Conduite circulaire en charge et à surface libre

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1 ACHOUR BACHIR Coduite circulaire e carge et à surface libre Partie II Ecoulemet uiforme à surface libre das ue coduite de forme circulaire Rael de cours et exemles d'alicatio Editios Al-Djazair

2 S O M M A I R E Ecoulemet uiforme à surface libre das ue coduite de forme circulaire 1. Itroductio. Caractéristiques ydrauliques et géométriques. Etude de l'écoulemet à coefficiet de résistace costat 1.1. Formule de Cézy.1.1. Courbe de remlissage de la coduite our C = costate.1.. Relatio arocée au calcul de la rofodeur ormale Trasformatio de la relatio η ( ) 11 Exemle d'alicatio.1. 1 Exemle d'alicatio Formule de Maig-Strickler Coductivité relative 0... Relatio arocée au calcul de la rofodeur ormale... Courbe de remlissage de la coduite our = costate..4. Trasformatio de la relatio η( ) 7 Exemle d'alicatio Etude de l Ecoulemet à coefficiet de résistace variable 4.1. Relatio géérale du coefficiet de résistace de Cézy Calcul du coefficiet de résistace de Cézy ar la métode du modèle rugueux (MMR) Exemle d'alicatio Coefficiet de résistace maximal de Cézy 40 Exemle d'alicatio Exressio du débit volume maximal 44 Exemle d'alicatio Relatio arocée de la rofodeur ormale 48 Exemle d'alicatio Exressio géérale du diamètre D Exemle d'alicatio.8. Exemle d'alicatio Exressio de la vitesse maximale V 7 Exemle d'alicatio Relatio géérale du coefficiet de Maig Calcul du coefficiet de Maig ar la MMR 68 Exemle d'alicatio II.. Calcul de la rofodeur ormale ar la métode du modèle rugueux 7 Exemle d alicatio.1. 7 II.6. Ecoulemet critique Débit relatif Relatio arocée de la rofodeur critique 79 Exemle d'alicatio Référeces Bibliograies

3 ECOULEMENT UNIFORME A SURFACE LIBRE DANS UNE CONDUITE DE FORME CIRCULAIRE 1. Itroductio L écoulemet uiforme e coduite circulaire se recotre souvet das de ombreux cas ratiques. La coduite circulaire est utilisée our l évacuatio des eaux das les domaies de l assaiissemet et de l améagemet. La figure.1 scématise l écoulemet uiforme de rofodeur ormale y das ue coduite circulaire de diamètre itere D. Afi de défiir la géométrie de l écoulemet das ue coduite circulaire artiellemet occuée, il a été itroduit le aramètre y / D, aelé aramètre de forme de la sectio mouillée ou raort d asect. A titre d exemle, la valeur 0, idique que l écoulemet occue la moitie de l aire de la coduite, tadis que la valeur 1sigifie que la coduite est etièremet remlie ar l écoulemet. Le aramètre de forme est souvet désigé sous le terme de taux de remlissage de la coduite. D y Figure.1 : Scéma de défiitio de l écoulemet uiforme e coduite circulaire L écoulemet uiforme à surface libre das les coduites et caaux artificiels est régi ar ciq aramètres : Le débit volume. La dimesio liéaire caractérisat la géométrie du caal. Das le cas de la coduite circulaire qui itéresse ce caitre, qu elle soit artiellemet occuée ar l écoulemet ou e carge, cette dimesio corresod au diamètre D. La ete logitudiale i du caal. 1

4 La rugosité absolue caractérisat l état de la aroi itere du caal. La viscosité ciématique du liquide e écoulemet. La bibliograie motre que l écoulemet uiforme est souvet abordé e ayat recours aux formules usuelles telles que celle de Cézy ou de Maig-Strickler. Celles-ci exrimet le débit volume et s écrivet resectivemet : CA R i (.1) 1 / A R i (.) Das les relatios (.1) et (.), les aramètres C,, A et R désiget resectivemet le coefficiet de résistace à l écoulemet de Cézy, le coefficiet de résistace à l écoulemet de Maig, l aire de la sectio mouillée de l écoulemet et le rayo ydraulique. Les valeurs des coefficiets de résistace à l écoulemet de Cézy et de Maig sot ijustemet cosidérées comme des costates, évaluées ar exériece, selo le cas étudié et la ature de la aroi du caal ou de la coduite. Ce sot des valeurs tabulées que l o eut cosulter das de ombreux ouvrages sécialisés. Nous verros das ce caitre que les coefficiets de résistace C et euvet être calculées de maière exlicite. Au regard de la forme des relatios (.1) et (.), il est bie utile de costater que l effet de la viscosité ciématique est as cosidéré, ce qui laisse suoser que ces relatios e sot alicables que our le cas de l écoulemet uiforme e régime turbulet rugueux. Les relatios (.1) et (.) doivet doc être utilisées avec récautio lorsque l écoulemet se situe das les domaies de trasitio, lisse ou ratiquemet lisse.. Caractéristiques ydrauliques et géométriques Les caractéristiques de la coduite circulaire artiellemet occuée ar l écoulemet sot, e articulier : i. L aire de la sectio mouillée A, telle que : D 1 A cos Il aaraît aisi que l aire de la sectio mouillée coduite et du taux de remlissage. (.) A est foctio du diamètre D de la

5 La relatio (.) eut s écrire : A où : D 4 ( ) ( ) (.4) ( ) cos cos ( ) 1 (.) (.6) Pour ue coduite circulaire etièremet remlie, corresodat à 1, ous ouvos déduire des relatios (.) et (.6) resectivemet que ( =1) = et ( 1) =1. ii. Le érimètre mouillé P, tel que : 1 P D cos 1 (.7) Ou bie : P D ( ) (.8) Le érimètre mouillé P est doc aussi foctio du diamètre D de la coduite et du taux de remlissage. iii. Le rayo ydraulique R A / P, qui s exrime, e ayat recours aux relatios (.4) et (.8), ar : R D ( ) 4 (.9). Etude de l écoulemet a coefficiet de résistace costat.1. Formule de Cézy Cosidéros la formule (.1) de Cézy. E ous aidat des relatios (.) et (.). Le débit volume s exrime alors ar : 1 ( ) ( ) 8 / C i D (.) E itroduisat la coductivité relative :

6 C D i (.11) la relatio (.) s écrit alors, e termes adimesioels : / 1 ( ) ( ) 8 (.1) La coductivité relative est doc foctio que du taux de remlissage. Pour le cas de la coduite circulaire etièremet remlie, corresodat à 1, la relatio (.1) mèe à écrire que : 0, 97 costate (.1) 8 où l idice " " désige l état lei de la coduite. Pour u même diamètre D, ue même ete logitudiale i et our C costate, le raort des relatios (.1) et (.1) doe : 1 / ( ) ( ) (.14) L u des roblèmes recotrés e ratique est la détermiatio de la rofodeur ormale y, à artir des valeurs coues des aramètres C,, D et i. Ce roblème eut trouver sa solutio das la résolutio de l équatio (.1), uisque la coductivité relative est ue doée dot la valeur est tirée de la relatio (.11). L objectif est doc de détermier la valeur du taux de remlissage qui ermettrait alors de déduire celle de la rofodeur ormale y D. Ceedat, au regard de la forme de la relatio (.1), il aaraît clairemet que le taux de remlissage est imlicite vis-à-vis de et que sa détermiatio écessiterait u rocédé itératif ou graique. Il s'agit doc de rooser ue solutio exlicite à la relatio (.1), ermettat de calculer, avec ue récisio suffisate, le taux de remlissage et ar coséquet la rofodeur ormale y. Cette démarce ourrait évetuellemet suggérer de réseter ue relatio, égalemet exlicite, au calcul de la rofodeur critique y c. Le dimesioemet de la coduite, c'est-à-dire le calcul de so diamètre D, est égalemet l u des objectifs riciaux de ce caitre. Le calcul du diamètre D écessite la coaissace des quatre autres aramètres régissat l écoulemet, c'est-à-dire le coefficiet C de Cézy, le débit 4

7 volume, la ete logitudiale i de la coduite et la viscosité ciématique du liquide e écoulemet. Comme le motre la relatio (.1), le calcul du diamètre D est as aisé. Cette relatio écessite quelques trasformatios et réarragemets our ermettre de réodre à otre objectif. Toutes les cosidératios que ous veos d exoser se raortet à la relatio (.1) et reoset sur le fait que le coefficiet de résistace C de Cézy demeure costat, quelle que soit la valeur du taux de remlissage. E d autres termes, le remlissage de la coduite, rovoqué ar l augmetatio du débit volume, s effectue à valeur costate du coefficiet C. Ceci mérite d être discuté et commeté du fait que la résistace à l écoulemet devrait e ricie être affectée ar les variatios de la rofodeur de l écoulemet. La relatio (.1) doit doc faire l objet d ue étude articulière. Il serait aisi itéressat d examier la courbe de remlissage de la coduite / our C costat et C variable. L étude des courbes de remlissage de la coduite our C costate et C variable devrait coduire aux relatios du débit maximal, corresodat à la caacité d évacuatio de la coduite. Cette étude devra mettre e évidece l ifluece de la viscosité ciématique aisi que celle de la résistace à l écoulemet sur la valeur du taux de remlissage, otammet au assage du débit maximal. L étude de l écoulemet uiforme e coduite circulaire devra être octuée ar des alicatios ratiques. Celles-ci ermettrot au lecteur de mieux aréeder les relatios roosées et d arécier le degré de leur validité et de leur efficacité Courbe de remlissage de la coduite our C costate La courbe de remlissage de la coduite, our ue valeur costate du coefficiet de résistace à l écoulemet C de Cézy, se traduit ar la variatio du taux de remlissage / défii ar la relatio (.14). E doat des valeurs à, arbitrairemet coisies etre 0 et 1, la relatio (.14) a ermis de dresser le tableau.1. Il ressort de ce tableau que : i. le raort / augmete das u remier tems avec l accroissemet du taux de remlissage et atteit la valeur maximale / 1,004186, idiquée e gras das le tableau.1, our u taux de remlissage 0, 9. La caacité d évacuatio de la coduite corresod doc au débit maximal égal à eviro 1,0 fois le débit de remlissage. Au-delà de sa valeur maximale, le raort / dimiue avec

8 l accroissemet du taux de remlissage et atteit la valeur / 1our le taux de remlissage 1. Notos égalemet la valeur articulière 0,84, idiquée e gras das le tableau.1, à laquelle corresod, sas aucue justificatio ysique, le raort / 1. ii. Pour le taux de remlissage 0,, idiqué e gras das le tableau.1, le débit vaut la moitié du débit de remlissage. Tableau.1 : Valeurs de / our C costate, calculées selo la relatio (.14). y / D / 0, 0,06 0,1 0,0714 0,0 0, , 0, ,0 0, , 0, ,40 0,4777 0,4 0, ,0 0,0 0, 0, ,60 0, ,6 0, ,70 0, ,7 0, ,80 0, ,8 0, ,84 1 0,90 1, ,9 1, ,96 1, ,97 1, ,98 1, ,99 1, Les observatios ci-dessus idiquées sot traduites graiquemet das le système d axes de coordoées à divisios cartésiees de la figure.. 6

9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0,4 0, 0, 0,1 0 y / D C costate / 0 0,1 0, 0, 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 Figure. : Rerésetatio graique de / y D our le coefficiet de Cézy C costate, selo les valeurs du tableau.1 calculées ar la relatio (.14). Das la large gamme ratique 0,1 0, 7, corresodat à 0, 07 / 0,887, les calculs motret que le taux de remlissage / maière exlicite ar la relatio : de la coduite eut s exrimer de si 0, , (.1) Les écarts relatifs occasioés ar l alicatio de la relatio arocée (.1) sot cosigés das le tableau.. Nous ouvos observer d ue art que l erreur relative maximale reste das tous les cas iférieure à 0,4% et que les lus grads écarts sot obteus our les valeurs extrêmes de la gamme coisie de d autre art, valeurs idiquées e gras das le tableau.. 7

10 Tableau. : Ecarts relatifs e (%) occasioés ar la relatio arocée (.1) de la coduite. sur le calcul du taux de remlissage / y / D / ( y / D) arocé Ecarts relatifs (%) 0,1 0,0714 0, , 0,0 0, , ,04 0, 0, , ,01 0,0 0, , ,0 0, 0, , , 0,40 0,4777 0, ,14 0,4 0, , ,1 0,0 0, 0, ,1 0, 0, , ,08 0,60 0, , ,0 0,6 0, , ,14 0,70 0, , ,8 0,7 0, , ,8.1.. Relatio arocée au calcul de la rofodeur ormale Il s'agit d établir ue relatio arocée suscetible de meer à u calcul exlicite de la rofodeur ormale y, our les valeurs coues des aramètres C,, D et i, et ar coséquet de celle de la coductivité relative. La relatio sera établie das la large gamme ratique 0,1 0,8 et devra être aliquée lorsque le coefficiet de résistace à l écoulemet C de Cézy est ue costate, idéedate de la variatio du taux de remlissage de la coduite. Avat d établir cette relatio, il est utile de oter que : (.16) La coductivité relative est foctio du taux de remlissage coformémet à la relatio (.1). E faisat varier le taux de remlissage das la gamme 0 1, la relatio (.1) a ermis de dresser le tableau.. Il ressort du tableau. que la coductivité relative augmete avec l accroissemet du taux de remlissage jusqu à la valeur maximale 0, 41, idiquée e gras das le tableau, corresodat à 0, 9. Au-delà de sa valeur maximale, dimiue avec l augmetatio du taux de remlissage. A l état de remlissage, corresodat à 1, la coductivité relative red la valeur 0, 97. 8

11 Tableau. : Valeurs de y / D calculées selo la relatio (.1). / / 0,1 0,019 0, ,0 0,088 0, , 0, ,148 0,0 0, , , 0, ,6141 0,40 0,1780 0, ,4 0, , ,0 0, , , 0, ,069 0,60 0,996 0, ,6 0, ,7061 0,70 0, , ,7 0, ,8414 0,80 0,7101 0, ,8 0, , ,90 0, ,9846 0,9 0, ,97 0,409 0, , ,90071 Les valeurs cosigées das le tableau. ot ermis de tracer, sur la figure., la variatio. Das le tableau., ot été aussi cosigées les valeurs de / qui corresodet égalemet aux valeurs du raort /, coformémet à la relatio (.1). 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0,4 0, 0, 0,1 0 y / D 0 0,1 0, 0, 0,4 0, Figure. : Rerésetatio graique de y D, selo la relatio (.1). 9

12 Das la gamme ratique 0,1 0,8, corresodat à 0, 0 0, 9, les calculs ot motré que le taux de remlissage de la coduite ouvait s exrimer, avec ue erreur relative maximale iférieure à 0,4% seulemet (Tableau.4), ar la relatio : si 1, 11 0, (.17) Tableau.4 : Ecarts relatifs e (%) occasioés ar la relatio arocée (.17) sur le calcul du taux de remlissage de la coduite. y / D ( y / D ) Ecarts (%) arocé 0,1 0,019 0, , 0,0 0,088 0, ,04 0, 0, , ,0 0,0 0, , ,0 0, 0, , , 0,40 0,1780 0, ,14 0,4 0, , ,16 0,0 0, , ,14 0, 0, ,4998 0,08 0,60 0,996 0, ,01 0,6 0, , ,1 0,70 0, , ,7 0,7 0, ,7786 0,7 0,77 0,971 0, ,8 0,8 0,7101 0, , 0,8 0,8664 0, , 0,8 0, , ,0 relatifs De même, das la gamme ratique 0,1 0,8, corresodat à 0, 046 / 0, 9, les calculs ot motré que le taux de remlissage / de la coduite ouvait s exrimer, avec ue erreur relative maximale iférieure à 0,% seulemet (Tableau.), ar la relatio : si 0, , (.18)

13 Tableau. : Ecarts relatifs e (%) occasioés ar la relatio arocée (.18) / de la coduite. sur le calcul du taux de remlissage y / D / ( y / D) arocé Ecarts relatifs e (%) 0,1 0, , , 0,0 0, , ,07 0, 0,148 0, ,04 0,0 0, , ,08 0, 0,6141 0,4988 0,1 0,40 0, , ,17 0,4 0, , ,19 0,0 0, , ,17 0, 0,069 0,4971 0,1 0,60 0, , ,0 0,6 0,7061 0, , 0,70 0, , , 0,7 0,8414 0, , 0,80 0, , ,0 0,8 0, , ,18 0,8 0, , , Trasformatio de la relatio La relatio (.1), traduisat la variatio coductivité relative raortée à la rofodeur ormale, eut être trasformée e itroduisat la y : y C i y (.19) Notos que : / y (.0) E ayat recours à la relatio (.0), la relatio (.1) s écrit alors : 1 / ( ) ( ) y 8 / (.1) La coductivité relatio variatio y e déed doc que du taux de remlissage de la coduite et la y est rerésetée graiquemet, e trait discotiu, sur la figure.4. Celle-ci motre que la coductivité relative y augmete lorsque le taux de remlissage dimiue. La 11

14 relatio (.1) est itéressate das la mesure où elle ermettrait la détermiatio du taux de remlissage, et doc celle du diamètre D de la coduite, our les valeurs imosées des aramètres C, i, et y. Ceci reviet doc à recercer le diamètre D our la valeur imosée de la coductivité relative y. Pour l état lei de la coduite, corresodat à 1 ou à ( =1) = et ( 1) =1, la relatio (.1) coduit à écrire que / 8 0, 97. Aisi, our le taux de remlissage 1, la coductivité relative doit être telle que 0, 97. y. Ue relatio arocée de y Ceedat, la relatio (.1) motre clairemet que le taux de remlissage est imlicite vis-à- vis de la coductivité relative y calculs ot motré que : y y a été recercée et les 1, , 4 0, 44 y y 1 0, 40 y (.) La relatio arocée (.) est alicable das la gamme 0,1 0, 90, et occasioe ue erreur relative maximale iférieure à 0,4% seulemet. La relatio (.) a été égalemet rerésetée sur la figure.4 e motifs lei et les écarts relatifs qu elle occasioe das la large gamme 0, 0, 90 sot cosigés das le tableau.6. Nous ouvos aisi observer que les écarts relatifs sot extrêmemet faibles das la gamme coisie de, ermettat alors de coclure à la fiabilité de la relatio arocée (.). Notos que les lus grads écarts relatifs sot obteus our les valeurs extrêmes de la gamme de, idiquées e gras das le tableau.6. 0,8 0,7 0,6 0, 0,4 0, 0, 0,1 y 0, 1 1,, Figure.4 : Variatio du taux de remlissage e foctio de la coductivité relative y. (- - -) : Relatio (.1), ( ) : Relatio arocée (.). 1

15 Tableau.6 : Ecarts relatifs e (%) occasioés ar la relatio arocée (.) y sur le calcul du taux de remlissage y / D y ( y / D) arocé de la coduite. Ecarts relatifs e (%) 0,, , ,19 0,1,8868 0, ,07 0,0, , ,044 0, 1, , ,086 0,0 1, , , 0, 1, ,0918 0,097 0,40 1, , ,07 0,4 1, , ,0 0,0 1,1707 0, ,019 0, 1, , ,07 0,60 0, ,9904 0,1 0,6 0, , ,176 0,70 0, , ,0 0,7 0, , ,194 0,80 0, , ,1 0,8 0, , ,04 0,90 0, , , Exemle d alicatio.1 O souaite détermier la rofodeur ormale y de l écoulemet das ue coduite circulaire de diamètre D m, écoulat u débit volume 0, 98 m / s sous ue ete logitudiale i 4 0,. Le coefficiet de résistace à l écoulemet de Cézy est C 88 m / s. i. Vérifios que la coductivité relative de la coduite est bie iférieure à la coductivité relative maximale 0, : Selo la relatio (.11), la coductivité relative de la coduite est ar défiitio : 0, 98 0, C D i 88 ii. L alicatio de la relatio arocée (.17) ermet de déduire que le taux de remlissage de la coduite est : 11 si 1, 1 0, 1

16 Soit : 11 si 1 1, 0, , 0, , 0 La coduite cosidérée est doc à moitié remlie. iii. Par suite, la rofodeur ormale de l écoulemet est : y D 0, , m 1m iv. Au cours de cette étae, vérifios os calculs e détermiat le débit volume ar la formule de Cézy. Selo Cézy, le débit volume est doé ar la relatio (.1), soit : CA R i Selo les relatios (.) et (.6), les foctios ( ) et ( ) reet resectivemet la valeur : ( ) cos 1 cos 1,, 1 cos ( ) 1 1 cos 1 0, , , , , L aire de la sectio mouillée A est, selo la relatio (.4) : D A ( ) ( ) = 1, , , m 4 4 Le rayo ydraulique R est doé ar la relatio (.9), soit : D R ( ) 1, , m 0, m 4 4 Le débit volume serait doc, selo Cézy : 14

17 4 CA R i 881, , , m / s L écart relatif etre le débit volume que ous veos de calculer et celui doé à l éocé de l exemle d alicatio cosidéré est iférieur à 0,% seulemet. Ceci ermet de coclure à la validité des calculs que ous avos effectués. v. La vérificatio des calculs aurait u être effectuée e détermiat le taux de remlissage / ar alicatio de la relatio (.1), soit : si 0, , ou bie : 11-1 si 0, 98 0, Das cette derière relatio, le raort / est / /, où / 8 coformémet à la relatio (.1). Aisi : / 0, / / 8 0, Par suite : , si 0, 980, , , 0 Il s agit bie de la valeur du taux de remlissage calculée à l étae (ii). vi. La relatio (.18) eut égalemet servir à la vérificatio des calculs, soit : si 0, 96 ou bie : 11 0, 1

18 11 1 si 0, 96 0, Das cette relatio, le raort / est tel que / 0, coformémet au tableau.. Aisi : /, où 0, , si 0, 96 0, , 0 0, Il s agit, bie ecore ue fois, de la même valeur du taux de remlissage calculée à l étae (ii). vii. Utilisat la relatio arocée (.) our évaluer le taux de remlissage y coductivité relative est, selo la relatio (.19) : y. La 0, 98 1, y C i y , Aisi, le taux de remlissage corresodat à cette coductivité relative est, coformémet à la relatio (.) : y 1 0, 40 y , , 0,,,,,,,, 1 0, 40 1, y Nous retrouvos bie, avec u écart relatif de 0,% seulemet, la valeur de calculée à l étae (ii). 16

19 Exemle d alicatio. O souaite détermier le diamètre D d ue coduite circulaire das laquelle l écoulemet est maiteu à la rofodeur ormale y 1, 08 m. La coduite écoule u débit volume sous ue ete logitudiale i. 1, 89 m / s 0, l écoulemet de Cézy est C 7 m / s. 4. Le coefficiet de résistace à i. Calculos la coductivité relative de la coduite selo la relatio (.19), soit : y y 1,89 0, , 9 C y 4 i 7. 1, 08 ii. La relatio arocée (.) ermet alors de détermier le taux de remlissage y, soit : 1, , 4 0, 44 y y 1 0, 40 y Ou bie : 1, , 4 0, , 44 0, , , , 40 0, iii. Le diamètre recercé est ar suite : y 1, 08 D 1, 8 m 0, 6 iv. Vérifios, our le diamètre D aisi calculé, que la coductivité relative est bie iférieure à la coductivité relative maximale 0, : Selo la relatio (.11), est : 1,89 0, 996 0, 6 4 C D i 7 1,8. 17

20 v. Vérifios os calculs au cours de cette étae. L alicatio de la relatio arocée (.17) ermet de déduire que le taux de remlissage de la coduite est : 11 si 1, 1 0, Soit : 11 si 1 1, 0, 996 0, 0, , 60 Il s agit bie de la valeur du taux de remlissage calculé à l étae (ii). vi. La vérificatio des calculs aurait u être effectuée e calculat le taux de remlissage / ar alicatio de la relatio (.1), soit : si 0, , ou bie : 11-1 si 0, 98 0, Das cette derière relatio, le raort / est / /, où / 8 coformémet à la relatio (.1). Aisi : / 0, 996 / / 8 0, Par suite : , si 0, 98 0, , 600 0, 60 Il s agit bie de la valeur du taux de remlissage calculée à l étae (ii). vii. La relatio (.18) eut égalemet servir à la vérificatio des calculs, soit : 18

21 si 0, , ou bie : 11 1 si 0, 96 0, Das cette relatio, le raort / coformémet au tableau.. Aisi : est / /, où 0, , , 996 si 0, 96 0, , 60 0, Il s agit bie ecore ue fois de la même valeur du taux de remlissage calculée à l étae (ii). viii. Vérifios ue derière fois os calculs e détermiat le débit volume ar la formule de Cézy. Selo Cézy, le débit volume est doé ar la relatio (.1), soit : CA R i Selo les relatios (.) et (.6), les foctios ( ) et ( ) reet resectivemet la valeur : ( ) cos 1 cos 1,, ,6 0,6 1 0,6 ( ) 1 1 1, cos 1 cos 1 0, 6 L aire de la sectio mouillée A est, selo la relatio (.4) : 1 8 A D ( ) ( ) =, 1, 77141, , m 4 4 Le rayo ydraulique R est doé ar la relatio (.9), soit : 19

22 D 1,8 R ( ) 1,1768 0, m 0, m 4 4 Le débit volume serait doc, selo Cézy : 1,890 m / s 4 71, ,. 1, m / CA R i s Il s agit bie du débit volume doé à l éocé de l exemle d alicatio cosidéré... Formule de Maig-Strickler II...1. Coductivité relative E ayat recours aux relatios (.4) et (.9), la relatio (.) de Maig-Strickler ermet d écrire que : 1 ( ) / ( D ) 4 8/ / i (.) E itroduisat la coductivité relative : 8/ D i (.4) la relatio (.) s écrit alors, e termes adimesioels : / / 4 ( ) ( ) (.) La relatio (.) traduit aisi la variatio de la coductivité relative de la coduite e foctio du taux de remlissage. Pour le cas articulier de la coduite à l état lei, corresodat à la valeur 1 et à, la relatio (.) ermet de déduire que : 0, 117 = costate (.6) / 4 Comarée à la valeur de obteue ar alicatio de la relatio de Cézy (relatio.1), celle 0

23 doée ar la relatio de Maig-Strickler est doc lus faible. L écart relatif etre les deux valeurs est de l ordre de 0,%. Les valeurs de calculées selo la relatio (.) sot cosigées das le tableau.7 et elles ot ermis le tracé de la figure.. E outre, ous avos égalemet orté das le tableau.7 les valeurs de / qui corresodet à celles de /, coformémet à la relatio (.16). Les valeurs du tableau.7 aisi que la figure. suggèret les observatios suivates : i. La coductivité relative de la coduite augmete das u remier tems avec l accroissemet du taux de remlissage et atteit la valeur maximale 0,, idiquée e gras das le tableau.7, our le taux de remlissage 0,94. La coductivité maximale de la coduite est doc as atteite à l état lei, mais seulemet à 94% de cet état. ii. Au-delà de sa valeur maximale, la coductivité relative de la coduite dimiue avec l accroissemet du taux de remlissage et atteit la valeur 0, 117 our le taux de remlissage 1. iii. Lorsque la coduite est à moitié remlie, corresodat au taux de remlissage 0, idiqué e gras das le tableau.7, la coductivité relative est 0,16. 1

24 Tableau.7 : Valeur de y / D calculées selo la relatio (.). / / 0, 0, , ,1 0, , ,0 0, ,0814 0, 0, , ,0 0,0677 0, , 0, , ,40 0,0419 0, ,4 0,1986 0,8746 0,0 0, , , 0, ,440 0,60 0, , ,6 0,7611 0, ,70 0, , ,7 0, ,8477 0,80 0,0466 0, ,8 0, , ,90 0,1944 0, ,94 0,76 1 0,9 0,4969 0, ,97 0, , , , ,9 0,8 0,7 0,6 0, 0,4 0, 0, 0,1 0 y / D 0 0,0 0,1 0,1 0, 0, 0, 0, 0,4 Figure. : Courbe de variatio du taux de remlissage de la coduite circulaire e foctio de la coductivité relative, selo les valeurs du tableau.7 calculées ar la relatio (.). y D... Relatio arocée au calcul de la rofodeur ormale La détermiatio de la rofodeur ormale y de l écoulemet asse ar l estimatio du taux de remlissage de la coduite, our les aramètres cous,, D et i, et ar coséquet de la coductivité relative. Ceedat, la relatio (.) motre que est imlicite vis-à-vis de et sa détermiatio écessite u rocédé itératif ou graique.

25 Il s'agit doc d'établir ue relatio arocée exlicite au calcul du taux de remlissage de la coduite, imliquat aisi celui de la rofodeur ormale y de l écoulemet. L ue des aroces cosiste à recercer la meilleure courbe de tedace de la variatio calcul a motré que la relatio (.) ouvait être remlacée, avec ue excellete aroximatio, ar la relatio exlicite suivate :. Le si 1, ,48 (.7) La relatio (.7) a été établie das la large gamme ratique 0,1 0,7, corresodat à 0, 01 0, 84. Le tableau.8 motre les écarts relatifs occasioés ar la relatio (.7) sur le calcul du taux de remlissage de la coduite. Au regard des écarts relatifs réduits aisi obteus, ous ouvos coclure que la relatio (.7) est ue excellete relatio arocée exlicite. Notos que les lus grads écarts relatifs corresodet aux valeurs extrêmes de la gamme cosidérée de, idiquées e gras das le tableau.8. Tableau.8 : Ecarts relatifs e (%) occasioés ar la relatio arocée (.7) de la coduite. sur le calcul du taux de remlissage y / D ( y / D ) Ecarts e (%) arocé 0,1 0, , ,48 0,0 0, , , 0, 0, , ,06 0,0 0,0677 0, ,11 0, 0, ,0746 0,11 0,40 0,0419 0, ,09 0,4 0,1986 0, ,07 0,0 0, , ,06 0, 0, ,0186 0,06 0,60 0, , ,06 0,6 0,7611 0, ,06 0,70 0, , ,00 0,7 0, , ,16 relatifs Ue secode aroce eut être égalemet adotée our établir ue relatio exlicite au calcul de la rofodeur ormale y de l écoulemet. Cette aroce cosiste à recercer la meilleure courbe de tedace de la variatio du taux de remlissage / ratique 0,1 0, 7, corresodat à 0, 04 / 0, 8477 (Tableau.7). das la gamme

26 Le raort etre les valeurs de doées ar la relatio (.) et la valeur 0, doée ar le tableau.7, ermet de déduire que : / ( ) ( ), 79 (.8) Les calculs ot motré que le taux de remlissage / de la coduite ouvait s exrimer, avec ue erreur relative maximale iférieure à 0,% seulemet (Tableau.9), ar la relatio : si 0, ,48 (.9) Le tableau.9 regroue les valeurs de y / D calculées selo la relatio (.8) aisi que celles de ( y / D) détermiées ar alicatio de la relatio arocée (.9). Les arocé écarts relatifs etre ces valeurs, our la gamme coisie 0,1 0, 7, ot été égalemet cosigés das le tableau.9. Au regard de ces écarts réduits, ous ouvos coclure à la fiabilité de la relatio arocée (.9). Notos (Tableau.9) que les lus grads écarts relatifs occasioés ar la relatio arocée (.9) s obtieet our les valeurs extrêmes de la gamme coisie de, idiquées e gras das le tableau. Tableau.9 : Ecarts relatifs e (%) occasioés ar la relatio arocée (.9) / de la coduite. sur le calcul du taux de remlissage y / D / ( y / D) arocé Ecarts relatifs e (%) 0,1 0, , ,48 0,0 0,0814 0, , 0, 0, ,0141 0,06 0,0 0, ,0068 0,11 0, 0, ,078 0,11 0,40 0, , ,09 0,4 0,8746 0,401 0,07 0,0 0, ,0090 0,06 0, 0,440 0,0074 0,06 0,60 0, , ,06 0,6 0, , ,06 0,70 0, , ,00 0,7 0,8477 0, ,4 4

27 II... Courbe de remlissage de la coduite our costate La courbe de remlissage de la coduite, our ue valeur costate du coefficiet de résistace à l écoulemet de Maig, se traduit ar la variatio du taux de remlissage /. Celui-ci eut être défii ar le raort des relatios (.) et (.6) qui mèe à écrire que, our u même diamètre D, la même ete logitudiale i de la coduite et la même valeur du coefficiet de résistace à l écoulemet : 1 / ( ) ( ) (.0) E doat des valeurs à, arbitrairemet coisies etre 0 et 1, la relatio (.0) a ermis de dresser le tableau. aisi que le tracé de la figure.6. Il ressort du tableau. que : i. le raort / augmete das u remier tems avec l accroissemet du taux de remlissage et atteit la valeur maximale / 1, , idiquée e gras das le tableau., our u taux de remlissage 0, 94. La caacité d évacuatio de la coduite corresod doc au débit maximal égal à eviro 1,076 fois le débit de remlissage. Au-delà de sa valeur maximale, le raort / dimiue avec l accroissemet du taux de remlissage et atteit la valeur / 1our le taux de remlissage 1. Notos égalemet la valeur articulière 0,84, idiquée e gras das le tableau., à laquelle corresod, sas aucue justificatio ysique, le raort / 1. ii. our le taux de remlissage 0,, idiqué e gras das le tableau., le débit volume vaut la moitié du débit volume de remlissage.

28 Tableau. : Valeurs de / 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0,4 0, 0, 0,1 0 y / D our costate, calculées selo la relatio (.0). y / D / 0, 0, ,1 0, ,0 0, , 0, ,0 0, , 0, ,40 0, ,4 0, ,0 0, 0, 0,879 0,60 0, ,6 0, ,70 0, ,7 0, ,80 0, , ,8 1, ,90 1, ,94 1, ,9 1, ,96 1,0717 0,97 1, ,98 1, ,99 1, costate / 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, Figure.6 : Rerésetatio graique de / y D our le coefficiet de Maig costate, selo les valeurs du tableau. calculées ar la relatio (.0). Das la large gamme ratique 0, 1 0, 7, corresodat à 0, 0486 / 0, 91, les calculs ot motré que la meilleure courbe de tedace de / se traduit ar la relatio : 6

29 si 0, , 48 (.1) L erreur relative maximale occasioée ar la relatio arocée (.1) est, das tous les cas, iférieure à 0,% (Tableau.11). Les lus grads écarts relatifs sot observés our les valeurs extrêmes de la gamme coisie de, idiquées e gras das le tableau.11. Au regard des écarts relatifs réduits idiqués das le tableau.11, ous ouvos aisémet coclure à la fiabilité de la relatio arocée (.1). Tableau.11 : Ecarts relatifs e (%) occasioés ar la relatio arocée (.1) sur le calcul du taux de remlissage / de la coduite. y / D / ( y / D) arocé Ecarts relatifs (%) 0,1 0, , ,48 0,0 0, , , 0, 0, ,0149 0,06 0,0 0, , ,11 0, 0, ,086 0,11 0,40 0, , ,09 0,4 0, ,404 0,07 0,0 0, 0, ,06 0, 0,879 0,0998 0,06 0,60 0, , ,07 0,6 0, ,6094 0,06 0,70 0, , ,01 0,7 0, , , Trasformatio de la relatio La relatio (.), traduisat la variatio coductivité relative raortée à la rofodeur ormale, eut être trasformée e itroduisat la y : y y 8/ i (.) Notos que, comte teu de la relatio (.4) : 8/ y (.) E ayat recours à la relatio (.), la relatio (.) s écrit alors : 7

30 y / / 8/ 4 ( ) ( ) (.4) La coductivité relatio variatio e déed doc que du taux de remlissage de la coduite et la y est rerésetée graiquemet, e trait discotiu, sur la figure.7. Celle-ci motre que la coductivité relative y augmete lorsque le taux de remlissage dimiue. La relatio (.4) est itéressate das la mesure où elle eut ermettre la détermiatio du taux de remlissage, et doc celle du diamètre D de la coduite, our les valeurs imosées des aramètres, i, et y. Le roblème reviet doc à recercer le diamètre D our la valeur imosée de la coductivité relative y. Ceedat, la relatio (.4) motre que le taux de remlissage est imlicite vis-à-vis de la coductivité relative y et ue relatio arocée a été recercée. Les calculs ot motré que la relatio y admet our relatio arocée : 1, , 468 0, 609 y y 1 0, 1 y (.) La relatio (.) a été égalemet rerésetée sur la figure.7 e motifs lei et les écarts relatifs qu elle occasioe das la large gamme ratique 0, 01 0, 7, corresodat y à 0, 61,11, sot cosigés das le tableau.1. Nous ouvos aisi observer que les écarts relatifs sot extrêmemet faibles das la gamme coisie de, ermettat alors de coclure à la fiabilité de la relatio arocée (.). Notos que le lus grad écart relatif est obteu our la lus faible valeur de la gamme de, idiquée e gras das le tableau.1. 0,8 0,7 0,6 0, 0,4 0, 0, 0,1 0 y 0, 1 1,, Figure.7 : Variatio du taux de remlissage e foctio de la coductivité relative y. (- - -) : Relatio (.0), ( ) : Relatio arocée (.). 8

31 Tableau.1 : Ecarts relatifs e (%) occasioés ar la relatio arocée (.) sur le calcul y / D du taux de remlissage y y de la coduite. ( y / D) arocé Ecarts relatifs e (%) 0,01,1107 0, , 0,1,8088 0, ,01 0,0 1,9914 0, ,0 0, 1, , ,07 0,0 1,18 0,0018 0,07 0, 1, ,0071 0,06 0,40 1, , ,04 0,4 1, , ,01 0,0 0, , ,0 0, 0, , ,0 0,60 0, , ,06 0,6 0,746 0, ,06 0,70 0, , ,0 0,7 0,61 0, ,06 Exemle d alicatio. O souaite détermier la rofodeur ormale de l écoulemet das ue coduite circulaire de diamètre D 1, 8 m, écoulat u débit volume 1, 89 m / s sous ue ete 4 logitudiale i.. Le coefficiet de résistace à l écoulemet de Maig 1/ est 0, 0148 m s. i. Vérifios que la coductivité relative de la coduite est bie iférieure à la coductivité relative maximale 0, : Selo la relatio (.4), la coductivité relative de la coduite est ar défiitio : 0, 01481,89 0, , 61 8/ 8/ 4 D i 1,8. ii. L alicatio de la relatio arocée (.7) ermet de déduire que le taux de remlissage de la coduite est : Soit : 11 si 1, ,48 9

32 11 si 1 1, 614 0, ,48 0, , 70 iii. Par suite, la rofodeur ormale de l écoulemet est : y D 0, , 8 1, m 1, 6 m iv. Au cours de cette étae, vérifios os calculs e détermiat le débit volume ar la formule de Maig-Strickler. Selo Maig-Strickler, le débit volume est doé ar la relatio (.) : 1 / A R i Selo les relatios (.) et (.6), les foctios ( ) et ( ) reet resectivemet la valeur : ( ) cos 1 cos 1,, ,7 0,6 1 0, 7 ( ) 1 1 1, cos 1 cos 1 0, 7 L aire de la sectio mouillée A est, selo la relatio (.4) : 1 8 A D ( ) ( ) =, 1, , , m 4 4 Le rayo ydraulique R est doé ar la relatio (.9), soit : R D 1,8 ( ) 1, , m 4 4 Le débit volume serait doc, selo Maig : 1 1 A R i 0, , 89071m / / 4 1, ,. / s 1,89 m / s 0

33 Le débit volume que ous veos de calculer corresod bie à celui doé à l éocé de l exemle d alicatio cosidéré. Ceci ermet de coclure à la validité des calculs que ous avos effectués. v. La vérificatio des calculs aurait u être effectuée e détermiat le taux de remlissage / ar alicatio de la relatio (.1), soit : si 0, , 48 ou bie : 11-1 si 0, 917 0, 48 Das cette derière relatio, le raort / est / /, où 0, 117 coformémet à la relatio (.6). Aisi : / 4 / / 0, / 0, Par suite : , 48 si 0, 917 0, , , 70 Il s agit bie de la valeur du taux de remlissage calculée à l étae (ii). vi. La relatio (.9) eut égalemet servir à la vérificatio des calculs, soit : si 0, ,48, ou bie : 11 1 si 0, 9 0,48 Das cette relatio, / tableau.7. Aisi : /, où 0, 76 coformémet au 1

34 0, , si 0, 9 0, , 70 0, 76 Il s agit bie ecore ue fois de la même valeur du taux de remlissage calculée à l étae (ii). vii. Utilisat la relatio arocée (.) our évaluer le taux de remlissage y coductivité relative est, selo la relatio (.) : y. La 0, 01481,89 y 0, 6794 y i 8/ 8/ 4 1, Aisi, le taux de remlissage corresodat à cette coductivité relative est, coformémet à la relatio (.) : 1, , 468 0, 609 y y 1 0, 1 y ,,,,, 1 0, 1 0, , , 70 Nous retrouvos bie la valeur de calculée à l étae (ii). 4. Etude de l écoulemet à coefficiet de résistace variable Il est tout à fait justifié d admettre que, our ue même coduite, le coefficiet de résistace à l écoulemet varie e foctio du taux de remlissage. Ceci serait valable aussi bie our le coefficiet de résistace C de Cézy que our le coefficiet de Maig. E ratique, lorsqu il s agit de dimesioer ue coduite circulaire à écoulemet libre, les aramètres cous sot le débit volume, la ete logitudiale i de la coduite, la rugosité absolue caractérisat l état de la aroi itere de la coduite, le taux de remlissage et la viscosité ciématique du liquide e écoulemet. Notos que i le coefficiet de résistace de Cézy, i celui de Maig e costitue ue doée du roblème. Lorsque l ue ou l autre des formules de Cézy et de Maig doit être utilisée our dimesioer la coduite, il sera alors écessaire de détermier la valeur de C ou celle de. Ceci costitue l u des objectifs riciaux de cette artie du caitre.

35 4.1. Relatio géérale du coefficiet de résistace de Cézy Pour mettre e évidece la variatio du coefficiet C de Cézy e foctio de tous les aramètres régissat l écoulemet, la formule de Acour et Bedjaoui (006) est d ue grade utilité. Cette relatio, alicable à tous les rofils géométriques, a été établie das le domaie etier de l écoulemet turbulet eglobat aisi les régimes d écoulemet turbulet lisse, de trasitio et turbulet rugueux. Selo Acour et Bedjaoui (006), le débit volume s exrime ar :, 04 4 g A R i log 14, 8R R (.6) où est la rugosité absolue caractérisat l état de la aroi itere de la coduite et R est u ombre de Reyolds que l o eut exrimer ar la relatio : R g i R (.7) Pour ue coduite circulaire e carge de diamètre est R D / 4, la relatio (.7) deviet alors : D et dot le rayo ydraulique R 4 g i D (.8) où l idice désige l état lei de la coduite. E comarat les relatios (.1) et (.6), il aaraît clairemet que le coefficiet C de Cézy est tel que :, 04 C 4 g log 14, 8R R (.9) ou bie, e termes adimesioels : C, 04 4 log g 14, 8R R (.40) Teat comte de la relatio (.9), la relatio (.9) motre bie que le coefficiet de résistace C de Cézy déed à la fois de la rugosité relative / D, du taux de remlissage et d u ombre de Reyolds R, lui-même foctio de la ete i, du diamètre D de la coduite, de et

36 de la viscosité ciématique du liquide e écoulemet. Nous ouvos doc écrire la relatio foctioelle suivate : C D,,i,, 0 (.41) Teat comte de la relatio (.9), la relatio (.7) s écrit : g i D R 4 ( ) / (.4) ou bie : / ( ) R R (.4) E ayat recours aux relatios (.9) et (.4), la relatio (.40) s écrit : C / D, 04 4 log g, 7( ) R ( ) / (.44) Il aaraît aisi que le coefficiet de résistace C de Cézy déed de la rugosité relative / D, du taux de remlissage de la coduite et du ombre de Reyolds R. Lorsque ces aramètres sot doés, la relatio (.44) ermet la détermiatio exlicite du coefficiet C. Ceedat, lorsqu il s agit de dimesioer la coduite, le diamètre D est lus ue doée du roblème et seuls les aramètres,,i,, sot cous. Das ce cas, la relatio (.44) e ermet lus de détermier de maière exlicite le coefficiet de résistace à l écoulemet C de Cézy. Pour le cas de la coduite circulaire leie, corresodat à 1ou à ( ) = 1, la relatio (.44) mèe à écrire que : C / D, 04 4 log g, 7 R (.4) ou bie : C / D, 04 4 g log, 7 R (.46) 4

37 Pour les valeurs doées de la rugosité relative / D et du ombre de Reyolds R, la relatio (.46) ermet d évaluer la valeur du coefficiet de résistace C de Cézy, our le cas de l écoulemet e coduite circulaire leie Calcul du coefficiet de résistace de Cézy ar la Métode du modèle rugueux (MMR) Lorsque le diamètre D de la coduite est lus ue doée du roblème, la relatio (.44) e eut être utilisée our le calcul du coefficiet C de Cézy. Les aramètres cous sot le débit volume, le taux de remlissage de la coduite, la ete logitudiale i, la rugosité absolue et la viscosité ciématique du liquide e écoulemet. Pour détermier le coefficiet C de Cézy, sous ces coditios du roblème, la métode du modèle rugueux (MMR) eut être d ue grade utilité. Raelos que le modèle rugueux de référece (Acour, 007) est caractérisé ar u coefficiet de frottemet f 1 / 16, ce qui se traduit ar u coefficiet de résistace de Cézy : C 8g / f 8 g = costate (.47) Le modèle rugueux est caractérisé ar u diamètre D, écoulat u débit volume d u liquide de viscosité ciématique corresodat à u taux de remlissage, sous ue ete logitudiale i. Pour détermier le coefficiet de résistace C de Cézy, caractérisat l écoulemet das la coduite cosidérée, admettos les coditios suivates : i. D D ii. iii. i i iv. v. Selo la relatio (.11), la coductivité relative du modèle rugueux de référece est alors : C D i (.48) ou bie, e teat comte de la relatio (.47) :

38 18g D i (.49) Par suite, la relatio (.1) s écrit, our le modèle rugueux de référece : 18g i D 1 ( ) ( ) 8 / (.0) Soit : 0,4 0,6 D ( ) ( ) g i 0,4 (.1) Aisi, avec les aramètres cous, et i, les relatios (.), (.6) et (.1) ermettet le calcul exlicite du diamètre D du modèle rugueux de référece. Le ombre de Reyolds R caractérisat l écoulemet das le modèle rugueux de référece est, e vertu de la relatio (.4) : g i D R 4 ( ) / (.) Soit : / ( ) R R (.) où : R 4 g i D (.4) Selo la MMR, le coefficiet C de Cézy est tel que : C C / (.) où est u aramètre adimesioel défii ar la relatio : 6

39 / D 8, 1, log 4, 7 ( ) R ( ) / / (.6) E teat comte des relatios (.47) et (.6), la relatio (.) deviet : / D 8, C, 4 g log 4, 7 ( ) R ( ) / (.7) ou bie, e termes adimesioels : C / D 8,, 4log g 4, 7 ( ) R ( ) / (.8) Aisi, avec les valeurs coues des aramètres, D, et R, la relatio (.7) ermet le calcul direct du coefficiet de résistace à l écoulemet C de Cézy, sas que le diamètre D de la coduite e soit ue doée du roblème. L exemle d alicatio suivat illustre la démarce à suivre our le calcul de C. Exemle d alicatio.4 Ue coduite circulaire de diamètre D, siège d u écoulemet uiforme, écoule u débit volume 0, 987 m / s d u liquide de viscosité ciématique 6 m / s, sous ue ete logitudiale i. 4. La aroi itere de la coduite est caractérisée ar ue rugosité absolue 4 m et le taux de remlissage est 0, 6. i. Calculer la valeur du coefficiet de résistace à l écoulemet C de Cézy. ii. Déduire la valeur du diamètre D. Solutio i. E alicatio des relatios (.) et (.6), les foctios ( ) et ( ) reet resectivemet la valeur : ( ) cos 1 1 cos 1 1 0, 6 1,

40 ,6 0,6 1 0, 6 ( ) cos 1 cos 1 0, 6 1, Le diamètre du modèle rugueux de référece est, selo la relatio (.1) : 0,4 0,6 D ( ) ( ) g i 0,4 0,4 0,6 0,987 1, , , m 0,4 9,81. Ceci ermet de déduire que : 4 g i D,., R , 6 Aisi, selo la relatio (.7), le coefficiet de résistace à l écoulemet C de Cézy est : / D 8, C, 4 g log 4, 7 ( ) R ( ) / 4 /, ,, 4 9, 81 log / , 0,, m / s, m / s 4, 71, , 1, ii. La relatio (.) ermet de déduire que le diamètre D de la coduite est : D 0,1 ( ) ( ) 0,4 0,6 0,4 0,6 0, 987 0,11, , , , m C i 0,4 0,4 Remarquos que les relatios (.) et (.1) ermettet de déduire que le diamètre D de la coduite eut s écrire : 8

41 g D, 69 D C 0, 4 Soit : 0, 4 0, 4 8 g 8 9, 81 D D, , m C 79, , m iii. Cette étae vise à vérifier les calculs e détermiat, our le diamètre D aisi calculé, le débit volume ar la formule géérale (.6). Pour cela, évaluos : L aire de la sectio mouillée A ar la relatio (.4), soit : 1 A D ( ) ( ) =, 1, 77141, , 70680m 4 4 Le rayo ydraulique R ar la relatio (.9), soit : 1 1 R D ( ) = 1, 1, , m 4 4 Le ombre de Reyolds R ar la relatio (.7), soit : g i R,., R 6986, Aisi, selo la relatio géérale (.6), le débit volume serait égal à : 4 g A R i, 04 log 14, 8R R 4 9, 811, , , 04 log 14, 80, , 74 Soit : 4 0, 98716m / s 9

42 Le débit volume, calculé e alicatio de la formule géérale (.6), corresod bie, avec u écart relatif de mois 0,017% seulemet, au débit volume doé à l éocé de l exemle d alicatio cosidéré Coefficiet de résistace maximal de Cézy Selo la relatio (.44), le coefficiet de résistace à l écoulemet C de Cézy est foctio de trois variables adimesioelles qui sot la rugosité relative / D, le taux de remlissage de la coduite et le ombre de Reyolds R. Sa rerésetatio graique est doc as aisée, mais l o eut motrer, à titre idicatif, sa variatio our ue valeur fixée de la rugosité relative / D. Cette démarce a été exécutée our différetes valeurs de / D et our des ombres de Reyolds R variat etre 4 7 et. Parmi tous les graiques aisi obteus, ceux des figures.8a et.8b e sot rerésetatifs. La figure.8a traduit la variatio de C / g e foctio du taux de remlissage et du ombre de Reyolds R, our la valeur / D 0 corresodat à u état lisse de la aroi itere de la coduite. La figure.8b rerésete ar cotre la variatio de C / g e foctio du taux de remlissage et du ombre de Reyolds R, our la valeur / D 0, 0 corresodat à u état rugueux de la aroi itere de la coduite. Ces valeurs coisies de / D corresodet e fait aux courbes eveloes du domaie turbulet du diagramme de Moody. 1 0,8 0,6 R ,4 0, C g Figure.8a : Variatio de C / g e foctio de et de R selo la relatio (.44), our / D 0. ( ) Valeurs maximales C / g obteues our 0,

43 1 0,8 0,6 R 4 0,4 0, C g Figure.8b : Variatio de C / g e foctio de et de R selo la relatio (.4), our / D 0, 0. ( ) Valeurs maximales C / g obteues our 0, 818. La figure.8a motre clairemet que, our ue valeur doée du ombre de Reyolds R, C / g augmete avec l accroissemet du taux de remlissage jusqu à ue valeur maximale rerésetée ar le symbole lei sur la figure. Au-delà de celle-ci, C / g dimiue avec l augmetatio de et cette dimiutio se oursuit jusqu à l état lei de la coduite corresodat à 1. Il est à oter égalemet que, quelle que soit la valeur de R, la variatio de C / g e foctio s effectue de maière raide das u remier tems, uis de maière lete das u secod tems. La variatio raide de C / g s observe our ue gamme réduite de que l o ourrait défiir ar 0 0,. Au-delà de la valeur 0,, C / g subit ue très lete variatio das ue large gamme de idéedammet de la valeur du ombre de Reyolds R. Cet état de variatio de C / g eut être égalemet observé sur la figure.8b. Celle-ci idique, e outre, que our la forte valeur de la rugosité coisie ( / D 0, 0 ), les courbes de variatio de C / g e foctio de sot très roces les ues des autres et se cofodet our les valeurs de R. Cela met e évidece le caractère turbulet rugueux de l écoulemet, our lequel C / g est quasi idéedat du ombre de Reyolds R et e déed que de la valeur du taux de remlissage de la coduite. Le résultat le lus sigificatif, obteu lors du tracé de la variatio de C / g e foctio du taux de remlissage et du ombre de Reyolds R, est que la valeur maximale C / g est atteite our le taux de remlissage 0, 818, quelle que soit la valeur de la rugosité relative 41

44 / D et de celle du ombre de Reyolds R. E d autres termes, la valeur maximale C / g, et doc C, s obtiet à la rofodeur ormale y 0, 81 D. Pour la valeur 0, 818, la foctio ( ) défiie ar la relatio (.6) red la valeur : 1 cos 1 0, ,818 0, ,818 ( ) 1 1, , 17 E substituat cette valeur de ( ) das la relatio (.44), celle-ci deviet : C / D 7, log g 4, 04 R (.9) ou bie : C / D 7, g log 4, 04 R (.60) Raelos que das les relatios (.9) et (.60), le ombre de Reyolds relatio (.8). Pour les valeurs doées de la rugosité relative R est doé ar la / D et du ombre de Reyolds R, la relatio (.61) ermet d évaluer la valeur maximale du coefficiet de résistace C de Cézy, our le cas de l écoulemet uiforme e coduite circulaire. Lorsque le diamètre D de la coduite est as ue doée du roblème, la détermiatio du coefficiet de résistace maximal C de Cézy est ossible e ayat recours à la relatio (.7). Das cette relatio, le taux de remlissage red la valeur 0, 818, corresodat à ( )= 1,1768. Aisi : / D 6, 9 C, 4 g log, 78 R (.61) Selo les relatios (.61), le coefficiet de résistace C se raorte aux caractéristiques coues du modèle rugueux de référece, ce qui ermet de le calculer de maière aisée même si 4

45 le diamètre D de la coduite est as doé. L exemle d alicatio suivat motre les étaes à suivre our le calcul du coefficiet de résistace maximal C de Cézy. Exemle d alicatio. Ue coduite circulaire de diamètre D est le siège d u écoulemet uiforme. Elle écoule u débit volume 0, 94m / s d u liquide de viscosité ciématique 6 m / s, sous ue ete logitudiale i La aroi itere de la coduite est caractérisée ar ue rugosité absolue 4 m et le taux de remlissage est 0, 6. Calculer la valeur du coefficiet de résistace maximal C de Cézy. Solutio i. E alicatio des relatios (.) et (.6), les foctios ( ) et ( ) reet resectivemet la valeur : ( ) cos 1 1 cos 1 1 0, 6 1, ,6 0,6 1 0,6 ( ) 1 1 1, cos 1 cos 1 0, 6 Le diamètre du modèle rugueux de référece est, selo la relatio (.1) : 0,4 0,6 D ( ) ( ) g i 0,4 0,4 0,6 0,94 4 1, , , ,8807 m 0,4 ii. Selo la relatio (.4), le ombre de Reyolds R est : 4 g i D,., R , 1 6 iii. Par suite, le coefficiet de résistace C de Cézy est, e vertu de la relatio (.61) : 4