PROBABILITÉS. Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans!.

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1 PROBABILITÉS E 654, Blaise Pascal (63 ; 66) etretiet avec Pierre de Fermat (60 ; 665) des correspodaces sur le thème des jeux de hasard et d'espérace de gai qui les mèet à exposer ue théorie ouvelle : les calculs de probabilités. Ils s itéresset à la résolutio de problèmes de déombremet comme par exemple celui du Chevalier de Méré : «Commet distribuer équitablemet la mise à u jeu de hasard iterrompu avat la fi?» I. Variable aléatoire et loi de probabilité ) Variable aléatoire Exemple : Soit l'expériece aléatoire : "O lace u dé à six faces et o regarde le résultat." L'esemble de toutes les issues possibles Ω = {; ; 3; 4; 5; 6} s'appelle l'uivers des possibles. O cosidère l'évéemet A : "O obtiet u résultat pair." O a doc : A = {; 4; 6}. O cosidère l'évéemet élémetaire E : "O obtiet u 3". O a doc : E = {3}. Défiitios : - Chaque résultat d'ue expériece aléatoire s'appelle ue issue. - L'uivers des possibles est l'esemble des issues d'ue expériece aléatoire. - U évéemet est u sous-esemble de l'uivers des possibles. - U évéemet élémetaire est u évéemet coteat ue seule issue. Exemple : Das l'expériece précédete, o cosidère le jeu suivat : - Si le résultat est pair, o gage. - Si le résultat est, o gage 3. - Si le résultat est 3 ou 5, o perd 4. O a défii aisi ue variable aléatoire X sur Ω = {; ; 3; 4; 5; 6} qui peut predre les valeurs, 3 ou -4. O a doc : X() = 3, X() =, X(3) = -4, X(4) =, X(5) = -4, X(6) = Défiitio : Ue variable aléatoire X est ue foctio défiie sur u uivers Ω et à valeur das!. Yva Moka Académie de Strasbourg

2 ) Loi de probabilité Exemple : O cosidère la variable aléatoire X défiie das l'exemple précédet. Chaque issue du lacer de dé est équiprobable et égale à 6. La probabilité que la variable aléatoire pree la valeur est égale à =. O ote : P(X = ) =. De même : P(X = 3) = 6 et P(X = -4) = = 3. O peut résumer les résultats das u tableau : -4 3 P(X = ) 3 6 Ce tableau résume la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Défiitio : Soit ue variable aléatoire X défiie sur u uivers Ω et preat les valeurs x, x,..., x. La loi de probabilité de X associe à toute valeur la probabilité P(X = ). Remarques : - P(X = ) peut se oter p i. - p + p + + p = Exemple : Das l'exemple traité plus haut : p + p + p 3 = =. Méthode : Détermier ue loi de probabilité Vidéo Soit l'expériece aléatoire : "O tire ue carte das u jeu de cartes." O cosidère le jeu suivat : - Si o tire u cœur, o gage. - Si o tire u roi, o gage 5. - Si o tire ue autre carte, o perd. O appelle X la variable aléatoire qui à ue carte tirée associe u gai ou ue perte. Détermier la loi de probabilité de X. Yva Moka Académie de Strasbourg

3 3 La variable aléatoire X peut predre les valeurs, 5, - mais aussi 7. E effet, si o tire le roi de cœur, o gage 5(roi) + (cœur) = 7. - Si la carte tirée est u cœur (autre que le roi de cœur), X =. P(X = ) = 7. - Si la carte tirée est u roi (autre que le roi de cœur), X = 5. P(X = 5) = 3. - Si la carte tirée est le roi de cœur, X = 7. P(X = 7) =. - Si la carte tirée 'est i u cœur, i u roi, X = -. P(X = -) =. La loi de probabilité de X est : P(X = ) O costate que : p + p + p 3 + p 4 = = II. Espérace, variace, écart-type Défiitios : Soit ue variable aléatoire X défiie sur u uivers Ω et preat les valeurs x, x,..., x. La loi de probabilité de X associe à toute valeur la probabilité p i = P(X = ). - L'espérace mathématique de la loi de probabilité de X est : E(x) = p x + p x + + p x = p i - La variace de la loi de probabilité de X est : V(x) = p (x E(X)) + p (x E(X)) + + p (x E(X)) = p i E(X) - L'écart-type de la loi de probabilité de X est : σ(x) = V (X) ( ) Yva Moka Académie de Strasbourg

4 4 Méthode : Calculer l'espérace, la variace et l'écart-type d'ue loi de probabilité Vidéo Vidéo Das le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédet, calculer l'espérace, la variace et l'écart-type de la loi de probabilité de X et iterpréter les résultats pour l'espérace et l'écart-type. E(X) = ( ) = 5. V(X) = 5 σ ( X) 5,865, ,865 L'espérace est égale à 5 0,5 sigifie qu'e jouat, o peut espérer gager eviro 0,50. L'écart-type est eviro égal à,8 sigifie qu'avec ue espérace proche de 0,50 le risque de perdre de l'arget est importat. Remarques : - L'espérace est la moyee de la série des podérés par les probabilités p i. E effet : E(X) = p x + p x + + p x = p x + p x p x = p x + p x p x p + p p E répétat u grad ombre de fois l'expériece, la loi des grads ombres ous permet d'affirmer que les fréqueces se rapprochet des probabilités théoriques. La moyee des résultats se rapprochet doc de l'espérace de la loi de probabilité. L'espérace est doc la moyee que l'o peut espérer si l'o répète l'expériece u grad ombre de fois. - La variace (respectivemet l'écart-type) est la variace (respectivemet l'écarttype) de la série des podérés par les probabilités p i. L'écart-type est doc ue caractéristique de dispersio "espérée" pour la loi de probabilité de la variable aléatoire. Propriétés : Soit ue variable aléatoire X défiie sur u uivers Ω. Soit a et b deux ombres réels. O a : E(aX+b) = ae(x)+b V(aX+b) = a V(X) Yva Moka Académie de Strasbourg

5 5 Démostratios : ( ) E(aX + b) = p i a + b = a p i + b p i = a p i + b = ae(x) + b ( ( )) V (ax + b) = p i a + b ae(x) + b ( ) = p i a ae(x) ( ) ( ) = a p i E(X) = a V X Méthode : Simplifier les calculs d'espérace et de variace à l'aide d'ue variable aléatoire de trasitio Vidéo Ue etreprise qui fabrique des roulemets à bille fait ue étude sur ue gamme de billes produites. Le diamètre théorique doit être égal à,3 cm mais cette mesure peut être légèremet erroée. L'expériece cosiste à tirer au hasard ue bille d'u lot de la productio et à mesurer so diamètre. O cosidère la variable aléatoire X qui à ue bille choisie au hasard associe so diamètre. La loi de probabilité de X est résumée das le tableau suivat :,98,99,3,30,30 P(X = ) 0, 0, 0, 0,4 0, Calculer l'espérace et l'écart-type de la loi de probabilité de X. Pour simplifier les calculs, o défiit la variable aléatoire Y = 000X 300. La loi de probabilité de Y est alors : P(Y = ) 0, 0, 0, 0,4 0, Calculos l'espérace et la variace de la loi de probabilité de Y : E(Y) = -x0, + (-)x0, + x0,4 + x0, = 0, V(Y) = 0,x(- 0,) + 0,x(- 0,) + 0,x(0 0,) + 0,4x( 0,) + 0,x( 0,) =,69 O e déduit l'espérace et la variace de la loi de probabilité de X : E(Y) = E(000X 300) = 000 E(X) 300 Yva Moka Académie de Strasbourg

6 6 E(Y) ,+ 300 Doc : E(X) = = =, V(Y) = V(000X 300) = 000 V(X) Doc : V (X) = V (Y) 000 =, Et doc : σ ( X) =, =,3 000 = 0,003 Coclusio : E(X) =,300 cm et σ ( X) = 0,003 cm. Hors du cadre de la classe, aucue reproductio, même partielle, autres que celles prévues à l'article L -5 du code de la propriété itellectuelle, e peut être faite de ce site sas l'autorisatio expresse de l'auteur. Yva Moka Académie de Strasbourg

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