COURS DE MECANIQUE. 2ème année AVANT-PROPOS. Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL. Chapitre 4. DYNAMIQUE DU SOLIDE

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1 VNT-PRPS CURS DE MECNIQUE ème année note que la numéotaton es paagaphes aoptée c est calquée su celle u cous oal afn e faclte le suv u cous magstal mas ne épon pas au nomes e pésentaton usuelles 'un ocument éct. Cathene PTEL Phlppe GTIGNL Chapte 4. DYNMIQUE DU SLIDE Unvesté u Mane - UFR Scences et Technques Cathene Potel Phlppe Gatgnol Unvesté u Mane Le Mans Cathene Potel Phlppe Gatgnol Unvesté u Mane Le Mans

2 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Le but e ce chapte est 'énonce ans toute sa généalté le Pncpe Fonamental e la Dnamque (PFD) ans que ses conséquences pou l'étue u mouvement 'un sstème matéel quelconque. Deu fomes patculèes e ce pncpe ont éjà été énoncées : le Pncpe Fonamental e la Statque (PFS) au chapte et le Pncpe Fonamental e la Dnamque u pont matéel ans le cous e mécanque u pont. L'énoncé généal ans le cas 'un sstème matéel quelconque nécesste la éfnton péalable e ganeus tes "namques" qu assocent les notons e masse vtesse et accéléaton. Les ponts mpotants e ce chapte sont : L'énoncé pécs u PFD avec le concept e epèe galléen Les éléments 'nete 'un sole ge I GRNDEURS DYNMIQUES D'UN SYSTEME MTERIEL Un sstème matéel quelconque peut tout 'abo ête moélsé pa un ensemble e ponts matéels mas l'etenson au sstèmes à épatton contnue e masse est mméate. Il sufft en effet e emplace tous les sgnes pa une ntégale smple ouble ou tple selon la géométe conséée. Conséons onc à pésent es sstèmes mécanques consttués 'un ensemble e ponts matéels... n otés es masses m... m n. Nous noteons pa Σ un tel sstème : o t Σ m... n m n o m t et l'on s'ntéesse au mouvement e Σ pa appot à un epèe R.. Toseu namque a) Cas u pont matéel Le Pncpe Fonamental e la Dnamque u pont matéel s'énonce e la manèe suvante : S un pont matéel e masse m est en mouvement pa appot à un epèe galléen R la somme es foces (etéeues) applquées au pont est égale au pout e la masse m u pont pa l'accéléaton galléenne u pont : mγ / R R et. (4.) ( ) ( ) n a vu pa alleus qu'à chaque foce applquée à on peut assoce un glsseu ont le suppot passe pa et à l'ensemble es foces applquées à le glsseu unque équvalent [ ] à la somme e tous ces glsseus : ( et ) R. Il est alos logque e consée également le glsseu m Γ/ R appelé glsseu namque. Le PFD u pont losque R est galléen peut alos s'epme pa l'égalté es glsseus : [ ] [ mγ( / R )] R ( et ). (4.) L'égalté es vecteus lbes eonne l'énoncé classque appelé à l'équaton (4.). L'égalté es moments en un pont ne onne aucune nfomaton supplémentae. En effet s l'on chost on obtent tvalement :. De la même manèe que pécéemment on ntout le moment namque u pont matéel ps au pont : δ / R mγ / R. (4.) b) Généalsaton au cas u sstème Σ L'ensemble es glsseus namques m Γ / R est appelé : {[ ( )] L [ m Γ( R )]} n n n / toseu namque e Σ en mouvement pa appot à R : D Σ / R R (4.4) e ésultante namque Σ / R ( ) {[ ( )]} / ( ) m Γ( / R ) m Γ( G R ) / (4.5) et e moment namque au pont δ ( Σ / R ) m Γ( / R ) (4.6-a) δ Σ / R δ R (4.6-b) sot ( ) ( ) / où G est le cente e masse u sstème Σ et m est la masse totale e ce sstème. Le cente e masse G est tel que Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

3 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS m m G. (4.7) Le PFD epmea que pou un epèe 'obsevaton R ben chos le toseu namque est égal au toseu es foces etéeues applquées au sstème Σ.. Pncpe fonamental e la namque a) Enoncé u pncpe Cet énoncé est l'énoncé généal u Pncpe Fonamental e la Dnamque (PFD). Tous les autes énoncés s'en éusent comme cas patcules. Il este un epèe pvlégé appelé epèe galléen sot R tel que pou tout sstème matéel Σ en généal en mouvement pa appot à R le toseu namque e Σ pa appot à R sot égal au toseu es foces etéeues eecées su Σ sot ( Σ R ) { et Σ} D (4.8) / Cette égalté (ou équvalence) ente toseus se taut pa l'égalté es ésultantes : Σ/ R R et Σ (4.9) b g et pa l'égalté es moments en un pont : δ Σ / R M et Σ. (4.) b g Dans le cas u pont matéel unque la stncton ente foces etéeues et foces ntéeues ne se posat pas. Su ce plan l'etenson au sstèmes matéels n'est pas mméate : l est fonamental que le PFD pou les sstèmes ne fasse nteven que les foces etéeues à Σ. b) Repèes galléens nvaance galléenne Le PFD postule l'estence ans l'unves 'au mons un epèe R ans lequel l'énoncé u pncpe est valable. Pécse la poston 'un tel epèe ans l'espace cosmque n'est pas chose facle. Dans la éalté on consèe toujous es epèes qu ne sont galléens que e manèe appochée. La éfnton u epèe galléen ans lequel on consèe le PFD comme valable épen en éalté e l'échelle u poblème conséé : - Pou un poblème e namque concenant un sstème mécanque à l'échelle e l'homme (machne véhcule...) un epèe lé à la Tee locale (au sol ou à la pèce) est suffsant. Ce fasant on néglge es mouvements tels que la otaton e la Tee. - Pou es poblèmes teestes à plus gane échelle on ne peut plus néglge cette otaton. n pena alos un epèe ont l'ogne est au cente e la Tee et ont les aes ont es ectons fes pa appot au étoles. Cepenant on néglge encoe ans ce cas le mouvement (ellptque) e la Tee autou u Solel. - L'étue u mouvement es planètes ans le sstème solae se fat su la base 'un epèe ont l'ogne est au cente e masse u sstème solae (patquement le cente u Solel) et ont les aes ont es ectons fes pa appot au étoles. - es échelles plus ganes (galae cosmos) on sot patquement u omane e la Mécanque classque en ason es tès ganes vtesses mses en jeu et cheche à éfn es epèes galléens n'a plus gan ntéêt. Invaance galléenne Théoème : Losque pou un poblème onné un epèe R peut ête conséé comme galléen l lu coespon une nfnté e epèes mobles pa appot à R qu peuvent eu auss ête conséés comme galléens avec la même appomaton. Ce sont tous les epèes anmés 'un mouvement e tanslaton ectlgne unfome pa appot à R. Démonstaton : R fgue 4. R Sot R un epèe anmé 'un mouvement e tanslaton ectlgne unfome pa appot à R. La base u epèe R peut ête chose e telle sote qu'elle coïnce constamment avec la base e R (fgue 4.). Tous les ponts lés à R ont même vtesse à chaque nstant pa eemple celle e. Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

4 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS La tanslaton étant ectlgne unfome le vecteu V / R est constant au cous u temps. Conséons alos un sstème matéel quelconque Σ. Sot l'un e ses ponts e masse m. Pa composton es vtesses on peut éce : V / R V / R + V / R (4.) Pou les accéléatons en évant pa appot au temps et pa appot à la base : Γ / R Γ / R + Γ / R. (4.) le vecteu V / R est constant au cous u temps onc on obtent : Γ / R Γ / R. (4.) Pa sute pou le sstème matéel Σ on a égalté es eu toseus namques : D Σ/ R D Σ/ R. (4.4) S R est galléen on a pa alleus 'apès le PFD : ( Σ / R ) R ( et Σ) D. (4.5) Il en ésulte que R est tel que pou tout sstème matéel Σ on at l'égalté : et pa sute R est lu-même galléen. ( Σ / R ) R ( et Σ) c) Pncpe e l'acton-éacton n généalse c ce qu a éjà été vu en statque. D (4.6) Conséons eu sstèmes matéels Σ et Σ en mouvement pa appot à un epèe galléen R et ésgnons pa Σ le sstème total : Σ Σ Σ (4.7) n a pou les toseus namques l'égalté suvante : D Σ/ R D Σ / R + D Σ / R. (4.8) Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS - les actons mutuelles es sstèmes Σ et Σ. Pou les pemèes on a l'égalté suvante ente les toseus assocés : { et / Σ Σ} { et / Σ Σ } + { et / Σ Σ } (4.9) où la notaton et / Σ pécse que les actons conséées sont etéeues elatvement à Σ. Les actons eecées su Σ etéeues à Σ sont quant à elles consttuées es actons povenant e l'etéeu e Σ et e l'acton e l'aute consttuant Σ. n a ans l'égalté : et e même pou Σ : { et / Σ } { et Σ } + { Σ Σ } / Σ Σ (4.) { et / Σ } { et Σ } + { Σ Σ } Σ / Σ (4.) pplquons à pésent le PFD à chacun es sstèmes Σ Σ et Σ le epèe R étant galléen : ( Σ / R ) { et / Σ Σ } ( Σ / R ) { et Σ } D (4.) D / Σ (4.) D ( Σ /R ) { et / Σ Σ} (4.4) De l'égalté (4.8) ente les toseus namques on éut alos l'égalté suvante : { et / Σ Σ} { et / Σ Σ } + { et / Σ Σ }. (4.5) l'ae es équatons (4.) et (4.) on éct ensute : et / Σ et / Σ Σ + Σ Σ + et { } { } { } { Σ } + { Σ Σ } Σ / Σ ce qu conut 'apès l'équaton (4.9) à : Σ Σ + Σ sot fnalement : n est ans conut à l'énoncé suvant : { } { } Σ { Σ } { Σ } Σ Σ. (4.6) Pncpe : Les actons 'un sstème mécanque Σ su un aute sstème mécanque Σ sont opposées au actons u sstème Σ su le sstème Σ en ce sens que les toseus coesponants sont opposés. Pa alleus les actons mses en jeu sont e eu sotes : - les actons etéeues au sstème total Σ qu s'applquent sot à Σ sot à Σ. Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

5 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS ) Dnamque es sstèmes e masse néglgeable Losque les masses es ves ponts consttutfs e Σ peuvent ête conséées comme néglgeables (vs-à-vs e masses 'objets etéeus nteagssant avec Σ ) le toseu namque DbΣ / Rg pou tout epèe R et en patcule pou un epèe R galléen. Le PFD conut alos à l'égalté : let Σq. (4.7) pplcaton patque : clavetage L'un es moens pou un abe Σ e tansmette une cetane pussance à une poule Σ est 'utlse une clavette Σ % (fgues 4.). %Σ Cas patcule mpotant : consttuant nteméae e masse néglgeable Σ % Σ Σ Conséons eu sstèmes mécanques Σ et Σ lés ente eu pa un sstème nteméae Σ % e masse néglgeable (fgue 4.). n suppose e plus que Σ % n'est soums à aucune aute acton e contact ou à stance que celles eecées pa Σ et Σ. Fgue 4. Le toseu es actons etéeues s'eeçant su le sstème Σ est onc la somme u toseu es actons e Σ su Σ et u toseu es actons e Σ su Σ sot { et Σ} { Σ Σ} + { Σ Σ}. (4.8) D'apès le PFD sous la fome patculèe e l'équaton (4.7) on a onc : { Σ Σ} + { Σ Σ}. (4.9) En vetu u pncpe e l'acton-éacton énoncé au I..b) on en éut : { Σ} { Σ Σ } Σ. (4.) Concluson : losque Σ % est un sstème nteméae e masse néglgeable ne ecevant 'autes actons etéeues que celles eecées pa les eu consttuants Σ et Σ qu'l ele ce sstème nteméae Σ % tansmet à Σ ntégalement les actons qu'l eçot e la pat e Σ. Ce ésultat seat fau s la masse e Σ % état pse en compte : les eu toseus { Σ Σ} { Σ Σ } fféeaent alos 'une quantté égale au toseu namque D % / R pésent ot ête galléen. Σ et où R à Σ Σ C fgue 4.-a fgue 4.-b La poule Σ est alos lée en otaton à l'abe Σ pa l'nteméae e la clavette Σ %. S l'on connaît { Σ Σ} et s l'on néglge la masse e la clavette alos on poua éce 'apès Σ Σ Σ Σ. l'équaton (4.) que { } { } La pussance étant notamment tansmse pa l'nteméae e la pojecton su l'ae e u moment M ( Σ Σ) sot M ( Σ Σ) C e (où C est couamment appelé "couple moteu") on aua alos M ( Σ Σ ) e C ce qu event à éce : ( Σ Σ ) C M e. (4.) Eemple u essot Le sstème e la fgue 4.4 est consttué e tos essots elant eu ponts matéels et e masses espectves m et m ont les éplacements espectvement notés (t) et (t) sont éféencés ans le epèe aant pou ogne leu poston 'équlbe espectve. (t) (t) e m m k k k T ' T m m Fgue 4.5 Fgue 4.4 Les essots sont es sstèmes e masse néglgeable. ns le essot e aeu k elant les pont et n'est soums qu'à eu actons mécanques etéeues celles es ponts et (fgue 4.5). Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

6 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Notons ( T ') l'acton u essot su le pont (et non l'nvese) et ( T) essot su le pont (Fgue 4.5) sot essot { } ( T ') { essot} et { essot } ( T) { essot} l'acton u (4.-a). (4.-b) L'applcaton u PFD au essot e masse néglgeable conut 'apès l'équaton (4.7) à { essot} + { essot} (4.) sot pou les ésultantes à T ' T 'où T ' T. (4.4) II ELEMENTS D'INERTIE D'UN SLIDE Intoucton Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Répatton e masse contnue Le cas plus féquent es soles à épatton contnue e masse fat appel à la noton n 'ntégale : tous les sgnes se tansfoment en su une lgne une suface ou un S volume. Ctons quelques eemples e soles homogènes : L a) Cas 'une lgne m Masse lnéque λ m L λ ML unté : kg. m b) Cas 'une suface e Fgue 4.6 Le sole e la fgue 4.6 est consttué 'un sque e gan amète et 'un ae e plus fable amète le tout pouvant toune autou e e. n consèe quate anneau entques (onc e même masse) que l'on spose e eu manèes fféentes (fgue 4.7) ; su la fgue 4.7-a) ls sont collés su la face avant u sque et su la fgue 4.7-b) ls sont fés su l'ae u sque. S V Masse sufacque σ m S σ ML unté : kg. m c) Cas 'un volume Masse volumque ρ m V ρ ML unté : kg. m e e Fgue 4.7-a) Fgue 4.7-b) S l'on veut fae toune chacun es eu sstèmes l'epéence monte qu'l faua épense beaucoup plus 'énege pou communque une vtesse e otaton onnée au sstème (fgue 4.7-a) qu'au sstème (fgue 4.7-b) alos que chacun es eu sstèmes a la même masse. n peut en conclue que la stance e la masse pa appot à l'ae est un élément mpotant ans l'étue e la namque es sstèmes. Eemples e calcul u moment namque θ l a) Penule smple m Fgue 4.8 g Le sstème e la fgue 4.8 est consttué 'une tge sans masse e longueu e longueu l à laquelle est accochée une masse m conséée comme ponctuelle au pont. La tge est en lason pvot sans fottements 'ae ( e ) avec le bât. La poston e la tge est epéée pa l'ae fasant un angle θ avec l'ae (fgue 4.8). Le epèe R ( e e ) e est galléen l'accéléaton e la pesanteu étant telle que g g e. Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

7 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Le toseu namque e la tge pa appot au epèe R se éut au toseu namque u pont pa appot au epèe R onné pa ses éléments e éucton au pont : ( / R ) m Γ( / R ) (4.5-a) et δ ( / R ) m Γ( / R ). (4.5-b) Le vecteu poston est onné pa ses composantes su la base ( e e ) e : l. (4.6) e La vtesse u pont pa appot au epèe R s'éct V / ( R ) t / (4.7) sot en applquant la fomule e changement e base e évaton V( / R ) + Ω( / ) (4.8) t / V / R + θ& e l e l θ &. (4.9) sot ( ) ( ) e L'accéléaton u pont pa appot au epèe R s'éct V ( ) ( / R ) Γ / R t / (4.4) sot en applquant la fomule e changement e base e évaton V ( ) ( / R ) Γ / R + Ω( / ) V( / R ) (4.4) t / sot Γ( / R ) l && θe + θ& e ( & ) l θ e (4.4) Γ / R l θ& e + l && θ. (4.4) 'où ( ) e La ésultante namque u pont pa appot au epèe R s'éct onc en emplaçant Γ ( / R ) pa son epesson (4.4) ans la elaton (4.5-a) : / R m l θ& e + m l && θ. (4.44) ( ) e Le moment namque au pont u pont pa appot au epèe R s'éct en emplaçant Γ ( / R ) pa son epesson (4.4) ans la elaton (4.5-b) : δ ( / R ) m l && θ e. (4.45) Le teme m l est le pout e la masse u pont pa le caé e la stance au caé ente. C'est le moment 'nete u pont pa appot à l'ae le pont et l'ae e otaton ( e ) ( ). e θ l G b) Penule composé Fgue 4.9 g Le sstème e la fgue 4.9 est consttué 'une tge pesante homogène S e masse m e longueu l. Le cente e masse G est onc stué à une stance l u pont. La tge est en lason pvot sans fottements 'ae ( e ) avec le bât. La poston e la tge est epéée pa l'ae fasant un angle θ avec l'ae (Fgue 4.8). Le epèe R ( e e ) e est galléen l'accéléaton e la pesanteu étant telle que g g e. Un pont M couant e la tge a pou cooonnées polaes ( ρ θ) ρ (fgue 4.). Un pett élément ρ e la tge centé su le pont M ρ e masse m M a pou masse m λ ρ. (4.46) θ où λ est la masse lnéque e la tge ( m λ l ). Il convent e Fgue 4. note c que ρ est la vaable e escpton spatale e la tge à t fe ; l est onc constant à t fé et ne vae onc pas en foncton u temps. L'accéléaton u pont M pa appot au epèe R s'éct en utlsant le ésultat e l'équaton (4.4) et en emplaçant l pa ρ : Γ( M / R ) ρθ& e && + ρθe. (4.47) Le moment namque au pont e la tge S pa appot au epèe R s'obtent alos en sommant tous les moments namques élémentaes u pont M couant au pont losque M éct toute la tge sot ρ vaant e à l : l ( ) δ S/ R M Γ( M / R ) m (4.48) l sot ( ) && && δ [ ] l S/ R λ ρ θe ρ λ θe ρ 'où en emplaçant λ pa m l m l δ( S/ R ) && θe. (4.49) La quantté m l est homogène à une masse multplée pa une longueu au caé. Les quanttés m l et l qu ntevennent ans les cas patcules a) et b) sont ce que m l'on appelle les moments 'nete u sole (S) pa appot à l'ae ( e ) qu est c l'ae e otaton fe pa appot au epèe R. L'objet u paagaphe suvant est e généalse ces notons. Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

8 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS 4 Défnton es éléments 'nete 'un sole a) Moment 'nete pa appot à une ote Sot une ote stances es ponts u sole S ( ) éfnt le moment 'nete e S Fgue 4. b g (fgue 4.). S l'on ésgne pa les b g pa appot à b g on b g pa appot à b g pa : b g Dans le cas 'une seule masse (Fgue 4.8) ( ) Remaques : un moment 'nete est toujous postf Dmenson : I ML unté : kg. m + I I S m S m l. b) Moment 'nete pa appot au aes 'un epèe R + M +. (4.5) Sot un pont quelconque. n consèe la base e e e assocée au epèe R b g ce epèe n'étant pas nécessaement lé à bsg. En ésgnant pa b g les cooonnées catésennes 'un pont M ans le epèe R c'est-à-e M e + e + e on peut éce 'apès la éfnton u II4.a) les moments 'nete pa appot au tos aes u epèe : Fgue 4. I ( S) m( + ) ( + ) m (4.5-a) I C I ( S) m( + ) ( + ) m M S ( S) m ( + ) ( + ) m où ( + ) ( + ) et ( ) M S M S 4444 épatton contnue e masse (4.5-b) (4.5-c) + ésgnent espectvement le caé e la stance u pont M au aes () () et () (fgue 4.). Eemple : Le moment 'nete 'une tge assmlée à une lgne (fgue 4.9) pa appot à l'ae est I ( S) m l. Il convent e note que le moment 'nete pa appot à un ae paallèle pa eemple l'ae G passant pa le cente e masse G u sole n'est pas égal à m l : I ( S) I ( S). G c) Pouts 'nete pa appot au plans e cooonnées 'un epèe R Défnton : on appelle "pout 'nete" u sole bsg pa appot au eu plans e cooonnées et la quantté : J bg S m. (4.5) L'oentaton es aes e cooonnées est essentelle c pou obten le sgne e ces pouts 'nete. D J( S) m m (4.5-a) Remaques : E J F J ( S) m m M S ( S) m m. M S M S 44 épatton contnue e masse (4.5-b) (4.5-c) - Les pouts 'nete sont es quanttés postves négatves ou nulles. - n poua se epote au tableau e la fgue 4.5 pou connaîte les éléments 'nete en un pont et les centes e masse e quelques soles homogènes.! Losque l'on cheche un élément 'nete en un aute pont que le pont l faut utlse le théoème e Hugens ( II.5.b). ) péateu 'nete b g en un pont et epmé ans la base Défnton : L'opéateu 'nete u sole S e e e peut s'éce sous la fome 'une matce smétque appelée matce 'nete: I bg S L F E F D NM E D CQP. (4.54) S la base est assocée à un epèe R b g lé à bsg alos I bsg ne épen pas u temps. Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

9 Chapte 4 Dnamque u sole e) Eléments 'nete pont telle que tous les pouts 'nete soent nuls c'est-à-e telle que la matce 'nete sot agonale : I S Fgue 4. est cente e sméte sphéque : Tout ae passant pa est ae pncpal 'nete. Fgue 4.4 b g L M MM N I S P P PQ Sole homogène e masse M Cente Quat e plaque ellptque Secteu cculae oule (plene) P PP Q Cente C Sphèe (ceuse) Cente Paalléléppèe ectangle I S G Cente b g L MM NM (S) Quat e cecle matéel b g Cente Eemples : Sole e évoluton 'ae e : R est epèe pncpal 'nete. Dem-sphèe (ceuse) Tout plan e sméte 'un sole est un plan pncpal 'nete. clne ceu Tout ae e sméte 'un sole est ae pncpal 'nete. Cente e masse G (4.55) Sole homogène e masse M. Eléments 'nete P P C PQ Cente e masse G Cente e masse et éléments 'nete au pont e quelques soles homogènes usuels bg L M MM N Cône ceu bg Théoème : Il este au mons une base appelée base pncpale 'nete e S au Eléments 'nete e quelques soles homogènes usuels N.. : les soles "ceu" sont supposés 'épasseu néglgeable. es pncpau 'nete DEUST VS Toe ceu n emaquea qu'l est possble e éue e ce tableau 'autes ésultats : ns la ans le clne plen la plaque en fasant ans le tge s'obtent en fasant paalléléppèe ectangle etc... DEUST VS Cente Dnamque u sole Clne plen Chapte 4 Fgue 4.5! Losque l'on cheche un élément 'nete en un aute pont que le pont l faut utlse le théoème e Hugens ( II.5.b). Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

10 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS 5 Cente e masse 'un sole b) Théoème e Hugens pou les moments 'nete a) Répatton e masse scontnue Fgue 4-6 Conséons un sstème mécanque consttué 'un ensemble e ponts matéels... n otés es masses m... m n (fgue 4.6). Les masses m sont supposées constantes ans toute la sute. Nous noteons pa Σ un tel sstème : Σ o m... n m nt o m t Théoème e Hugens : Le moment 'nete 'un sole pa appot à une ote est égal à la somme u moment 'nete pa appot à cette ote e la masse u sole concentée au cente e masse G et u moment 'nete u sole pa appot à la ote paallèle passant pa G. I S I G S + I m G 4 4 bg bg b g m (4.58) où G est la ote paallèle à et passant pa G et est la stance ente et G (fgue 4.7) G sot Défnton : Le cente e masse G 'un cops est le bacente e la épatton e masse u cops. Sa poston est onnée pa : où m est la masse totale u sstème. n m G (4.56-a) n m m G m (4.56-b) n Remaque : En vetu u PFS le cente e masse 'un cops est le pont 'applcaton e la foce e pesanteu eecée su ce cops 'où le nom féquent e cente e gavté. b g avec e e e Sot le epèe R. En vetu e la éfnton u cente e masse G onnée au II.5.a) ses cooonnées catésennes G G G ans le epèe R sont telles que : m m m m G G m G m ù les epésentent les cooonnées es ponts ans le epèe R. (4.57) Eemples : : Sole e évoluton 'ae e R b g est epèe pncpal 'nete. (S) G Fgue 4.8 bg L M NM I S M C D'apès le tableau e la fgue 4.5 bg I G S + M MR + Ml + M G et C MR 4 est cente e sméte sphéque : Fgue 4.9 Tout ae passant pa est ae pncpal 'nete. ( S) D'apès le tableau e la fgue 4.5 MR 5 I ( ) QP ( ) G Fgue 4.7 Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

11 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS III CLCUL DES GRNDEURS DYNMIQUES PUR UN SLIDE RIGIDE Cas patcules mpotants 'applcaton u PFD. pplcaton e l'opéateu à un vecteu L'éctue es ganeus namques compotea es temes e la fome I ( S) { Ω ( )} où est la base assocée au epèe lé au sole ( S. ) S l'on pose Ω( / ) Ω e + Ω e + Ω e alos les composantes e ( S) { ( )} I ( S) { Ω( / )} F E. Toseu namque / (4.59) I Ω ans la base sont : / F D E Ω D Ω C Ω Ω FΩ EΩ FΩ + Ω DΩ EΩ DΩ. (4.6) + CΩ a) Sole en otaton autou 'une ote Eemple u penule composé éjà étué patellement au I..b). θ l G g Fgue 4. e Le sstème e la fgue 4. est consttué 'une tge pesante homogène ( S ) e masse m e longueu l. Le cente e masse G est onc stué à une stance l u pont. La tge est en lason pvot sans fottements 'ae ( e ) avec le bât. La poston e la tge est epéée pa l'ae fasant un angle θ avec l'ae (fgue 4.8). Le epèe R ( e e ) e lé au bât est galléen l'accéléaton e la pesanteu étant telle que g g e. e e e e. Le epèe R ( e ) est lé à la tge tel que ( ) ( ) θ e Le sstème étué est la tge ( S ). La elaton (4.5) onnant l'epesson e la ésultante namque est toujous valable : Σ / R m Γ G R (4.6) ( ) ( ) / Le moment namque au pont peut s'epme sous la fome suvante : δ ( S/ R ) mg Γ( S/ R ) + I ( S) + Ω ( / ) I ( S) { Ω( / )} où est la base assocée au epèe lé au sole ( S ). Ω ( / ) t / (4.6) S e plus le epèe R est galléen l'énoncé u Pncpe Fonamental e la Dnamque énoncé au I..a) se taut pa : l q D S / R et S R S T S / R R et S δ S / R M et S b g b g. (4.6) Les actons mécanques etéeues sont : cton e la pesanteu ϖ : { ϖ S} ( GP) avec P m g e sot { S} m g m g cosθ ϖ m g sn θ. G G S tel que M ( S) e cton u bât su la tge ( S ) : { } sot { S} X L Y M. Z Le vecteu otaton assocé au mouvement e pa appot à est Ω( / ) θ& e (4.64) et sa évée pa appot au temps et pa appot à la base est onc Ω( / ) && θe. (4.65) t Le vecteu accéléaton u cente e masse G pa appot au epèe R s'obtent à pat e la elaton (4.4) en emplaçant l pa l et pa G Γ G / R l θ& e + l && θ. (4.66) / sot ( ) e Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

12 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS La ésultante namque s'éct onc S/ R m Γ G / R m l θ & e + m l && θ. (4.67) ( ) ( ) e Le Pncpe Fonamental e la Dnamque s'éct pou les ésultantes : R( et S) ( S/ R ) (4.68) sot X + m g cosθ m l θ& (4.69-a) Y m gsn θ m l & θ (4.69-b) et Z. (4.69-c) La tge étant assmlée à une lgne e longueu l ses éléments 'nete au pont peuvent ête éuts es éléments 'nete 'un clne (plen ou ceu) e aon R u tableau e la fgue 4.5. Il convent e note que ans ce tableau le pont joue le ôle u cente e masse G e la fgue 4. tout comme l'ae joue celu e l'ae. Pa conséquent l'opéateu 'nete au pont elatvement à la base (base assocée au epèe R lé au sole) est agonal et est e la fome : I ( S ) (4.7) C I S I S (4.7-a) où ( ) ( ) G I ( S) I G ( S) + m ( l ) m l et C I ( S) m l (4.7-b). (4.7-c) Remaque : Le moment 'nete e la tge pa appot à l'ae est calculé c en utlsant le théoème e Hugens ( II.5.b) et avat été calculé ectement au II..b). L'opéateu 'nete applqué au vecteu otaton ( / ) I ( S) { Ω( / )} Ω s'éct onc C θ& Cθ& S / C e m I Ω θ& l θ& e. (4.7) sot ( ){ ( )} Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Le moment namque au pont u sole S pa appot au epèe s'éct en utlsant la elaton (4.6) : Ω ( ) ( ) ( / ) δ S/ R m G Γ S/ R + I( S) t / + Ω / I S Ω / ( ) ( ){ ( )} sot en emplaçant ( S/ R ) R ( S R ) δ / (4.74) Γ pa le vecteu (lason pvot ente le sole S et le bât ) et en utlsant les elatons (4.7) et (4.7) δ ( S/ R ) m l && θ e + θ& e ( ) m l θ& e δ S/ R m l && θe. (4.75) 'où ( ) Le moment au pont es actons mécanques etéeues est onné pa M ( et S) M ( ϖ S) + M ( S) 44 4 sot ( et S) l G P m g cosθ M m g sn θ + M. (4.76) m g lsn θ Le Pncpe Fonamental e la Dnamque s'éct pou les moments au pont : M ( et S) δ( S/ R ) (4.77) sot L (4.78-a) et L M (4.78-b) m g lsn θ m l & θ. (4.78-c) L'équaton (4.78-c) onne l'équaton u mouvement & θ + g ( l) sn θ (4.79) qu sous fome lnéasée s'éct & θ + ω θ (4.8-a) avec g ( l) ω (4.8-b) où ω est la pulsaton pope es oscllatons lbes non amotes e la tge. De même en utlsant la elaton (4.65) l'opéateu 'nete applqué à la évée u vecteu otaton Ω ( / ) pa appot au temps et pa appot à la base Ω( / ) I ( S) C&& θe m l && θe. (4.7) t / Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

13 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Généalsaton au cas u sole en otaton autou 'une ote G (S) b g en otaton autou e l'ae e Sot un sole S (fgue 4.). n ésgne pa R le epèe supposé galléen et pa R b g le epèe lé au sole bsg avec e e e et e e e. Le vecteu otaton assocé au mouvement e pa appot à est Fgue 4. e la fome Ω/ Ω e. (4.8) Le moment namque au pont u sole S R est onné pa la elaton (4.6) δ ( S/ R ) mg Γ( S/ R ) + I ( S) + Ω ( / ) I ( S) { Ω( / )} b g pa appot au epèe Ω ( / ) t / (4.6) Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS est base pncpale 'nete alos D E F / R / R + & S e e e et onc : S m G Γ S CΩ e. (4.86) δ est un pont fe e S b g pa appot à R onc Γ S/ R 'où δ R. (4.87) ( S/ ) CΩ& e c) Sole en tanslaton pa appot à R Dans ce cas Ω / et onc : δ S/ R m G Γ S/ R. (4.88) Remaque : ans ce cas on pena toujous G ce qu event à éce : δ G S/R. (4.89) D'apès le III. II/5/c) l'opéateu 'nete applqué au vecteu otaton Ω ( / ) s'éct I ( S) { Ω( / )} F E onc Ω( / ) I ( S) { Ω( / )} F D E D C Ω E Ω D Ω C Ω E Ω D Ω D Ω E Ω Ω C Ω (4.8) (4.8) ) Sole aant un pont fe pa appot à R 'où : Dans ce cas Γ S/ R δ ( S/ R ) I ( S) Ω ( / ) ( / ) I ( S) { Ω( )} + Ω / t / 4 Cas généal 'un sstème mécanque e soles ges (4.9) De même l'opéateu 'nete applqué à la évée u vecteu otaton Ω ( / ) appot au temps et pa appot à la base s'éct I ( S) Ω ( / ) t F F E D EΩ& DΩ& / E D C Ω& CΩ& pa. (4.84) De manèe généale un sstème mécanque Σ est consttué e pluseus soles ges S S... S n tous en mouvement pa appot à un epèe R. n peut attache à chaque sole S un epèe R et ans éfn les vecteus otatons assocés au mouvement e pa appot à Ω. / S on pen le cente e gavté G pou pont c'est-à-e G alos : G (4.85) En evanche on ne peut pas le un epèe au sstème Σ n éfn un vecteu otaton assocé à son mouvement pa appot à R. Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

14 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Le toseu namque e Σ pa appot à R est alos la somme es toseus namques e chaque sole S : D Σ / R D S / R R S T n R Σ/ R mγ G/ R m Γ G / R n M Σ / R δ S / R n 5 Mse en équatons 'un poblème (4.9) La mse en équatons 'un poblème e namque pou l'étue u mouvement 'un sstème matéel quelconque pocèe 'une émache qu epen chacune es étapes e la moélsaton telles que nous les avons éctes ans l'intoucton e ce cous. Cette mache à suve a éjà été patellement aboée au chapte ans le cas 'un poblème e statque. Nous la écvons en étal à pésent ans le cas e la namque 'un sstème consttué e soles ges en llustant nos popos su l'eemple e la fgue 4. qu epésente la nacelle 'un manège voltgeu : un bas S est entaîné 'un mouvement e otaton autou e l'ae vetcal u manège pa un moteu (non epésenté). L'ae S e la nacelle est atculé à S pa une lason e tpe caan ont le étal est poté su la fgue 4.-b où l'on stngue le cosllon %S. La nacelle S supposée sphéque toune lbement autou e son ae S. So ω S o S ψ θ S C ψ H S ψ fgue 4.-a fgue 4.-b S θ S S ψ a) Les étapes e la moélsaton Il convent avant toutes choses e ben entfe le sstème mécanque que l'on se popose 'étue et 'en stngue les veses pates. Dans le cas pésent l s'aga 'un ensemble e soles supposés néfomables chacun es soles étant une pate consttutve u sstème total. n ot en oute pécse l'espace 'obsevaton u mouvement en généal pa la onnée 'un epèe et savo s ce epèe peut ête conséé comme galléen. Etape géométque n éct 'abo la fome schématque e chaque consttuant et l'on ésgne ses mensons essentelles. Le bas S a la fome 'un baeau hoontal e longueu a l'ae S est assmlé à une tge ectlgne e longueu l la nacelle est schématsée pa une boule sphéque e cente C et e aon R. Les elatons géométques c'est-à-e le tpe es lasons ente les consttuants sont ensute nquées : lason e caan ente S et S se tausant pa les eu pvots S / S % et S % / S lason pvot ente S et S. Le sstème est souvent lé à une ou pluseus pèces etenes fes ans le epèe 'obsevaton que l'on appelle le bât. Dans l'eemple conséé le consttuant S est lé au bât S pa une lason pvot. Ce peme taval étant fat on ntout les paamètes e poston u sstème. Il convent pou cela e chos le epèe (en généal galléen) e l'espace 'obsevaton pa appot auquel sea éct le mouvement. Il est souvent utle 'ntoue également es epèes mobles lés au ves consttuants ans que cetans epèes nteméaes. La fgue 4. compote les epèes nécessaes au postonnement u sstème : - R b g lé au bât fe S et supposé galléen - R b g lé au bas S - R b g lé à l'ae S mas ont seuls les aes et sont essnés - R % b %%% g nteméae ente S et S mas en éalté lé au cosllon u caan. - R bc g lé à la nacelle S non epésenté ont l'ae C coïnceat avec. Les paamètes e poston peuvent alos ête éfns : ce sont es ganeus algébques qu enteont comme telles ans les équatons. Il mpote onc e pécse avec son comment leu Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

15 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS sgne est éfn. Dans l'eemple 4. quate angles algébques étemnent la poston u sstème pa appot au epèe fe R : - ψ e e évalué postvement selon e - ψ e e % évalué postvement selon e e - θ e e % évalué postvement selon e % (l est onc négatf su la fgue) - ψ e e évalué postvement selon e. Etape cnématque Le temps étant ntout l s'agt 'eamne quels sont les ves mouvements possbles u sstème népenamment es effots qu lu seont applqués mas en tenant compte es lasons géométques qu vennent 'ête analsées. Les calculs e vecteus vtesse et accéléaton font pate e cette étape ans que l'éctue éventuelle e contons e oulement sans glssement. Des quate angles ntouts c-essus le peme est une foncton connue u temps ès los que le mouvement u bas S est une otaton unfome mposée pa le moteu : ψ ωt. Les tos autes angles sont es fonctons nconnues u temps qu seont étemnées pa ésoluton u poblème e namque. Les supposant povsoement connues on peut calcule les vtesses e tous les ponts u sstème. n applquea pa eemple le théoème e composton es vtesses et les champs e vtesses elatves seont calculés comme moments es toseus stbuteus es vtesses appopés. En utlsant les notatons éfnes au chapte on peut éce : - R / R : ΩR / R ωe V R R / R U VR / R S V (4.9) ψ& ω - R / R : - R / R : T W ΩR / R ψ& & e + θ e % V R R / R U VR / R S θ& V ψ& % T ΩR / R ψ& e VC R R / R U VR / R S V C ψ& T W W (4.9) (4.94) Etape cnétque Les masses et leus épattons sont ensute éctes. La schématsaton es soles est c essentelle mas elle n'est pas suffsante. Des pécsons complémentaes sont nécessaes. Dans le cas u bas S ont le mouvement est mposé les pécsons su sa masse ne sont pas pmoales pou l'étue u mouvement. Elles pouaent toutefos nteven ans le calcul e cetanes foces eecées su le bât et es ésstances encontées pa le moteu. n poua pécse alos oute la masse totale m la poston u cente e masse G et le moment 'nete I S bg. L'ae S sea pa eemple assmlé à une tge 'épasseu néglgeable à épatton e masse homogène e masse totale m. Son cente e masse G sea alos le mleu e la tge et l'on saua calcule son moment 'nete pa appot à toute méatce. Le cosllon %S u caan poua ête supposé e masse néglgeable. n pécsea enfn pou la nacelle sa masse totale m. S'l s'agt 'une sphèe homogène son cente e masse est alos son cente C et ses moments 'nete pa appot à tout amète peuvent se calcule. Ces onnées pemettent alos e calcule tout toseu cnétque ou namque e chacun es consttuants onc u sstème total. Etape phsque L'étape phsque commence pa l'nventae e tous les effots s'eeçant su le sstème conséé tant ntéeus qu'etéeus. Pus on énonce les los e foces coesponantes et l'on pécse les toseus qu epésentent ces effots. n entfe pam les composantes es vecteus ans écts celles qu sont a po nconnues. Dans l'eemple conséé l'ensemble u sstème est soums au champ e la pesanteu teeste. L'étape cnétque aant pécsé la épatton es masses on peut e que l'acton e la Tee se amène au tos foces suvantes epésentées pa es glsseus : G m ge G m ge C m ge Les effots etéeus sont complétés pa les actons e lason u bât S su le bas S. Ceuc sont caactésés pa une ésultante et un moment que l'on conséea au pont stué su l'ae e otaton. Les s composantes coesponantes sont nconnues mas la tosème Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

16 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS composante u moment a une sgnfcaton patculèe : elle epésente ce que l'on appelle communément le "couple moteu" eecé su le bas. { S S } X L X L Y M Y M + (4.95) Z N Z N où l'on a ms en évence ans ce ene membe la somme es actons 'une lason pvot sans fottement (chapte ) et e l'acton u moteu en effet éute à un couple ans cette écomposton. Les actons ntéeues sont consttuées es nteactons ente les ves soles u sstème. n ot fae es hpothèses su la qualté e ces lasons faute e quo le mouvement ne pouat ête éct. Pa eemple on supposea que la lason caan ente S et S est pafate c'est-à-e que les eu pvots coesponants sont sans fottement. En temes e toseus 'effots on éca onc : X { } Y L S X L S Z M { S S} Y Z N D'apès le théoème es cops nteméaes e masse néglgeable ces eu toseus sont égau. n peut onc éce ectement : X L { S S} Y Z (4.96a) n peut alos emaque que la lason ente S et S peut également ête moélsée pa une lason sphéque à ogt. Cetanes foces ntéeues peuvent ête connues en foncton es paamètes e poston en obéssant alos à cetanes los. ns on pouat envsage qu'un essot e appel amène le cosllon ans sa poston e éféence pou laquelle son plan est pepenculae au bas S (ψ ). Une lo e appel lnéae e coeffcent k conuat à l'epesson u moment es actons coesponantes pa appot à l'ae. n auat alos : De la même façon une lason pvot pafate ente la nacelle et son ae conut au toseu 'acton suvant : X L { S S} Y M (4.97) C Z n emaquea en compaant les toseus stbuteus es vtesses étemnés los e l'étape cnématque et les toseus 'acton pécéents : équatons (4.9) et (4.95) (4.9) et (4.96) (4.94) et (4.97) que chaque lason ente eu soles e ce sstème ntout s nconnues paamète e poston ou composante 'effot (ésultante ou moment). D'une manèe généale une lason ntout n nconnues (n 6) lées pa n 6 équatons. Dans le cas pésent on est onc en pésence e 8 nconnues : les tos angles a po nconnus en foncton u temps (ψ est connu) et 5 nconnues e lason ont le couple moteu N. Etape namque Il s'agt mantenant e fae appel au PFD afn 'obten les équatons nécessaes à l'étue u mouvement. L'entfcaton 'un epèe galléen s elle n'a pas encoe été fate est à pésent nspensable. Le PFD met en jeu le toseu namque u sstème onc e chacun e ses consttuants pa appot à ce epèe. L'étape cnétque a onné tous les éléments nécessaes à ce calcul : D Σ / R D S / R + D S / R + D S / R n emaquea que le cops nteméae %S e masse néglgeable a un toseu namque nul. L'étape cnématque aua éjà foun cetanes équatons e natue cnématque comme es contons e oulement sans glssement ou es epessons telles que ψ ωt. L'étape phsque aua également pems 'éce les équatons tausant les los e foces ou plus smplement e éclae que cetanes nconnues e foces e lason sont nulles. Il este à compléte ces équatons pa celles qu epment le PFD. L'applcaton u PFD à un sstème composte elève 'une statége qu est écte ans le paagaphe suvant. X L Y Z k (4.96b) ψ { S S } Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

17 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS b) Statége pou l'applcaton u PFD L'applcaton u PFD à un sstème matéel onné se taut pa l'égalté e eu toseus et fount pa sute 6 équatons scalaes. Chaque sole consttutf u sstème met en jeu 6 nconnues : ce sont les 6 paamètes e poston s le sole est complètement lbe (sstème planétae pa eemple) ou ans les cas les plus smples un nombe nféeu e cooonnées égal au nombe e egés e lbeté e la lason u sole complété à 6 pa es nconnues e lason comme on l'a fat emaque à la fn e l'étape phsque c-essus. fn 'obten autant 'équatons que 'nconnues l convent onc 'applque autant e fos le PFD que le sstème total compote e composantes soles. Cette applcaton multple u PFD ésulte également 'une aute nécessté : celle e fae nteven au mons une fos ans l'éctue es équatons les actons e lason ente eu consttuants soles u sstème. En effet l seat llusoe e pense que l'applcaton u PFD au seul sstème total pusse conue à l'étue complète u mouvement pusque cette applcaton ne fat nteven que les actons etéeues à ce sstème et ne pemet onc pas 'epme la qualté phsque es lasons ntenes au sstème. Nous avons éjà sgnalé ce pont à popos es poblèmes e statque (chapte ). Mas cette applcaton épétée u PFD ot ête ben compse et elle onne leu à une statége qu'l faut maîtse. Nous en nquons c-essous les ponts essentels. Il faut fae nteven au mons une fos les actons ente eu consttuants le théoème e l'acton-éacton étant ben sû acqus. Pou ce fae le PFD sea applqué à un sous-sstème contenant l'un es soles mas pas l'aute e telle sote que ces actons appaassent comme etéeues ans cette applcaton. ns ans l'eemple l'applcaton u PFD au soussstème S + S en les actons e la nacelle S su son ae S etéeues. L'applcaton épétée u PFD ot conue à es équatons népenantes. La conséaton successve es tos sstèmes S + S S et S ne onneat pas 8 équatons népenantes mas seulement compte tenu u théoème e l'acton-éacton (qu a 'alleus été émonté ans). équatons népenantes n'est pas optmale. Dans cette statége les actons ente S et S e même que celles ente S et S ntevenaent eu fos. Une statége plus économque consste c à applque successvement le PFD au sstèmes S S + S et S+ S + S. Elle conut à 8 équatons népenantes et elle ne fat nteven chaque acton ntene qu'une fos. Pam les nconnues u poblème on stngue : les nconnues pncpales qu sont les paamètes e poston u sstème ont la étemnaton en foncton u temps pemet e connaîte le mouvement; les nconnues aulaes consttuées es composantes a po nconnues es foces e lason tant etenes qu'ntenes. Leu étemnaton peut ête mpotante su le plan e la tenue mécanque u sstème mas elle n'est pas pmoale pou l'étue u mouvement à l'ecepton es cas où cetanes valeus seul e ces nconnues aulaes étemnent la natue u mouvement (contact avec fottement pa eemple). n chechea onc féquemment à etae e l'ensemble es équatons ésultant e l'applcaton u PFD celles qu ne font nteven que les nconnues pncpales. De telles équatons sont tes "équatons u mouvement". L'eamen attentf es popétés es lasons ntenes et etenes onnea souvent la possblté 'obten ectement ces équatons. Su l'eemple conséé l convent 'obten tos équatons ne fasant nteven que les nconnues pncpales ψ θ et ψ (ψ étant connue pa alleus). n pavent pa la statége suvante : - PFD pou S seul : égalté es moments au pont C pojetée su le vecteu e base e équaton. - PFD pou S + S : égalté es moments au pont pojetée su les vecteus e base e % et e % équatons. Pam les nconnues aulaes le couple moteu N est mpotant à connaîte. n étemnea sa valeu en foncton es nconnues pncpales sans ntoue 'nconnues supplémentaes pa applcaton u PFD au sstème S+ S + S : égalté es moments au pont pojetée su le vecteu e base e N. fn 'obten les équatons les plus smples possbles l faut s'effoce e fae nteven à chaque applcaton u PFD un nombe 'nconnues mnmum en penant en compte le mons 'actons e lason possble. Dans cette optque l'applcaton successve u PFD au sstèmes éuts à chacun es soles S S et S e l'eemple s elle fount ben 8 c) Cas patcule es sstèmes plans Un sstème mécanque peut souvent ête schématsé pa un sstème plan même s son épasseu n'est pas néglgeable. n a éjà taté e tels sstèmes en statque au chapte et Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

18 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS l'on a étué la cnématque es sstèmes plans ans le chapte. Le III.6 tatea un eemple e ce tpe en namque. Les vecteus onaes (vtesses accéléatons foces) sont ans le plan et ont pa sute eu composantes. Les pseuo-vecteus (otatons nstantanées moments es foces) sont pepenculaes au plan et n'ont pa sute qu'une composante su la ecton oentée confome à l'oentaton u plan. Chaque sole ans le plan épen e tos paamètes et chaque consttuant sole u sstème ntout onc tos nconnues pncpales ou aulaes. L'applcaton u PFD pa égalté es toseus conut à l'éctue e tos équatons scalaes. Mses à pat ces fféences numéques tout ce qu a été t c-essus au nveau es étapes e la moélsaton (ont la econnassance u caactèe plan u moèle fat pate) pus e la statége pou l'applcaton u PFD emeue valable. 6. Eemple Sot α F H G e I J C. Vue l'oentaton e l'espace α < ans la poston e la fgue. La est epéée pa le paamète angulae θ. et le bât S poston u ceceau autou e son ae Ce S l'on ésgne pa l'abscsse u pont e contact ente le ceceau S est conut à éce : lcosα. l'nstant ntal t on suppose que le sstème est au epos : &α θ &. on Le plan e l'étue est le suvant : Inventae es actons applquées au ves soles pplcaton u PFD : applquant les pncpes eposés au -4- on conséea successvement les sstèmes suvants : - sstème Σ S S - sole S Ectue e la conton e oulement sans glssement en et ésoluton u poblème. Etue u mouvement commençant à t avec les contons ntales e epos. a) Inventae es actons applquées S l α S G l S C fgue 4. S θ e. e e Sot le sstème Σ consttué 'une tge S 'etémtés et C et 'un ceceau S comme le monte la fgue 4.. n ésgne pa S le bât et pa R avec e e e le epèe qu lu est lé. est e longueu l homogène e masse M et a pou cente e masse G mleu La tge S e C. Son etémté est astente à se éplace sans fottements su l'ae e. Le ceceau S est homogène e masse m l a pou aon et pou cente e masse C et l est lé à la tge S pa une lason pvot sans fottements 'ae Ce. La lason ente ce ceceau et le bât S peut ête moélsée pa une lason ponctuelle en. Le coeffcent e fottement ente les eu matéau consttuant le ceceau et le bât est noté f. S F α l S P G l S R R C fgue 4.4 n s S θ C P e. e cton e la gavté : ω S G P avec P Mge nω S s C P avec P mge cton e S su S : ns S s F cton e S su S : ns S s R avec F F e e avec R T e + N e Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

19 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS cton e S su S : ns S s nr C M Cs la lason pvot 'ae Ce poblème est plan onc M C e M C e R X e + Y e C C C.. est sans fottements onc M C e. Fnalement ns S s C R C b) pplcaton u PFD au sstème Σ S S. De plus le avec Le epèe R pouvant ête conséé comme galléen l'énoncé u PFD conut à : let Σq DΣ / R c'est-à-e : nω Ss+ nω S s+ ns Ss+ ns S s DΣ / R ou encoe : P + P + F + R Σ / R (4.98) et G P + C P + F δ Σ / R. (4.99) avec et Calcul es ésultantes : Σ/ R MΓ G/ R + mγ C/ R (4.) δ Σ / R δ S / R + δ S / R (4.) G lcosα G + G onc lsn α (appelons que α < ). VG / R 'où F H G I lα& sn α G lα& cosα t J / Γ G / R F H G I l && sn & α α+ α cosα G lα&& cos α α& sn α (4.) t J / lcosα C + C onc VC / R lα& sn α e 'où Γ C/ R l α&& sn α+ α& cosα. (4.) e En combnant les équatons (4.98) (4.) et (4.) on obtent en pojecton su les vecteus e et e : F + T Ml α&& sn α+ α& cos α ml α&& sn α+ α& cosα (4.4) α α α α (4.5) Mg mg+ N Ml && cos & sn Calcul es moments au pont : D'apès la fomule e changement e pont δ ( S / R ) δ G ( S / R ) + G ( ) 44 S / R (4.6) M Γ( G / R ) Ω avec ( ) ( / ) δ G S / R I G ( S ) + Ω( / ) I G ( S ){ Ω( / )}. t / 'apès les calculs effectués au III..a) I GS L M P où M S ésgne une base assocée à un epèe lé au sole S alos : Ω S / Ω / α & où α e e e NM e Ml δ R && e. onc G ( S / ) α D'apès l'équaton (4.6) on a alos : δ S / R + M l α&& Q lcosα lsn α l et l C. M l α&& sn α+ α& cosα M l α&& cos α α& sn α ce qu conut tous calculs fats à : M l δ S / R R S α&& + M l α&& cos α α& sn α T + Ml α&& sn α+ α& cosα e t (4.7) Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

20 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS δ ( S / R ) δ C ( S / R ) + C mγ( C / R ) De la même manèe que pécéemment on touve : C ( S / ) m && θe onc 'où δ S δ R (4.8) m l α&& sn α+ α& cosα / R + m && θ δ S / R m && θ+ ml α&& sn α+ α& cosα e (4.9) o lcosα G P lsn α Mg Mglcosα C P e mg e b g lcosα F F lsn α 'où : b g F b t lsn α M l Mglcos F lsn && α α α+ m && θ + bm + mglα&& sn α+ α& cosα + M l α&& cos α α& sn α c) pplcaton u PFD au sole S n s g (4.) L'énoncé u PFD conut à et S D S / R c'est-à-e : nω S s+ ns S s+ ns S s DS / R ou encoe : P + R + R C mγ C/ R (4.-a) ce qu conut à eu équatons scalaes T + X C m l ( α&& sn α + α& cosα) (4.-b) N + YC m g. (4.-c) C R δ S R. (4.) et ( ) L'équaton (4.) s'éct encoe : 'où C / T N m && θ e T m & θ. (4.) ) Récaptulatf es équatons et es nconnues u poblème Inventae es nconnues foces nconnues : F T et N angles : α et θ En tout 5 nconnues Inventae es équatons conut à L'applcaton u PFD au sstème Σ S S équatons (4.4) (4.5) et (4.). L'applcaton u PFD à S conut à équaton (4.). S l'on pen mantenant en compte l'hpothèse e oulement sans glssement on sposea alos ' équaton supplémentae ce qu conut fnalement à 5 équatons. Contons à véfe Il faut véfe pa alleus que F > et N >. L'hpothèse e non glssement mpose également pa alleus : T < f N. (4.4) e) Conton e oulement sans glssement La conton e oulement sans glssement en s'éct : V / R. V / R VC / R + Ω S / C onc e & + & θ c'est-à-e & + θ&. (4.5) Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

21 Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS lcosα onc l'équaton (4.5) s'éct : l α& sn α+ θ& f) Etue u mouvement commençant à t Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS c'est-à-e Mglcos α+ l α&& 8msn α M + M c'est-à-e Mglcos l && L 4 α α 8 msn α L NM NM F HG I J QP QP Pou connaîte &&α à t l faut éve une nouvelle fos pa appot au temps : l α&& sn α+ α& cos α + && θ. (4.6) 'où Mgcosα α&& 4 6msn α + M l (4.) Les cnq équatons (4.4) (4.5) (4.) (4.) et (4.6) s'écvent à t et onc pou &α : b b g l && cos M l b l g m bm mg l (4.9) F + T M+ mgl α&& sn α (4.7) M + m g+ N M α α (4.8) Mglcosα F sn α α&& + && θ+ + α&& sn α + M l α&& cos α T m&& θ (4.) l α&& sn α+ && θ. (4.) n en éut onc que &&α >. α < onc 'apès l'équaton (4.) on véfe ben que F >. En emplaçant &&α pa son epesson ans l'équaton (4.) on a : Mg && sn α cosα θ <. 6msn α + M L'équaton (4.) peut mantenant s'éce en utlsant l'équaton (4.) : Mmg T m && sn α cos α θ 6msn α + M (4.4) Les équatons (4.) et (4.) mplquent : T m&& θ ml α&& sn α. (4.) En emplaçant T pa son epesson b ans l'équaton (4.7) on obtent : F M + m glα&& sn α m lα && sn α 'où F M+4 mgl α && sn α (4.) b En emplaçant F et m && θ pa leus epessons ans l'équaton (4.9) on a alos : b g b g b g Mglcos α + M+ 4m lα&& sn α lsn α M l α&& + mlα&& sn α+ M+ m lα&& sn α+ Ml α&& cos α ce qu va pemette 'obten &&α : Mglcos α + lα&& sn α M+ 4m M m m L NM b L NM M + l α&& M+ 4m sn α Mcosα c'est-à-e Mglcos l && F α+ α 8msn α M sn α+ cos α+ b g HG g QP I J QP n a alos T <. La enèe étape consste à calcule N en utlsant l'équaton (4.8) : N bm mg + g Ml α && cos α M gcos α c'est-à-e N bm + mgg 46 msn α + M 46 msn α+ Mm+ M + sn α+ 4mMsn α 'où N g 46msn α + M g) Cas où m M m gsn α cosα L'équaton (4.4) s'éct alos : T 6 sn α + et l'équaton (4.5) : N 4sn α sn α+ 4sn α mg 46 sn α sn α 'où N mg 46sn α + (4.5) (4.6) Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans

22 f Chapte 4 Dnamque u sole DEUST VS La conton (4.4) s'éct pusque T < T < f N (4.7) mgsn αcosα 5+ 5sn α c'est-à-e : < fmg 6 sn α + 46 sn α + c'est-à-e 6 sn αcosα < f5+ 5sn α ce qu event à éce en vsant les eu membes e l'équaton pa cos α : sn 6 tg α< f 5 + tg α + 5 α c'est-à-e 6 tg α< f 5+ 56tg α 6 tg α 'où f > (4.8) tg α n peut alos étemne les omanes e glssement et e non glssement à l'nstant ntal en epésentant le coeffcent e fottement f en foncton e tg α. 6 X L'équaton (4.8) peut auss s'éce : Y > en posant Y f et X tg X α. 6 X L'étue e la foncton Y conut à calcule sa évée pa appot à X : X Y X Y X 65 56X 5+ 56X 5 X ce qu conut à Y sans glssement avec glssement tg α Fgue 4.5 Cathene Potel Unvesté u Mane - Le Mans