Les conducteurs électriques

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1 C.N.C CORRECTION PHYSIQUE II 010 Les conducteurs électriques preiére partie conduction électrique dans un ilieu atériel systée etudié :charge eléentaire q d aprés la loi fondaental on a : 1.1. a = F e + F a + F r en replacant par l expression de chaque force on aura : a = q E τ v ω 0 r Le choix du régie sinusoïdal peret d eliiner le regie transistoire du soultion générale de l equation différentielle en régie sinusoïdal forcé on a v = v e i(ωt+ϕ) donc d v = iω v et dt r = v v dt = ce qui peret de déduire l expréssion suivante : iω on déduit l expression finale : v = q E (iω + 1 τ + ω 0 iω ) v = qω E ( ω τ + i(ω ω 0 )) On définit la densite voluique des charges par la relation suivante :ρ = δn δv = nq 1

2 Correction Noncours National Coun Filiére MP j = nq v on a j = nq v donc = 1. d où : 0 = nq τ 1..1 si ω 0 = 0 on a nqω ( ω τ + i(ω ω 0 )) d où : j = nq v donc = nq τ (1 + i τ ω (ω ω 0 )) = 1.. par ultiplication de cojugué on aura : Par décoposition on a : = 1 = 0 ( 1 + ω d où : τ ), ; = 0 ωτ ( 1 + ω τ ), n = N V = N A MV = ρn A M n = 8, / on a 0 = nq τ 0 (1 + iωτ) = 0(1 iωτ) ( 1 + ω τ ) 0 ( 1 + ω τ ) 0 iωτ ( 1 + ω τ ) donc on déduit : τ = 0 nq =, s si ω 1 τ on aura f Hz { si ωτ 1 on a 0, ; = iω 0 ωτ, j = E donc j = (1 i ) E j = (0 E i 0 τ E ) j = (0 E i 0 ωτ E ) j = (0 E + 0 ωτ E ) Epreuve de physique II /9 Mr.SADIK

3 Correction Noncours National Coun Filiére MP et on a E = iω E donc ε 0 χ = ω 0 τ et on a : χ = 0τ iε D aprés MAXWELL-AMPERE on a : rot B = µ 0 ( E j + ε 0 ) en replaçant : rot B = µ0 ( 0 E + ε0 (1 + χ) E ) 1..7 rot B = µ0 ( j c + j d ) 1..8 η = j c j d = 0 ωε 0 (1 + χ) η = 1 ω c = 0 ε χ on a 1 + χ = 1 i 0 ε 0 τ donc 1 + χ = deuxiée partie 1 + ( 0 ε 0 τ) d où ω c = Propagation d ondes électroagnetiques dans un plasa 0 ε ( 0 ε 0 τ) Un odéle sera valable si le courant de déplaceent est négligeable devant le courant de conduction : j d 1 = 0 j c ε 0 ω donc ω ε 0 0 = on traville dans le doaine des hautes fréquences D aprés MAXWEL-FARADAY on aura ( j ) E rot B = µ0 + ε0 par suite on trouve B rote = rotb rotrote = E = µ 0 E µ 0ε 0 E Epreuve de physique II 3 /9 Mr.SADIK

4 Correction Noncours National Coun Filiére MP d ou l expression finale E = iω ( µ 0 0 E + µ0 ε 0 E ).1.4. Les équations de axwell sont des équations lineaires qui vérifie la loi de superposition.1.5. d aprés l expression donnée du chap on conclut E = E z ei(ωt) donc en déduit l equation différentielle : E(z) z = iωµ 0 0 E(z) µ 0 ε 0 ω E(z).1.6. on a E(z) z = k E(z) donc en déduit : d où k E(z) = iωµ 0 0 E(z) µ 0 ε 0 ω E(z) k = µ 0 ε 0 ω iωµ d aprés rote = B si l on considére que la solution E 1e ikz on aura ik u z E = iω B soit finaleent :. B = k ω u z E k est un coplexe donc le chap agnétique et électrique sont déphasés...1. on a k = µ 0 ε 0 ω iωµ 0 0 = ω µ 0 ε 0 1 i en utilisant l approxiation on aura ωε 0 Il apparaît une longueur caracteristique : k ω µ 0 ε 0 (1 i ) = (k 0 i µ0 ) ωε 0 ε 0 ε0 l p = µ 0 On peut écrire : k = k 0 i 1 l p avec k 0 = ω µ 0 ε Les solutions à l équation de propagation sont donc dans ce cas : E(z; t) = E 1 exp i((k0 i 1 lp )z ωt) + E exp i( (k0 i 1 lp )z ωt) Epreuve de physique II 4 /9 Mr.SADIK

5 Correction Noncours National Coun Filiére MP... Soit en revenant à l aplitude réelle :..5. E(z; t) = E 1 e z lp cos(k 0 z ωt + ϕ 1 ) + E e z lp cos( k 0 z ωt + ϕ ) Le preier tere correspond à une onde qui se propage vers les z croissants tout en s atténuant tandisque la seconde correspond à une onde qui se propage vers les z décroissants qui s atténue elle aussi. L aplitude de l onde décroit de 1 l p au bout de la distance l p : On rearquera que cette distance d absorption ne dépend pas de la fréquence...propagation dans les bons conducteurs :l effet de peau.3.1. pour les bons conducteurs ( ε 0 ω ) c est le second tere qui est doinant : k = iωµ 0 0 dont la solution de partie iaginaire négative est k = 1 i ωµ0 ωµ0 0 = 0 (1 i) k s exprie en fonction d une longueur caractéristique δ appelé épaisseur de peau δ = ωµ Cette longueur caractéristique est trés petite devant la longueur d onde dans le vide : πδ λ = k 0δ = ωµ0 0 ωµ 0 ε 0 = ε0 ω 1 puisque nous avons fait l hypothése de bon conducteur (ε 0 ω ).3.3. La solution de l équation s écrit alors : Soit en notation réelle E = E 1 e z δ e i( z δ ωt) + E e z δ e i( z δ ωt).3.4. E = E 1 e z δ cos( z δ ωt + ϕ 1) + E e z δ cos( z δ ωt + ϕ ) La décroissance exponentielle fait penser à ce qui se passe dans le cas du auvais conducteur ais il n en est rien coe nous allons le voir en étudiant la réflexion d une onde électroagnétique sur un conducteur. Epreuve de physique II 5 /9 Mr.SADIK

6 Correction Noncours National Coun Filiére MP d aprés MAXWELL-FARADAY rote = B aura ik u z E = iω B soit finaleent : si l on considére que la solution E 1 e ikz on B i = k 0 ω 0 exp(ωt k 0 z) u y B r = k 0 ω 0 exp(ωt + k 0 z) u y.4.. De la ee façon on trouve l expression du chap agnétique transit : B r = k ω 0 exp(ωt kz) u y.4.3. Les deux chaps doivent verifier les relations de passage :pour une surface de séparation on a : E E 1 = ε 0 n 1 avec et 1 coreespendant aux ilieux B B 1 = µ 0 j s n La continuité du chap électrique et du chap agnétique en z = 0 peret de déduire : E i + E r = E t k 0 ω 0 (E i E r ) = k ω 0 E t.4.5. Al aide des deux équations précédentes on aura :.4.6. Cas auvais conducteur E r = k 0 k k + k 0 E i E t = k 0 k + k 0 E i Reprenons le cas du auvais conducteur k = k 0 i 1 l p On peut siplifier les deux expressions : 1 E r i E k 0 l i p E t E i Il n y a quasient pas de réflexion. Le chap se propage dans le conducteur et il est progressiveent absorbé Cas du bon conducteur Epreuve de physique II 6 /9 Mr.SADIK

7 Correction Noncours National Coun Filiére MP Dans le cas du bon conducteur on a : k = 1 i pour le chapr réflichit on a : δ pour le chap transit : Or δk 0 = ε0 ω E r = (1 E t = ce qui donne : E r = k 0δ (1 + i) k 0 δ + (1 + i) E i E r = 1 k 0δ (1+i) 1 + k E i 0δ (1+i) k 0δ (1 + i) )(1 + k 0δ (1 + i) +...)E i E r (1 (1 i)k 0 δ)e i k 0 k 0 + (1+i) E i = (1 i)k 0 δe i δ ε0 ω E r (1 (1 i) )E i ε0 ω E t = (1 i) E i La décroissance exponentielle fait penser à ce qui se passe dans le cas du auvais conducteur ais il n en est rien.4.8. L épaisseur de peau est inverseent proportionelle à la fréquence : plus les fréquence sont élevées et oins les ondes pénetrent dans les conducteurs. Dans les, à partir d une certaine fréquence, la conduction se fait en surface. troisiée partie Propagation d ondes électroagnetiques dans un plasa L équation d évolution de la vitesse ou, ce qui est équivalent celle de la densité voluique de courant est : : j + iωτ j = ne τ E Prenons donc la divergence de l équation d évolution de la densité de courant en utilisant l equation de conservation div j + iωτdiv j = ne τdiv E div j + ρ = 0 Epreuve de physique II 7 /9 Mr.SADIK

8 Correction Noncours National Coun Filiére MP on aura : avec ω p = ne ε si ω p faible l equation (6) devient : ρ + 1 ρ τ + ω pρ = 0 ρ + 1 ρ τ = 0 la solution de l equation est : ρ = Ae t τ + C le ilieu devient en régie peranent est initialeent neutre faible aortisseent traduit par ρ ω pρ donc 3. Cette équation une solution sinusoidale ρ + ω pρ = on a ω p = ne d ou on déduit que j = ε 0ω p ε 0 iω D aprés MAXWEL-GAUSS on aura par suite on trouve d ou l expression finale E ne depend que de z donc : rotb rotrote = E = µ 0 E µ 0ε 0 E ( E = 1 ω P ) E c iω + E E = E z et E = iω E et E = ω E et E z = k E donc en déduit : k = ω ω p c ω p ω si ω < ω p on aura k = i c en replacant l expresion du k dans l expression du chap on aura : E = E 0 e i(ωt ikz) ce qui donne E = E 0 e k z e i ωt Epreuve de physique II 8 /9 Mr.SADIK

9 Correction Noncours National Coun Filiére MP ω ω p ω > ω p on aura k = c d où : E = E 0 e i(ωt ikz) avec k > 0 La vitesse de phase est défini par : v φ v φ = ω k = cω = ω ω p c 1 ω p ω c ω p ω Si les deux ondes ont des pulsations proches : (ω ω 1 = δω ω 1 ) les deux nobres d onde seront proches (k k 1 = δk k 1 ). Les deux vitesses seront proches On peut réexprier le chap électrique de cette onde pour ettre en évidence les batteents : ( ω1 + ω E(z; t) = E 0 cos t k ) ( 1 + k ω ω 1 z cos t k ) k 1 z Les oscillations rapides ont une pulsation qui est la oyenne des deux pulsations ω et un nobre d onde qui est la oyenne des deux nobres d onde Les oscillations lentes (basses fréquences) ont une pulsation qui est ω b = ω ω La vitesse de l onde de haute frequence est : v r = ω 1 + ω k 1 + k ω 1 k ω k L enveloppe a une pulsation égale à la oitié de la difference des deux pulsations et un nobre d onde égal à la oitié de difference des nobres d ondes. Cette enveloppe se propage donc avec la célérité v g que l on noe vitesse de groupe : v r = ω ω 1 k k 1 δω δk Epreuve de physique II 9 /9 Mr.SADIK