DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES

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1 DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES CHAITRE 2 : CONTRAINTES 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT Défiitio Composates du vecteur cotraite Cotraites ormales et tagetielles Eemple 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : MATRICE DES CONTRAINTES Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Equatios d équilibre local Elémets pricipau Etats de cotraite particuliers Représetatio géométriques : cercles de Mohr 1

2 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT DEFINITION O cosidère u solide e équilibre sous l actio d u torseur etérieur Soit u poit à l itérieur du solide O effectue ue coupe selo u pla passat par : ormale etérieure au pla de coupe (Dirigée vers l etérieure de la partie isolée) 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : DEFINITION df ds La partie isolée est e équilibre sous l actio D ue partie du torseur etérieur Des forces itérieures df s eerçat sur des élémets de surface ds etourat chaque poit 2

3 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : DEFINITION df ds Vecteur cotraite au poit relatif au pla de coupe dot la ormale etérieure est : 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : DEFINITION Forces volumiques, s eerçat sur tout le volume : Forces surfaciques, s eerçat sur la frotière S : La cotraite etere est par défiitio, l actio de surface uitaire eercée par l etérieur sur le milieu cosidéré 3

4 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : DEFINITION O cosidère u poit à la surface du corps Soit ds, u petit élémet de surface etourat O oriete ds par la ormale etérieure, uitaire à ds e est toujours orietée vers le corps qui agit Soit df, l actio de surface eercée sur ds O appelle cotraite e pour la directio, le vecteur défiit par : 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : DEFINITION L élémet de surface ds orieté par, s appelle facette. Cotraite e sur la facette Uité : 4

5 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : DEFINITION La orme du vecteur cotraite est homogèe à ue pressio mais le vecteur cotraite est pas perpediculaire à la sectio CHAITRE 2 : CONTRAINTES 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT Défiitio Composates du vecteur cotraite Cotraites ormales et tagetielles Eemple 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : MATRICE DES CONTRAINTES Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Equatios d équilibre local Elémets pricipau Etats de cotraite particuliers Représetatio géométriques : cercles de Mohr 5

6 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES Si la ormale est quelcoque par rapport au aes Normale au pla de coupe Idice de l ae de projectio 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES Si la ormale est e coïcidece avec u des aes du repère suivat Idice de la ormale etérieure Idice de l ae de projectio 6

7 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES Si la ormale est e coïcidece avec u des aes du repère suivat Idice de la ormale etérieure Idice de l ae de projectio 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES Si la ormale est e coïcidece avec u des aes du repère suivat Idice de la ormale etérieure Idice de l ae de projectio 7

8 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES Si la ormale est e coïcidece avec u des aes du repère INDICE DE L AXE DE ROJECTION INDICE DE LA NORMALE EXTERIEURE 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES Les composates du vecteur cotraite qui possèdet deu idices idetiques sot des cotraites ormales au poit (tractio ou compressio) Les composates du vecteur cotraite qui possèdet deu idices différets sot des cotraites tagetielles au poit (cisaillemet) La cotraite supportée par ue sectio e u poit est dite pricipale, lorsqu elle a pas de composates tagetielles 8

9 CHAITRE 2 : CONTRAINTES 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT Défiitio Composates du vecteur cotraite Cotraites ormales et tagetielles Eemple 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : MATRICE DES CONTRAINTES Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Equatios d équilibre local Elémets pricipau Etats de cotraite particuliers Représetatio géométriques : cercles de Mohr 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES CONTRAINTE NORMALE ET TANGENTIELLE t 9

10 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES CONTRAINTE NORMALE rojectio du vecteur cotraite sur la ormale à la facette Notatio : La cotraite ormale résulte des efforts perpediculaires à la facette Elle traduit des actios locales de tractio-compressio 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES CONTRAINTE TANGENTIELLE rojectio du vecteur cotraite Notatio : sur le pla de la facette t La cotraite tagetielle est liée au efforts tagets à la facette Ces efforts ot tedace à cisailler la matière e ce lieu 10

11 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : COMOSANTES t CHAITRE 2 : CONTRAINTES 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT Défiitio Composates du vecteur cotraite Cotraites ormales et tagetielles Eemple 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : MATRICE DES CONTRAINTES Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Equatios d équilibre local Elémets pricipau Etats de cotraite particuliers Représetatio géométriques : cercles de Mohr 11

12 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT : EXEMLE CAS D UNE OUTRE G Lige moee CHAITRE 2 : CONTRAINTES 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT Défiitio Composates du vecteur cotraite Cotraites ormales et tagetielles Eemple 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : MATRICE DES CONTRAINTES Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Equatios d équilibre local Elémets pricipau Etats de cotraite particuliers Représetatio géométriques : cercles de Mohr 12

13 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : MATRICE DES CONTRAINTES L état de cotraite e u poit est caractérisé par ue matrice carrée smétrique d ordre 3 : la matrice des cotraite (de Cauch) 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites O coait la matrice des cotraites e u poit O recherche le vecteur cotraite s eerçat sur u pla de coupe passat par et de ormale sortate (uitaire) quelcoque 13

14 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites (, A 1, A 2, A 3 ) : tétraèdre ifiimet petit au voisiage du poit A d Cotraites sur les 4 facettes du tétraèdre A d d A 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Equilibre statique du tétraèdre (oids et forces d iertie égligées) La résultate des forces sur le tétraèdre est ulle Le momet résultat (par rapport à G) des forces eercées sur le tétraèdre est ul 14

15 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT La résultate des forces sur le tétraèdre est ulle Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT Le momet résultat (par rapport à G) des forces eercées sur le tétraèdre est ul Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Théorème de réciprocité des cotraites tagetielles La matrice des cotraites est smétrique la (,) 15

16 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT CHAITRE 2 : CONTRAINTES 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT Défiitio Composates du vecteur cotraite Cotraites ormales et tagetielles Eemple 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : MATRICE DES CONTRAINTES Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Equatios d équilibre local Elémets pricipau Etats de cotraite particuliers Représetatio géométriques : cercles de Mohr 16

17 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : EQUATIONS D EQUILIBRE LOCAL Lorsque l o se déplace de d,d,d suivat les aes, et à partir d u poit, les cotraites variet. Soit fv, la force par uité de volume (poids ou iertie) O écrit l équilibre d u parallélépipède isolé autour du poit EQUATIONS D EQUILIBRE LOCAL 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT EQUATIONS D EQUILIBRE LOCAL 17

18 CHAITRE 2 : CONTRAINTES 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT Défiitio Composates du vecteur cotraite Cotraites ormales et tagetielles Eemple 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : MATRICE DES CONTRAINTES Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Equatios d équilibre local Elémets pricipau Etats de cotraite particuliers Représetatio géométriques : cercles de Mohr 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ELEMENTS RINCIAUX O recherche s il eiste des plas de coupe particuliers passat par tels que: La ormale au pla de coupe Le vecteur cotraite Coliéaires Cas gééral : et o coliéaires Cas particulier :? 18

19 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ELEMENTS RINCIAUX OR roblème de diagoalisatio de matrice 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ELEMENTS RINCIAUX La matrice des cotraites est réelle smétrique est diagoalisable Les valeurs propres de la matrice des cotraites Les vecteurs propres de la matrice des cotraites 19

20 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ELEMENTS RINCIAUX CALCUL DES VALEURS RORES (Equatio caractéristique) (olôme de degré 3) Cotraites pricipales 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ELEMENTS RINCIAUX CALCUL DES VECTEURS RORES Directios pricipales 20

21 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ELEMENTS RINCIAUX ECRITURE DE LA MATRICE DES CONTRAINTES DANS UN REERE RINCIAL 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ELEMENTS RINCIAUX Cas particulier où ue directio pricipale est coue a priori X II X I = X III ϕ 21

22 CHAITRE 2 : CONTRAINTES 1. VECTEUR CONTRAINTE EN UN OINT Défiitio Composates du vecteur cotraite Cotraites ormales et tagetielles Eemple 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : MATRICE DES CONTRAINTES Relatio vecteur cotraite matrice des cotraites Equatios d équilibre local Elémets pricipau Etats de cotraite particuliers Représetatio géométriques : cercles de Mohr 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ETATS DE CONTRAINTE ARTICULIERS A LA SURFACE D UN SOLIDE [ σ ] = (,, ) σ σ σ σ p ressio et. 0 si p atm σ : σ σ σ 22

23 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ETATS DE CONTRAINTE ARTICULIERS CAS DES OUTRES σ σ [ σ] = (,,,) σ σ σ σ σ σ 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ETATS DE CONTRAINTE ARTICULIERS CAS DES MEMBRANES e Φ : Nul das l épaisseur : e σ σ σ σ [ σ ] = (,, ) σ σ 0 σ σ Costate das l épaisseur 23

24 2. ETAT DE CONTRAINTE EN UN OINT : ETATS DE CONTRAINTE ARTICULIERS CAS DES LAQUES EN FLEXION e [ σ ] = (,, ) σ σ σ σ Variable das l épaisseur : σ σ e/2 e/2 σ σ 24