Sur la décharge des conducteurs a capacité, résistance et coefficient de self-induction variables

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1 Sur la décharge des conducteurs a capacité, résistance et coefficient de selfinduction variables Michel Pétrovitch To cite this version: Michel Pétrovitch. Sur la décharge des conducteurs a capacité, résistance et coefficient de selfinduction variables. J. Phys. Theor. Appl., 1897, 6 (1), pp < /jphystap: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1897 HAL is a multidisciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Le 242 III. succès de ces calculs tient uniquement à la forme que l on a appelée régulière donnée aux potentiels, en profitant de ce que tout système naturel complet a une charge totale nulle, pour éliminer de l expression de la charge Q,n, ou plus rigoureusement pour que la différence de potentiel Vm V,L contienne Q,, et avec des coefficients égaux et de signe contraire. Les coefficients H ont une signification physique bien déterminée, tandis que les coefficients de potentiel de Maxwell en sont dépourvus, puisqu il est impossible de charger un seul conducteur. Autrement dit, bien que l énergie d un système électrisé soit bien déterminée en fonction des charges, les coefficients de l expression: f AlIQ At2Q1Q } par laquelle on pourrait la représenter, sont indéterminés ; il est donc naturel qu ils ne jouent aucun rôle physique, tandis que leurs différences ou les quantités H, différences de leurs différences, en ont un bien net et paraissent à ce titre devoir être introduites de préférence dans les calculs. Pour passer de la forme cidessus à la forme régulière, il suffit d en retrancher le produit nul : et il reste une expression (Hmn Amm + Ann 2Amn) = d où tous les termes en Q2 ont disparu, et qui ne renferme que constantes., SUR LA DÉCHARGE DES CONDUCTEURS A CAPACITÉ, RÉSISTANCE ET COEFFICIENT DE SELFINDUCTION VARIABLES; Par M. MICHEL PÉTROVITCH (1). Envisageons un condensateur à capacité C, et soit Q, sa charge. Mettonsle en communication avec le sol par un fil de résistance R, dont le coefficient de selfinduction est L. A un instant donné t, la charge du condensateur et Q. P c son potentiel #, et si C, R, L restent (1) Extrait des Coinptes Rendu ï de CAcadénÚe des Sciences, ler mars Article published online by EDP Sciences and available at

3 . d où, 243 invariables pendant le temps de la décharge, la charge Q sera donnée par des formules connues. Le caractère dela décharge dépend, comme l on sait, du signe de la quantité: Si cette quantité est positive, la décharge est continue : la charge va constamment en décroissant et tend vers zéro quand le temps augmente indéfiniment. Au contraire, si cette quantité est négative, la décharge est oscillante : le conducteur prend alors des charges alternativement de sens contraires, et le fil est le siège de courants alternatifs. Je me propose d indiquer ici une généralisation de ces théorèmes, relative aux cas où C, L, R varient avec le temps d une manière quelconque pendant la décharge. Remarquons qu il est facile de faire varier l une quelconque,de ces quantités pendant l expérience, et l on peut le faire de beaucoup de manières, de sorte qu elles soient fonctions connues du temps. En désignant par 1 l intensité du courant à l instant t et en appliquant le principe de la conservation de l énergie, on aura l équation qui régit le phénoméne : en remplaçant 1 par on tire l équation linéaire du second dt " ordre, à coefficients variables. En posant : l équation (~1 ~ se transforme en

4 M 244 où Dans chaque cas particulier on connaîtra cette fonction m (1), qui dépend de la disposition de l expérience, et l on peut montrer que le caractère du phénomène, dans un intervalle considéré de temps de jusqu à t t2, dépendra du signe de cette fonction dans cet intervalle. Reportonsnous à une propriété connue des équations linéaires du second ordre à coefficients variables, d après laquelle, si l on considère deux équations : et si pour les valeurs de t, comprises dans un intervalle (t~, t~,), les fonctions? (t) et Z (t) sont finies, continues et telles que : deux zéros consécutifs de u, dans l intervalle t~, 1 tl, comprennent au moins un zéro de z. En appliquant ce théorème au problème qui nous occupe, on aura les propositions suivantes :. t 0 Dans tout intervalle de temps (t,, t2) dans lequel la fonction m (t), définie par (4) est constamment négative, la charge du conducteur ne peut changer de sens plus d une fois; avant et après ce changerttent, la décharge est continue. Car, si l on désigne par la plus grande valeur que m (t) ~ prend entre les limites (tp t2) et si l on envisage l équation : son intégrale générale : d après le théorème cité plus haut, aura au plus autant de zéros dans l intervalle (t,, t2) que z, c estàdire au plus un zéro. 20 Dans tout intervalle de temps (t,, t2) dans lequel la l onction m (t) est constamment positive, la décharge est oscillante ; de plus, si l on

5 245 désigne par M et N la rolus grande et la plus petite valeur que prend cette (onction entre ces limites, la charge du conducteur change de signe dans cet intervalle au moins autant de rois qu il y a d unités entières dans : et, au plus, autant de fois qu il y a d unités entières dans : Car, d après le théorème précédent, l intégrale y de (3) s annulera au moins autant de fois dans l intervalle (tn t2) que l intégrale : de l équation: et, au plus, autant de fois que l intégrale : de l équation : l on connaît dans la Ces propositions généralisent celles que théorie de la décharge des conducteurs à C, R, L constants ; la fonction m (t) dans ce cas se réduit à la quantité connue: dont le signe joue le rôle essentiel pour le sens du phénomène. Ces propositions expriment aussi les conditions d expérience à réaliser pour que la décharge, lorsque C, R, L sont variables, soit continue ou oscillante. On aurait des résultats analogues dans le cas où le conducteur est relié à une source à différence de potentiel constante ou variable. Et en utilisant les résultats connus aujourd hui sur les équations linéaires, on peut faire une étude détaillée du phénomène. J. de phys., 31 série, t. VI. (Mai j 18