Notes de cours Maths SN 5

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1 Notes de cours Maths SN 5 Version 0 Par Dany Martineau

2 Table des matières #. Les systèmes d inéquations et l optimisation : Résoudre une équation : Résoudre un système d'équations : Résoudre un système d inéquations : Traduire un problème par une inéquation : Représenter un système d inéquations dans un plan cartésien...8. : Quelques trucs et exemples : Optimisation...0 #. Les fonctions : Quelques rappels....0 : Les opérations sur les fonctions....0 : La réciproque d une fonction....0 : Fonction valeur absolue.... : Les zéros d une fonction valeur absolue...5. : le paramètre b...5. : Les résolutions absurdes...6. : Réciproque de la fonction valeur absolue : Fonction racine carrée...7. : L analyse de la fonction racine carrée...8. :Trouver la règle de la fonction racine carrée...9. : La réciproque de la fonction racine carrée : Fonction rationnelle (variation inverse)...0. : Pour passer d une forme à l autre.... : Le graphique d une fonction rationnelle.... : Résoudre une équation rationnelle (trouver le zéro).... : Réciproque d'une fonction rationnelle....0 : La fonction exponentielle.... : Analyse des différents paramètres.... : Le graphique d'une fonction exponentielle (de base)...5. : Analyse d une fonction exponentielle...5. : Lois des exposants : Résoudre une équation exponentielle : Trouver la règle d une fonction exponentielle : Les pièges! : Les logarithmes : Loi du changement de base : Lois des logarithmes : Simplifications d expressions logarithmiques : Résoudre une équation logarithmique et/ou exponentielle : Les fonctions réciproques : exp log et log exp : Étude de la fonction logarithmique : Les mathématiques financières... # Les vecteurs : Retour sur la trigonométrie...6. : Retour sur le plan cartésien : Définitions et relations sur les vecteurs Page ---

3 .0 : Orientation d'un vecteur...7. : Composante d'un vecteur et norme : Addition vectorielle...8. : Soustraction vectorielle...9. : Multiplication d un vecteur par un scalaire...9. : Produit scalaire : Combinaison linéaire : Relation de Chasles....6 : Les propriétés des opérations sur les vecteurs : Problèmes de vecteurs... # Les fonctions trigonométriques : Les radians....0 : Le cercle trigonométrique (voir annexe A)...5. : Le point trigonométrique : La fonction trigonométrique...7. : Les fonctions sinus et cosinus...8. : Tracer une courbe sinusoïdale...9. : La fonction tangente : Les rapports inverses : Les fonctions inverses : Les fonctions réciproques : Les identités trigonométriques : Résolution d équations trigonométriques : Exemple de problème...5 #5. Les lieux géométriques (les coniques) : Rappel : Le cercle : Le cercle et les inéquations : Trouver l'équation d'un cercle passant par trois points : L ellipse : Les équations : Le latus rectum : Trouver l équation de l ellipse : La forme générale de l'équation de l'ellipse : Les inéquations : Un petit exemple! : La parabole : Les équations des paraboles centrées à l'origine : Les équations des paraboles déphasées : Forme canonique et forme canonique : Hein? : Inéquations et paraboles : Quelques exemples : L'hyperbole : L'équation centrée à l origine et ses paramètres : L équation déphasée : Inéquation et hyperbole : Trouver l'équation d une hyperbole Page ---

4 5.5 : Un petit exemple!...66 Annexe A : Cercle trigonométrique...67 Annexe B : Fonctions circulaires pour divers angles entre 0 et Annexe C : La conjecture...69 Annexe D : Formules (périmètre, aire et volume) Page ---

5 #. Les systèmes d inéquations et l optimisation..00 : Résoudre une équation. Avant d être en mesure de résoudre une inéquation, il faut être capable de résoudre une équation. Résoudre, c'est trouver la valeur de l'inconnu (le fameux «x») dans une équation (là où il y a un égal «=»). Pour une équation du premier degré, il suffit d envoyer les termes possédant un inconnu d un côté de l équation et d envoyer les termes numériques de l autre côté du symbole d égalité. Pour une équation du e degré (s il y a un exposant ), on peut factoriser (mises en évidences, factorisation par somme et produit, différences de carrés, ) ou utiliser la formule quadratique (je l appelle aussi la «Grosse Bertha»). Tout au long de ces notes, tu verras d autres méthodes de résolution d équations. Exemple Exempleer erdegré degré x + 7 = x 9 x + 7 = x 9 77==x x x x 99 (j'ai (j'aisoustrait soustraitx xdes descôtés côtésde del'équation) l'équation) ==x x (j'ai ajouté 9 des côtés de l'équation) x x (j'ai ajouté 9 des côtés de l'équation) 6 6 ==88xx == xx (j'ai (j'aidivisé divisépar par88les lescôtés côtésde del'équation) l'équation) Exemple Exemplee edegré degré Formule quadratique : forme ax²+bx+c Formule quadratique : forme ax²+bx+c b± b ac a Par Parexemple, exemple,sisij'ai j'aix² x² 5x 5x ==0, 0,je jesais saisque quea=, a=,bb==-5-5et etcc==- - 5± ( 5) 5± 5+ 5± 8 8 = = = et = et : Résoudre un système d'équations. Un système d'équations, c'est lorsqu'on se retrouve avec au moins équations, ce qui nous permet de trouver les variables. Le nombre de variables à trouver dépend du nombre d'équations. Nous verrons trois méthodes utiles pour résoudre un système d équations. À toi de choisir! #. Les systèmes d inéquations et l optimisation.---page 5---

6 a) Méthode de comparaison. Si j ai les deux équations suivantes : y = x et y = x + Je mettrai ces équations égales entres elles, ce qui donne : (-x) x = x + (-x) (+) x = (+) Je résous l équation : x = 5. Pour trouver la valeur de y, je remplace x par 5 dans une des deux équations. Par exemple : y = (5) = 7. On pourrait aussi dire que y = (5) + = 7. La solution du système est x = 5 et y = 7. b) Méthode de substitution. Si j ai les deux équations suivantes : x + y = et x = y. Je remplace x par y dans la première équation, ce qui donne (y) + y = 6y + y = 9y = Si on divise par 9 les termes de l'équation, y vaut /. Pour trouver x, je remplace y par / dans l'une des deux équations. Cela donne x= (/ )=. La solution du système est x = et y = /. c) Méthode de réduction. Si j ai les deux équations suivantes : x y = et,5y + x = 6. Je superpose les équations de manière à ce que les termes semblables soit au-dessus des autres. Cela donne : x y = x +,5y = 6 Pour cet exemple, je choisis d'éliminer la variable «x». Je multiplierai la e ligne par, car les termes en «x» pourront s éliminer. x y = - (je soustrais les lignes) x + 9y = 7 0x y = -60 donc y = 5 Pour trouver x, je remplace y par 5 dans l'une des équations et j'isole! Il vaut 7/. #. Les systèmes d inéquations et l optimisation.---page 6---

7 .0 : Résoudre un système d inéquations. Il suffit tout simplement de faire comme si on résout un système d équations. Cependant, si on multiplie ou divise chaque membre de l inéquation par un nombre négatif, on doit inverser le signe d inégalité. -5x -5x++>> -5x -5x >> -5x -5x >>0 0 xx << - - Exemple Exemple (ici (icije jediviserais diviseraispar par-5-5des descôtés côtésde del'inéquation) l'inéquation) La raison de cela est très simple. Si on prend l exemple ci-contre, à la e étape, on peut se demander par quel nombre faut-il multiplier -5 pour avoir une réponse supérieure à 0? Ce doit être un nombre plus petit que - (dans le sens de -, -, -5, ). On peut aussi résoudre des systèmes d inéquations du e degré. Dans ce cas, on suit la règle du signe inversé et ensuite, on a le choix de factoriser ou d utiliser la formule quadratique. Il peut être aussi utile de tracer les droites représentant le système d inéquations ou de s aider de tables de valeur pour résoudre..0 : Traduire un problème par une inéquation. Si je veux traduire la phrase «j ai au moins dollars dans mes poches» par une inéquation à une variable, je dois définir clairement la variable que j utilise. Si j utilise x, alors je dois définir que x représente le montant d argent que j ai dans mes poches. Donc x. Le symbole est utilisé, car comme j ai au moins dollars, cela signifie que je peux en avoir, mais je peux aussi en avoir davantage. Un autre exemple :«Au plus, Julie possède 5 tomates de moins que Loïc» Ici, je dois créer une inéquation à variables. La variable x représente le nombre de tomates que possède Julie. La variable y représente le nombre de tomates que possède Loïc. Le «au plus» signifie que c est plus petit ou égal ( ). C'est un synonyme de «au maximum». x y 5 pourrait être une solution (tout comme x + 5 y). Pour m aider à créer l équation, j utilise le truc de la compensation, c est-à-dire je me demande à qui je dois enlever ou ajouter des tomates pour que nos deux amis possèdent la même quantité. Si j en enlève 5 à Loïc ou en ajoute 5 à Julie, le compte sera bon! #. Les systèmes d inéquations et l optimisation.---page 7---

8 Voici un petit lexique de mots pour t aider à bien transcrire ce que tu lis en symbole d inéquations. Au moins : Au plus : Au minimum : Au maximum : Est plus grand que : > Est plus petit que : < Lorsqu il y a plus d une inéquation dans un problème, on parle de système d inéquations..0 : Représenter un système d inéquations dans un plan cartésien. C est le même principe que de représenter plusieurs droites dans un plan cartésien. Cependant, si les inéquations sont représentées par les symboles > ou <, on doit tracer les droites en pointillés. Dans le cas des symboles ou, on trace une ligne pleine. Ensuite, il faut trouver quel demi-plan est associé à l inéquation. Si j ai y x 6, je trace la droite dans le plan cartésien. Ensuite, comme y est plus grand ou égal à x 6, je sais que toutes les valeurs de y plus grandes ou égales à la droite appartiennent à la solution. En cas d incertitude, je remplace x et y par un point appartenant au plan cartésien pour vérifier quel sera le demiplan à hachurer. Par exemple, si je veux savoir si l'origine appartient au demi-plan, je remplace x et y par 0 et je vérifie si c'est vrai: : c est vrai! Si ça avait été faux, j aurais hachuré l autre demi-plan. Sur le graphique ci-contre, les vagues représentent la solution de l inéquation. Dans le cas d un système d inéquations, j aurai plusieurs droites et la région commune formée de toutes mes droites sera l'ensemble solution qu on nomme un polygone de contraintes. Il faut noter qu'il n'y a pas toujours un polygone de contraintes; je parle ici du cas où la région hachurée est ouverte. #. Les systèmes d inéquations et l optimisation.---page 8---

9 . : Quelques trucs et exemples. a) Ex : x : d) Ex : y x : Une droite verticale où x vaut toujours et le demi- Une droite qui coupe le plan en diagonale parfaite plan est vers la droite. et qui passe par les points (,), (,), (,), (et par l origine). Le demi-plan de droite est hachuré, car x est plus grand que y. b) Ex : y 7 : Une droite horizontale où y vaut toujours 7 et le demi-plan est vers les bas e) Ex : x + y 6 : Une droite passant par les points (,0) et (0,), car si je remplace y par 0, x = et si je remplace x par 0, y= (table de valeur zéro-zéro). De plus, le demiplan hachuré va vers l infini, car la somme est plus grande. x y 0 0 Table de valeur zéro-zéro c) Ex : x + y : Une droite dont les coordonnées à l origine sont (passe par (0,) et (,0). Le demi-plan hachuré va vers l origine, car la somme est plus petite. f) Ex : y x : Une droite passant par l origine et par (,), (,6), De plus, le demi-plan hachuré vers le haut, car y est plus grand que x. #. Les systèmes d inéquations et l optimisation.---page 9---

10 .0 : Optimisation. Optimiser signifie trouver la solution optimale d un problème. Cette solution peut être un maximum ou un minimum. Il suffit de suivre les étapes suivantes. Étapes Étapesààsuivre suivrepour poureffectuer effectuerun unproblème problèmed'optimisation d'optimisation. Lire le problème. S'il le faut, le lire plusieurs fois. Lire le problème. S'il le faut, le lire plusieurs fois..identifier Identifierles lesvariable variable(x(xet ety). y)...identifier Identifierles lescontraintes contrainteset ettransformer transformerles lescontraintes contraintesen eninéquations. inéquations...tracer Tracerle lepolygone polygonede decontraintes. contraintes Trouver Trouverles lessommets sommetsdu dupolygone polygonede decontraintes. contraintes Identifier Identifierlalafonction fonctionààoptimiser. optimiser Trouver Trouverle leou oules lessommets sommetsqui quimaximisent maximisentou ouminimisent minimisentle leproblème, problème,selon selonle lecas. cas.. Lire le problème On a besoin d au moins 60 litres de peinture pour peindre les corridors d un édifice. Pour effectuer ce travail, on utilise de la peinture blanche et de la peinture bleue. Selon le contremaître, on doit utiliser au plus fois plus de peinture bleue que de peinture blanche. On évalue la surface à peindre à au plus 0 m. Selon le fournisseur de peinture, un litre de peinture blanche couvre m et coûte 0 $, tandis qu un litre de peinture bleue couvre m et coûte $. Combien de litres de chaque couleur le contremaître doit-il utiliser pour minimiser ses dépenses?. Identification des variables. x représente le nombre de litres de peinture blanche. y représente le nombre de litres de peinture bleue.. Contraintes. x 0 Représente la non-négativité du nombre de litres de peinture blanche. y 0 Représente la non-négativité du nombre de litres de peinture bleue. # y x # x + y 0 # x + y 60 Représente «au plus fois plus de peinture bleue que de blanche». Représente la surface à peindre à au plus 0 m. Représente «on a besoin d au moins 60 litres de peinture».. Tracer le polygone de contraintes. #. Les systèmes d inéquations et l optimisation.---page 0---

11 x Le point A se trouve par substitution x + (x) = 0 x + 6x = 0 8x = 0 Donc x = 0 et y = 60 y D se trouve par substitution x + x= 60 x = 60 Donc x = 0 et y = 0 x x + + y y Trouver les sommets : Les sommets sont : A (0,60), B (0,0), C (60,0), D (0,0). 6. Fonction à optimiser : Z = 0x + y (car Z représente le prix total de la peinture à 0$ /L pour la blanche et $/L pour la bleue) 7. Minimiser le problème. Tableau pour évaluer la fonction à optimiser. Sommets Z = 0x + y Z A (0,60) B (0,0) C (60,0) D (0,0) Comme on minimise les dépenses, on peut tout simplement supposer que les points D et C sont potentiellement de bonnes solutions, car ces points sont visuellement plus près de l origine. Le tableau nous donne comme résultat minimal : 60 litres de peinture blanche et 0 litre de peinture bleue pour 600 $ #. Les systèmes d inéquations et l optimisation.---page ---

12 #. Les fonctions..00 : Quelques rappels. (x étant la variable indépendante sur l abscisse et y, la variable dépendante sur l ordonnée) Domaine : Toutes les valeurs possibles de x. Image : Toutes les valeurs possibles de y. Intervalles de croissance : Pour quelles valeurs de x, la valeur de y augmente-t-elle (croissante) ou diminue-t-elle (décroissante). Signe de l image : Pour quelles valeurs de x, la valeur de y est-elle positive ou négative. Extremum : La plus grande valeur de y (maximum) et/ou sa plus petite valeur (minimum). Axe de symétrie : Droite qui coupe en deux parties symétriques une courbe. Zéro ou abscisse à l origine : Valeur de x lorsque y = 0. Pour déterminer le zéro d une fonction quadratique en forme générale «ax² + bx + c», on utilise la formule quadratique : b± b ac (grosse Bertha). a Lorsqu on travaille en forme canonique «a(x h)² + k», on peut utiliser une autre formule : h± k (petite Gertrude). a Ordonnée à l origine : Valeur de y lorsque x = 0. Coordonnées à l origine : Représentent l ordonnée et l abscisse à l origine. Pente ou taux de variation : Se retrouve sur une droite par la formule suivante : y y x x.0 : Les opérations sur les fonctions. On peut effectuer des opérations sur les fonctions (+,,, ). En fait, c est la même chose que de faire des opérations sur des polynômes. Cependant, le résultat de ces opérations donne une nouvelle fonction avec de nouvelles propriétés. La composée des fonctions f et g est notée f g. On lit cela comme étant f «rond» g. Cela signifie f(g(x)), ce qui veut dire qu on remplace le x de la fonction f par le contenu de la fonction g. La composée de fonctions peut être effectuée avec tous les cas de fonctions. Cela peut parfois devenir une tâche assez ardue dont le résultat peut amener des surprises. Exemple Exemplede decomposée composéede defonctions fonctions Soit f(x) = x + 7 et g(x) = x² + x 5 Soit f(x) = x + 7 et g(x) = x² + x 5 Donc Donc ff gg==(x² (x²++x x 5) 5)++77==8x² 8x²++6x 6x Donc Donc gg ff==(x (x++7)² 7)²++(x (x++7) 7) 55==6x² 6x²++8x 8x++ #. Les fonctions.---page ---

13 .0 : La réciproque d une fonction. La réciproque d une fonction est formée lorsqu on inverse les couples (x, y) d une fonction. Cela donne parfois un autre type de fonction (pas pour tous les types de fonctions étudiées en 5e secondaire), d autres fois, cela demeure le même type de fonction. Exemple Exemplede deréciproque réciproqued'une d'unefonction. fonction. - - Réciproque Réciproquede deg(x) g(x)==5x 5x 6, 6,notée notée gg (x). (x). x+ 6 Pour la trouver, je remplace x par y et vice-versa: =g (x ) Pour la trouver, je remplace x par y et vice-versa:xx==5y 5y 6, 6,et etj'isole j'isoleleley,y,ce cequi quidonne donne 5 Pour bien visualiser l effet d une réciproque sur un graphique, il suffit de s imaginer qu on effectue une réflexion par l axe d (l axe qui coupe le er et e quadrant) sur le graphique. N oublie pas que cela doit rester une fonction (au maximum, une seule valeur de y pour une valeur de x associée). La réciproque d'une droite (fonction de degré ) donne la même chose. La réciproque d'une parabole (fonction de degré ) donne une fonction racine carrée. La réciproque d'une fonction escalier n'existe pas. Tout au long de ce document, j illustrai quelques cas particuliers de réciproques..0 : Fonction valeur absolue. La valeur absolue d un nombre est en fait sa valeur sans qu il soit négatif. - signifie la valeur absolue de - qui vaut. La valeur absolue d un nombre ou d une expression donne toujours un résultat positif. L équation d une fonction valeur absolue ressemble beaucoup visuellement à celle de la forme canonique d une parabole. f (x) = a b (x h) + k où (h, k) représente le sommet de la courbe. Le paramètre «a» indique si la courbe (en forme de V) est vers le haut (a est positif) ou vers le bas (a est négatif). Ce paramètre représente aussi la pente de l une des branches du V. Pour l autre branche, la pente est -a. Dans le cas où le paramètre b est différent de, il influence le paramètre a. La pente des branches devient +/- ab. Comme le paramètre b se trouve à #. Les fonctions.---page ---

14 l intérieur de la valeur absolue, son signe n influence pas la pente. Si on veut trouver la règle, on doit connaître le sommet (h, k) et un autre point. On remplace les paramètres h et k dans l équation ainsi que l abscisse et l ordonnée du point donné pour isoler le paramètre a. On peut aussi trouver la pente de l une des branches (de la même façon qu'on trouve la pente d'une droite). Il n est pas nécessaire de s occuper du paramètre b lorsqu on cherche à trouver la règle. Exemple Exemplepermettant permettantde detrouver trouverlalarègle règled'une d'unefonction fonctionvaleur valeurabsolue. absolue. Soit Soitun unsommet sommets(,) S(,)et etun unpoint pointp(-,). P(-,). Comme Commejejeconnais connaislelesommet, sommet,jejeremplace remplaceles lesparamètres paramètreshhet et kkpar et respectivement. Cela donne f(x) = a x +. Je ne tiens pas compte du paramètre b. par et respectivement. Cela donne f(x) = a x +. Je ne tiens pas compte du paramètre b. Ensuite, Ensuite,jejeremplace remplacexxet etyypar par--et etrespectivement. respectivement. Cela Celadonne donne==aa J'isole J'isoleleleparamètre paramètreaa::==aa - - ==a, a,donc doncaa==/. /. L'équation finale sera f(x) = / x + L'équation finale sera f(x) = / x + En résumé, une fonction valeur absolue, c est un peu comme si on était en présence de demi-droites qui se croisent en un point. L important, c est que ces demi-droites sont symétriques par un axe vertical passant par le sommet. Cette fonction possède une réciproque particulière. Exemple : f (x) = x (sur certaines calculatrices ou logiciels, tu écrieras f (x)= abs(x+6) + ) Le sommet de la courbe est (-6, ) Le domaine de la fonction est R (ou selon le contexte) L image de la fonction est [, La fonction possède un minimum : La fonction est décroissante de -, -6] et croissante de [-6, La fonction est positive sur son domaine. Il y a un axe de symétrie. Son équation est x = -6. Il n y a pas de zéros (pour cet exemple). L ordonnée à l origine est, car =. La pente de la branche de gauche est - et celle de la branche de droite est. #. Les fonctions.---page ---

15 . : Les zéros d une fonction valeur absolue. Pour trouver les zéros de cette fonction, il n y a pas de formule, mais seulement une méthode un peu tordue. Il ne faut juste pas oublier que le contenu d une expression sans la valeur absolue peut valoir une valeur positive ou négative. C est la valeur absolue de l'expression qui est uniquement positive. Exemples Exemplespour pourtrouver trouverles leszéros zérosde delalafonction fonctionvaleur valeurabsolue absolue a) a)trouve Trouveles leszéros zérosde def(x) f(x)==-0,5-0,5 xx ==-0,5 x + 5 (on -0,5 x + 5 (onveut veutisoler isolerlelex,x,on ondépouille dépouillelalavaleur valeurabsolue absoluede dece cequi quil'entoure) l'entoure) -5-5==-0,5 x (-5 de chaque côté de l'équation) -0,5 x (-5 de chaque côté de l'équation) 0 (divisé 0== xx (divisépar par-0,5-0,5de dechaque chaquecôté) côté) 0 = x ou -0 = x (on enlève la valeur 0 = x ou -0 = x (on enlève la valeurabsolue; absolue;son soncontenu contenupeut peutvaloir valoirun unnombre nombrenégatif) négatif) (il ==xx ou ou -6-6==xx (ilyyaazéros, zéros,tout toutcomme commeune uneparabole) parabole) b) b)trouve Trouveles leszéros zérosde deg(x) g(x)== xx == xx == xx++55 -/ -/== xx++55 (on (onarrête arrêteici; ici;lalavaleur valeurabsolue absolued'une d'uneexpression expressiondoit doitêtre êtrepositive; positive;ililn'y n'yaapas pasde dezéros) zéros) Donc, Donc,ililn'y n'yaapas pasde dezéros!! zéros!! Exemples Exemplesde derésolution résolutiond'équations d'équations(a) (a) et etinéquations inéquations(b) (b) a) a) xx++ --==0 0 xx++ == xx++ == xx++ == b) b) -- x x << -- x + 5 << -9 x x + 5 > 9 x + 5 > 9 x et x++55 >> 99 et x et x >> et (n oublie (n oubliepas pasqu on qu onveut veutisoler isolerlalavaleur valeurabsolue) absolue) (+ (+des descôtés côtésde del équation) l équation) (divisé (divisépar par) ) ou Réponses ou xx++ ==- - Réponses::xx==00 ou ou xx==-8-8 (- (-des descôtés) côtés) (comme (commeon ondivise divisepar par--des descôtés, côtés,ililfaut fautchanger changerlele<<pour pourun un>) >) (on enlève la valeur absolue et on a solutions) (on enlève la valeur absolue et on a solutions) x x++55 << -9-9 (la (lavaleur valeurnégative négativeest estassociée associéeau auchangement changementdu du>>pour pour<) <) x Réponses x << - - (-5 (-5des descôtés) côtés) Réponses::xx>> et et xx <<-7-7. : le paramètre b. Je parlais plus tôt du paramètre b. En fait, c est un paramètre espiègle, présent dans la majorité des fonctions. Il peut t induire en erreur dans certains cas. J en parle ici, mais rappelle-toi que cette mise en garde sera la même toute l année. Par exemple, tu peux te retrouver avec la fonction f (x) = 6 x Le paramètre b vaut, mais à cause de lui, le paramètre h ne vaut pas 8. Il faut mettre en évidence simple le paramètre b pour obtenir la véritable valeur du paramètre h. Cela donnera f (x) = (x 6) + 5. Le paramètre h vaut 6. #. Les fonctions.---page 5---

16 . : Les résolutions absurdes. Il arrive parfois qu'une résolution de système d'équation entre une droite et une fonction valeur absolue donne quelque chose... d'inattendu! Exemple, Exemple,prenons prenonsles lesfonctions fonctionsf(x)=x f(x)=x et etg(x) g(x)== xx++.. Visuellement, Visuellement,c'est c'estévident évidentque queles lesfonctions fonctionsne nese secroisent croisentpas. pas. Par Parcontre, contre,sision oneffectue effectueune uneméthode méthodede decomparaison comparaisonpour pourtrouver trouver sisielles se croisent, on obtiendra une surprise! elles se croisent, on obtiendra une surprise! x x == xx++ isolons isolonsla lavaleur valeurabsolue. absolue. x + = x + x + = x + 0,5x 0,5x++0,5 0,5== xx++ enlevons enlevonsla lavaleur valeurabsolue. absolue. cas : cas : où oùxx++ 0, 0,donc doncxx - - et et xx++<<0, 0,donc doncxx<<- - 0,5x + 0,5 = x + et -0,5x 0,5 0,5x + 0,5 = x + et -0,5x 0,5==xx++ -,75 -,5 -,75==0,5x 0,5x -,5==,5x,5x -5,5 = x -,7-5,5 = x -,7==xx Faux, Faux, Faux,car carxx - - Faux,car carxx<<- - On Onarrive arriveààun uncas casoù oùililyyaaune unesolution solutionmathématiquement mathématiquementimpossible! impossible!. : Réciproque de la fonction valeur absolue. La réciproque de cette fonction donne deux demi-droites. Il est important d'écrire la contrainte confirmant la présence de demi-droites à l'aide d'une inéquation. Exemple Exemple::cherchons cherchonsla laréciproque réciproquede def(x) f(x)== xx yy== xx xx== yy (on (onremplace remplacexxpar paryyet etvice-versa) vice-versa) xx++88== yy++ (+ (+88de dechaque chaquecôté) côté) //(x (multiplié (x++8) 8)== yy++ (multipliépar par/ /de dechaque chaquecôté) côté) Cas Cas# #:://(x (x++8) 8)== yy++ x/ x/++ ==yy x/ x/ ==yy Cas # : -/ (x + 8) = y + -x/ = y -x/ Cas # : -/ (x + 8) = y + -x/ = y -x/ 55==yy On Ontrouve trouvealors alorsdroites. droites. Par Parcomparaison, comparaison,ces cesdroites droitesse secroisent croisentau aupoint point(-8, (-8,-). -). Puisque Puisqueleleparamètre paramètreaa de delalafonction fonctionffest est positif, le graphique de la réciproque sera ouvert vers la droite. positif, le graphique de la réciproque sera ouvert vers la droite. La Lasolution solutionsera sera:: x x y= et y= 5 si x 8 #. Les fonctions.---page 6---

17 .0 : Fonction racine carrée. Probablement l une des fonctions les plus simples à étudier. Il s agit en fait de la réciproque de la fonction quadratique (parabole). Comme une parabole orientée vers la droite ou gauche n est pas une fonction, une de ses branches est laissée de côté. Notons que la réciproque de la fonction racine carrée donne une moitié de parabole. Pour utiliser la bonne moitié, il faut savoir que le domaine de la fonction initiale devient l image de sa réciproque et vice-versa. La règle de cette fonction est f (x)=a b (x h)+k, (h, k) étant le «sommet» de la courbe. On peut aussi écrire cette fonction de cette façon : f ( x)=a b ( x h)+k. L avantage est qu on se débarrasse du paramètre b en le couplant avec le paramètre a. Si a et b sont positifs : Courbe croissante et Si a est positif et b est négatif : Courbe possède un minimum. décroissante et possède un minimum Si a est négatif et b est positif : Courbe Si a et b sont négatifs : Courbe croissante et décroissante et possède un maximum. possède un maximum. #. Les fonctions.---page 7---

18 . : L analyse de la fonction racine carrée. Par exemple, analysons la courbe de la fonction g x = x 9 Si le b n est pas mis en évidence, il faut le mettre en évidence avant d analyser, ce qui donne la fonction g x = x. Le sommet est (-, -) et comme a et b sont positifs, la courbe est croissante et le sommet est représenté par un minimum. Le domaine est [-, et l image est [-,. La fonction est croissante sur son domaine. Pour trouver le zéro de cette fonction, on remplace g(x) par 0 et on isole x. 0= x = x (+ des côtés de l équation) = x (divisé par ) = x (pour enlever la racine, on élève au carré les côtés de l équation) =(x+) (divisé par ou multiplié par /) 8 =x= ce qui signifie que le zéro est -8/. Pour trouver l ordonnée à l origine, on remplace x par 0, ce qui donne : g( x )= (0+) = 9 =. Avec ces informations, on sait maintenant que la courbe est négative de [-, -8/] et positive de [-8/,. Il n y a pas d axes de symétrie. Si on cherche la réciproque de cet exemple, on trouvera l équation d une demi-branche de parabole, orientée vers le haut, dont le sommet est (-,-). #. Les fonctions.---page 8---

19 . :Trouver la règle de la fonction racine carrée. Pour trouver la règle d une fonction racine carrée, on doit absolument connaître le sommet et un point de la courbe. En remplaçant h et k par le sommet ainsi que x et y par le point connu, on arrive à trouver les paramètres a et b. En fait, pour y parvenir, c'est plus facile de trouver le paramètre b et de supposer que le paramètre a vaut ou -. Si la courbe possède un minimum, le paramètre a est positif. Dans le cas contraire, il est négatif (on suppose qu il vaut -). Par exemple, si le sommet de la courbe est (7,) et qu'elle passe par le point (-,-), on sait que la courbe possède un maximum, donc on supposera que le paramètre a vaut -. = b ( 7)+ (j'ai remplacé les paramètres par les points (7,) et (-,-).) (--7 = 9 et j'ai soustrait - de chaque côté de l'équation.) 5= b( 9) (je divise par - chaque côté de l'équation.) 5= b( 9) (j'élève au carré chaque côté de l'équation.) 5=b( 9) =b La règle sera f (x)= (x 7)+. (x 7)+ ou f (x)= 9 9. : La réciproque de la fonction racine carrée. Cela peut devenir un casse-tête. Revenons en arrière. La réciproque d une fonction quadratique donne une fonction racine carrée. Exemple de réciproque pour une fonction du e degré. Trouvons la réciproque de donne : f (x)= ((x )) +7. Pour le visuel, remplaçons les x par y et vice-versa. Cela x=(( y )) +7. Isolons! x 7=(( y )) J enlève 7 aux deux côtés de l équation. ( x 7) =(( y )) Je divise par chacun des côtés de l équation. Cependant, je préfère écrire : ( x 7 )=(( y )). J extrais la racine carrée des deux côtés. ( x 7)=( y ) Je divise par (ou multiplie par /) chacun des côtés de l équation. (x 7)= y Finalement, j additionne ½ aux deux côtés. C est ma réciproque! (x 7)+ = y #. Les fonctions.---page 9---

20 Notez que les paramètres (h, k) ont été inversés, que le paramètre a est devenu l inverse du paramètre b et vice-versa. Ce sera un phénomène observable pour les réciproques. Exemple de réciproque pour une fonction racine carrée. Maintenant, trouvons la réciproque de Inversion x et y : x= f ( x)=. ( x 7)+. ( y 7)+ x = ( y 7) J ôte ½ des deux côtés de l équation. (x )= ( y 7) Je multiplie par chacun des côtés de l équation. ((x )) = ( y 7) J élève le tout au carré. (( x )) = y 7 Je multiplie le tout par. (( x )) +7= y J ajoute 7 aux côtés de l équation. Cependant, cela donne une parabole et il faut se souvenir que la réciproque d une fonction racine carrée donne une demi-parabole. Comme l image de la fonction racine carrée est [½, [, cela devient le domaine de notre demi parabole. Alors la réponse finale sera : f (x )=((x )) +7, x [½, [..0 : Fonction rationnelle (variation inverse). Pour la première fois de l année, je parlerai d asymptotes, car la fonction rationnelle en possède deux : une verticale et une horizontale. Mais avant d aller plus loin, il serait sage de la définir. L asymptote à une courbe est une tangente à la courbe en un point à l infini. Une courbe est dite asymptotique à une droite si elle s y approche sans jamais lui toucher, à moins d être rendu à l infini! Visuellement, ça ressemble à la courbe ci-contre, c est-à-dire qu elle se rapproche de l axe des abscisses et des ordonnées sans jamais lui toucher. Cette courbe est ainsi asymptotique à l axe des x et à l axe des y. #. Les fonctions.---page 0---

21 L équation d une fonction rationnelle s écrit de deux façons. Il y a la forme canonique : f ( x)= a +k x h où les deux asymptotes sont représentés pas les équations x = h et y = k. Le paramètre «a» détermine l ouverture de la courbe et sa position. Si a est positif, la courbe est toujours décroissante tandis que si a est négatif, elle sera toujours croissante. La fonction rationnelle possède axes de symétries (qui se croisent à l intersection des «a» positif «a» négatif asymptotes, mais qui forment un X). Il y a aussi la forme générale : f (x)= bx +c où les équations des asymptotes sont dx+ e e b h= pour la verticale et k= pour l asymptote horizontale. d d. : Pour passer d une forme à l autre. De canonique à générale, il suffit de tout mettre sur le même dénominateur (x-h) et de simplifier. Exemple de canonique à générale. 5 x+ (on met le - sur le même dénominateur en multipliant par ) x+ x+ ( x +) 5 f ( x)= x+ x+ 5 ( x +) f ( x)= (après avoir mis sur le même dénominateur, on réduit le numérateur.) x+ 5 ( x+6) f ( x)= (on distribue le dans la (x+) et on simplifie.) x+ x f ( x)= (notez que le dénominateur est demeuré le même.) x + Ex : f (x)= #. Les fonctions.---page ---

22 Exemple de générale à canonique. On divise le numérateur par le dénominateur. Ex: -x x + - -x 6-5 La réponse est - reste 5, ce qui fait x+ f ( x)= + réponse de la division. 5, car le reste est toujours additionné à la x+. : Le graphique d une fonction rationnelle. C est une courbe en parties. En voici un exemple. L équation de cette courbe est f (x)=. x+ Le domaine R / {-} (qui se lit comme étant les Réels sauf -) et l image est R / {-}. La fonction est décroissante sur son domaine (a = ) Les asymptotes se croisent à (-, -). Le croisement des asymptotes représente les paramètre (h,k). Les deux axes de symétries sont des droites de pente et - et passant par le point (-, -). Il existe un zéro qui se trouve assez facilement. + des côtés. x+ = On multiplie par (x+). x+ ( x+)= donc x+ = alors x =. 0= Le zéro est ½. L'ordonnée à l'origine est car on remplace x par 0. La courbe est négative sur l intervalle :-, -[ U [½, et positive sur ]-, ½]. Il n y a aucun maximum ou minimum. La réciproque ce cette fonction donne une autre variation inverse! #. Les fonctions.---page ---

23 . : Résoudre une équation rationnelle (trouver le zéro). Comme il y a formes, il y a possibilités. Exemple de forme générale 0= x+ x 7 0 = -x + Je multiplie par (x-7) les côtés de l équation. x =. Exemple de forme canonique 0 = x+ = x+ (x+)= 6x + = J enlève le - Je multiplie par (x+) les parties de l équation. 6x = -8 x = -/.. : Réciproque d'une fonction rationnelle. Sans grandes surprises, la réciproque d une fonction rationnelle donne une fonction rationnelle! Allons-y par un exemple pour chacune des formes. Forme canonique : f ( x)= x+ Forme générale : Remplaçons les x par des y et vice-versa et isolons y : x= y+ x+ = J ajoute aux côtés de l équation. y+ y+ = Par la propriété du produit croisé, j échange les x+ termes moyens. y= J enlève sur chacun des termes de l équation. x+ La réciproque est : f ( x)= sont tout simplement inversés.. Les paramètres (h, k) x+ 7x+ f ( x)= x+ Remplaçons les x par des y et vice-versa et isolons y : 7y+ y+ x( y + )=7y+ Je multiplie les côtés par (-y + ). xy+ x=7y+ Je distribue x sur (-y + ). x =7y+ xy J envoie les termes en y du même côté et le x= reste, de l autre. x = y (7+ x ) Mise en évidence simple de y. x =y Je divise le tout par (7+ x). 7+ x La réciproque est : f ( x)= x. Notez que les coefficients x+ 7 des différents termes sont demeurés les mêmes tout en changeant de position. #. Les fonctions.---page ---

24 .0 : La fonction exponentielle. Elle représente généralement l'accélération d un mouvement. La variable indépendante est représentée par un exposant. Graphiquement, il s agit d une courbe qui possède une asymptote horizontale et dont la réciproque est la fonction logarithmique (voir.50). L équation de base de cette fonction est f ( x)=ab x. Comme le montre l illustration ci-contre, la courbe de base ne passe pas par l origine. Lorsqu on y ajoute tous les paramètres possibles, elle devient f ( x)=ab c (x h) + k où b > 0 et b.. : Analyse des différents paramètres. Le paramètre k décrit l asymptote (y = k) de la fonction. Si le paramètre a est positif, alors la courbe se trouve audessus de l asymptote. Dans le cas où le paramètre a est négatif, la courbe sera en dessous de l asymptote. Le paramètre b, base de l exposant, influence aussi la courbe. S'il est compris entre 0 et, la courbe se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses au fur et à mesure que la valeur de x augmente. Si le paramètre b est >, la courbe s éloigne de plus en plus de l axe des abscisses lorsque x augmente. Les paramètres (h, k) définissent une translation de la courbe. Cette translation est parfois difficile à cerner, car cette courbe ne possède pas de sommet. Si les paramètres (h, k) n existent pas, on peut facilement trouver l ordonnée à l origine qui sera le paramètre a. Le fameux paramètre c déstabilise! En fait, on peut dire qu il est gobé par le paramètre b. Lorsque c est positif, le paramètre b devient bc. Cela signifie que la courbe plonge vers l infini positif ou négatif plus rapidement. S il est négatif, alors le paramètre b devient c c inversé (car b = ). La courbe se voit transformée aussi! b #. Les fonctions.---page ---

25 Par exemple, l'équation x f ( x)=7 ( ) devient f ( x)=7 8 x =8. car Avouons-le tout de suite, ce paramètre existe pour causer des maux de tête aux étudiants! Si tu maîtrises bien les lois des exposants (voir section.), tout devient simple.. : Le graphique d'une fonction exponentielle (de base) Voici quelques exemples pour expliquer le rôle des paramètres. Notons que le domaine de toutes les fonctions exponentielles est R. Bleu(): f ( x)= x La courbe est croissante sur son domaine et l image est ]0,. Rouge(): g( x )= x La courbe est décroissante sur son domaine et l image est -, 0[. x Vert(): i(x)= ( ) La courbe est croissante sur son domaine et l image est -, 0[. x Noir(): h(x)= ( ) La courbe est décroissante sur son domaine et l image est ]0,.. : Analyse d une fonction exponentielle. À partir de la forme f x =abc x h k, prenons par exemple pourrait écrire (x 6) f ( x)= 8 + ou (x ) f ( x)= L asymptote est d équation y =. Le domaine est R et l image est ], Cette fonction ne possède pas de zéro (j y reviens plus tard). L ordonnée à l origine se trouve si on remplace x par 0, ce qui donne un nombre un peu plus grand que (mais pas égal à ). Cette fonction est strictement positive sur son domaine. Elle est aussi croissante sur son domaine. +. #. Les fonctions.---page 5--- f ( x)= (x 6 ) +, qu on

26 Exposant. : Lois des exposants Base b n= p Puissance. b m=b b b... m fois Définition de base des exposants!. b m=. b n/ m= bn. b n/ m= m 5. (bn )m=b n m Dans ce cas, on multiplie les exposants. 6. b n bm=b n+ m Fonctionne uniquement si les bases sont identiques. 7. b =b n m m b 8. (a b) =a b 9. a =a m bm b () 0. b0 = Ex : 70 =. b = b Ex : = m b Loi des exposants négatifs : inverse la base et change le signe de l'exposant. m Loi des exposants rationnels. Cela explique cet exemple : b / = b. Combinaison des lois # et #. bn n m Suite logique de la loi #6 (et de la loi #). m m m Un exposant, ça se distribue si les bases sont multipliées. Suite de la loi #8 (car une division, c'est une multiplication par l'inverse)..5 : Résoudre une équation exponentielle. Lorsque c est possible, la technique de résolution d une équation exponentielle est d obtenir deux termes ayant la même base de chaque côté de l équation. Si bx = bw, on pourra conclure que x = w. Dans le cas où ce n'est pas possible, place aux logarithmes! Quelques exemples de résolution d équations exponentielles. Ex : x+ =8 x x x = x 6= x Arrangeons-nous pour que les bases soient identiques (ramenons à la base ). Car = et 8 =. Par application de la loi # Les bases sont communes? On les élimine. Il reste x + 6 = -x, qui donne 5x = -6 ou x = x Ex : 5 x+ 5 = x 5 5 x+ =50 5x x =50 x x =0 Remplaçons par 50 Comme on a des bases communes, on peut additionner les exposants. Les bases sont communes!. Ce qui donne x = -, donc x = Certaines équations sont simples à résoudre, car les bases communes se trouvent bien. #. Les fonctions.---page 6---

27 L exemple suivant montre un problème où il faut utiliser une autre stratégie pour résoudre. Ex : x + +5 x+=9 x x L idée ici est de décomposer les exposants par la loi #6 +5 =9 Maintenant, on peut mettre x en évidence simple. x ( +5 )=9 On calcule le contenu de la parenthèse, ce qui donne 8. x On divise par 8 des côtés de l équation. (8)=9 x = L exposant qu il faut donner à la base pour obtenir ½ est -. x = - Je voudrais bien élaborer davantage sur la résolution d équation exponentielle, mais sans les logarithmes, ça limite beaucoup les possibilités. Pour ce qui est de trouver les zéros de la fonction exponentielle, mieux vaut aussi les attendre..6 : Trouver la règle d une fonction exponentielle. Il faut savoir que pour des courbes n ayant pas subies de translations, l ordonnée à l origine représente le paramètre a. Allons-y avec des exemples de courbes n ayant pas subies de translation verticale. a) Si on connaît points, de forme f (x)=ab cx Supposons que la courbe passe par les points A(,6) et B(8,8). Constatons les faits suivants : L écart en abscisse entre les points est de unités. Cela représente temporairement l exposant. La valeur initiale en ordonnée est 6. Cela représente temporairement le coefficient de la base. (paramètre a) La valeur finale en ordonnée est 8. Cela représente la variable dépendante (f(x)). En fait, on a généré une égalité avec points donnés, sachant qu ils sont issus d une fonction exponentielle. On est encore loin d avoir trouvé la règle! Avec ces données, nous pouvons trouver la base de l exposant. Remplaçons les termes dans l équation afin de trouver la base et le coefficient de l exposant. Cela donne : 8 = 6b Isolons b : =b (j ai divisé par 6 des côtés) =b / (afin d éliminer l exposant sur la base) =b L équation de la courbe passant par les points (,6) et (8,8) ressemble à x f x =a. Tout ce calcul pour trouver la base de l exposant! En même temps, on a trouvé le paramètre c (il vaut ¼). Maintenant pour trouver le paramètre a, il suffit de remplacer x et f(x) par un des points donnés au départ. Cela donne (avec (,6)) : 6=a ce qui donne La règle finale est 6=a, donc a =. f x = #. Les fonctions.---page 7--- x

28 b) Si on connaît points, de forme f(x)=abc(x-h) Supposons que la courbe passe par A(,) et B(8,). Constatons les faits suivants : L écart en abscisse entre les points est de 5 unités. Cela représente l exposant. La valeur initiale en ordonnée est. Cela représente le coefficient de la base. La valeur finale est. Cela représente la variable dépendante (f(x)). Avec ces données, nous pouvons trouver la base de l exposant. Remplaçons les termes dans l équation afin de trouver la base de l exposant. Cela donne : = b5 Isolons b : 5 =b (j'ai divisé par des côtés) 5 5 / 5 (afin d éliminer l exposant 5 sur la base) =b 5 =b=0,87... L équation de la courbe passant par les points (,) et (8,) est x f x =a 5. Maintenant pour trouver le paramètre a, il suffit de remplacer x et f(x) par un des points donnés au départ. =a 5 donc a= 5 (car j'ai divisé par 5 ) x x x x f x = 5 5 = 5 5 = 5 5 = 5 Cela donne (avec (,)) : La règle sera alors Et hop, l apparition d un paramètre h! Amusant non? On peut remercier les lois des exposants pour ce coup de main..7 : Les pièges! Piège # : x+ = 0 impossible, car la puissance ne peut pas égaler 0 Piège # : x+ = x = car x = Piège # : 6x+ = on remplace par 60 6x+ = 60 bases communes, donc on les enlève et on résout. x = - ½. Piège # : N'oublie pas que la puissance ne peut pas être négative! #. Les fonctions.---page 8---

29 .50 : Les logarithmes. Qu est-ce qu un logarithme? En fait, il s agit d un exposant qu on doit donner à une certaine base pour obtenir la puissance voulue. Par exemple, quel exposant dois-je affecter à la base pour obtenir 6? La réponse est, car = 6. On écrira alors que log 6 =, qui se lit comme étant le logarithme en base de 6, ce qui vaut. x Si on cherche à trouver l exposant de l'équation =,on peut dire que log =. À propos de la calculatrice, tu devrais facilement repérer la touche log. Si tu fais log, t auras 0.00, car la touche log de ta calculatrice calcule par défaut le logarithme en base 0. Donc comme log = log0 = 0.00, tu peux faire le lien que 0 0,00 =. En passant, la base est toujours un nombre positif. La touche ln x signifie le logarithme naturel (log e x où e.7888). Le nombre e est une constante mathématique, parfois appelée nombre d Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier. On s en servira surtout en 5 e secondaire pour calculer des intérêts calculés continuellement ou lors de situations où la croissance (ou décroissance) est continue..5 : Loi du changement de base. Mais que faire si on veut calculer log 5 sur une calculatrice? Il existe une façon simple de calculer un logarithme avec la base voulue : log a m= log m. log a Cette méthode se nomme la loi du changement de base. Si on utilise notre exemple, on aura : log 5= log 5,6975. On peut aussi utiliser la touche ln pour effectuer la log loi du changement de base. #. Les fonctions.---page 9---

30 .5 : Lois des logarithmes. La meilleure façon de bien comprendre d où viennent les lois des logarithmes, c est de revenir sur les lois des exposants, car, souviens-toi, un logarithme, c est un exposant avant tout! Base Exposant Base b n= p log b p=n Puissance log b M N =logb M log b N car b M bn =bm N M M b log b =log b M log b N car N =b M N N b N M N logb M =N logb M car (b ) =bm N log b b= car b =b 0 logb =0 car b = si b 0 N N N logb b =N car b =b Puissance Exposant Loi du produit des puissances. Loi de la division des puissances. Loi de la multiplication des exposants. Loi des bases et puissances identiques. Loi de la puissance qui vaut. Mixte de la loi # et #. Permet d'écrire un nombre sous forme logarithmique. 8 Ex : utilisons le nombre 5 comme base. 8=log5 5 =log blog M Loi de l'égalité des logs. =M car logb M=logb M logb = log b M car M =b M M b b Cas particulier de la loi #. À l aide de ces lois, on peut être appelé à simplifier des expressions logarithmiques, à résoudre des équations exponentielles ou logarithmiques..5 : Simplifications d expressions logarithmiques. Exemples a) log 5 log 5 log 5 9 log5 log5 + log log log5 9=log5 log5 b) log 7 7=log 7 7 = log7 7= log 5 = log5 ) 8 (loi # : log5 log5 =log5 ) 8 7 9= (loi #, en toute simplicité, car ) (avec la loi #, simplifions (combinaison des lois # et #) #. Les fonctions.---page 0---

31 .5 : Résoudre une équation logarithmique et/ou exponentielle. Pour résoudre une équation logarithmique, on fait un peu la même chose que de résoudre une équation exponentielle, c est-à-dire qu on applique les différentes lois et on s arrange pour avoir un seul logarithme de chaque côté du symbole d égalité. Naturellement, il faut que les deux logarithmes soient de même base! Exemple : log x 8 log 0 log 5= (remplaçons par log.) log x 8 log 0 log 5=log (avec les lois # et ramenons le tout à un seul log.) log (x+ 8) 0 log 5 =log (x+ 8) 0 log =log (on peut éliminer les log par l égalité des logs.) 5 (x+ 8) 0 (x+ 8) 0 log = ce qui donne = car log = =(x+ 8) 0 (on isole x) 7,5=x+ 8 donc 0,5=x donc =x 6 Exemple : log 6 (x )= 0 (on divise les côtés pas.) log 6( x )= 5 5 =6( x ) =6 ( x ) =( x ) 5 =6( x ) par la définition du log). (on peut dire que ((½)-5 = ) Donc x = Dans les cas plus complexes d équations exponentielles, on doit souvent se résigner à utiliser les logarithmes. f (x )= Exemple : On veut trouver le zéro de ( x+ ) 0= + ( x+ ) = (x+ ) = (x+ ) +. On remplace f(x) par 0 pour isoler x. On enlève de chaque côté de l équation. On divise par - chaque côté de l équation. À cette étape, on transforme le tout en équation logarithmique. La base est ¼, l exposant est (x+) et la puissance est /. Cela donne cela : log / =(x + ). Avec la calculatrice, on trouve que #. Les fonctions.---page ---

32 ,8, donc on peut dire que x+,8 et que x 6,8. Notez la présence du log / symbole d approximation ( ), car on travaille avec des nombres irrationnels dans la plupart du temps. Transformer une équation exponentielle en équation logarithmique et vice-versa, ça demande de la pratique. Toutefois, tu dois devenir très à l aise avec ces manipulations. De plus, comme la réciproque de la fonction exponentielle est la fonction logarithmique (et vice-versa), la procédure pour trouver la réciproque est sensiblement la même..55 : Les fonctions réciproques : exp log et log exp. Comme nous sommes dans le vif du sujet, allons-y avec un exemple de réciproque. Exemple de réciproque de la fonction exponentielle : x= y + 5 x 5= y y ( x 5)= log ( x 5)=y log (x 5)+ = y La fonction réciproque est : x f ( x )= +5 Technique visuellement correcte : on change x par y et on isole y. On enlève 5 de chaque côté de l équation. On multiplie par chaque côté de l équation. On transforme le tout en équation logarithmique. On isole y. f (x)= log (x 5)+ Remarquez que les nombres représentant les paramètres initiaux sont toujours présents, mais ne sont plus au même endroit. Exemple de réciproque de la fonction logarithmique : f ( x )= log 5 ( x )+9 x= log 5 ( y )+9 Technique visuellement correcte : on change x par y et on isole y. x 9= log 5 ( y ) On enlève 9 de chaque côté de l équation. (x 9)=log 5 ( y ) 5 5 ( x 9) = y ( x 9) += y La fonction réciproque est : On divise par chaque côté de l équation. On transforme le tout en équation exponentielle. On isole y. f (x)=5 ( x 9) + #. Les fonctions.---page ---

33 .56 : Étude de la fonction logarithmique. Comme la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle, la courbe aura une ressemblance frappante avec celle-ci. La règle est f ( x)=a log b (c (x h))+k. Cette fois, l asymptote est verticale est son équation est x=h. Tant que le paramètre c demeure positif, le domaine de la fonction est ]0,. De plus, la fonction sera décroissante si le paramètre a est négatif ou si la base est comprise entre 0 et. Bref, il y a quelques autres conditions avec tous ces paramètres. Il faut aussi garder en tête que la base est toujours un nombre positif, histoire de demeurer dans une réponse réelle! Brun (): f(x) = log x C est la fonction logarithmique de base, croissante sur son domaine et qui passe par le point (,0) Vert (): g(x) = log x Si on compare avec la fonction f, celle-ci possède une base plus petite, ce qui fait que la croissance est différente. Bleu (): h(x) = log0,5 x Lorsque la base est un nombre compris entre 0 et, la fonction est décroissante sur son domaine. Rouge (): i(x) = -log x Même chose si le coefficient du logarithme est négatif. Dans le cas d'une base comprise entre 0 et et un coefficient négatif, on revient à une courbe croissante! Kaki (5): j(x) = log (-x) Comme le paramètre c est négatif, le domaine est -,0]. Naturellement, si on prenait en considération les paramètres (h, k), la fonction serait tout simplement déplacée dans le plan cartésien par rapport à sa position d origine. Si on veut trouver les zéros d une fonction logarithmique, on résout tout simplement (référez-vous au point.5). #. Les fonctions.---page ---

34 .60 : Les mathématiques financières. Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont le cœur d un type de problème où l élément même du problème se multiplie dans un laps de temps donné. Ce sont des problèmes où une population ou un montant croit ou décroit de façon exponentielle. La formule utilisée est : Valeur finale = Valeur initiale (base) (temps) ou V f =V i (b)t. La valeur initiale représente la quantité initiale utilisée le problème. La valeur finale représente la quantité finale qu'on cherche (parfois, on peut connaître la valeur finale et rechercher l'initiale). La base représente l'accroissement. Si on double, triple ou quadruple, on remplacera la base respectivement par, ou. Par contre, si on joue avec les pourcentages, on replacera la base par +/- le taux utilisé (en%). Le temps utilise l'unité présente dans le problème (ans, jours, secondes,...) Quelques exemples de problèmes. La population d'une ville, en 980, est de habitants. En 0, la population de cette ville est de 000 h. Détermine l'accroissement de la population annuellement (en %). Vi = Vf = 000 temps = ans. Remplaçons ces données dans la formule : 000=0000 ( b) Divisions par des côtés :,=(b) Comme nous cherchons un taux en pourcentage, remplaçons «b» par + taux. ( ) Éliminons l'exposant en l'affectant par un exposant inverse : (,) =(+ taux) Comme ( ) (,).080, on peut dire que le taux sera d'environ,% annuellement.. Au début d'une expérience, il y a 8 bactéries. On sait qu'elles triplent à toutes les heures. Combien y aura-t-il de bactéries dans 5 jours? Vi = 8 temps = 0 heures (5 jours x heures) b = (car ça triple) 0 Remplaçons ces données dans la formule : V f =8 (), ce qui donne 5,0 x 058 bactéries. NB : N'oublie pas que l'action de tripler = une augmentation de 00%, car + 00% =!!. On peut calculer que placer 5 000$ à un taux d intérêt de % pendant 6 ans rapportera 5000 (+0,0)6=790,80 $. Si on travaille uniquement avec des pourcentages, il peut être pratique d'utiliser la formule : V f =V i (±taux )t, où (±taux ) représente la base de l'exposant. Parfois, l intérêt est capitalisé (calculé) plusieurs fois par année. Dans ce cas, on modifie la fonction financière pour obtenir V f =V i (+ taux c t ) où c représente le nombre de capitalisation. c #. Les fonctions.---page ---

35 Si on capitalise un taux plusieurs fois par année, on n appliquera par ce taux, mais plutôt une fraction du taux. Par exemple, si je capitalise un taux à tous les mois (on parle ici d une capitalisation mensuelle), on divisera le taux par. Cela signifie que si on place 5 000$ au même taux ( %) pendant 6 ans, mais que l intérêt est capitalisé 5 fois par année, cela donnera 5000 (+ 0,0 6 5 ) =798,60 $. On parle 5 ici de 7,80$ de plus sur une période de 5 ans. C est peu pour tant d efforts. Comme on calcule l intérêt plus souvent, on fait de l intérêt sur l intérêt rapporté. Plus le montant est capitalisé souvent dans une année, plus l intérêt sera élevé. Cependant, il y a une limite à la capitalisation. On appelle la capitalisation à perpétuer ou la capitalisation continue lorsqu on calcule l intérêt un nombre infini de fois. Dans ce cas, la fonction financière est différente : V f =V i e taux t où e est la base du logarithme naturel et vaut environ,7888. En reprenant notre exemple, on pourra calculer que 5 000$ capitalisé de façon continue à % pendant 6 ans donnera 5000 e0,0 6=7958,6 $. On pourrait fabuler en supposant qu'un montant de $ placé pendant 0 ans à un taux de 6 % d intérêt continu rapportera 0 69,$. On peut aussi calculer la différence entre l intérêt rapporté si on capitalise le taux annuellement et si on le capitalise à perpétuer. À toi de t amuser! Naturellement, ces principes de calculs s appliquent à n'importe quel problème où il y a une augmentation ou diminution d une valeur initiale (population de bactéries, animaux, personnes, ou autre) selon un taux pendant une durée quelconque. Dans le cas d une diminution, la règle sera V f =V i ( taux )t ou V f =V i e taux t. #. Les fonctions.---page 5---

36 # Les vecteurs. Les vecteurs représentent une suite directe de la trigonométrie vue en e secondaire. Ce chapitre vise à te préparer à tes cours de physique. Avant d aller plus loin, mieux vaut faire un petit retour en arrière!.0 : Retour sur la trigonométrie. Soit un triangle rectangle ABC, rectangle en C. A Sinus B = CA BA Cosinus B = CB AB Tangente B = CA CB Loi du sinus : sin A sin B sin C = = a b c Loi du cosinus : a² = b² + c² (bc cos A) B C Soit un triangle quelconque ABC. B a c A b C. : Retour sur le plan cartésien. e quadrant Ordonnée ou axe des y er quadrant Sens de rotation. Le départ (angle de 0 ) est toujours à partir de l'abscisse positive. Abscisse ou axe des x e quadrant e quadrant # Les vecteurs. ---Page 6---

37 .0 : Définitions et relations sur les vecteurs. u est le Vecteur : Quantité ayant une grandeur, une direction et un sens. Par exemple, u =( a, b) vecteur u. Comme on peut représenter le vecteur par une translation, on dit que où (a, b) sont les composantes du déplacement indiqué par la translation. N'oublie jamais qu un vecteur est un commandement (un ordre) qu un donne à un objet de se déplacer. Ce commandement peut provenir de n importe quel endroit. En ce sens, on peut dessiner le u =(, ) n importe où dans un plan. Son ordre est clair : il faut se déplacer de vecteur unités vers la droite et unités vers le bas. Direction d un vecteur : Direction de la droite qui supporte une flèche du vecteur. Par exemple, deux voies d autoroute ont la même direction, mais pas le même sens. Sens d un vecteur : Sens indiqué par l une de ses flèches. Vecteurs équipollents : De même direction, de même sens et de même longueur. Scalaire : Nombre réel ou mesure qui n implique aucune orientation. Vecteur nul : Vecteur de norme 0. Vecteur unitaire : Dont la norme est égale à. On utilise habituellement i et j. Vecteurs opposés : De même norme, de même direction, mais de sens contraires. Le vecteur opposé à u est noté u. Vecteurs colinéaires : Dont les flèches utilisées pour les représenter sont portées par des droites parallèles et ce, peu importe le sens ou leur grandeur. On dit qu ils sont linéairement dépendants. Vecteurs orthogonaux : Ils sont perpendiculaires..0 : Orientation d'un vecteur Un vecteur s'oriente par rapport à l'horizontale, dans le sens anti-horaire. Un vecteur de 0o pointe vers la droite. Un vecteur de 80o pointe vers la gauche. Un vecteur de -90o pointe vers le bas. Ci-dessus, un vecteur orienté à 5⁰ # Les vecteurs. ---Page 7---

38 . : Composante d'un vecteur et norme. Composantes : Couple de nombres correspondant à l accroissement des abscisses et à Le vecteur AB a comme composantes (,), car l accroissement des B A abscisses est, et l accroissement des ordonnées est. unités unités l accroissement des ordonnées. À l'aide de la trigonométrie, on peut trouver l'orientation du vecteur AB. Il suffit de trouver la tangente de l'angle par rapport à l'horizontale : tan- (/) = 56,o On peut facilement trouver la norme d un vecteur à partir de ses composantes. Encore une fois, Pythagore vient à notre rescousse. Notez le joli triangle rectangle formé par les composantes. u =( a, b), la norme est donnée par Si a ²+b ². La norme du vecteur AB est de.0 : Addition vectorielle. Addition : On définit sur les vecteurs une opération appelée addition dont le résultat, appelé somme ou résultante est un autre vecteur. Nous aborderons trois façons d additionner les vecteurs : les composantes, le triangle et le parallélogramme. v = c,d, la somme de u =(a, b) et Méthode des composantes : Lorsque nous avons ces deux vecteurs est un vecteur dont le résultat sous forme de composantes est u v = a c,b d. u =, et v =, alors u v =, =,. Exemple : Si BC= AC Méthode du triangle : AB Le vecteur somme est le vecteur représenté par la flèche qui débute à l origine de la première flèche et se termine à l extrémité de la deuxième flèche. Pour l'identifier, il suffit de mettre les vecteurs bout à bout. Exemple : v u v u v u+ # Les vecteurs. ---Page 8---

39 AC = AD Méthode du parallélogramme : AB Il faut tracer la flèche du second vecteur de façon à ce que les deux flèches aient la même origine. Ensuite, on complète le parallélogramme. Le vecteur somme est représenté par la flèche issue de l origine des deux flèches et dont l extrémité est le sommet opposé du parallélogramme. Il s agit d une des deux diagonales du parallélogramme. Exemple : u u v v u+ v. : Soustraction vectorielle. Pour soustraire un vecteur d un autre, il s agit d additionner son opposé. L'opposé du est BA. vecteur AB u, alors son opposé est u,. Si nous avons les composantes du vecteur Exemple : si u, et v, 5, alors u v = u v, donc (,)+(-,5)=(,8).. : Multiplication d un vecteur par un scalaire. Cette opération permet d obtenir des vecteurs colinéaires. Étant donné un scalaire k et un v, si v = a,b, alors k v = ka,kb. vecteur v =, alors v =,6. Exemple : Si. : Produit scalaire. On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre correspondant à la somme des produits de leurs composantes. Le résultat est un scalaire. Le produit scalaire est noté par le symbole (gros point noir). u = a,b et v =( c, d ), alors u v =(ac+ bd ). Si u =(,) et v =(,), alors Exemple : u v =( + )=8. # Les vecteurs. ---Page 9---

40 Une autre définition définit le produit scalaire par un contexte géométrique. Dans le cas où on connaît la norme des vecteurs (via les composantes) et l'angle (θ) entre les vecteurs ( v et u ), on peut appliquer la formule suivante : u v = u v cos θ. Exemple : Trouvons l'angle entre les vecteurs u =( 7,) et v =(, ). Dans un premier temps, calculons le produit scalaire par la formule des composantes : u v =( 7 + )= 8 Ensuite, calculons la norme de chacun des vecteurs : Maintenant, isolons θ : u =( 50) et v =( 0). 8= 50 0 cos θ, donc cos θ = -0,569 et θ =,7. En physique, le produit scalaire sert donc à déterminer le travail. L'unité de mesure du travail est le newton-mètre (Nm) ou le joule (J). Pour sa part, le Newton est la force exigée pour donner à une masse de kg une accélération de mètre par seconde. Cette force est généralement un poids. Si le produit scalaire, entre deux vecteurs égale 0, cela signifie que les deux vecteurs sont orthogonaux ou perpendiculaires..50 : Combinaison linéaire. Tout vecteur est décomposable en une somme d autres vecteurs qui, eux-mêmes, peuvent être décomposés en un produit d un vecteur par un scalaire. Une combinaison linéaire définit un vecteur en utilisant d autres vecteurs prédéfinis. Les nombres réels utilisés sont appelés les coefficients de la combinaison. Exemple : (8,) = A(,-) + B(-,-) Trouvons les scalaires (A et B) qu il faut appliquer aux deux vecteurs (,-) et (-,-) pour obtenir le vecteur (8,). Pour ce faire, il est utile de créer un système d équations linéaires. Pour la coordonnée des abscisses, nous avons 8 = A B et pour les ordonnées, = -A B. Méthode de réduction pour isoler une variable (disons B) : 8 = A B multiplions la ligne par + = -A B = A 8 B = -B B = - et A = (substitution) Cela donne la combinaison : (8,) = (,-) + -(-,-) # Les vecteurs. ---Page 0---

41 .60 : Relation de Chasles. Elle porte le nom de Michel Chasles, mathématicien français du XIXe siècle. Elle était connue depuis déjà quelque temps mais les travaux de Michel Chasles en géométrie justifient qu on lui en attribue en quelque sorte la paternité. Initialement associée à la géométrie, pour décrire une relation entre vecteurs dans un plan, la relation de Chasles s écrit de la manière suivante : Pour des points A, B et C d un plan, BC = AC. AB+ On se sert principalement de cette règle pour effectuer des démonstrations géométriques à l'aide de vecteurs..6 : Les propriétés des opérations sur les vecteurs. a) Addition vectorielle : u+ v = v + u Commutativité : u + v )+ w = v +( u+ w ) Associativité : ( Élément neutre : vecteur nul Élément opposé : (a, b) --> (-a, -b) b) Multiplication par un scalaire : Élément neutre : Distributivité sur l addition vectorielle : ( u + v )= u + v Distributivité sur l addition des scalaires : (+7) u = u +7 u c) Produit scalaire : Commutativité et associativité. u ( v + w )= u v + u w Distributivité sur l addition vectorielle : # Les vecteurs. ---Page ---

42 .70 : Problèmes de vecteurs. Problème Deux hommes tirent une chaloupe près du rivage d une rivière. Les deux forces de 80 kg et 90 kg agissent suivant un angle de 6 degrés. Trouve la longueur de la résultante des deux forces. Solution ) Faire un dessin. ) Trouver la mesure de l'angle ACD du parallélogramme : 60 ( 6) =6 o ) Tracer la résultante AD. ) À l aide du triangle quelconque ACD, calculons la mesure du segment AD à l aide de la loi de cosinus. AD ²= AC ²+ CD ² AC CD cos 6 AD ²=80²+ 90² cos 6=988,586 AD = 988,586=,8 Donc la résultante a comme mesure,8 kg. Problème Un bateau part d un port A et navigue vers l ouest à une vitesse de km/h. Il rencontre un courant de km/h vers le nord. Trouve la vitesse réelle du bateau et sa direction. Solution ) Faire un graphique représentant le texte. ) Étant donné que nous avons un triangle rectangle (ACD), appliquons Pythagore. ) AD ²=²+ ²=59 ) AD = 59=, km/h 5) tan =( )=9,5 Donc la vitesse du bateau est de, km/h et son orientation est O 9,5 N ou 70,5 degrés selon l'horizontale. # Les vecteurs. ---Page ---

43 Problème Comme le travail (T) est défini par le produit scalaire de la force appliquée sur un objet par la distance parcourue par cet objet. On tire un bloc sur un distance de mètres avec une force de 50 Newtons, formant un angle de 5 degrés avec l horizontale. Quelle sera le travail T accompli? Solution u et v est de 5 degrés. L angle entre Comme le travail est défini par le produit scalaire, servonsnous de la formule du produit scalaire pour trouver le travail effectué. u v =50 cos 5=06,07 N /m Le travail accompli est de 06,07 N/m. ---Page ---

44 # Les fonctions trigonométriques..00 : Les radians. Angle de radian Un radian (noté rad) est la mesure d un angle au centre arc de n unités interceptant un arc dont la mesure est égale au rayon. On utilise le radian comme unité de mesure pour illustrer rayon de n unités des angles très grands, représentés par exemple par des tours de cercle. Comme la circonférence d un cercle est de πr et que r représente la mesure du rayon, on peut dire qu il y a π radians ou 60 degrés dans un cercle. D autres égalités découlant de ce fait sont : π rad =80, π rad =5 et π π rad =90, rad =60, π rad =0. 6 Revenons à nos tours de cercle. Un tour de cercle correspond à π radians, deux tours de cercle correspondent à π radians et ainsi de suite. Idéalement, il vaut mieux utiliser la technique du produit croisé pour transformer des degrés en radians et même en tours! Un tour de cercle = π radians = 60 degrés. Le tableau ci-contre aide à comprendre le tout! Tour Angle en degrés Angle en radian Tour Angle en degrés Angle en radian 60 π ½ 80 π 70 π /6 60 π/ π ¼ 90 π/ x 60x πx ¾ 70 π / # Les fonctions trigonométriques. ---Page ---

45 .0 : Le cercle trigonométrique (voir annexe A). 90o π/ rad (0,) Il s agit d un cercle centré à l origine du plan cartésien dont le rayon vaut une unité. Le point (,0) correspond à l origine du cercle, c est-à-dire à un angle de 0. Les angles calculés dans le cercle sont relatifs à ce point 0o ou 60o 0π ou π rad (,0) 80o π rad (-,0) (,0). Ils sont positifs si on tourne dans le sens antihoraire du cercle et négatifs dans le sens horaire. Comme le cercle possède 60º (ou π radians), il est possible d associer certains angles avec certaines 70o π/ rad (0,-) coordonnées. Dans le cercle trigonométrique, nous travaillerons aussi avec les angles de 0, 5 et 60 degrés (et tous leurs multiples). Il existe une méthode fort simple pour trouver les coordonnées de ces points : Pythagore! Angle de 0 (et 60 ) (le côté opposé à l angle de 0 vaut la moitié de l hypoténuse) Le sinus de 0 = le côté opposé divisé par l'hypoténuse (), ce qui donne ½ Le cosinus de 0 = le côté adjacent divisé par l'hypoténuse (), ce qui donne / On peut conclure que l'abscisse correspond au cosinus et l'ordonnée correspond au sinus Avec Pythagore, x² + ½ = x² = ¾ x = Angle de 5 (les côtés formant l'angle droit sont congrus triangle isocèle) Avec Pythagore, x² + x² = x² = x² = ½. Finalement x vaut ou Avec ces triangles, on réalise que l abscisse représente le cosinus de l angle au centre tandis que l ordonnée représente le sinus. # Les fonctions trigonométriques. ---Page 5---

46 On peut tirer de nos observations, les conclusions suivantes : Si on tourne dans le sens antihoraire, le point (,0) correspond à 0, π, π rad, Si on tourne dans le sens horaire, il correspond à -π, -π rad, Le point (,0) correspond à {x ℝ x =πn, n ℕ}. π π + πn = Le point (, ) correspond à {x ℝ x = + πn, n ℕ} car 6 6 π πn π π π π 5π +,,,,,... } lorsque «n» =,-,-,0,,, ={ : Le point trigonométrique. On peut chercher quelles sont les coordonnées correspondant à un point sur le cercle selon un angle au centre. Si l'angle est ѳ, alors le point correspondant sera noté P( ѳ). π 5π ). C'est plus difficile, car il ne se trouve pas sur le Exemple # : Je cherche les coordonnées de P (, ). Exemple # : Je cherche les coordonnées de P ( ),ce qui donne ( cercle. Je dois trouver combien je fais de tour pour en arriver là. Comme le dénominateur est, un tour 8π. 5 divisé par 8 = reste. En fait, cela signifie qu il y a quatre tours et le reste donne π l angle relatif au cercle, c est-à-dire. Sur le cercle, cela correspond au point (, ). équivaut à Pour bien comprendre cela, le tableau suivant devrait t aider! Angle Dénominateur (exemple) P( P( Tour équivalent Nombre de tour Reste Angle équivalent 5 π ) π 5 / = π π 6π / 6 = 5 5π ) P( π ) P( 65π ) 6 6 / 8 = 5 π 6 65 / = 5 5 # Les fonctions trigonométriques. ---Page 6--- (0, ) (, ) π (, ) 5π 6 (, ) 8π Point

47 .0 : La fonction trigonométrique. Avant de parler de fonction, il faut se mettre en tête que tout est lié directement au cercle trigonométrique. Imaginons-nous qu on fait tourner notre doigt autour du cercle trigonométrique dans le sens antihoraire. En même temps, il faut faire correspondre la position en ordonnée (le sinus de l angle) du cercle par rapport à l angle en radians sur un plan cartésien. De cette façon, on obtient la fonction sinus. 0,8 0,6 0, 0, 0-0, -0, -0,6-0,8 - Si on fait correspondre la position en abscisse (le cosinus de l angle) du cercle par rapport à l angle en radian, on obtient la fonction cosinus. Pour ce qui est de la fonction tangente, il suffit de calculer le rapport du côté opposé au côté adjacent à l angle au centre (donc sinus divisé par cosinus) et faire correspondre cette valeur par rapport à l angle en radian. On parlera ici de fonctions périodiques, car sans contexte, elles possèdent une infinité de zéros et se prolongent jusqu à l infini. Le graphique d une fonction sinusoïdale possède des caractéristiques intéressantes. Prenons la fonction sinus et étudions ses paramètres : f ( x)=a sin( b( x h))+ k La période correspond à un tour de cercle ou la durée d un cycle (oscillation). Pour le π cercle ci-haut, il s agit de π. On trouve la période à l aide de b. On peut aussi trouver la valeur du paramètre b à l'aide de la période : # Les fonctions trigonométriques. ---Page 7--- π période.

48 L'amplitude correspond à la demi-différence entre les sommets de la courbe. Si le rayon du cercle est, alors l'amplitude sera aussi de. La valeur absolue du paramètre «a» permet de trouver l amplitude. La fréquence donne le nombre de cycle ou d oscillation (période) par unité. Il s agit b en fait de l inverse de la période, donc de π. Le déphasage est le déplacement horizontal causé par le paramètre h sur la fonction. La translation est le déplacement vertical causé par le paramètre k sur la fonction.. : Les fonctions sinus et cosinus. f x =a sin b x h k De base, cette fonction passe toujours par l origine. La période vaut π et l amplitude vaut. La fréquence vaut aussi /π. Si le paramètre a est négatif, la fonction sera décroissante à partir de l'origine. f x =a cos b x h k De base, cette fonction passe par (0,), à moins que le paramètre a soit négatif. Dans ce cas, elle passera par (0,-). Il s agit en fait d'une fonction sinus sur laquelle il y a un déphasage de -π/. On peut dire que f(x) = cos(x) et f(x) = sin (x π/) représente la même fonction. # Les fonctions trigonométriques. ---Page 8---

49 . : Tracer une courbe sinusoïdale. On désire tracer la courbe représentant l équation suivante : f(x) = cos (x π) +. Deux éléments permettent immédiatement de bien situer la courbe : l amplitude et le paramètre de translation (k). On sait que ce paramètre définit le milieu entre le maximum et le minimum. On appellera ce milieu le point d inflexion. Je parle aussi souvent d un axe d inflexion qui correspond à une droite parallèle à l abscisse passant par ce point. période Revenons à notre problème. Traçons la droite d équation y= (droite d'inflexion). À l aide de l amplitude (), nous savons que le maximum est de et le minimum est -. L axe des ordonnées est maintenant graduée. Attaquons-nous maintenant à l axe des abscisses à l aide de la période. Comme le paramètre b vaut, on peut trouver la période qui sera π/. Comme une période, c est en temps, je conseille fortement de graduer l axe des abscisses en divisant la période par, ce qui donne π/6. Reste maintenant à situer un point de départ à notre dessin. Pour cela, utilisons le déphasage (qui vaut π). Comme il s agit d une fonction cos, nous savons que le graphique passe par le point (π, ) et qu il passera une période plus loin, donc au point ( 5π/, ). Par la suite, on trace le reste, comme si on apposait une étampe!. : La fonction tangente. f ( x)=a tan( b( x h))+ k Pour cette fonction, notons que la période est de π et que la fréquence est de /π. Pour ce qui est de l amplitude, elle est indéfinie. Cette fonction possède aussi une infinité d asymptotes verticales situées à égale distance (cette distance correspond à la période). Dans le cours, je ferai la différence entre une période de base (π) et une période tangente (π). Je pourrais aussi bien dire qu il y a branches par période, ce qui reviendrait au même. # Les fonctions trigonométriques. ---Page 9---

50 .0 : Les rapports inverses. Si on fait une suite au cours de trigonométrie de e secondaire, on se souviendra qu il existe 6 rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. Nous connaissons déjà le sinus, le cosinus et la tangente. Je vous présente les petits nouveaux! La cosécante (cosec ou csc) est le rapport de l hypoténuse sur son côté opposé, donc l inverse du sinus. La sécante (sec) est le rapport de l hypoténuse sur son côté adjacent, donc l inverse du cosinus. La cotangente (cot ou cotan) est le rapport du côté adjacent sur son côté opposé, donc l inverse de la tangente. Ces rapports seront très importants lorsqu il sera le temps de travailler les identités trigonométriques et lors de la résolution d équations.. : Les fonctions inverses. Sans trop pousser le sujet, voici un bref aperçu des représentations graphiques des fonctions inverses. f(x)=cosec(x) f(x)= sec(x) Indéfinie lorsque le dénominateur = 0. L image est inexistante entre - et. Indéfinie lorsque le C est une fonction tangente où dénominateur = 0. l amplitude est négative et L image est inexistante entre - déphasée de π/. et. f(x) = arc tan(x) # Les fonctions trigonométriques. ---Page 50---

51 . : Les fonctions réciproques. Il existe des fonctions réciproques aux fonctions trigonométriques. Cependant, ces fonctions sont contraintes sur le domaine et l image. f(x)=arc cos(x) Dom : [-,] Ima : [0,π] f(x)= arc sin(x) Dom : [-,] Ima : [-π/, π/] f(x) = arc tan(x) Dom : R Ima : ]-π/, π/[.0 : Les identités trigonométriques. Ce sont des égalités qu on peut établir en trigonométrie. Voici les principales.. Tangente et cotangente : tan θ=. Sinus et cosécante : sin θ= sin θ cos θ donc cot θ= car cot θ= cos θ sin θ tan θ ou cosec θ= cosec θ sin θ. Cosinus et sécante : cos θ= ou secθ= sec θ cos θ. Identités de Pythagore : sin² θ+ cos² θ=, tan² θ+ =sec² θ et + cot² θ=cosec² θ 5. Identités des angles opposés : sin( θ)= sinθ, cos( θ)=cosθ et tan θ= tanθ 6. Identités reliées aux sommes et aux différences d angle : sin( A±B)=sinA cosb±cosasinb, cos( A± B)=cosA cosb sinasinb et tan (A ±B)= tana±tanb tanatanb # Les fonctions trigonométriques. ---Page 5---

52 Ce qu il faut savoir sur les identités, c est qu elles serviront à résoudre des équations trigonométriques. Avant de se lancer corps et âme dans la résolution, il faut se pratiquer à jongler avec les identités trigonométriques afin de développer un sens fin de déduction. Des heures et des heures de plaisir, c est garanti! Exemple de démonstration d une identité. Cot θ (cot θ + tan θ) = cosec² θ Interdiction de toucher au terme de droite! Cot² θ + cot θ tan θ = cosec² θ J ai distribué cot θ dans la parenthèse. Cot² θ + = cosec² θ cot θ tan θ = ; ce sont des rapports inverses. C est tout, car Cot² θ + = cosec² θ, c est une identité de base trigonométrique..50 : Résolution d équations trigonométriques. Pour résoudre une équation trigonométrique, il faut utiliser le cercle trigonométrique, savoir factoriser et connaître les identités. Exemple # : sin ²θ+ sin θ=0 si θ est compris entre [0, π] sin θ(sin θ+ )=0 Mise en évidence simple de sin θ sin θ=0 et sin θ= On sépare chacun des facteurs et on cherche à isoler θ. Sur le cercle trigonométrique, pour sin θ = 0, la valeur de θ peut être de 0, π et π. Sur le cercle trigonométrique, pour sin θ = -, la valeur de θ peut être de Réponses finales : 0, π, π. π et π Exemple # : sin x tan x=0 si «x» est compris entre [0, π] sin x sin x =0 car tan x = sin x / cos x cos x sin x( )=0 Mise en évidence simple de sin x cos x )=0 On sépare les facteurs et on cherche à isoler θ. cos x sin x=0 et ( sin x=0 et ( sec x)=0 sin x=0 et =sec x Sur le cercle trigonométrique, pour sin x = 0, la valeur de «x» peut être de 0, π et π Sur le cercle trigonométrique, pour sec x =, la valeur de «x» peut être de 0 et π. Réponses finales : 0, π et π # Les fonctions trigonométriques. ---Page 5---

53 .5 : Exemple de problème. On observe la marée sur une plage chaude des tropiques. La marée basse est à 7h et le niveau de la mer se trouve à m sous le niveau de la mer. La marée haute, à m au-dessus du niveau de la mer, est à 5h. Dans cette journée, à quelle heure le niveau de l'eau se retrouvera-t-il à m au-dessus du niveau de la mer? ( ) =,5. Le maximum est mètre et le minimum est -m, donc l'amplitude est L'axe d'inflexion se trouvera à 0,5 mètres (paramètre k), car il s'agit du milieu entre le maximum et le minimum. Entre le minimum et le maximum, il y a 8 heures, ce qui correspond à la demi-période. La période est de 6 heures. Le paramètre b se trouve avec π π =. 6 8 Un petit dessin s'impose : Si je débute ma fonction à h, je pourrai choisir une fonction sinus, tandis que si je débute à7h, je choisirai une fonction cosinus négative. J'y vais avec une fonction sinus : f ( x )=,5 sin π ( x )+0,5 8 Il reste à résoudre : =,5sin π ( x )+0,5 8 0,5=,5sin π ( x ) -0,5 de chaque côté 8 0,=sin π ( x ) divisé par,5 de chaque côté 8 arcsin (0,)=0,06= π ( x ) 8 arcsin (0,)=0,06= π ( x ) 8 0,575=(x ), donc x =,5, ce qui correspond à environ h0. Entre 7h et h0, il y a h0, donc 7h h0 donne h0 (par symétrie). Entre h0 et 5h, il y a aussi h0, donc 5h + h0 donne 8h0. Dans la journée, la marée sera à un mètre au-dessus du niveau de la mer vers h0, h0 et 8h0. # Les fonctions trigonométriques. ---Page 5---