1) Forme réalisée par la jonction de deux arcs de courbes de Bézier : Tracé de C 2

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1 F-IRIS-06.te Courbes de Bézier ) Forme réalisée par la jonction de deu arcs de courbes de Bézier : Le plan est muni d un repère orthonormal O ; i, ) j unité graphique cm) On considère dans ce repère les points A ; 0), B ; ), M ; 0) et N ; 9). L objectif du problème est de relier les points O et A à l aide de deu courbes de Bézier C et C qui se raccordent en B. C est la courbe de Bézier définie à partir des points de définition A, M, N, B. C est une courbe de Bézier reliant O et B, ayant en B une tangente parallèle à l ae des ordonnées et en O une tangente qui a pour équation y = a) Justifier que la tangente en A à C est parallèle à l ae des abscisses. b) Justifier que les courbes C et C qui satisfont au conditions données admettent bien la même tangente au point B. Tracé de C { t) = t c) On considère la courbe définie par : t + yt) = t t pour t [0; ] + 0 Etudier les variations des deu fonctions et résumer les résultats dans un tableau. d) Montrer que la courbe ainsi définie passe par les points A et B et préciser les tangentes en ces points. On admettra que cette courbe est la courbe de Bézier C associée au points de définition A, M, N, B. e) Tracer C. La représentation graphique sera la plus précise possible. Tracé de C La courbe C satisfait au conditions de l introduction et est contrôlée par les trois points O, T et B f) Caractériser géométriquement le point T, et déterminer ses coordonnées. g) Construire les points M et M de C qui correspondent à t = 0, et t = 0, et donner l allure de la courbe C. ) Courbe de Bézier définie par points et polynômes de Bernstein Par définition, n étant un entier et k un entier inférieur ou égal à n, on appelle fonctions polynômes de Bernstein de degré n, les fonctions B k,n définies sur [0; ] par : B k,n t) = C k n t k t) n k a) Donner les epressions de ces polynômes lorsque n = sous forme de produit de polynômes du premier degré, puis sous forme développée et ordonnée. b) Résoudre chacune des équations B k, t) = 0 pour 0 k. Dans le plan muni d un repère orthonormal O ; i, ) j, on considère les points de contrôle : P 0 ; 0), P 0; ), P ; 0), P 0; ), P ; 0) et la courbe C ensemble des points M, y) tels que : OMt) = k=0 B k, t) OP k On prendra pour unité graphique cm sur chaque ae pour le tracé. / L A TEX ε

2 F-IRIS-06.te c) Soit les fonctions f et g définies pour pour 0 k par : { ft) = t t + gt) = 8t t + t Vérifier qu une représentation paramétrique de C est : { = ft) y = gt) d) Etudier les variations des fonctions f et g, et résumer les études dans un tableau commun. e) Montrer que les vecteurs P 0 P et P P sont des vecteurs directeurs des tangentes à la courbe au points correspondants au valeurs 0 et du paramètre t. f) Construire la courbe dans le repère orthonormal est parallèle à l un des aes du repère. O ; i, ), en précisant les points où la tangente ) Courbe de Bézier définie point par point avec les barycentres Le plan est muni d un repère orthonormal O ; i, ) j unité graphique cm) On considère la courbe de Bézier C de points de définition : P 0 ; ) ; P ; ) ; P ; ) Pour tout réel t tel que 0 k, on note G t) le barycentre des points pondérés P 0, t) et P, t), et G t) le barycentre des points pondérés P, t) et P, t). On rappelle que le barycentre Mt) des deu points pondérés G t), t) et G t), t) est un point de la courbe C et que la tangente à cette courbe au point Mt) est la droite G t)g t)). a) Placer les points G t), G t) et Mt) sur une même figure pour les valeurs suivantes de t : t = 0 ; t = ; t = ; t = ; t = ; t = ; t = b) En déduire l allure de la courbe C. On rappelle que la courbe de Bézier a pour représentation paramétrique : OMt) = k=0 C k t k k t) OP k avec 0 k c) Déterminer les coordonnées = ft) et y = gt) du point Mt). d) Étudier les variations des fonctions f et g, et résumer les études dans un tableau commun. e) Quelle information supplémentaire apporte le tableau de variation? f) Tracer la courbe C. / L A TEX ε

3 F-IRIS-06.te Courbes de Bézier Solutions) ) Forme réalisée par la jonction de deu arcs de courbes de Bézier : A ; 0), B ; ), M ; 0) et N ; 9) C est la courbe de Bézier définie à partir des points de définition A, M, N, B. C est une courbe de Bézier reliant O et B, ayant en B une tangente parallèle à l ae des ordonnées et en O une tangente qui a pour équation y = a) La tangente en A à C est le vecteur AM de coordonnées ; 0) qui est donc parallèle à l ae des abscisses. b) La tangente en B à C est le vecteur BN de coordonnées 0, ) qui est donc parallèle à l ae des ordonnées comme la tangente en B à C. Tracé de C c) C : { t) = t t + yt) = t t + 0 pour t [0; ] t 0 t) t) 0 y t) 0 yt) 0 y { t) = t = t )t + ) y t) = 6t 6t = 6t t + ) d) On constate que la courbe C passe bien : par le point A, pour t = 0 on a 0) = et y0) = 0 avec une tangente horizontale par le point B, pour t = on a ) = et y) = avec une tangente verticale e) Représentation graphique de C. 0 M A N B T O i Tracé de C La courbe C satisfait au conditions de l introduction et est contrôlée par les trois points O, T et B / 7 L A TEX ε

4 F-IRIS-06.te f) Caractérisation géométrique du point T : La droite OT est la droite d équation y = et la droite T B est la verticle d équation = donc, T est le point de coordonnées, ) g) Construire les points M et M de C qui correspondent à t = 0, et t = 0, et donner l allure de la courbe C. B B t = 0, t = 0, M T T M O i O i ) Courbe de Bézier définie par points et polynômes de Bernstein Par définition, n étant un entier et k un entier inférieur ou égal à n, on appelle fonctions polynômes de Bernstein de degré n, les fonctions B k,n définies sur [0; ] par : B k,n t) = C k n t k t) n k a) Epression des polynômes de Bernstein : B 0, t) = C 0 t 0 t) 0 = t) = t t + 6t t + B, t) = C t t) = t t) = t + t t + t B k, t) = C t t) = 6 t t) = 6t t + 6t B k, t) = C t t) = t t) = t + t B k, t) = C t t) = t = t b) Résoudre chacune des équations B k, t) = 0 pour 0 k. t) = 0 t = t t) = 0 t = 0 t = 6 t t) = 0 t = 0 t = t t) = 0 t = 0 t = t = 0 t = 0 Dans le plan muni d un repère orthonormal O ; i, ), on considère les points de contrôle : P 0 ; 0), P 0; ), P ; 0), P 0; ), P ; 0) et la courbe C ensemble des points M, y) tels que : OMt) = k=0 B k, t) OP k On prendra pour unité graphique cm sur chaque ae pour le tracé. / 7 L A TEX ε

5 F-IRIS-06.te c) Vérification de la représentation paramétrique de C : { = t) + t t) t t) ) + t t) 0 + t = t t + y = t) 0 + t t) + 6 t t) 0 + t t) ) + t 0 = 8t t + t d) Etude des variations des fonctions f et g. ft) = t t + gt) = 8t t + t donc : f t) = t = t ) g t) = t t + = t α)t β) avec : t 0 α / β t) 0 t) y t) yt) y α = 6 β = + 6 e) Les vecteurs P 0 P et P P sont des vecteurs directeurs des tangentes à la courbe au points correspondants au valeurs 0 et du paramètre t. Le vecteur P 0 P de coordonnées, ) de coefficient directeur correspont à t = 0 y 0) 0) Le vecteur P P de coordonnées, ) de coefficient directeur correspont à t = y ) ) = f) Courbe C. y P P O i P 0 = P P ) Courbe de Bézier définie point par point avec les barycentres Le plan est muni d un repère orthonormal O ; i, ) j unité graphique cm) On considère la courbe de Bézier C de points de définition : P 0 ; ) ; P ; ) ; P ; ) Pour tout réel t tel que 0 k, on note G t) le barycentre des points pondérés P 0, t) et P, t), et G t) le barycentre des points pondérés P, t) et P, t). On rappelle que le barycentre Mt) des deu points pondérés G t), t) et G t), t) est un point de la courbe C et que la tangente à cette courbe au point Mt) est la droite G t)g t)). / 7 L A TEX ε

6 F-IRIS-06.te a) Placer les points G t), G t) et Mt) sur une même figure pour les valeurs suivantes de t : t = 0 ; t = ; t = ; t = ; t = ; t = ; t = t 0 G t), ), ) 0, ), ), ), 7 ) ; ) G t), ), 7 ), ) 7, 7 ), ) 7, ) ; ) Mt), 0), 6 ), ), ), ) 7, 7 6 ) ; ) b) En déduire l allure de la courbe C. y P t = t = t = t = P t = O i P 0 c) Calcul des fonctions f et g. ft) = 6t gt) = 9t + t donc : f t) = 6 g t) = 8t + = 6 t + ) 6 / 7 L A TEX ε

7 F-IRIS-06.te d) Etude des variations des fonctions f et g. t 0 / t) 0 t) y t) yt) y e) Quelle information supplémentaire apporte le tableau de variation? On voit que pour t = f) Tracer la courbe C. on a un sommet de coordonnées, ). y P P O i P 0 7 / 7 L A TEX ε