtenues ainsi 2

3 est faible si les intervalles de temps a et b sont d une part, du même ordre de grandeur et d autre part, beauoup plus grands que ϕ, mais il n est pas nul. L énergie moyenne posée selon l ypotèse C serait relativiste. En effet, soit τ le temps propre de l életron d énergie totale θ + w j t i. e. θ + θ. 2.j.ϕ δt 2.j.ϕ ave w j t onforme à l ypotèse C. Supposons τ = t 2.j.ϕ. L énergie moyenne éangée s exprime par w j t = θ. t τ τ et, sous ette forme, il apparaît que w 2 a + b, énergie éangée moyenne sur un intervalle de temps t formé de deux intervalles onséutifs a et b est alors la moyenne des énergies éangées, w 1 a et w 1 b sur aun des deux intervalles, pondérées par le temps propre τ de aque intervalle. Ces temps propres étant respetivement a 2.ϕ et b 2.ϕ, alors w 2 a + b = θ. 2.ϕ a 2.ϕ 2.ϕ.a 2.ϕ+ b 2.ϕ.b 2.ϕ a 2.ϕ+b 2.ϕ est w 2 a + b = θ. 4.ϕ a+b 4.ϕ. Le raisonnement s étend failement de w 2 t à w j t, j > 2. Voii maintenant pourquoi τ = t 2.j.ϕ me semble onforme à la définition du temps propre τ en méanique relativiste : Selon ette dernière, d une part τ 2 t = 1 v2 2, v désignant la vitesse de l életron par rapport à 2 l observateur ; d autre part, l énergie totale de l életron est θ. q 1. Cette énergie totale est la 1 v2 2 somme de l énergie au repos θ de l életron et de l énergie éangée W, don θ. q 1 = 1 v2 θ + W. 2 En remplaçant, dans ette relation, 1 v2 par τ 2 t et W par θ. 2.j.ϕ t 2.j.ϕ, on obtient θ. t τ = θ + θ. 2.j.ϕ t t 2.j.ϕ, don τ = t t 2.j.ϕet τ = t 2.j.ϕ. Quoiqu il en soit des prinipes méaniques qui peuvent la sous tendre, je pose l ypotèse C. Hypotèse D : Pour un intervalle de temps t fixé, l énergie éangée peut prendre diverses valeurs W j t en nombre fini ; la probabilité non normalisée que l énergie éangée soit W j t est p j = exp. Cette ypotèse est semblable à l ypotèse n 2. Wj t Hypotèse E : Soit W l espérane matématique de W 2.ϕ j. Je rappelle que θ = 1 ; en unités quelonques, 2.ϕ s exprimerait par 2.. φ θ. Soit U, T la densité spetrale de la densité volumique d énergie du amp. L ypotèse E est la relation suivante entre U, T et W : U, T = 8.π.2.W. Cette ypotèse se ompare à l ypotèse n. Nota : J ai noté ave des minusules l énergie w, l énergie moyenne w et la densité spetrale u, lorsqu elles sont onformes à la loi de Plank. Sinon, je les note ave des majusules. 4 nouvelle loi du rayonnement d un orps noir Les inq ypotèses A, B, C, D, E sont suffisantes pour établir une loi du rayonnement U, T. La fontion U, T ne peut pas être exprimée simplement à l aide des fontions matématiques usuelles omme peut l être u, T selon la loi de Plank. Le alul de W, T et don aussi elui de U, T est trés simple : = t t o, le nombre j de ontats est inférieur, en vertu de l ypotèse B, à t 2.ϕ = 1. Soit x réel ; soit E x = la partie entière de x si x n est pas un entier et soit E x = x 1 si x est un entier. En bref, 0 j E 1. Sur l intervalle de temps t = 2.ϕ, l énergie W j t, qui est égale à θ. 2.j.ϕ t 2.j.ϕ en vertu de l ypotèse C, s exprime par W 2.ϕ j = θ. j 1. On note qu elle est indépendante de ϕ j Nota : En unités quelonques, W 2.ϕ j.θ = θ. j 1 Sur l intervalle de temps ouvert en t o, fermé en t de durée t = 2.ϕ.θ j., id

4 En vertu de l ypotèse D, W, T = obtient : W, T = E1/ P W j 2.ϕ. exp W j 2.ϕ E1/ P. exp W j 2.ϕ! E1/ j. j. 1 j.. exp 1 j... E1/ j. 1 j. exp..!. En expliitant W j 2.ϕ, on, 0 < < En vertu de l ypotèse B, auun éange d énergie entre un életron et le rayonnement ne peut se produire sur un intervalle de temps t 2.ϕ. Il résulte des ypotèses A et B que, si 1, W, T = 0. W, T = 0, En vertu de l ypotèse E, U, T = 8.π.2.W. La loi du rayonnement issue des ypotèses A, B, C, D, E est don U, T = 8.π.2.W = ave W selon 4.1 et 4.2. Nota : Le alul de U, T est réalisable aisément à l aide d un petit ordinateur usuel du ommere. On doit remarquer que les relations 4.1 et 4.2 ont été établies à partir de l existene de la onstante de temps ϕ et sont ependant indépendantes de la valeur de ϕ. 4.1 Nota ajouté en 2002 Je propose une estimation de la onstante de temps naturelle, ϕ, dans mon mémoire intitulé Etats de l életron, daté du , revu le Soit r/ le temps de parours d un poton entre sa soure et un életron. Il existerait une borne inférieure ε de r/, la longueur.ε pouvant être interprétée omme étant un diamètre életronique. Soit m n la masse du neutrino, m elle de l életron. Dans e nota je retiens les unités naturelles ave = = m = 1. Une expression empirique approximative de ϕ r, ompte tenu des aratères observés de l atome d ydrogène et du neutrino, pourrait être : ϕ r = exp r/a b.r. max 0, 1 π.r.2 mn 1+π.r.m n + 1 exp r/a b. 1 2.π, a et b désignant deux paramètres à aler onvenablement, par exemple a = 1, i. e. a = m., et b. Le plus souvent, la fréquene observée du poton sera = 1 2.r, i. e. = 2.r. Ainsi, pour toute valeur de r nettement plus grande que a, ϕ serait sensiblement égal à 1 2.π. J ai pu relier la valeur de ε à elle des masses du neutrino, de l életron et du proton. Paris le 20 otobre Remarque La relation 4.2 est tout à fait nouvelle. Pour la situer, il faut relever l ordre de grandeur des fréquenes utiles du spetre d un orps noir, utiles au sens de voisines de la fréquene = R. pour laquelle u, T est maximum, à température T fixée. R 2.82 quelque soit T. Nota : R est tel que R = exp R. 4

5 La onstante de Boltzmann k Joules par degré Kelvin ; k unités θ par degré Kelvin. Si T = 10 β degrés Kelvin, 4.8 θ β et << 1 θ pour β < 4 ou 5. Par exemple, si T degrés, les fréquenes utiles sont d ordre 5 / θ, beauoup plus petites que 1 θ. Le orps noir dont les fréquenes utiles seraient d ordre 1 θ selon la loi de Plank est à la température d environ 2 milliard de degrés. Jamais, à ma onnaissane, de telles fréquenes n ont été véritablement observées. Nota : On peut envisager qu une interation entre un életron et un rayonnement de fréquene proe de 1/θ, ne réponde plus aux onditions de validité de l analyse de Boltzmann, par exemple pare que les os ne seraient plus élastiques. Il est faile de vérifier que W, T tend vers w, T =. exp. 1 lorsque T tend vers 0, quelque soit ϕ. Pour toute température T assez faible, au sens de inférieure à degrés Kelvin environ, les deux fontions U, T et u, T sont si proes l une de l autre, qu il me paraît exlu qu une validation expérimentale de l une par rapport à l autre soit réalisable dans e domaine des températures. Lorsque T augmente, l éart entre les deux fontions s amplifie ; à la température de un million de degrés, il serait peut être disernable expérimentalement, à la température de un milliard de degrés, il est onsidérable. 4. Remarque L existene d une onstante de temps, ϕ, disons d une durée naturelle, existene suggérée par l interprétation présentée ii de la loi du rayonnement d un orps noir, aurait des impliations onsidérables en méanique. Exemple : Soit N un entier plus grand que 1. Pour = 1/N, t = 2.ϕ = 2.N.ϕ, l ensemble fini des énergies éangées au sens strit, énergies > 0, exprimées en unités m. 2 1, s étend de N 1 à j N -1 ; aque énergie éangée est N j, j = 1, 2,..., N 1. Ainsi, le temps d observation néessaire pour repérer une énergie est d autant plus grand que ette énergie est plus faible. La durée naturelle apparaît là omme l expliation d une relation d inertitude d Heisenberg. De même, une énergie élevée, telle que 1, est repérable sur une durée d observation faible, par exemple, t = 8.ϕ ave N = 4, j = 2, mais ave une trés mauvaise préision puisque les énergies enadrantes les plus proes distintes, seront 1/ et. C est enore la même relation d inertitude. Paris le 9 mars 1999, révision minime le 20 otobre Post sriptum J ai présenté dans e qui préède la durée naturelle ϕ omme une onstante de temps. J interprète ϕ omme la persistane de l életron dans un état instable, état induit par un ontat életron-poton. L analyse des pénomènes gravitationnels m a onduit depuis à envisager l ypotèse suivante : ϕ serait sensiblement une onstante dans le domaine des fréquenes inférieures à un ertain seuil, disons pour fixer les idées les fréquenes utiles émises par des orps noirs de température inférieure à 500 millions de degrés Kelvin. Pour les fréquenes nettement plus fortes, le onept de orps noir en tant qu eneinte fermée par des parois à température déterminée devient inonsistant ou plus préisément, les neutrinos qui sont présents dans toute eneinte aux températures usuelles, tendent à se raréfier à aute tempéraure, disons supérieure à deux milliards de degrés K. Or la présene de neutrinos onditionne la validité de la loi du rayonnement que je viens de proposer. Paris le 2 otobre 200 5

6 5 Annexe Comparaison de u v et de U v pour T = degrés K et pour T = degrés K. soure : programme orps noir, version Les résultats sont exprimés en unités naturelles, θ pour l unité de temps,.θ pour l unité de longueur, /θ pour l unité d énergie, m pour l unité de masse. Constantes diverses rappelées pour mémoire : vitesse de la lumière dans le vide, = mètres par seonde ; onstante de Plank, E-4 unités S. I. ; onstante de Boltzmann, k E-2 unités S. I E-10 unité /θ d énergie par degré kelvin ; masse de l életron, m E-1 unités S.I. ou kilogramme ; θ E-21 seonde ;.θ E-12 mètre ; m. 2 ou /θ = E-14 joule. R ; ontrole : R R = ; exp R 1 = Comparaison de U et u sur le spetre utile retenu de 25 fréquenes enadrant = R. 1/2101 ; T = degrés Kelvin U u u est désigné par dans le tableau suivant j=1 ; 1/=10508 ; U= E-11 ; u= e-11 ; =-4.50E-04 j=2 ; 1/=9189 ; U= E-11 ; u= e-11 ; =-4.501E-04 j= ; 1/=806 ; U=4.4474E-11 ; u= e-11 ; =-4.680E-04 j=4 ; 1/=7027 ; U= E-11 ; u= e-11 ; =-4.892E-04 j=5 ; 1/=6145 ; U= E-11 ; u= e-11 ; =-5.149E-04 j=6 ; 1/= 574 ; U= E-11 ; u= e-11 ; =-5.462E-04 j=7 ; 1/=4699 ; U= E-11 ; u= e-11 ; =-5.851E-04 j=8 ; 1/=4109 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-6.4E-04 j=9 ; 1/=59 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-6.977E-04 j=10 ; 1/=142 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-7.810E-04 j=11 ; 1/=2748 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-8.924E-04 j=12 ; 1/=240 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-1.044E-0 j=1 ; 1/=2101 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-1.25E-0 j=14 ; 1/=187 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-1.542E-0 j=15 ; 1/=1607 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-1.941E-0 j=16 ; 1/=1405 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-2.496E-0 j=17 ; 1/=1229 ; U= E-10 ; u= e-10 ; =-.256E-0 j=18 ; 1/=1074 ; U= E-11 ; u= e-11 ; =-4.00E-0 j=19 ; 1/=99 ; U= E-11 ; u= e-11 ; =-5.707E-0 j=20 ; 1/=821 ; U= E-11 ; u=.1692e-11 ; =-7.590E-0 j=21 ; 1/=718 ; U= E-11 ; u= e-11 ; =-1.009E-02 j=22 ; 1/=628 ; U= E-12 ; u= e-12 ; =-1.8E-02 j=2 ; 1/=549 ; U=.09896E-12 ; u= e-12 ; =-1.77E-02 j=24 ; 1/=480 ; U= E-1 ; u= e-1 ; =-2.4E-02 j=25 ; 1/=420 ; U= E-1 ; u= e-1 ; =-.08E-02 - Comparaison de U v et u sur le spetre utile retenu de 25 fréquenes enadrant = R. 1/ ; T = degrés Kelvin 6

7 U u u est désigné par dans le tableau suivant j=1 ; 1/= ; U= E-17 ; u= e-17 ; =-4.60E-06 j=2 ; 1/= ; U=.57249E-17 ; u= e-17 ; =-4.510E-06 j= ; 1/=80616 ; U= E-17 ; u= e-17 ; =-4.688E-06 j=4 ; 1/= ; U= E-17 ; u= e-17 ; =-4.902E-06 j=5 ; 1/= ; U= E-17 ; u= e-17 ; =-5.15E-06 j=6 ; 1/=57410 ; U=8.0822E-17 ; u=8.0866e-17 ; =-5.461E-06 j=7 ; 1/= ; U= E-17 ; u= e-17 ; =-5.848E-06 j=8 ; 1/= ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-6.59E-06 j=9 ; 1/=5988 ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-6.994E-06 j=10 ; 1/=14279 ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-7.824E-06 j=11 ; 1/=27482 ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-8.954E-06 j=12 ; 1/=2407 ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-1.04E-05 j=1 ; 1/= ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-1.252E-05 j=14 ; 1/=18791 ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-1.541E-05 j=15 ; 1/=16072 ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-1.944E-05 j=16 ; 1/= ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-2.497E-05 j=17 ; 1/= ; U= E-16 ; u= e-16 ; =-.257E-05 j=18 ; 1/= ; U= E-17 ; u= e-17 ; =-4.00E-05 j=19 ; 1/=9991 ; U= E-17 ; u= e-17 ; =-5.705E-05 j=20 ; 1/=82194 ; U=.2741E-17 ; u=.2994e-17 ; =-7.592E-05 j=21 ; 1/=71877 ; U= E-17 ; u= e-17 ; =-1.010E-04 j=22 ; 1/=62855 ; U= E-18 ; u= e-18 ; =-1.42E-04 j=2 ; 1/=54966 ; U=.1229E-18 ; u=.12885e-18 ; =-1.781E-04 j=24 ; 1/=48067 ; U= E-19 ; u= e-19 ; =-2.58E-04 j=25 ; 1/=4204 ; U= E-19 ; u= e-19 ; =-.12E-04 - Référenes [1] Boltzmann L., Leçons sur la téorie des gaz., tradution par A. Gallotti, Introdution et notes de M. Brillouin, Gautier-Villars, Paris. Reédité en 1987 par J. Gabay. [2] Diu, B., Gutmann, C., Lederer D. et Roulet, B Pysique Statistique., Capitre VI, page 77 à 82. Hermann, Paris raoul.arreton@mines-paris.org 7