COTTAZ Céline DESVIGNES Emilie ANTHONIOZ-BLANC Clément VUILLERMET DIT DAVIGNON Nicolas. Quelle est la trajectoire de la Lune autour de la Terre?

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1 COTTAZ Céline DESVIGNES Emilie ANTHONIOZ-BLANC Clément VUILLERMET DIT DAVIGNON Nicolas Quelle est la trajectoire de la Lune autour de la Terre? Terminale S1 Lycée Elie Cartan Olympiades de Physiques

2 Sommaire INTRODUCTION 1. Caractéristiques de la Lune et hypothèse émise. a. Les caractéristiques de la Lune. b. Notre hypothèse simplificatrice. 2. Protocole expérimental. 3. Étude expérimentale. a. Première étape : mesure avec nos photos. b. Deuxième étape : calcul des valeurs théoriques. c. Troisième étape : mesures avec des photos prises avec le logiciel «Carte du ciel». CONCLUSION Sources - 1 -

3 Introduction La Lune, seul satellite naturel de la Terre, est en orbite autour de celle-ci depuis des milliards d années. Quatre fois plus petite que la Terre, elle met environ 27,3 jours pour en faire le tour, soit 27 jours 7 heures et 43 minutes. C est ce que l on appelle sa période sidérale. Mais son mouvement ne se limite pas à cette simple révolution. Elle tourne aussi sur elle-même. Ce mouvement s effectue aussi en 27,3 jours ; c est pourquoi de la Terre, on observe toujours la même face. Selon M. BIBLE : «La Lune a été créée pour compter les jours» et selon M. FLAMSTEED : «La Lune, sur le fond du ciel étoilé donne l heure». Le mouvement de la Lune est si complexe que Newton disait luimême qu il lui donnait mal à la tête. Quelle est la nature de la trajectoire de la Lune autour de la Terre? Pour répondre à cette question nous ferons tout d abord une hypothèse simplificatrice. Ensuite nous analyserons le protocole expérimental que nous avons utilisé pour répondre à notre interrogation, puis nous appliquerons ce protocole à nos mesures expérimentales, pour enfin conclure sur la nature ce mouvement. 1. Caractéristiques de la Lune et hypothèse émise. a. Les caractéristiques de la Lune. Distance Terre-Lune :? minimale : km ;? moyenne : km ;? maximale : km ; Diamètre équatorial : km ; Carte d identité de la Lune Rayon : km soit 0,2725 le rayon de la Terre ; Circonférence km ; Masse 1/83 de celle de la Terre ; Volume 1/50 de celui de la Terre

4 La Lune est aussi appelée : la blonde Phoébé, l aimable Isis, la charmante Astardé ou encore la Reine des nuits. La densité moyenne de l aimable Isis (3,34) ne représente que les trois cinquièmes de la planète bleu, et la force de gravitation n'atteint qu'un sixième de celle observée sur celle-ci. Enfin l'atmosphère lunaire est quasi inexistante. La température à la surface est variable de 117 Celsius à Celsius. La Reine des nuits tourne autour de la Terre à une distance moyenne de km et à une vitesse variable, moyenne de 3700 km/h. La Lune parcourt en une heure une distance équivalente à celle qui sépare New York de Los-Angeles. Mais attention, la Lune ne tourne pas autour du centre de la terre mais autour du centre de gravité du système Terre-Lune, situé à environ 4600 km du centre de le terre. Ainsi, la distance Terre-Lune varie. Elle est en moyenne de km, soit environ trente diamètres terrestres. Lorsque la distance Terre-Lune est minimale ( km), la Lune est au périgée. Quand notre satellite est au plus loin de la Terre ( km), il est à l apogée. La droite qui joint l apogée et le périgée est appelée ligne de apsides. A noter que selon les époques, les distances minimales et maximales entre la Terre et la Lune varient : les valeurs citées ci-dessus correspondent aux extrema possibles. Sur ce dessin, l échelle n est pas respectée et l excentricité de l orbite de la Lune est exagérée (en réalité, l orbite de le lune est presque circulaire). (Http://lecleire.chez.tiscali.fr/guide/extraits.htm) Son mouvement, défini par la deuxième loi de Kepler, est plus rapide au périgée et plus lent à l apogée. Le rapprochement et l éloignement de la Lune au cours de sa révolution autour de la Terre se traduisent par une variation maximale de - 3 -

5 12% du diamètre apparent de la Lune vue de la Terre. Au périgée, le diamètre apparent de notre satellite est de (33 minutes et 32 secondes d angle) : à l apogée, il est de Pour simplifier, on peut dire que le diamètre apparent de la Lune dans le ciel est de l ordre de 30 minutes, soit ½ degré. Apogée : diamètre apparent : Périgée : diamètre apparent : L orbite décrite par la Lune ne se trouve pas sur le même plan que l écliptique qui est le plan contenant l orbite terrestre autour du Soleil. Elle est un peu inclinée, d environ 5, par rapport à ce plan. Si l orbite de la Lune n était pas inclinée de 5, par rapport à celle de la Terre, il y aurait chaque mois une éclipse lunaire et une éclipse solaire. Les deux points sur lesquels l orbite de la Lune coupe l écliptique s appellent les nœuds (ascendant et descendant) ; la ligne qui les relie se nomme la ligne des nœuds. La Lune est donc tantôt au-dessus de l écliptique, tantôt audessous. Lorsque la Lune se situe à l'un de ces nœuds, une éclipse totale de Soleil ou de Lune peut se produire puisque les trois objets célestes, Terre, Lune et Soleil sont alignés. D'où le nom du plan de l'écliptique! - 4 -

6 5 09 Le plan de l orbite de la Lune est incliné de 5 par rapport au plan de l écliptique. Sur ce dessin, l inclinaison a été volontairement exagérée. (Http://lecleire.chez.tiscali.fr/guide/extraits.htm) La Lune parcourt son orbite en 27 jours 7 heures 43 minutes. C'est la période de révolution Sidérale, soit le temps mis par la lune pour se retrouver dans une position identique par rapport aux étoiles (vient du Latin " sidus " : étoile). Par contre, pendant ce temps, la Terre continue à tourner autour du Soleil et c'est donc au bout de 29 jours 12 heures 44 minutes que la Lune se retrouve exactement à la même position par rapport au Soleil, c'est le mois lunaire ou lunaison, autrement dit c'est la période de révolution Synodique. Pendant qu'elle effectue une révolution entière autour de la Terre, la Lune accomplit exactement une rotation sur ellemême, cette rotation est dite " synchrone ", ce qui explique pourquoi la Lune présente toujours la même face, cet hémisphère est la partie éclairée par le Soleil. La partie invisible de la Lune depuis notre planète ayant été baptisée la face «cachée» de la Lune. La Lune n est pas une étoile car elle n émet pas sa propre lumière. Elle réfléchit la lumière qu elle reçoit du Soleil et la diffuse jusque vers la Terre. La lumière met environ une seconde pour nous parvenir de sa surface. Sans la Lune la duré e du jour sur terre serait de 15 heures (vitesse multipliée par 1,6). La Lune évolue sur une trajectoire elliptique comme la quasi totalité des corps en orbite autour d un astre et présente une excentricité moyenne de 0,05. La Terre, comme le veut la première loi de Kepler occupe l'un des foyers de cette ellipse. Le demi-grand axe de l'ellipse mesure environ km, et les deux foyers sont éloignés de km environ, soit un peu moins de deux fois le diamètre de la terre

7 b. Notre hypothèse simplificatrice. Ainsi nous avons décidé de vérifier par nous même que la trajectoire de la Lune est elliptique. Mais comme son mouvement autour de la Terre est extrêmement complexe, à cause de la présence du Soleil (problème à trois corps, classique et difficile de mécanique céleste), nous négligerons l effet du Soleil. 2. Protocole expérimental Tout d abord, nous nous sommes proposés de prendre des photographies de la Lune avec un appareil numérique. Mais avec les caprices de mère nature, cette tâche n a pas été des plus simples. Parfois pendant une semaine le temps ne s y prêtait pas, ce qui explique certaines discontinuités dans notre schéma. Ainsi nous avons pris plusieurs clichés de la Lune. A partir de ces photographies, nous avons mesuré le diamètre de la Lune en essayant d être le plus précis possible. Cette fois le problème rencontré s est produit quand nous avons voulu mesurer le diamètre de la lune alors que seulement un quartier était visible sur le cliché. Il a fallu continuer le cercle en obtenant ainsi une valeur approximative. Ce diamètre mesuré correspond au diamètre apparent de la Lune. Une fois que nous avons mesuré le diamètre de la Lune, nous avons calculé la distance Terre/Lune par la relation suivante : Avec : donc : avec : d : diamètre apparent de la lune mesuré sur les clichés D t/l : distance Terre-Lune Dl : diamètre de la Lune d = Dl / (D t/l) D t/l = Dl / d Dl = 3476 km Ainsi la distance Terre-Lune se calcule par la relation : D l = 3476 / d - 6 -

8 Ainsi nous pourrons replacer la Lune sur le tracé de son orbite selon le jour et l heure (à 12h près) à laquelle nous avons pris les photos. Une fois toutes ces données en main, nous avons tracé l orbite de la Lune. Depuis un point situé au centre d une feuille de papier, nous avons d abord tracé une ligne de référence pour notre première photo, puis avec un rapporteur nous avons divisé un cercle de 360 degrés en 28 parties égales (car la Lune faisant le tour de la Terre en 27 jours 7 heures et 43 minutes nous avons arrondi à 28). Chaque division correspond à un jour. Le long de chaque direction où nous avons pris une photo, nous avons tracé un point à la distance R correspondante (en millimètre) que nous avons calculée. Chacun de ces points représente un point de l orbite de la Lune. En supposant que l ellipse de l orbite est assimilable à un cercle décentré, nous avons trouvé du mieux que nous avons pu le centre du cercle. Ensuite, nous avons ouvert notre compas pour qu il ait le même rayon que la moyenne de toutes nos valeurs de D et nous avons tracé un cercle qui passe le plus près possible de nos points de l orbite. Ce cercle représente l orbite de la Lune. Ce n est pas une ellipse, mais c est une bonne approximation. La Terre est située au niveau du point autour duquel on a mesuré les angles sur notre schéma. Ce point est l un des deux foyers de l ellipse. Nous avons tracé son grand axe qui passe par son foyer, et par son centre, qui est aussi le centre du cercle. Schéma représentant les différents axes de l orbite - 7 -

9 Enfin nous avons calculé l excentricité de la Lune à l aide de la relation suivante : e = f / a e étant l excentricité, a la longueur du demi-grand axe et f la distance entre le centre de l ellipse et l un des foyers. L excentricité est comprise entre 0 et 1. Si l on obtient une excentricité de 0, l orbite obtenue est un cercle. Si l on obtient une excentricité de 1, l orbite obtenue est une ellipse aplatie, c est-à-dire un segment. Si l excentricité obtenue est comprise entre 0 et 1 alors l orbite est une ellipse plus ou moins arrondie allant d un cercle bien rond jusqu à une ellipse bien plate. Pour finir nous avons construit une maquette représentant la position de la Lune afin de modéliser tout notre travail. Certaines photos se sont avérées défectueuses pour la suite de notre travail. Cela provient du fait que l appareil numérique utilisé n était pas dédié à ce genre de photographies ; c est-à-dire qu il a subi une saturation due au trop plein de lumière. Ainsi les photographies se sont avérées floues donc difficilement exploitables. Nos photos étant difficilement exploitables nous avons cherché dans un premier a trouver les valeurs que l on aurait du logiquement avoir par rapport à la photo la plus juste que nous avons obtenue car nous l avons prise de jour. Et dans un second temps nous avons pris contact avec un astronome amateur (M. Monchanin), qui nous a montré un logiciel nommé «Carte du Ciel». Après prise en main du logiciel, nous avons ainsi pu obtenir des photographies de la Lune à la date choisie (du 04 au 31 Janvier 2004). Ensuite par l intermédiaire d un logiciel d image (Adobe ImageReady 7.0.1) nous avons mesuré le diamètre apparent de la Lune (à 10-1 mm près). Nous avons ensuite appliqué le même raisonnement que pour les photographies prises dans un premier temps. 3. Étude expérimentale a. Première étape : mesure avec nos photos. Voir nos photos page suivante

10 02/10/2003 à 21h46 09/10/2003 à 21h40 10/10/2003 à 20h14 11/10/2003 à 21h45 15/10/2003 à 7h16 16/10/2003 à 7h16-9 -

11 20/10/2003 à 7h10 29/10/2003 à 17h40 Tableau des mesures de l orbite de la Lune : dates, diamètre d et distance Terre-Lune D l/t Date Heure Diamètre d (en mm) D t/l distance Terre Lune (mm) 02/10/ h /10/ h /10/ h /10/ h /10/ h /10/ h /10/ h /10/ h Moyenne de toutes les distances D Terre/Lune : 219,75 mm Mesure de "a" et "f" : f = 3,0 cm et a = 28,6 cm calcul de "e" : e = f / a ; e = 3,0/28,6 ; soit : e = 0,10 La valeur théorique étant de 0,05 ; nous obtenons le double donc une incertitude relative de 100%, ce qui est inacceptable! Avec le schéma nous voyons que cette erreur provient de nos photographies

12 Schéma de l orbite de la Lune par rapport aux photographies que nous avons prises

13 b. Deuxième étape : calcul des valeurs théoriques. Nous avons décidé de vérifier avec des calculs faits à partir de valeurs de distance réelle entre la Terre et la Lune. Pour mettre ces valeurs à l échelle de notre schéma nous les avons converties avec une relation de proportionnalité entre nos valeurs et celle de la distance Terre-Lune réelle avec un coefficient nommé «K» et on obtient la relation : Dr = k Dt Avec : Dr : distance réelle Terre-Lune en kilomètre Dt : distance Terre -Lune théorique sur notre schéma en millimètre. Pour obtenir le coefficient K il faut que l une de nos valeurs de distance Terre-Lune, que l on a calculée soit utilisée pour la distance Terre-Lune théorique d un jour que l on notera Ds. En prenant Ds le 9 octobre on a Ds= 290 mm K = Dr/Ds = / 290 = 1265 Pour calculer toutes les autres distances Terre-Lune théoriques des autres jours nous avons pris notre formule et on obtient : Dt = Dr / K Pour une meilleure précision de nos mesures sur notre schéma nous avons rajouté des mesures même si nous n avions pas fait de photo ces jours là

14 Date D réel (en km) D schéma (en mm) D théorique (en mm) 02/10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/ k = 1265 MOYENNE : 277 Schéma de l orbite de la Lune par rapport aux valeurs théoriques (voir page suivante). Avec ces valeurs nous obtenons une nouvelle excentricité. En calculant cette excentricité nous obtenons : e = 1,5 / 30,9 = 0,048? 0,048? 0,05 Notre incertitude relative est alors de : 4 %? * 100?? 0,05 Ce taux d erreur étant bien plus faible que celui calculé avec nos mesures issues des photographies, nous avons décidé de faire une maquette de la position de la Lune les jours où nous avons pris nos photos avec ces valeurs théoriques.?

15 Schéma de l orbite de la Lune par rapport aux valeurs théoriques

16 c. Troisième étape : mesures avec des photos prises avec le logiciel «Carte du ciel»

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20 Tableau des valeurs avec ces nouvelles photos Date Diamètre de la lune (mm) Distance Terre-Lune (cm) 04/01/ ,8 21,89 05/01/ ,1 21,85 06/01/ ,0 21,72 07/01/ ,4 21,67 08/01/ ,6 21,51 09/01/ ,6 21,51 10/01/ ,2 21,3 11/01/ ,8 21,22 12/01/ ,4 21,02 13/01/ ,6 20,86 14/01/ ,8 20,71 15/01/ ,1 20;56 16/01/ ,3 20,41 17/01/ ,3 20,29 18/01/ ,2 20,29 19/01/ ,8 20,12 20/01/ ,8 20,12 21/01/ ,3 20,29 22/01/ ,3 20,41 23/01/ ,5 20,63 24/01/ ,2 20,79 25/01/ ,0 21,07 26/01/ ,9 21,34 27/01/ ,3 21,55 28/01/ ,0 21,72 29/01/ ,4 21,81 30/01/ ,8 21,89 31/01/ ,8 21,89 f = 1,2 a = 22,2 e = f /a = 0,054 Excentricité Nous avons donc une incertitude relative de 8%

21 Schéma de l orbite de la Lune par rapport aux photographies du logiciel «carte du ciel»

22 Conclusion En conclusion les trois séries de mesures donnent toujours une excentricité strictement supérieure à zéro (comprise entre 0,048 et 0,10) à un pourcentage de marge d erreur près variant de 100% à 4%. Ainsi ayant une excentricité comprise entre 0 et 1 l orbite suit une trajectoire elliptique dans tous les cas. Mais cette ellipse est vraiment très proche du cercle Sources Internet : Sources document sur l observation de la Lune schéma + valeur de l excentricité de la Lune longitudes de la Lune+distance Terre-Lune document sur le calcul de l excentricité de la Lune + schéma Carte du ciel Adobe ImageReady 7.0. Sources sur ordinateur : Encyclopédie ENCARTA 2003 Aide extérieur : M. BERNARD de l observatoire de Lyon-Saint-Genis-Laval. M. de SAINTE FOY, M. ROCCHI, Mme MICHEL, professeurs du lycée Elie Cartan. M. MONCHANIN, Astronome amateur

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