Les pourcentages, les rapports et les taux. Durée suggérée: 5 semaines

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1 Les pourcentages, les rapports et les taux Durée suggérée: 5 semaines

2 Aperçu du module Orientation et contexte Pourquoi est-ce important? Dans le présent module, les élèves travailleront avec des pourcentages, des rapports et des taux, et résoudront des problèmes à l aide du raisonnement proportionnel. Les pourcentages, les rapports et les taux, tout comme les fractions et les nombres décimaux, sont des comparaisons de quantités. Il s est fait un travail important avec les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages en 7 e année d études. Les élèves n ont toutefois travaillé qu avec des pourcentages qui se situaient entre 1 % et 100 %. On verra maintenant les pourcentages situés entre 0 % et 1 % et supérieurs à 100 %. Les pourcentages sont constamment utilisés dans les domaines de la vente au détail et des affaires, comme les élèves le verront au moyen de problèmes faisant intervenir la taxe de vente et les remises. Les élèves résoudront également des problèmes à l aide de pourcentages combinés et de l augmentation ou de la diminution d un pourcentage. Les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages sont différentes représentations de la même valeur sous-jacente. Les élèves incluront maintenant dans cette représentation les rapports et les taux. Le rapport est la comparaison de deux quantités ou plus ayant la même unité, tandis que le taux est la comparaison de deux quantités mesurées en différentes unités. Le taux unitaire, qui offre une stratégie utile de comparaison de taux, est une quantité associée à une seule unité d une autre quantité. Les élèves utiliseront le raisonnement proportionnel pour résoudre les problèmes faisant intervenir des rapports et des taux. Ce genre de raisonnement a aussi sa place dans d autres domaines des mathématiques. Par exemple, le travail avec les triangles semblables ou les dilatations, et la résolution d équations algébriques nécessitent chaque fois le recours au raisonnement proportionnel. Nous vivons dans un monde de pourcentages, de rapports, de taux et de raisonnement proportionnel. Les calculs avec des pourcentages sont fréquents dans les situations de la vie réelle, de la taxe de vente et des remises à l analyse de données. Chaque jour, les élèves ont affaire à des pourcentages dans le contexte des notes d examen, des statistiques sportives, des bulletins d information météorologique, des sondages d opinion publique ou de l information nutritionnelle sur les emballages d aliments, et lorsqu il s agit de décider du montant du pourboire à laisser au restaurant. Ils devraient être conscients du rôle des pourcentages dans la conversion de devises, et le calcul des frais d intérêt, des commissions et des augmentations de traitement. Les applications des rapports et des taux sont aussi nombreuses. Les rapports entre les divers ingrédients d une recette sont importants lorsqu il s agit de garantir le résultat prévu. Les taux existent dans les situations de tous les jours, qu il s agisse de la vitesse, de la consommation de carburant, du téléchargement dans Internet ou de la mesure du rythme cardiaque. L aptitude à raisonner avec des proportions a une foule d applications dans la vie de tous les jours. Lorsque les consommateurs font des comparaisons de prix pour déterminer le meilleur achat à faire ou lorsqu un travailleur qui gagne 300 $ pour une période de travail de 8 heures utilise cette information pour déterminer le nombre d heures requis pour gagner $, on est en présence de raisonnement proportionnel. 142

3 Processus mathématiques [C] Communication [RP] Résolution de problèmes [L] Liens [R] Raisonnement [CE] Calcul mental et estimation [T] Technologie [V] Visualisation Résultats d apprentissage DOMAINE Le nombre RÉSULTAT D APPRENTISSAGE Démontrer une compréhension des pourcentages supérieurs ou égaux à 0%. [8N3] PROCESSUS MATHÉMATIQUES C, RP, R, V Le nombre Démontrer une compréhension du rapport et du taux. [8N4] C, L, V Le nombre Résoudre des problèmes comportant des taux, des rapports et le raisonnement proportionnel. [8N5] C, L, RP, R 143

4 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N3 Démontrer une compréhension des pourcentages supérieurs ou égaux à 0 %. [L, R, RP, V] Indicateur de rendement: 8N3.1 Fournir un contexte tiré de la vie quotidienne dans lequel un pourcentage peut être supérieur à 100% ou entre 0% et 1%. Stratégies d enseignement et d apprentissage En 7 e année d études, les élèves ont travaillé avec des pourcentages qui se situaient entre 1 % et 100 %. Ils ont converti des pourcentages en fractions ou en nombres décimaux, ou vice versa, et la résolution de problèmes nécessitait de trouver le pourcentage d un nombre. Le travail inclura maintenant les pourcentages entre 0 % et 1 % et ceux supérieurs à 100 %. Les situations de résolution de problèmes seront plus variées. Les élèves mettront en pratique la connaissance des pourcentages pour trouver un nombre dont un pourcentage est connu et résoudre des problèmes faisant intervenir l augmentation ou la diminution d un pourcentage, des pourcentages combinés et la détermination du pourcentage d un pourcentage. Discutez avec les élèves de la pertinence des pourcentages dans les applications dans la vraie vie. Établissez avec les élèves une liste de situations dans lesquelles les pourcentages sont utilisés. La liste pourra inclure, mais non de façon limitative : les notes d examen (78 % à un examen de sciences); la taxe de vente (13 % de taxe sur toutes les ventes); la remise (25 % de remise sur tous les achats); la probabilité (10 % de risque de pluie); les statistiques de sport (marqué dans 25 % des lancers au but). Discutez avec les élèves de situations qui peuvent entraîner l utilisation de pourcentages : supérieurs à 100 %; (i) Quel pourcentage un élève obtiendrait-il à un examen contenant des questions en prime s il répondait correctement à toutes les questions? (ii) De quel pourcentage le coût des boissons gazeuses a-t-il augmenté lorsqu on compare le coût d aujourd hui à celui d il y a 50 ans? qui se situent entre 0 % et 1 %; (i) Demandez à un amateur de hockey : Quelles sont les chances de votre équipe préférée de remporter la Coupe Stanley? (en pourcentage) (ii) Quelle est la probabilité (en pourcentage) qu il neige en août? 144

5 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Discussion collective Sujet 1: Lorsque l entraîneur vous dit de «donner 110 %», que veutil dire? (8N3.1) Sujet 2: Quelles sont les chances que le directeur vous donne congé pour la journée à cause de votre sourire? (8N3.1) Sujet 3: Un article de journal inclut le chiffre 200 % dans son gros titre. Donnez un exemple d une situation à laquelle l article pourrait faire référence. (8N3.1) Journal Paul s est vanté d avoir obtenu une note de 105 % à son examen de mathématiques. Cette note est-elle possible? Donnez un exemple à l appui de votre réponse. (8N3.1) Julie a prédit que les chances que l Académie de Varennes gagne le match de championnat contre le collège d Amos étaient de 0,50 %. À quelle école Julie va t elle, selon vous? Expliquez votre choix. (8N3.1) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.1: Les liens entre les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages Leçon 5.2: Calculer des pourcentages GE: ProGuide: p. 4-11, ME: p ,

6 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N3 Démontrer une compréhension des pourcentages supérieurs ou égaux à 0 %. [L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement: 8N3.2 Représenter un pourcentage fractionnel donné à l aide de papier quadrillé. 8N3.3 Représenter un pourcentage donné supérieur à 100% à l aide de papier quadrillé. 8N3.4 Déterminer le pourcentage représenté par une région ombrée donnée sur du papier quadrillé et le noter sous forme d un nombre décimal ou fractionnelle. Stratégies d enseignement et d apprentissage Des élèves ont vu les pourcentages entiers de 1 % à 100 % au cours des années d études précédentes. On suppose qu ils ont représenté les pourcentages en nombres entiers à l aide de papier quadrillé. En 8 e année, ils représenteront les pourcentages entre 0 % et 1 %, les pourcentages supérieurs à 100 %, de même que d autres pourcentages fractionnaires. Commencez par utiliser une grille de 100 pour représenter les pourcentages. Chaque petit carré représente 1 %. Dans le cas des pourcentages fractionnaires qui sont facilement reconnaissables, p. ex. 0,5 %, la grille de 100 suffira (ombrez la moitié d un petit carré). Pour représenter 29,5 % à l aide de papier quadrillé, la grille de 100 suffit, puisque 0,5 % représenterait la moitié d une case (voir le diagramme ci-dessous). Dans ce diagramme, 29 et demi centicubes sur 100 sont ombrés. Ceci représenterait 29,5%. Il se peut toutefois qu on doive utiliser la grille de centièmes dans le cas de certains autres pourcentages. À ce stade, l accent dans le cas de l indicateur de rendement 8N3.4 sera mis sur la représentation du pourcentage à l aide de papier quadrillé. Les formes décimale et fractionnaire des pourcentages seront étudiées plus loin dans le module. Prenons 30,15 %; il faut une grille de 100 pour indiquer le 30 %, mais 0,15 % d une case est plus difficile à reconnaître. Pour ce faire, on introduit une plus petite grille de 100 à côté de la grille initiale. La petite grille représente la division en centièmes du 31 e carré. Pour indiquer le 0,15 %, on ombre 15 des cases de la petite grille. Dans ce diagramme, 30 centicubes ainsi qu une partie d un autre centicube sur 100 sont ombrés. Puisqu il est plus difficile de reconnaître 0,15 d un centicube ombré, la grille de centièmes est utilisée et 15 de ces 100 centicubes sont ombrés. À suivre 146

7 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Reportez-vous au site Web du gouvernement de T.-N.-L. pour trouver l exercice «Representing Percents» (représentation des pourcentages). dex.html#gr8support (8N3.2, 8N3.3, 8N3.4) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.1: Les liens entre les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages Leçon 5.2: Calculer des pourcentages GE: ProGuide: p. 4-11, CD-ROM: FR 5.21, 5.22 ME: p ,

8 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève devra 8N3 Démontrer une compréhension des pourcentages supérieurs ou égaux à 0 %. [L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement: 8N3.2 Représenter un pourcentage fractionnel donné à l aide de papier quadrillé. Les pourcentages fractionnaires inférieurs à 1 % peuvent eux aussi être représentés à l aide de la grille de centièmes, car aucune case ne serait entièrement ombrée dans la grille de 100. Le diagramme qui suit représente 0,28 %. Dan Dans ce diagramme, une partie d un centicube est ombrée. On se sert de la grille de centièmes et 28 centicubes sont ombrés. (suite) 8N3.3 Représenter un pourcentage donné supérieur à 100% à l aide de papier quadrillé. (suite) Les pourcentages supérieurs à 100 % sont représentés à l aide de plusieurs grilles de 100. Le diagramme qui suit représente 240 %. 8N3.4 Déterminer le pourcentage représenté par une région ombrée donnée sur du papier quadrillé et le noter sous forme d un nombre décimal ou fractionnelle. (suite) Dans ce diagramme, deux grilles de 100 sont ombrées complètement ainsi que ent 40 centicubes d une autre grille de

9 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.1: Les liens entre les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages Leçon 5.2: Calculer des pourcentages GE: ProGuide: p. 4-11, CD-ROM: FR 5.21, 5.22 ME: p ,

10 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève devra 8N3 Démontrer une compréhension des pourcentages supérieurs ou égaux à 0 %. [L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement: 8N3.5 Exprimer un pourcentage donné sous forme décimale ou fractionnelle. 8N3.6 Exprimer un nombre décimal donné sous forme d un pourcentage ou d une fraction. 8N3.7 Exprimer une fraction donnée sous forme d un nombre décimal ou d un pourcentage. 8N3.4 Déterminer le pourcentage représenté par une région ombrée donnée sur du papier quadrillé et le noter sous forme d un nombre décimal ou fractionnelle. (suite) Au cours des années d études précédentes, les élèves ont vu les équivalents en pourcentage, en fraction et en nombre décimal des pourcentages en nombres entiers situés entre 1 % et 100 %. Ils appliqueront ces compétences aux pourcentages fractionnaires situés entre 0 % et 1 %, aux pourcentages supérieurs à 100 %, de même qu à d autres pourcentages fractionnaires. Les pourcentages fractionnaires situés entre 0 % et 1 % doivent être développés à un rythme raisonnable. Les élèves ont parfois tendance à voir le pourcentage 0,1 % comme le nombre décimal 0,1. Il est important de distinguer la différence entre ces deux formes. De même, il se peut que les élèves confondent 3 % et 75%. Les grilles de 100 et 4 de centièmes aident à faire la distinction entre ces expressions. Les élèves sont censés exprimer toute région ombrée d un plan quadrillé sous la forme d une fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. La création d une suite numérique est une autre stratégie qu on peut utiliser lorsqu il s agit d un pourcentage supérieur à 100 % ou qui se situe entre 0 % et 1 %. Par exemple: Pourcentage Nombre décimal Fraction 0,3% 0,003 3% 0,003 30% 0, % Pourcentage Nombre décimal Fraction 70% 0,7 7% 0,07 0,7% 0, ,07% 0,

11 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Copiez et complétez le tableau suivant : Pourcentage Nombre décimal Fraction 148% 7 20 % 26,4% 2,65 0,003 0,254 (8N3.5, 8N3.6, 8N3.7) Sous la forme d un nombre décimal, 140 % = 1,40. Utilisez une suite numérique pour écrire les pourcentages qui suivent sous la forme d un nombre décimal. (i) 14% (ii) 1,4% (iii) 0,14% (8N3.5, 8N3.6, 8N3.7) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.1: Les liens entre les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages Leçon 5.2: Calculer des pourcentages GE: ProGuide: p. 4-11, 12-17, FR 5.6a, 5.6b CD-ROM: FR 5.21, 5.22 ME: p , Sous la forme d une fraction, 0,09 % = 10000, utilisez une suite numérique pour écrire les pourcentages qui suivent sous la forme d une fraction. (i) 0,9% (ii) 9% (iii) 90% (iv) 900% (8N3.5, 8N3.6, 8N3.7) Journal Votre ami était absent de l école lorsque l enseignant a expliqué les pourcentages fractionnaires. Pendant qu il étudiait en vue de l examen, il a mentionné que sous la forme d un nombre décimal 1 % 2 était 0,5. Comment l aideriez-vous à comprendre l erreur qu il a faite? (8N3.5, 8N3.6, 8N3.7) 151

12 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N3 Démontrer une compréhension des pourcentages supérieurs ou égaux à 0 %. [L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement: 8N3.8 Résoudre un problème donné comportant des pourcentages donnés. Stratégies d enseignement et d apprentissage En 7 e année d études, les élèves ont examiné diverses stratégies de calcul du pourcentage d un nombre. Ces stratégies se trouvent dans le module 3 du programme d études de la 7 e année et l enseignant devrait les revoir lui-même avant de poursuivre. En 8 e année d études, l accent sera mis sur les problèmes qui demandent de calculer le tout lorsque le pourcentage est donné, ainsi que sur le pourcentage d augmentation et diminution. Les problèmes pourront également inclure le calcul d un pourcentage lorsque la partie et le tout sont donnés, ce qui est la même chose que le passage de la forme d une fraction à celle d un pourcentage. Première méthode Un modèle visuel peut servir à développer cette notion à l aide de pourcentages en points de repère comme 10 %, 25 % et 50 %. 25 % d un nombre est égal à 80. Quel est ce nombre? 0 80? 0% 25% 100% % 25% 50% 75% 100% Écris 80 au dessus de 25% sur une droite numérique qui va de 0% jusqu à 100%. Note ensuite des multiples de 80 au dessus des multiples de 25% jusqu à 100%. Les multiples correspondants, 320 et 100%, sont équivalents. Seconde méthode 5 % d un nombre est égal à 20. Quel est ce nombre? Comme 5 % d un nombre est égal à 20, 1 % doit être égal à 4. ( 20 = 5 4) Multipliez 4 par 100; la réponse, 400, doit correspondre à 100 %. Par conséquent, le nombre est 400. Plus tard, les élèves pourront utiliser les propriétés des proportions pour trouver des touts, étant donné des parties de touts. À suivre 152

13 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Linda a obtenu une note de 80 % à un récent examen de mathématiques. Si elle a répondu correctement à 48 questions, combien de questions comportait l examen? (8N3.8) Pierre a fait en sorte que sa liste de chansons augmente de 40 %. S il possédait 300 chansons à l origine, combien de chansons a-t-il maintenant? (8N3.8) Olivier a gagné 85 $ et dépensé 15 $. Quel pourcentage de son argent a-t-il dépensé? (8N3.8) La semaine dernière, le personnel de la cafétéria a vendu 60 sandwichs. Cette semaine, il en a vendu 48. Calculez le changement en pourcentage. Comment peut on vérifier si le changement en pourcentage est exact? (8N3.8) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.2: Calculer des pourcentages Leçon 5.3: Résoudre des problèmes de pourcentages Leçon 5.4: Les taxes et les rabais GE: ProGuide: p , 18-25, CD-ROM: FR 5.22, 5.23, 5.24 ME: p , , Journal Catherine a mentionné que la quantité de devoirs qu elle avait à faire avait augmenté de 400 % lorsque le temps requis pour les faire est passé d une demi-heure à 2 heures. Êtes-vous d accord? Expliquez. (8N3.8) 153

14 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N3 Démontrer une compréhension des pourcentages supérieurs ou égaux à 0 %. [L, R, RP, V] (suite) Indicateurs de rendement: 8N3.8 Résoudre un problème donné comportant des pourcentages donnés. (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Les problèmes faisant intervenir le pourcentage d augmentation ou de diminution sont présents dans de nombreuses applications. Prenons l exemple suivant : L année dernière, 120 élèves étaient inscrits à l école secondaire de premier cycle. Cette année, les inscriptions ont augmenté de 15 %. Quel est le nombre d élèves inscrits cette année? 15% de 120 = (0,15)(120) = 18 Ajoute 18 à 120: = élèves sont inscrits cette année. Une autre des applications du pourcentage d augmentation ou de diminution consiste à trouver l ampleur d une variation sous la forme d un pourcentage plutôt que les montants final et initial. La formule à utiliser pour le calcul est: montant original 100 montant final-montant original % de variation = ( ) Exemple 1: On mesure un arbre dont la hauteur était de 3,7 m l année dernière et on constate qu il mesure maintenant 4,8 m de haut. Quel est le pourcentage de variation de la hauteur de l arbre? montant original 100 montant final-montant original % de variation = ( ) 4,8 3,7 % de variation =( 3,7 ) 100 1,1 % de variation = ( 3,7) ) 100 % de variation = ( ) % de variation = 29,7% La hauteur de l arbre a augmenté de 29,7 % en un an. Exemple 2: Un gros sac de croustilles coûtait habituellement 2,99 $. Le magasin a offert les croustilles au nouveau prix de 2,65 $ durant la période des Fêtes. Quel est le pourcentage de variation du prix des croustilles au cours de cette période? montant original 100 montant final-montant original % de variation = ( ) 2,65 2,99 % de variation =( 2,99 ) 100 0,34 % de variation = ( 2,99) 100 % de variation = ( ) % de variation = -11,4% Remarquez que le pourcentage de variation est un nombre négatif. Cela signifie que la variation consiste en une diminution. 154

15 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Performance Jeu «Battez ce pourcentage» But (8N3.8) Le but du jeu consiste à obtenir 10 points avant son ou ses adversaires. Comment jouer 1. Brassez les cartes. Distribuez quatre cartes à chaque joueur. 2. Les as comptent pour 1, les figures comptent pour 0 et les cartes numérotées ont leur valeur nominale. 3. Chaque joueur choisit deux des cartes pour former un nombre à deux chiffres qui représente un pourcentage. Les deux autres cartes forment un nombre à deux chiffres. 4. Calculez le pourcentage du nombre. 5. Comparez les résultats avec ceux de votre ou de vos adversaires. Celui qui a la valeur la plus élevée obtient un point. Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.2: Calculer des pourcentages Leçon 5.3: Résoudre des problèmes de pourcentages Leçon 5.4: Les taxes et les rabais GE: ProGuide: p , 18-25, CD-ROM: FR 5.22, 5.23, 5.24 ME: p , ,

16 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève devra 8N3 Démontrer une compréhension des pourcentages supérieurs ou égaux à 0 %. [L, R, RP, V] (suite) Indicateur de rendement: 8N3.9 Résoudre un problème donné comportant des pourcentages combinés donnés. L addition de pourcentages, tels que TPS + TVP, est un exemple fréquent de pourcentages combinés. Les élèves ont affaire à des pourcentages combinés tous les jours lorsqu ils achètent des articles dans des magasins. À Terre-Neuve-et-Labrador, une taxe est prélevée à la fois par le gouvernement fédéral et par le gouvernement provincial. À l heure actuelle, le gouvernement fédéral prélève 6 % (TPS taxe sur les produits et services) et le gouvernement provincial, 7 % (TVP taxe de vente provinciale). Cela signifie qu une taxe totale de 13 % est prélevée sur les achats effectués à Terre Neuve et Labrador. C est ce qu on appelle la TVH, ou taxe de vente harmonisée. Jacques achète un bâton de hockey dont le prix courant est de 74,99 $. Trouvez le prix total que Jacques doit payer pour le bâton et trouvez aussi le montant de la TPS et celui de la TVP qui sont inclus dans le prix total. Prix total = prix de vente + taxe de vente Prix total = 74,99 +( 0,13)( 74,99 ) Prix total = 74,99 + 9,75 Prix total = 84,74 Le prix total est de 84,74 $. Calcul de la TPS ( ) ( ) 74,99 0, 06= 4,50 Calcul de la TVP ( ) ( ) 74,99 0, 07 = 5, 25 TPS = 4,50$ TVP = 5,25$ Remarquez que la TPS + la TVP = 9,75$, ce qui égale la taxe de vente harmonisée (TVH) calculée. 156

17 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Caroline effectue périodiquement des déplacements partout au Canada. Elle a l intention d acheter un nouvel ordinateur portatif. L ordinateur coûte $ dans les deux provinces. Dans quelle province Caroline devrait-elle acheter l ordinateur portatif? Expliquez. (8N3.9) Nota : Un tableau des taux de taxe provinciaux se trouve à la page 256 du manuel de l élève. Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.4: Les taxes et les rabais GE: ProGuide: p CD-ROM: FR 5.24 Journal Votre amie habite en Ontario. Vous prévoyez vous rendre ensemble à Québec et souhaitez acheter des vestes assorties durant le voyage. La veste en question coûte 59,90 $ dans chaque province. Envoyez à votre amie un courriel dans lequel vous chercherez à la convaincre de votre choix de l une des trois provinces, entre l Ontario, Terre-Neuveet-Labrador et le Québec, dans laquelle vous pensez que les vestes devraient être achetées, en mentionnant la raison de votre choix. (8N3.9) ME: p

18 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève devra 8N3 Démontrer une compréhension des pourcentages supérieurs ou égaux à 0 %. [L, R, RP, V] (suite) Indicateur de rendement: 8N3.10 Résoudre un problème donné comportant le pourcentage d un pourcentage donné. Il existe dans la vie de tous les jours des situations qui demandent de calculer un pourcentage plusieurs fois avant de trouver la réponse, par exemple lorsqu un magasin affiche des soldes «SANS TAXE». Vous pouvez discuter avec les élèves de la raison pour laquelle le prix payé à ce genre de vente-réclame est toujours légèrement inférieur au prix courant. Ceux-ci pourraient croire que le prix payé serait tout simplement le prix affiché s il n y avait aucune taxe. La loi oblige toutefois les magasins à facturer la taxe. Ceux-ci réduisent d abord le prix du taux de taxe, puis rajoutent la taxe au prix réduit. Comme la taxe est calculée en fonction d un plus petit montant, le prix final sera légèrement inférieur au prix courant initial. Justine trouve le manteau d hiver parfait au centre commercial local un jour où celui-ci offre des soldes SANS TAXE. Le prix indiqué du manteau est de 125 $. Combien Justine paiera-t-elle le manteau? Le magasin doit d abord réduire le prix du manteau de 13 % (0,13)(125) ,25 108,75 Le magasin doit maintenant ajouter une taxe de 13 % au prix réduit. 108,75 + (108,75)(0,13) 108, ,14 122,89 Remarquez que le prix de 122,89 $ est légèrement inférieur au prix initial de 125 $. Les pourcentages combinés ne se limitent pas aux problèmes d achats de consommation. Les élèves devraient aussi être exposés à d autres types de problèmes. 158

19 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Deux magasins offrent différents taux de remise, de la façon suivante: Magasin A : 50 % de remise, une journée seulement. Magasin B : 25 % de remise la première journée, suivi de 25 % de remise sur le prix réduit la seconde journée. Quel magasin offre les meilleurs soldes? (8N3.10) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.4: Les taxes et les rabais GE: ProGuide: p CD-ROM: FR 5.24 Journal Un veston coûte 100 $. La remise sur le prix du veston est de 15 %. Vous devez toutefois également payer une taxe de vente de 15 %. Le veston vous coûterait il 100 $, moins de 100 $ ou plus de 100 $? Expliquez votre raisonnement. (8N3.10) ME: p Charles travaille à temps partiel à un restaurant-minute local. Son prochain chèque de paye inclura une augmentation de salaire de 5 % en plus d une prime de rendement de 10 %. Charles dit à ses amis qu il reçoit une augmentation de salaire de 15 %. A-t-il raison? Expliquez. (8N3.10) Résolution de problème Sébastien collectionne les cartes de hockey. Sa collection comprend 150 cartes. Son anniversaire de naissance était en juin et ses amis lui ont donné des cartes de hockey comme cadeau, ce qui a fait augmenter sa collection de 20 %. À Noël, sa collection de cartes de hockey a augmenté d un autre 15 %. Combien de cartes y a t-il dans sa collection après cette augmentation de 15 %? (8N3.10) 159

20 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N4 Démontrer une compréhension du rapport et du taux. [C, L, V] Indicateurs de rendement: 8N4.1 Exprimer un rapport à deux termes d un contexte donné dans les formes 3 : 5 ou 3 à 5. 8N4.2 Exprimer un rapport à trois termes d un contexte donné dans les formes 4 : 7 : 3 ou 4 à 7 à 3. Stratégies d enseignement et d apprentissage Les élèves ont déjà été exposés aux rapports. En 6 e année d études, ils ont défini, représenté et interprété des rapports qui leur ont été présentés concrètement. En 7 e année d études, ils ont vu la relation entre les rapports, les fractions et les pourcentages, et calculé des proportions dans le cadre d exercices de résolution de problèmes faisant intervenir des pourcentages. Dans le présent module, les élèves mettront à profit leur connaissance des rapports, en plus de l améliorer. Ils découvriront également les taux. Ils décriront et consigneront des taux à l aide d exemples réels. L exposition à des exercices de résolution de problèmes à l aide de taux unitaires et de prix unitaires devrait les amener à faire le lien entre les mathématiques et la vie de tous les jours. Il sera peut-être nécessaire de rappeler aux élèves qu un rapport est une comparaison de deux nombres. Prenons les exemples suivants : Treize personnes ont fait un tour dans les montagnes russes; deux d entre elles étaient des filles. Le rapport entre les personnes et les filles était de 13 : 2, ce qui représente un exemple d un rapport de tout-à-partie. Dans un verger de 80 arbres, 43 des arbres étaient des pommiers et les autres, des poiriers. Le rapport entre les pommiers et les poiriers était de 43 : 37, ce qui représente un rapport de partie-à-partie. Il est possible de développer ces exemples en rapports à trois termes. Si 13 personnes ont fait un tour dans les montagnes russes et que 2 d entre elles étaient des filles, le rapport peut également s exprimer sous la forme garcons : fi lles : nombre total de personnes = 11 : 2 : 13, ou 11 à 2 à 13. De même, dans un verger de 80 arbres, si 43 des arbres étaient des pommiers et les autres, des poiriers, le rapport à trois termes résultant compare les pommiers aux poiriers au nombre total d arbres, ou 43 à 37 à 80 = 43 : 37 :

21 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Discussion Dans la classe, mentionnez les rapports suivants : (i) Garçons à filles (ii) Filles à garçons (iii) Garçons à nombre total d élèves (iv) Garçons à filles à nombre total d élèves (v) Fenêtres à portes (vi) Bureaux à chaises (8N4.1,8N4.2) Papier et crayon Écrivez un rapport partie:partie:tout pour chaque situation. (i) Un sac contient 3 jujubes et 5 suçons. (ii) Un panier à pêche contient 6 truites et 5 éperlans. (iii) Dans le havre, il y a 2 types de bateau : des doris et des palangriers. Il y a 40 bateaux en tout et 7 d entre eux sont des palangriers. (8N4.2) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.5: Les rapports GE: ProGuide: p CD-ROM: FR 5.25 ME: p

22 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève devra 8N4 Démontrer une compréhension du rapport et du taux. [C, L, V] (suite) 8N5 Résoudre des problèmes comportant des taux, des rapports et le raisonnement proportionnel. [C, L, R, RP] Indicateurs de rendement: 8N4.3 Exprimer un rapport partie-à-partie sous forme de fraction partie-à-tout. 8N5.1 Expliquer la signification de a dans un b contexte donné. 8N5.2 Fournir un exemple tiré de la vie quotidienne dans lequel a b représente : Une fois qu ils ont bien compris qu un rapport de partie-à-partie est la comparaison d une partie d un ensemble à une autre partie d un ensemble, tandis qu un rapport de partie-à-tout est la comparaison d une partie d un ensemble à l ensemble au complet, les élèves devraient être en mesure de convertir un rapport de partie-à-partie en un rapport de partie-à-tout. Par exemple, une boîte de concentré de jus congelé pour quatre boîtes d eau peut être représentée sous la forme 1 5, qui est le rapport du concentré à la solution, ou, 4 5, qui est le rapport de l eau à la solution. Il faut souligner le fait que seuls les rapports de partie-à-tout peuvent être exprimés sous la forme d une fraction, parce que le dénominateur fait toujours référence au tout. On pourrait demander aux élèves d expliquer un rapport tel que dans le cadre d un exemple de la vie réelle. Le rapport pourrait être décrit comme un rapport de partieà-tout dans lequel le numérateur représente une partie du tout et le dénominateur, le tout. Par exemple, Daniel frappe la balle deux fois toutes les neuf fois qu il va au bâton. Le rapport des coûts frappés aux présences au bâton est de 2:9. Les enseignants devraient remarquer que la probabilité sera étudiée dans un module subséquent : L analyse de données et la probabilité. Il sera alors possible d examiner les rapports à nouveau en vue de déterminer les probabilités d événements. Une fraction Un taux Un rapport Un quotient Une probabilité. Les rapports sont fréquents dans les descriptions de situations de la vie réelle. Les élèves devraient être encouragés à écrire un rapport d abord en mots. Cela pourrait les aider à écrire les termes du rapport dans le bon ordre de comparaison lorsqu ils les expriment sous forme numérique. 8N4.4 Identifier et décrire des rapports à partir d exemples tirés de la vie quotidienne et les noter de façon symbolique. 162

23 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Écrivez chaque rapport sous la forme d une fraction dans sa forme la plus simple. (i) 14 à 6 (ii) 4 : 22 (iii) 18 : 12 (iv) 25 à 20 (v) 18 : 21 (vi) 18 : 3 (vii) 7 : 21 (viii) 20 à 9 (ix) 4 : 10 (x) 84 à 16 (8N4.3) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.5: Les rapports GE: ProGuide: p CD-ROM: FR 5.25 ME: p

24 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N4 Démontrer une compréhension du rapport et du taux. [C, L, V] (suite) 8N5 Résoudre des problèmes comportant des taux, des rapports et le raisonnement proportionnel. [C, L, R, RP] (suite) Indicateurs de rendement: 8N4.5 Exprimer un taux donné sous forme de pourcentage. 8N5.3 Résoudre un problème donné comportant un rapport. Stratégies d enseignement et d apprentissage Dans les années d études précédentes, les élèves ont été exposés à la conversion de fractions en pourcentages. Ils ont revu cela plus tôt dans le module lorsqu ils ont exprimé une fraction sous la forme d un pourcentage. Pour résoudre les problèmes de rapport efficacement, il est nécessaire de comparer des rapports. On trouvera ci-après des stratégies efficaces qui peuvent servir à comparer des rapports. Utilisez des rapports équivalents Utilisez des rapports unitaires Utilisez des pourcentages Faites la relation entre les rapports équivalents et le travail effectué précédemment avec les fractions équivalentes. Rappelez aux élèves que pour trouver une fraction équivalente, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre différent de zéro. Il se peut qu il soit nécessaire de faire une brève révision de la réduction d une fraction à sa forme la plus simple. Un des termes d un rapport unitaire est 1. Pour comparer 20 : 5 à 140 : 20, remarquez que 20 : 5 = 4 : 1 et que 140 : 20 = 7 : 1. Il devrait alors être évident que 140 : 20 est le plus grand rapport. Les élèves vont maintenant appliquer le travail avec les rapports à des situations de résolution de problèmes. Il existe de nombreux types de problèmes faisant intervenir des rapports et les élèves devraient être exposés à divers types. Dans bon nombre de situations de résolution de problèmes, il manque un des termes d une proportion et on doit le trouver. Les élèves doivent être conscients qu une proportion est une relation dans laquelle deux rapports sont égaux. Les problèmes de raisonnement proportionnel peuvent se résoudre à l aide de plusieurs méthodes différentes. L exemple qui suit indique une méthode de résolution possible. Le rapport des ballons de basket d intérieur aux ballons de basket d extérieur au centre de loisir est de 6 : 3. Si le centre possède 45 ballons de basket, combien de ces ballons sont des ballons d intérieur? Soit x le nombre de ballons de basket d intérieur. Il faut comparer le nombre de ballons d intérieur au nombre total de ballons, ce qui donne le rapport de partie-à-tout de 6 : 9. Utilisez une proportion et résolvez avec des fractions équivalentes. = 6 x 9 45 Comme 9 = 5 45, multipliez le numérateur par 5 lui aussi. Cela donne x= 6 5. Il y a donc 30 ballons de basket d intérieur. 164

25 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.5: Les rapports Leçon 5.6: Les rapports équivalents Leçon 5.7: Comparer des rapports Leçon 5.8: Résoudre des problèmes de rapports GE: ProGuide: p , 39-45, 49-56, 57-63, FR 5.6a, 5.6b CD-ROM: FR 5.25, 5.26, 5.27, 5.28 ME: p , , ,

26 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N4 Démontrer une compréhension du rapport et du taux. [C, L, V] (suite) 8N5 Résoudre des problèmes comportant des taux, des rapports et le raisonnement proportionnel. [C, L, R, RP] (suite) Indicateurs de rendement: 8N4.6 Exprimer un taux donné à l aide de mots ou de symboles, ex. : 20 L par 100 km ou 20 L /100 km. 8N4.7 Identifier et décrire des taux à partir d exemples tirés de la vie quotidienne et les noter de façon symbolique. 8N5.1 Expliquer la signification de a dans un b contexte donné. 8N5.2 Fournir un exemple tiré de la vie quotidienne dans lequel a b représente : Une fraction Un taux Un rapport Un quotient Une probabilité. 8N4.8 Expliquer la raison pour laquelle un taux ne peut pas être représenté sous forme de pourcentage. Stratégies d enseignement et d apprentissage Les élèves ont travaillé avec les rapports, qui comparent des quantités ayant la même unité. On passe maintenant aux taux, qui font intervenir des quantités aux unités différentes. Cependant, les mathématiques utilisées pour parler des taux sont les mêmes que celles utilisées pour parler des rapports. Les deux représentent des comparaisons. Il est possible de résoudre les problèmes faisant intervenir des taux en se servant des mêmes techniques que pour ceux qui font intervenir des rapports. Il faut rappeler aux élèves d inclure les unités dans l écriture d un taux. Parce qu il s agit d une comparaison de quantités mesurées en unités différentes, un taux ne veut rien dire sans les unités. Les élèves devraient déjà bien connaître de nombreux exemples de taux, même s ils ne pouvaient pas les reconnaître comme des taux auparavant. Demandez à la classe de lancer des idées pour trouver le plus grand nombre possible d exemples réels de taux. Certains des exemples que les élèves devraient comprendre incluent la vitesse (km/h), les tarifs de messagerie texte ($/mois) et les calendriers scolaires (périodes/jour ou jours/cycle). Il est important de continuer à insister sur le fait qu un taux compare deux choses différentes. Dans tout exemple que les élèves peuvent fournir où a b représente un taux, il doit y avoir comparaison de deux quantités d unités différentes. La distinction entre les rapports et les taux est subtile. À mesure qu ils travaillent avec les taux, les élèves doivent être encouragés à continuer d examiner les similitudes et les différences, et de faire les liens entre les rapports et les taux. La possibilité de représenter un rapport, mais non un taux, comme un pourcentage représente une différence fondamentale entre les deux. Les élèves devraient se rappeler, à partir du travail effectué précédemment avec les rapports dans le présent module, qu il est possible d exprimer un rapport de partie-à-tout comme un pourcentage, tandis qu il est impossible de le faire dans le cas d un rapport de partie-à-partie. Par exemple, si Daniel frappe la balle deux fois à chacune de ses neuf présences au bâton, il s agit ici d un rapport qui peut s écrire sous la forme d un pourcentage. Si on considère les coûts frappés comme étant des réussites à l occasion de présences au bâton, on compare des parties d un tout au tout. Un pourcentage compare une partie d un tout au tout. Parce que les unités en cause dans un taux sont différentes, il n y a aucun tout auquel comparer ces unités. Un taux ne peut donc être représenté sous la forme d un pourcentage. 166

27 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Trouvez les taux dans les situations décrites ci-après et exprimez-les à l aide de mots et de symboles. (i) Lorsque Denise a acheté de l essence, elle a payé 27,44 $ pour 11,2 litres. Trouvez le prix au litre de l essence. (ii) Jérôme a rempli sa baignoire de 60 gallons en 5 minutes. À quelle vitesse l eau coulait-elle? (iii) Pendant ses vacances, Chantal a emprunté un vol qui a duré 4,5 heures. Elle a parcouru 954 milles. Trouvez la vitesse moyenne de l avion. (8N4.6) Discussion collective Discutez de la meilleure façon de mesurer chacun des éléments suivants : (i) La vitesse à laquelle vous circulez sur la route; (ii) Combien d œufs une famille utilise-t-elle en : une journée une semaine un mois (iii) Les joueurs de hockey sont évalués selon leurs exploits par temps de présence sur la glace (exprimé en minutes). Donnez des exemples d exploits. Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.9: Les taux Leçon 5.10: Comparer des taux GE: ProGuide: p , ME: p , (8N4.6, 8N4.7) Journal Expliquez par des exemples comment les rapports et les taux se ressemblent, puis utilisez des exemples pour expliquer comment ils diffèrent. (8N4.8, 8N5.1, 8N5.2) 167

28 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques Stratégies d enseignement et d apprentissage L élève devra 8N5 Résoudre des problèmes comportant des taux, des rapports et le raisonnement proportionnel. [C, L, R, RP] (suite) Indicateur de rendement: 8N5.4 Résoudre un problème donné comportant un taux. Il est possible de développer le raisonnement proportionnel au moyen d activités qui permettent de comparer et de déterminer l équivalence de rapports et de taux, et en calculant des proportions dans un grand nombre de contextes exprimés sous forme de problème. Il est important que les élèves voient l utilité des proportions. Le sujet est riche en occasions de résolution de problèmes et il se prête aux applications dans la vraie vie. Par exemple, les rapports, les taux et les proportions sont utilisés couramment en ce qui regarde les modèles réduits, la modification d une recette et les achats judicieux. La résolution de problèmes impliquent des taux exige souvent de comparer des taux. Au moment d écrire des taux équivalents, les élèves devraient s assurer que les unités des termes dans chaque taux occupent la même position. Par exemple, il devrait être possible d écrire un taux équivalent à 100 km/h sous la forme d une fraction dans laquelle le numérateur est la mesure de la distance et le dénominateur, la mesure du temps. Pour résoudre les problèmes faisant intervenir la distance, le temps et la vitesse moyenne, ou pour déterminer le meilleur achat à faire dans une situation de consommation, il est souvent avantageux d utiliser des taux unitaires. Un taux unitaire illustre deux mesures qui sont directement proportionnelles et un des termes du taux est 1. Il est important que les élèves sachent que lorsqu ils comparent des taux unitaires, les nombres doivent être exprimés dans la même unité. Par exemple, quand on compare une quantité mesurée en grammes à une autre quantité mesurée en kilogrammes, il faut faire en sorte que les mesures soient toutes deux en grammes ou en kilogrammes. L unité de mesure utilisée pour ce genre de taux est souvent au choix de l élève. Il se peut qu il soit nécessaire ici de revoir la conversion d une unité de mesure en une autre. On trouvera sur la double page suivante des exemples de problèmes pour lesquels il existe deux méthodes de résolution possibles. À suivre 168

29 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Jeanne a trouvé une bonne affaire concernant des boissons gazeuses. Elle pourrait acheter des emballages de 12 pour 2,99 $. Elle a besoin de 72 canettes pour sa soirée. Expliquez comment elle peut calculer le coût de son achat. (8N5.4) Quel est le meilleur achat : 1,2 L de jus d orange pour 2,50 $ ou 0,75 L de jus d orange pour 1,40 $? Expliquez pourquoi c est le meilleur achat. (8N5.4) Interview Lorsqu elles préparent de la limonade, Suzanne utilise cinq cuillères de poudre pour six tasses d eau et Sarah, quatre cuillères de poudre pour cinq tasses d eau. (i) Les situations sont-elles proportionnelles l une à l autre? Expliquez pourquoi elles le sont ou pourquoi elles ne le sont pas. (ii) Dans quelle situation est-il probable que la limonade sera plus goûteuse? Quelles hypothèses avez-vous faites? (8N5.4) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.9: Les taux Leçon 5.10: Comparer des taux GE: ProGuide: p , 70-76, FR 5.7a, 5.7c CD-ROM: FR 5.29 ME: p , Expliquez pourquoi 1 : est une autre façon de décrire le rapport de 1 cm représentant 200 km sur une carte. (8N5.4) Journal Discutez de la question de savoir si oui ou non le problème qui suit pourrait être résolu à l aide d une proportion: David a 6 ans et Hélène, 2 ans. Quel âge aura Hélène lorsque David aura 12 ans? (8N5.4) Portfolio Une statue de Jean Cabot a été exécutée à partir d un modèle. La hauteur du modèle était de 25 cm. Trouvez la hauteur en mètres de la statue si celle-ci a été réalisée à l échelle de 1:15 (l échelle représente le rapport de la hauteur du modèle à la hauteur réelle de la statue). (8N5.4) 169

30 Domaine: Le nombre Résultats d apprentissage spécifiques L élève devra 8N5 Résoudre des problèmes comportant des taux, des rapports et le raisonnement proportionnel. [C, L, R, RP] (suite) Indicateur de rendement: 8N5.4 Résoudre un problème donné comportant un taux. (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage À la pharmacie du coin, il y a une vente de macaroni au fromage. Une caisse de 12 boîtes de macaroni coûte 8,99$. L épicerie en face vend le même macaroni et fromage à 5,00$ pour 6 boîtes. Quel magasin offre le meilleur prix? Solution #1 : Les taux unitaires Pharmacie : Épicerie : = 8,99$ 0,75$ 12boîtes 1boîte = 5,00$ 0,83$ 6boîtes 1boîte La pharmacie offre le meilleur prix. Solution #2 : Les taux équivalents Pharmacie : 8,99$ boîte Épicerie : = 5,00$ 10,00$ 6boîtes 12boîtes La pharmacie offre le meilleur prix. Frédéric a reçu une carte-cadeau pour son anniversaire. Il l a utilisée pour télécharger des chansons pour son lecteur MP3. Il a téléchargé 12 chansons en 15 minutes. À ce taux, combien de chansons Frédéric peut-il télécharger en 1 heure? Solution #1 : Les taux unitaires Solution #2 : Les taux équivalents 12chansons 0,8chansons 15min = 1min Comme il y a 60 minutes dans 1 heure, il faut multiplier 0,8 par 60. Il peut donc télécharger 48 chansons en une heure. = 12chansons xchansons 15min 60min Pour créer un taux équivalent, multipliez par 4 et x =

31 Résultat d apprentissage général: Développer le sens du nombre Stratégies d évaluation Ressources/Notes Projet Faites une recherche sur une course de fond de niveau local ou national et comparez les performances des gagnants de différentes années. Comparez la distance parcourue avec le temps mis à faire la course. (8N5.4) Déterminez la consommation de carburant de votre véhicule familial. Vous pouvez préparer et utiliser un journal comme celui ci dessous pour enregistrer les achats de carburant, les kilomètres parcourus et l économie de carburant au cours de plusieurs semaines. (8N5.4) Chenelière Mathématiques 8 Leçon 5.9: Les taux Leçon 5.10: Comparer des taux GE: ProGuide: p , 70-76, FR 5.7a, 5.7c CD-ROM: FR 5.29 Quantité de carburant achetée (L) Odomètre au début (km) Odomètre à la fin (km) Distance totale parcourue Économie de carburant ME: p ,

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