Bienvenue! Statistiques à 2 variables et calculatrice graphique. Congrès SBPMef 2015

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1 Statistiques à 2 variables et calculatrice graphique Bieveue! Cogrès SBPMef 2015 Equipe Fraçoise Delpérée fdelperee@hotmail.com Virgiie Loward virgiie.loward@skyet.be 1

2 Statistiques à 2 variables & calculatrice graphique 15:30 Itroductio 15:35 Calcul et affichage de la droite de régressio 15:45 Costructio ituitive de la droite 16:15 16:30 Costructio ituitive de la mesure de la qualité de l ajustemet Réposes aux questios 2

3 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE 3

4 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Superpositio des uage de poits, poit moye et droite de régressio; Prédictio d ue ordoée théorique pour ue abscisse doée. 4

5 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE EXERCICE PRATIQUE 15 as 16 as 11 Sur ue aée, o a oté, pour as 12 as 14 as 13 as 12 as adolescets, leur âge et leur motat hebdomadaire moye d arget de poche, exprimé e euros. Commet afficher le uage de poit, l élève moye et la droite de régressio qui prédit l arget de poche que recevrait u adolescet? Combie recevrait théoriquemet u ado de 13 as, u jeue de 18 as et u ouveau-é? Exercice ispiré de Elémets de Statistique. DROESBEKE, Editios de l'uiversité de Bruxelles, Bruxelles

6 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Meu Statistiques Allumer la calculatrice Appuyer sur 6

7 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Meu Statistiques Allumer la calculatrice Appuyer sur Démarrer le meu STAT Appuyer sur Se déplacer & Valider avec ou Appuyer sur 7

8 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Meu Statistiques Allumer la calculatrice Appuyer sur Démarrer le meu STAT Appuyer sur Se déplacer & Valider avec ou Appuyer sur Remoter das les meus Appuyer sur Descedre das les meus 8

9 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Ecoder les doées i x i y i

10 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Paramètres d affichage Gééraux Particuliers 10

11 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Nuage de poits Le uage est cocetré. Le uage semble avoir ue orietatio globale. Les adolescets les plus âgés reçoivet davatage d arget que leurs cadets. Ue droite qui traduirait cette orietatio serait de pete positive. 11

12 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Poit moye «L élève moye a 13 as et reçoit 6,5». 13 as 6,5 12

13 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Poit moye 13 as 6,5! 13

14 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Affichage simultaé 13 as 6,5! 14

15 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Nuage et poit moye Le poit moye se trouve au milieu du uage de poits. L «élève moye», qui a 13 as et reçoit 6,5 d arget de poche, e correspod à aucu élève e particulier. 15

16 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Droite de régressio????????? 16

17 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Droite de régressio Le poit moye se trouve sur la droite de régressio. La droite traduit bie l orietatio du uage. La droite permet de prédire avec plus ou mois de précisio l arget de poche pour u âge doé. 17

18 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Prédictios 18 as 13 as?????? 0 a 18

19 CALCUL ET AFFICHAGE DE LA DROITE Prédictios U jeue de 18 as recevrait 15,5. U ouveau-é devrait 17 à ses parets!!! Le résultat prédit est raisoable qu aux aletours du domaie de variatio (ici etre 11 et 16 as). Le poit moye appartiet à la droite de régressio. 19

20 CONSTRUCTION INTUITIVE DE LA DROITE 20

21 CONSTRUCTION INTUITIVE DE LA DROITE Equatio y = y + a( x x ) Covariace s xy = 1 Pete a = ( x x )( y y) i i ( x x )( y y ) i i (x i x ) 2 21

22 CONSTRUCTION DE LA DROITE Déviatios Das le uage, le poit moye est u poit particulier. x i x? y i y? Commet les poits du uage variet-ils par rapport à lui? Où se situet-ils par rapport à lui? 22

23 CONSTRUCTION DE LA DROITE Déviatios x i i x i x as! ! as as ( x x ) i = 0 0 «La moyee des déviatios est ulle» 23

24 CONSTRUCTION DE LA DROITE Déviatios x i x i x 24

25 CONSTRUCTION DE LA DROITE Déviatio moyee 25

26 CONSTRUCTION DE LA DROITE Déviatio moyee y i i 1 4 y i y -2, ,5 4,5 3,5 4,5 0,5 0,5 0,5-3,5-3,5!!!!!!!!! ( y y ) i = 0 0 «La moyee des déviatios est ulle» 26

27 CONSTRUCTION DE LA DROITE Déviatio moyee y i y i y 27

28 CONSTRUCTION DE LA DROITE Déviatio moyee La moyee des déviatios, ou déviatio moyee, est toujours ulle. La déviatio moyee e ous doe aucue iformatio sur l orietatio du uage. 28

29 CONSTRUCTION DE LA DROITE Nuage des déviatios Le uage des déviatios a la même orietatio que le uage de poits. 29

30 CONSTRUCTION DE LA DROITE Equatio de la droite y = ax ( x; y ) Si o détermie la pete du uage des déviatios, o a l équatio de la droite de régressio ( ) y = y + a x x 30

31 CONSTRUCTION DE LA DROITE Déviatios Les poits du uage des déviatios se répartisset de part et d autre de l origie. Les poits du uage des déviatios sot das les premier et troisième quadrats. 31

32 CONSTRUCTION DE LA DROITE Co-variace aée. Les déviatios sot positives ou égatives e même temps. Ici, le produit des déviatios est positif. U produit égatif correspodrait à des déviatios de ses opposé. 32

33 CONSTRUCTION DE LA DROITE Covariace aée.! s xy := 1 ( x x )( y y ) i i Ue covariace positive correspod à des variatios des deux variables das le même ses. Iversemet ue covariace égative correspod à des variatios e ses opposé. 33

34 CONSTRUCTION DE LA DROITE Covariace ( x i x )( y i y ) Les déviatios des abscisses et des ordoées sot de même sige. 34

35 CONSTRUCTION DE LA DROITE Pete a = Δy Δx = y 2 y 1 x 2 x 1 1 y y 1 x x 1 peut-être 1 / 0 y i y x i x cotrexemple avec des poits das les autres quadrats 1 1 ( y y ) i ( x x ) i 0/0 1 1 ( y y ) 2 i ( x x ) 2 i toujours >0 35

36 CONSTRUCTION DE LA DROITE Pete 1 ( x x )( y y ) i i traduit l orietatio du ua ( x x ) i ( y y ) i ( x x ) i ( x x )( y y ) i i ( x x )( x x ) i i (x x) 2 > 0 i 36

37 CONSTRUCTION DE LA DROITE Pete a := 1 ( x i x )( y i y ) (x i x) 2 = s xy s x 2 Plus u élève est éloigé e âge de l âge moye, plus il ifluece la pete de la droite ; plus il est proche de l âge moye, mois il l ifluece. a = 1 ( x i x ) 2 s x ( y i y ) La pete représete par aée supplémetaire, la moyee des déviatios des ordoées «podérées» par la déviatio de leurs abscisses correspodates. 1 37

38 CONSTRUCTION DE LA DROITE Equatio de la droite a=4,7/1,61 2 =1,81 38

39 CONSTRUCTION DE LA DROITE Pete et covariace a = s xy s x 2 s 2 x as x 2 = s xy s xy s x as x asx=1,81.1,61 =2,91 U élève âgé de 14,5 as reçoit théoriquemet presque 3 euros e plus que l élève moye. 39

40 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT 40

41 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Méthode des moidres carrés Coefficiet de corrélatio r = Miimiser 1 ( x x )( y y ) i i (x i x) 2 (y i y) 2 e i 2 41

42 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Erreur Quelle est l erreur commise e utilisat la droite de régressio das ue prédictio? y + a( x x ) i y i erreur e i ( ( )) = y i y + a x i x x i 42

43 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Résidus Résidu = la différece etre l ordoée observée et l ordoée théorique e i = y i ( y + a( x i x )) = ( y i y ) a( x i x ) ( y i y ) 1.81( x i x ) 43

44 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Moyee des résidus Les résidus sot tatôt positifs, tatôt égatifs. La moyee des résidus est toujours ulle. Elle apporte doc aucue iformatio pour mesurer l ajustemet aux doées. e i = (y i y) a (x i x) = 0!# "# $!# "# $ = 0 = 0 44

45 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Moyee quadratique e i 2 e i e i 2 1 e i 2!! 1 2 e i = (y i y) 2 e i 2 e i = ( y i y ) a( x i x ) + a 2 (x i x) 2 2a x i x = s y 2 + a 2 s x 2 2as xy ( )( y i y ) 45

46 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Moyee quadratique e i e i 2 46

47 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Méthode des moidres carrés 1 e 2 i = s y 2 + a 2 s x 2 2as xy = s x 2 a 2 2s xy a + s y 2 -b +2s 2a = xy 2s 2 x = s xy s x 2 -D 4a = - (2s ) 2 xy - 4s 2 x s y 2 4s x = - s 2 xy - s 2 2 x s y 2 s La moyee quadratique miimale est atteite quad x a = s xy s x 2 Ce miimum, erreur quadratique moyee, vaut EQM = s 2 y s 2 xy 2 s x 47

48 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Coefficiet de corrélatio 2 EQM = s y 2 s xy s x 2 EQM = 1 s xy s 2 s s y x y 2 r := s xy s x s y = as x s y s x = 1 r 2 qualité d ajustemet 48

49 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Coefficiet de corrélatio 3,10= s y s x s y s xy s x as x =2,91 =1,61 r = s xy s x s y = as x s y Le coefficiet de corrélatio représete le rapport etre l écart type attedu et l écart type observé. 49

50 QUALITÉ DE L AJUSTEMENT Coefficiet de corrélatio =2,91/3,10 Plus le uage est cocetré, plus l erreur quadratique est faible, meilleure est la qualité de l ajustemet, plus le coefficiet de corrélatio est proche de 1. 50

51 Statistiques à 2 variables et calculatrice graphique Merci! Cogrès SBPMef 2015 Equipe Fraçoise Delpérée fdelperee@hotmail.com Virgiie Loward virgiie.loward@skyet.be 51

52 Ce documet, e tout ou e partie, peut être reproduit uiquemet à des fis pédagogiques et ce, pour autat que la source soit citée. Merci, l équipe 52