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1 Rallye mathématique de la Sarthe 2001/2002 Finale Atelier N 10 Enigmes Dans cet atelier, vous avez à résoudre dix problèmes, un élève seul (et même un groupe de quatre) peut difficilement résoudre tous ces problèmes pendant la durée de l'épreuve. Nous conseillons donc à chacun des groupes de rejoindre cet atelier dès qu'il en a fini avec le sien. 6 ème I Maurice, l arrière- grand-père de Thomas, n est certes pas centenaire, mais est déjà d un âge très avancé. L an dernier, son âge était un multiple de 7 et l an prochain, ce sera un multiple de 8. Quel est l âge de Maurice? II On considère une durée de secondes. A combien de semaines entières cela correspond-t-il? III Dans mon rétroviseur, je regarde la plaque d immatriculation de la voiture qui me suit. Elle m apparaît comme indiqué ci-contre : 8I HV 8I. Quel est l immatriculation de cette voiture? IV Trois amis habitent trois maisons voisines de la même rue numérotées 34, 36 et 38. Leurs couleurs de cheveux sont différentes et leurs loisirs préférés diffèrent également. Le brun fait de la plongée sous-marine. La maison dont le numéro se divise par 4 est habitée par le blond. Le footballeur est content d habiter une maison dont le numéro a pour somme des chiffres le nombre de joueurs d une équipe professionnelle de son sport favori. Quel est le numéro de la maison du musicien? V Il est très facile de former le nombre 24 avec trois huit : Mais pourriez-vous obtenir 24 avec trois autres chiffres identiques? VI est un très grand nombre. Cependant, vous pouvez facilement trouver ses 3 derniers chiffres. Dans la réponse, donnez d abord le chiffre des centaines, puis celui des dizaines puis celui des unités. VII Ma montre indique 12 h 10 min. Quelle est la mesure (en degré) de l angle aigu que forment l aiguille des heures et celle des minutes? VIII Dans la division de 423 par 23 le quotient entier est 18 et le reste est 9 ; le quotient est donc le double du reste. Trouvez le plus grand nombre entier qui dans la division par 23 donne un quotient entier double du reste. IX On apporte à un forgeron 5 fragments de chaîne de 3 maillons chacun et on lui demande de les réunir en une chaîne unique. Avant de se mettre au travail, le forgeron se demande combien d'anneaux il va devoir ouvrir puis ressouder au minimum. Pouvez vous l'aider? dessin : X On a sept boules de billard. Toutes les boules ont la même masse sauf une un peu plus lourde. Comment deviner de laquelle il s'agit, en faisant au maximum deux pesées sur une balance de Roberval.

2 Feuille réponses I L âge de Maurice est :... II secondes correspondent à... semaines entières. III L immatriculation de cette voiture est :... IV Le numéro de la maison du musicien est :... V 24 =... VI Le chiffre des centaines est :..., le chiffre des dizaines est :..., le chiffre des unités est... VII L'angle aigu formé par l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes mesure :... VIII Le plus grand nombre entier qui dans la division par 23 donne un quotient entier double du reste est :... IX Le forgeron devra ouvrir et ressouder au minimum... anneaux. X 1 ière pesée 2 ième pesée Réponses I L âge de Maurice est : 71 ans II secondes correspondent à 33 semaines entières. III L immatriculation de cette voiture est : 18 VH 18 IV Le numéro de la maison du musicien est : 36 le blond habite au 36, le footballeur habite au 38 car = 11 V 24 = ( par exemple) VI Le chiffre des centaines est : 0 le chiffre des dizaines est : 0 le chiffre des unités est = 2 x 1000 donc le nombre est un multiple de 1000 VII L'angle aigu formé par l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes mesure : 55 entre chaque graduation, l angle au centre est 360 /12= 30 a 12h10, l aiguille des heures s est déplacée entre le 12 et le de 1/6 de 30 (car 10 min = 1/6 de 60 min) 1/6 de 30 = 5. L angle cherché est donc 30 x2 5 = 55

3 VIII Le plus grand nombre entier qui dans la division par 23 donne un quotient entier double du reste est : 1034 Le plus grand reste possible est 22, le quotient est alors 44. le dividende est donc 23 x = 1034 IX Le forgeron devra ouvrir et ressouder au minimum 3 anneaux. X 1 ière pesée 3 boules sur chaque plateau s il y a équilibre : la boule la plus lourde est celle qui n est pas sur la balance s il n y a pas équilibre :on considère les 3 boules qui sont sur le plateau correspondant à la masse la plus importante 2 ième pesée : on pose une de ces trois boules sur chaque plateau de la balance et on effectue le même raisonnement 5 ème I Il est très facile de former le nombre 24 avec trois huit : Mais pourriez-vous obtenir 24 avec trois autres chiffres identiques? II est un très grand nombre. Cependant, vous pouvez facilement trouver ses 3 derniers chiffres. Dans la réponse, donnez d abord le chiffre des centaines, puis celui des dizaines puis celui des unités. III Ma montre indique 12 h 10 min. Quelle est la mesure (en degré) de l angle aigu que forment l aiguille des heures et celle des minutes? IV Dans la division de 423 par 23 le quotient entier est 18 et le reste est 9 ; le quotient est donc le double du reste. Trouvez le plus grand nombre entier qui dans la division par 23 donne un quotient entier double du reste. V On apporte à un forgeron 5 fragments de chaîne de 3 maillons chacun et on lui demande de les réunir en une chaîne unique. Avant de se mettre au travail, le forgeron se demande combien d'anneaux il va devoir ouvrir puis ressouder au minimum. Pouvez vous l'aider? dessin : VI Une brique pèse 4 kg. Combien pèse une réduction de cette brique faite du même matériau et dont les dimensions sont égales au quart des dimensions de la brique précédente. VII On a sept boules de billard. Toutes les boules ont la même masse sauf une un peu plus lourde. Comment deviner de laquelle il s'agit, en faisant au maximum deux pesées sur une balance de Roberval? VIII On compte sur les doigts d une main en changeant de sens chaque fois que l on arrive au bout : pouce 1, index 2, majeur 3, annulaire 4, auriculaire 5, annulaire 6, majeur 7 etc A quel doigt correspond 2002? IX Que doit-on écrire à la place des pointillés pour que la phrase suivante soit vraie : «MA PHRASE CONTIENT CONSONNES» X L angle que forment les bissectrices de 2 angles d un triangle mesure 107. Quelle est la mesure du 3ème angle du triangle?

4 Réponses I 24 =... II Le chiffre des centaines est :..., le chiffre des dizaines est :..., le chiffre des unités est... III L'angle aigu formé par l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes mesure :... IV Le plus grand nombre entier qui dans la division par 23 donne un quotient entier double du reste est :... V Le forgeron devra ouvrir et ressouder au minimum... anneaux. VI La réduction de la brique pèse :... VII 1 ière pesée 2 ième pesée VIII A quel doigt correspond 2002? IX «MA PHRASE CONTIENT.. CONSONNES» X La mesure du 3ème angle du triangle est :.. Feuille réponses I 24 = ( par exemple II Le chiffre des centaines est : 0 le chiffre des dizaines est : 0 le chiffre des unités est = 2 x 1000 donc le nombre est un multiple de 1000 III L'angle aigu formé par l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes mesure : 55 entre chaque graduation, l angle au centre est 360 /12= 30 a 12h10, l aiguille des heures s est déplacée entre le 12 et le de 1/6 de 30 (car 10 min = 1/6 de 60 min) 1/6 de 30 = 5. L angle cherché est donc 30 x2 5 = 55 IV Le plus grand nombre entier qui dans la division par 23 donne un quotient entier double du reste est : 1034 Le plus grand reste possible est 22, le quotient est alors 44. le dividende est donc 23 x = 1034 V Le forgeron devra ouvrir et ressouder au minimum 3 anneaux. VI La réduction de la brique pèse : 62,5 g Si les dimensions de la brique sont divisées par 4, son volume est divisé par 4 x 4 x 4 = 64 Sa masse est donc aussi divisée par 64 donc 4 kg : 64 = 0,0625 kg VII 1 ière pesée 3 boules sur chaque plateau s il y a équilibre : la boule la plus lourde est celle qui n est pas sur la balance s il n y a pas équilibre :on considère les 3 boules qui sont sur le plateau correspondant à la masse la plus importante

5 2 ième pesée : on pose une de ces trois boules sur chaque plateau de la balance et on effectue le même raisonnement VIII 2002 correspond à l annulaire IX il y a trois phrases possibles «la phrase contient vingt consonnes» ou «la phrase contient vingt-deux consonnes» ou «la phrase contient vingt-trois consonnes» X La mesure du 3ème angle du triangle est : 34 4 ème I Le défi mathématique est vraiment le jeu de l année : en effet 2048 joueurs se sont inscrits pour le tournoi. Le défi mathématique, jeu à 2 joueurs se déroule comme au tennis par élimination directe. Quel sera le nombre de matchs à prévoir dans ce tournoi? II Même question s il y a inscrits III Quel est le plus grand nombre impair dont la somme des 9 chiffres est 60 IV Quel est le plus petit nombre pair dont la somme des 9 chiffres est 60 V Un jardinier doit verser un arrosoir d eau à chacun des 10 arbres d une rangée. Les arbres sont distants de 6 mètres et le robinet d eau se trouve dans leur alignement, à 10 mètres du premier arbre. Quelle distance le jardinier aura-t-il parcourue? (on suppose que l arrosoir se trouvait près du robinet et que le jardinier l y a ramené VI Dans une banque 3 employés se nomment Dupont, Durand, Dubois. L un est caissier, l autre comptable et le 3ème est secrétaire. Trouve le métier de chacun sachant que Si Dupont est caissier, Dubois est comptable Si Dupont est comptable, Dubois est secrétaire Si Dubois n est pas caissier, Durant est comptable Si Durant est secrétaire, Dupont est comptable. VII Papa met 6 heures pour bêcher son jardin. Papy Mathias quand il vient met 10 heures. Aujourd hui, ils décident de se mettre à travailler ensemble, en même temps, mais sans se gêner, avec chacun sa bêche. En combien de temps exprimé en minutes, le jardin sera-t-il bêché? VIII Un pichet d'un demi-litre est rempli d'un mélange de 2/3 de jus d'orange et le reste en eau. Un pichet d'un litre est rempli d'un quart de jus d'orange et le reste en eau. On verse le contenu des deux pichets dans une grande bouteille puis on remplit un verre de 25 cl de ce mélange. Quelle est la quantité de jus d'orange contenu dans ce verre? Donner la valeur exacte en litre. IX On compte sur les doigts d une main en changeant de sens chaque fois que l on arrive au bout : pouce 1, index 2, majeur 3, annulaire 4, auriculaire 5, annulaire 6, majeur 7 etc A quel doigt correspond 2002? X Quelle est la somme des mesures des angles d'un polygone non croisé de 2002 côtés? Feuille réponses I Avec 2048 joueurs le nombre de matchs est :...

6 II Avec joueurs le nombre de matchs est :... III Le plus grand nombre impair dont la somme des 9 chiffres est 60 est :... IV Le plus petit nombre pair dont la somme des 9 chiffres est 60 est :... V Le jardinier aura parcouru :... VI Dupont est..., Durand est... et Dubois est... VII Pour bêcher le jardin, ils mettront :... VIII Le verre contient... litre de jus d'orange. IX A quel doigt correspond 2002? X La somme des mesures des angles d'un polygone non croisé de 2002 côtés est :... Réponses I Avec 2048 joueurs le nombre de matchs est : 2047 II Avec joueurs le nombre de matchs est : III Le plus grand nombre impair dont la somme des 9 chiffres est 60 est : IV Le plus petit nombre pair dont la somme des 9 chiffres est 60 est : V Le jardinier aura parcouru : 740 m VI Dupont est secrétaire Durand est comptable et Dubois est caissier VII Pour bêcher le jardin, ils mettront : 225 minutes En 1h, papa bêche 1/6 du jardin et Papy Mathias 1/10 En 1h, ils bêchent ensemble 1/6 +1/10 du jardin soit 4/15 du jardin Pour bêcher un 1/15 du jardin, ils mettent 60 min : 4 = 15 minutes 15 min x 15 = 225 minutes VIII Le verre contient 7/72 litre de jus d'orange. 2/3 x 1/2 L + 1/4 x 1 L = 7/12 L il y a 7/12 L de jus d orange 25 cl est égal à 1/6 de la bouteille 1/6 de 7/12 L = 7/72 L IX 2002 correspond à l annulaire X La somme des mesures des angles d'un polygone non croisé de 2002 côtés est : Dans un polygone non croisé à 5 cotés ABCDE, tracer [AC], [AD] et [AE] : le polygone est découpé en 3 triangles. Vous constatez que la somme des mesures des angles de ce polygone est 180 x 3. De même un polygone non croisé à 2002 cotés peut être découpé en 2000 triangles. Vous constaterez que la somme des angles de ce polygone est 180 x 2000

7 3 ème I Le défi mathématique est vraiment le jeu de l année : en effet 2048 joueurs se sont inscrits pour le tournoi. Le défi mathématique, jeu à 2 joueurs se déroule comme au tennis par élimination directe. Quel sera le nombre de matchs à prévoir dans ce tournoi? II Quel est le plus grand nombre impair dont la somme des 9 chiffres est 60 III Quel est le plus petit nombre pair dont la somme des 9 chiffres est 60 IV Un homme possède quatre chiens et une boîte de biscuits. Au premier chien, il donne la moitié des biscuits plus un. Au deuxième chien, il donne la moitié des biscuits restants plus un. Au troisième chien, il donne la moitié des biscuits restants plus un. Au quatrième chien, il donne la moitié des biscuits restants plus un ; et la boîte est vide. A l'origine quel était le nombre de biscuits dans la boîte? V Un pichet d'un demi-litre est rempli d'un mélange de 2/3 de jus d'orange et le reste en eau. Un pichet d'un litre est rempli d'un quart de jus d'orange et le reste en eau. On verse le contenu des deux pichets dans une grande bouteille puis on remplit un verre de 25 cl de ce mélange. Quelle est la quantité de jus d'orange contenu dans ce verre? Donner la valeur exacte en litre. VI Paul a un récipient contenant 1 litre d'eau. Il verse dans un récipient un demi-litre d'eau puis le tiers de ce qui reste, puis le quart de ce qui reste, puis le cinquième de ce qui reste, ainsi de suite jusqu'à ce qu'il reste 6,25 cl dans le premier récipient. Quel est le nombre de transvasements? VII 2002 est un nombre palindrome qui peut s'écrire sous la forme d'un produit de quatre nombres entiers premiers différents. Quel est le nombre palindrome suivant qui a cette propriété? Un nombre entier premier a deux diviseurs 1 et lui-même. VIII Quelle est la somme des mesures des angles d'un polygone non croisé de 2002 côtés? IX Quelle est la 2002 ième décimale de l'inverse de 2002? X On compte sur les doigts d une main en changeant de sens chaque fois que l on arrive au bout : pouce 1, index 2, majeur 3, annulaire 4, auriculaire 5, annulaire 6, majeur 7 etc A quel doigt correspond 2002? Feuille réponses I Le nombre de matchs à prévoir est :... II Le plus grand nombre impair dont la somme des 9 chiffres est 60 est :... III Le plus petit nombre pair dont la somme des 9 chiffres est 60 est :... IV A l'origine, le nombre de biscuits dans la boîte est :... V La quantité de jus d'orange contenu dans ce verre est...litre ou...litre. VI Le nombre de transvasements est :... VII Le nombre palindrome suivant qui a cette propriété est :...

8 VIII La somme des mesures des angles d'un polygone non croisé de 2002 côtés est :... IX La 2002 ième décimale de l'inverse de 2002 est :... X A quel doigt correspond 2002? Réponses I Le nombre de matchs à prévoir est : 2047 II Le plus grand nombre impair dont la somme des 9 chiffres est 60 est : III Le plus petit nombre pair dont la somme des 9 chiffres est 60 est : IV A l'origine, le nombre de biscuits dans la boîte est : 30 V Le verre contient 7/72 litre de jus d'orange. 2/3 x 1/2 L + 1/4 x 1 L = 7/12 L il y a 7/12 L de jus d orange 25 cl est égal à 1/6 de la bouteille 1/6 de 7/12 L = 7/72 L VI Le nombre de transvasements est : 15 VII Le nombre palindrome suivant qui a cette propriété est : = 2 x 3 x 11 x 37 V III La somme des mesures des angles d'un polygone non croisé de 2002 côtés est : Dans un polygone non croisé à 5 cotés ABCDE, tracer [AC], [AD] et [AE] : le polygone est découpé en 3 triangles. Vous constatez que la somme des mesures des angles de ce polygone est 180 x 3. De même un polygone non croisé à 2002 cotés peut être découpé en 2000 triangles. Vous constaterez que la somme des angles de ce polygone est 180 x 2000 IX La 2002 ième décimale de l'inverse de 2002 est : 4 On retrouve le même chiffre toutes les 6 décimales. 1 : 2002 = 0, X 2002 correspond à l annulaire

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