LE COURS. Mathématiques Séries S ES/L STMG STI2D STL LOIS A DENSITÉ. Note liminaire. Prérequis

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1 Programme selon les sections : - lois normales : toutes sections - lois uniformes : STI2D STL S ES/L - lois exponentielles : STI2D, STL, S Note liminaire Prérequis Etude de fonctions exponentielle intégration continuité variable aléatoire loi binomiale espérance écart-type 1. Lois à densité 2. Lois uniformes 3. Lois exponentielles 4. Lois normales Plan du cours 1. Lois à densité Les lois à densité concernent l étude des séries statistiques à caractère continu (contrairement aux probabilités discrètes). Définition : On dit qu une fonction f définie sur un intervalle I ( ) est une densité de probabilité si : - f est continue sur I - f est positive sur I - l aire sous la courbe est égale à 1 u. a. (unité d aire). f étant positive, la troisième condition peut se formuler : 1

2 Exemple : sur f est continue sur et pour tout donc f est une densité de probabilité. Définition : Soit f une densité de probabilité sur I. On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur I, si pour tout intervalle, la probabilité de l événement est égale à : Remarques : - correspond à l aire sous la courbe sur l intervalle J. - Les probabilités correspondent aux intégrales, et non aux valeurs prises par la fonction f. - (on retrouve la probabilité de l événement certain) 2

3 - (comme pour toute probabilité) Union d événements incompatibles entre eux Soient des intervalles de I tels que les événements ( ) soient incompatibles entre eux (c est-à-dire disjoints). On a alors : Probabilités conditionnelles : Soient un intervalle et un intervalle tel que. On a alors : Propriétés : - si alors - pour tout - si J est un intervalle de I ou une réunion d intervalles de I alors Espérance : L espérance d une variable aléatoire X à densité f sur est : L espérance correspond à la notion de moyenne. 3

4 2. Lois uniformes Définition : On dit qu une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle ( ) si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur par - On a bien alors -La loi uniforme correspond à une situation d équiprobabilité. Ex : est une loi uniforme sur. Probabilité : La probabilité de l événement (avec ) est alors : Ex : sur. 4

5 Espérance : L espérance d une variable aléatoire X à densité uniforme f sur est : Ex : sur. 3. Lois exponentielles Définition : On dit qu une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre densité de probabilité est la fonction f définie sur par : ( réel strictement positif) si sa - On a bien alors - Ex : sur est une loi exponentielle. 5

6 Probabilité : La probabilité de l événement (avec ) est : La probabilité de l événement (avec ) est : Ex : sur Espérance : L espérance d une variable aléatoire X à densité uniforme f sur est : Ex : sur Propriété : Si une variable aléatoire X suit une loi exponentielle, et t et h réels positifs, alors : Cette propriété est appelée de durée de vie sans vieillissement. En effet, si X est interprétée comme la durée de vie d un appareil, la probabilité que l appareil fonctionne encore à l instant t+h sachant qu il fonctionne à l instant t est la même que la probabilité qu il fonctionne à l instant h (si l appareil fonctionne encore à l instant t, tout se passe comme s il n avait pas vieilli jusqu à cet instant). 6

7 4. Lois normales Définition : On dit qu un variable aléatoire Z est centrée et réduite lorsque son espérance est nulle et son écart-type est égale à 1. et Propriétés : - Soit X est une variable aléatoire quelconque. Soit Z la variable aléatoire telle que : Z est alors une variable aléatoire centrée réduite. Cette propriété permet de passer facilement d une variable aléatoire quelconque à une variable aléatoire centrée réduite. - La loi de probabilité d une variable aléatoire centrée réduite est une fonction paire (Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l axe des ordonnées). On a donc pour tout réel a positif: Loi normale centrée réduite : La fonction f définie sur R par centrée réduite et on la note. Pour a et tels que on a : est une densité de probabilité. On l appelle loi normale Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice). Etant centrée réduite, elle a pour espérance 0 et pour écart-type 1, et qu elle est une fonction paire (avec les propriétés définies précédemment). Ex : (aire en rose sous la courbe) 7

8 Propriété : - Soit Si une variable aléatoire Z suit une loi normale, alors il existe un unique réel tel que : - On peut en déduire : Soit. Si une variable aléatoire Z suit une loi normale, alors il existe un unique réel tel que : La calculatrice permet de trouver ce réel a en entrant en paramètres l espérance, l écart-type et la probabilité p. 8

9 Loi binomiale : Dans le cadre de probabilités discrètes, pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale rappelle qu on a :, on Représentation graphique : Ex : En abscisse : k correspondant au nombre de succès En ordonnée : correspondant à la probabilité d obtenir k succès Si X suit la loi binomiale alors est centrée réduite. 9

10 Théorème de Moivre-Laplace : Soit p réel tel que. Soit une suite de variables aléatoires telle que chaque variable aléatoire soit la loi binomiale. A chaque on associe telle que ( est centrée réduite). Alors, pour tous réels a et tels que, on a : Ce théorème permet de passer du cas discret au cas continu, il permet de montrer que la loi normale est une extension au cas continu de la loi binomiale. Loi normale : Soient réel et réel positif.la fonction f définie sur R par est une densité de probabilité. On l appelle loi normale centrée réduite et on la note. Pour a et tels que on a : Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice). Son espérance est est son écart-type est. 10

11 Exemples : (en bleu) (en rouge) (en vert) Propriétés : - Si une variable aléatoire X suit une loi normale, alors la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite. - On a : (à près) (à près) (à près) Presque l intégralité des valeurs possibles pour X se situent donc dans l intervalle. 11

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