Etude d une limite de suite

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1 Etude d ue ite de suite I) Limites de suite usuelle ) Suites de référece de ites fiies = 0 = 0 2 = 0 et plus gééralemet o a : + p = 0 avec p N 2) Suites de référece de ites ifiies = + + = = + et plus gééralemet o a : + p = + avec p N

2 II) Opératios et ites ) Limite d ue somme Si (u ) a pour ite : l l + + Si (v ) a pour ite : l + + Alors (u + v ) a pour ite : l + l + + idétermiée 2) Limite d u produit Si (u ) a pour ite : l l ( 0) ± 0 Si (v ) a pour ite : l + ± Alors (u v ) a pour ite : l l + ± O applique la règle des siges idétermiée 3) Limite d u quotiet a) + v 0 Si (u ) a pour ite : l l ± ± Si (v ) a pour ite : l ( 0) + l ( 0) ± Alors ( u v ) a pour ite : l l 0 ± O applique la règle des siges idétermiée b) + v = 0 Si (u ) a pour ite : l( 0) ou l( 0) ou 0 Si (v ) a pour ite : Alors ( u v ) a pour ite : ± O applique la règle des siges idétermiée

3 4) Exemples Exemple : Détermier la ite de la suite u = = 0 alors = 0+ 5 = 5 Exemple 2 : Détermier la ite de la suite u = + : = + et = 0 doc + = 0 + = Exemple 3 : Détermier la ite de la suite u = = + et = + o obtiet ue forme idétermiée : «+» + + Pour e plus avoir ue forme idétermiée, e gééral, ue factorisatio suffit, e preat comme facteur le terme domiat : u = = ( ) = + + Comme + = 0 par coséquet : + ( ) = + = + doc ( + ) = + Exemple 4 : Détermier la ite de la suite u = = + et 2 + = + o obtiet ue forme idétermiée : Le umérateur et le déomiateur sot des expressios polyômiales : O factorise le umérateur et le déomiateur par le terme du plus haut degré, qui est 2 das les deux cas. Pour : ²( = 2) 2+ 2 (+ ) = 2 + Comme + ² + 2 Doc : = 2 = 0 par coséquet 2 + = 2 + ² = 0 par coséquet : + ( + ) = 2 = 2 doc = 2

4 Exemple 5 : Détermier la ite de la suite u = = + et 2 = + o obtiet ue forme idétermiée : Le umérateur et le déomiateur sot des expressios polyômiales : O factorise le umérateur et le déomiateur par le terme du plus haut degré, qui est pour le umérateur et 2 pour le déomiateur. Pour : (7+ 2 = ) = Comme + = 0 par coséquet = 7 + = Doc : + 2 = =0 doc = 0 III) Limite et comparaiso ) Théorème (u ) et (v ) sot deux suites. Si pour tout etier aturel supérieur à u certai etier aturel 0 : u v et + u = + alors + v = + u v et + v = alors + u = Démostratio : Motros tout d abord que si u v et + u = + alors + v = + Pour cela il faut prouver que tout itervalle de la forme ] A ; + [ cotiet tous les termes de la suite (v ) à partir d u certai idice. Soit A u ombre quelcoque. + u = + alors, par défiitio, l itervalle ] A ; + [ cotiet tous les termes de la suite (u ) à partir d u certai rag. Notos p ce rag. Doc pour tout p De plus, pour tout 0 u > A u v ce qui reviet à écrire v u E otat N, le plus grad des deux etiers 0 et p o peut doc écrire que pour tout N, v u > A O e déduit que : pour tout N, v > A

5 Il existe doc bie u rag, à savoir l etier N, à partir duquel tous les termes de la suite (v ) sot das u itervalle quelcoque de la forme ] A ; + [ Ce qui prouve que + v = + Illustratio graphique : Maiteat motros que si u v et + v = alors + u = Pour cela il faut prouver que tout itervalle de la forme ] ; A[ cotiet tous les termes de la suite (u ) à partir d u certai idice. Soit A u ombre quelcoque. + v = alors par défiitio, l itervalle ] ; A[ cotiet tous les termes de la suite (v ) à partir d u certai rag. Notos p ce rag. Doc pour tout p De plus, pour tout 0 v < A u v E otat N, le plus grad des deux etiers 0 et p o peut doc écrire que pour tout N, u v < A O e déduit que : pour tout N, u < A

6 Il existe doc bie u rag, à savoir l etier N, à partir duquel tous les termes de la suite (u ) sot das u itervalle quelcoque de la forme ] ; A[ Ce qui prouve que + u = 2) Exemples Exemple : Détermier la ite de la suite (u ) défiie par: u = pour 6 5 Pour tout etier 6, et doc pour tout etier 6 : D où pour tout etier 6 : 5 < 5 > 5 > soit : 5 > = +, alors le théorème de comparaiso permet de coclure que : = + Exemple 2 : Détermier la ite de la suite (u ) défiie par: u = pour 4 3 Pour tout etier 4, et doc pour tout etier 4 : D où pour tout etier 4 : 3 < 3 > 3 > Nous obteos doc : pour tout etier 4 : soit : 3 < 3 < =, alors le théorème de comparaiso permet de coclure: + 3 = +

7 3) Théorème d ecadremet ( dit : «théorème des gedarmes») (u ), (w ) et (v ) sot trois suites. Si pour tout etier aturel supérieur à u certai etier aturel 0 : v u w et si les suites (v ) et (w ) coverget vers la même ite l, alors la suite (u ) coverge aussi vers l. Ce théorème est admis. Illustratio graphique : Exemple: Détermier la ite de la suite (u ) défiie par: u = 2 + 5( ) pour : Pour tout : ( ) et doc pour tout etier : 5 5( ) 5 D où pour tout etier : 2 + ( 5) 2 + 5( ) Nous obteos doc: pour tout etier 3 Or ( ) + = 0 et ( ) 7 = 0 doc le théorème d ecadremet permet de coclure : = 0 + u = 0 La suite (u ) état ecadrée par deux suites qui coverget vers 0, coverge aussi vers 0.

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