BANQUE D ÉPREUVES FESIC

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1 CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amis ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brst ISEN Lill ISEN Toulo ISEP LASALLE Bauvais BANQUE D ÉPREUVES FESIC Cocours Puissac - LaSall Bauvais Admissio èr aé après bac ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Samdi 6 mai 05 d 3h30 à 6h00 INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS L'usag d la calculatric st itrdit aisi qu tout documt ou formulair L'épruv comport 6 rcics idépdats Vous dvz traitr qu maimum Si vous traitz davatag, suls ls prmirs srot corrigés U rcic comport 4 affirmatios rpérés par ls lttrs a, b, c, d Vous dvz idiqur pour chacu d'lls si ll st vrai (V) ou fauss (F) U rcic st cosidéré comm traité dès qu'u répos à u ds 4 affirmatios st doé (l'absttio t l'aulatio sot pas cosidérés comm répos) Tout répos act rapport u poit Tout répos iact traî l rtrait d'u poit L'aulatio d'u répos ou l'absttio 'st pas pris compt, c'st-à-dir rapport i rtir aucu poit U boificatio d'u poit st ajouté chaqu fois qu'u rcic st traité corrctmt tir (c'st-à-dir lorsqu ls réposs au 4 affirmatios sot acts) L'atttio ds cadidats st attiré sur l fait qu, das l typ d'rcics proposés, u lctur atttiv ds éocés st absolumt écssair, l vocabulair mployé t ls qustios posés état très précis INSTRUCTIONS POUR REMPLIR LA FEUILLE DE RÉPONSES Ls épruvs d la FESIC sot ds qustioairs à corrctio automatisé Votr fuill sra corrigé automatiqumt par u machi à lctur optiqu Vous dvz suivr scrupulusmt ls istructios suivats : Pour rmplir la fuill d réposs, vous dvz utilisr u stylo bill ou u poit futr d coulur oir ou blu N jamais raturr, i gommr, i utilisr u ffacur N pas plir ou froissr la fuill

2 Collz l étiqutt cod-barrs qui vous sra fouri (l cod doit êtr das l a vrtical idiqué) Ctt étiqutt, outr l cod-barrs, port vos om, préom, uméro d tabl t matièr Vérifiz bi cs iformatios Empl : Noircissz ls cass corrspodat à vos réposs : Fair N pas fair Pour modifir u répos, il faut i raturr, i gommr, i utilisr u ffacur Aulr la répos par u doubl marquag (cochr F t V) puis rportr la ouvll répos évtull das la zo tramé (zo d droit) La répos figurat das la zo tramé 'st pris compt qu si la prmièr répos st aulé Ls réposs possibls sot : V F V F vrai fau absttio absttio vrai fau absttio Atttio : vous disposz qu d'u sul fuill d réposs E cas d'rrur, vous dvz aulr votr répos comm idiqué ci-dssus Toutfois, cas d forc majur, u scod fuill pourra vous êtr fouri par l survillat

3 Baqu d épruvs FESIC 05 Épruv d Mathématiqus Ercic Etud d foctio Soit f u foctio dérivabl sur d courb rpréstativ ( dot la foctio dérivé f ' a pour rpréstatio graphiqu la courb ci-cotr si O admt qu f ' si a) La courb (admt u asymptot horizotal + ;, f b) Pour tout O suppos das l c) t d) qu ( pass par ( ;) c) Pour tout, f 0 d) f l Ercic Foctio défii par du paramètrs Soit a t b du réls strictmt positifs fiés t f la foctio défii sur I aa ; b f a d courb rpréstativ ( a b f a a) Pour tout I, b) Si a = 6 t b = 3 alors pour tout I, f() 3 c) Si a = b =, alors l équatio f admt du solutios sur I d) Si a = b alors (admt du tagts parallèls à la droit ( d équatio y = 5 par CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amis ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brst ISEN Lill ISEN Toulo ISEP LASALLE Bauvais pag

4 Baqu d épruvs FESIC 05 Épruv d Mathématiqus Ercic 3 Bass d la géométri Ls qustios suivats sot idépdats j k a) L pla st mui d u rpèr orthoormé O; i,, t Si la droit (D) a pour équatio paramétriqu y t z t u vctur dirctur d (D) b) Soit a > 0 Si ABC st u triagl équilatéral dirct d côté a, alors avc t rél, alors l vctur i j k st a AB CA Pour l c) t d), o suppos qu l pla compl st mui d u rpèr orthoormé dirct O; u,v c) L ombr ( + i) 4 st u ombr rél égatif d) L smbl ds poits M d affi z tll qu z 43i 5 st u crcl passat par l origi du rpèr Ercic 4 Qustios d logiqu Aga, Clotair, Euds, Goffroy t Rufus s tdt pas tous très bi Pour la fêt d aivrsair qu orgaisait l ptit Nicolas, ils avait prévu : Clotair rfusrait d vir si Rufus était prést Euds vidrait qu s il était accompagé d Aga ou d Rufus Quat à Goffroy t Aga, ils irait ull part l u sas l autr a) Si Clotair st pas vu à la fêt, alors Rufus était prést b) Si Rufus était abst, alors Clotair st vu à la fêt c) Si Aga st vu, alors Goffroy t Euds aussi d) Si Euds t Clotair sot vus, alors Goffroy était lui aussi prést CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amis ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brst ISEN Lill ISEN Toulo ISEP LASALLE Bauvais pag

5 Baqu d épruvs FESIC 05 Épruv d Mathématiqus Ercic 5 Ptit démostratio Soit f la foctio défii sur I ; a) Pour tout rél D f, f D f \ par f d courb rpréstativ ( t b) admt du tagts parallèls à la droit (d équatio y = + 5 c) Si I, la foctio k: l f admt comm dérivé la foctio k: u0 3 d) Pour tout, o défiit la suit ( u ) par u u u Afi d étudir l ss d variatio d la suit ( u ), o ffctu l raisomt suivat : «Pour tout, o souhait démotrr la rlatio " u u 0" Si I alors f 0 t la foctio f st strictmt croissat sur I Supposos qu la rlatio soit vrai à u crtai rag k c st-à-dir u k u k 0 Par défiitio d la suit ( u ) ous avos uk f uk t uk f uk avc f strictmt croissat sur I ; doc si uk uk alors ous pouvos déduir qu uk f ukuk f uk soit u u, c qui ous prmt d coclur qu la rlatio st vrai au rag k+ k k Coclusio : la rlatio st héréditair t, comm la foctio f st strictmt croissat sur I, ous st strictmt croissat» u pouvos déduir qu la suit 0 C raisomt st corrct Ercic 6 Calculs d limits a) lim 0 b) lim 0 c) Soit f la foctio défii sur]0 ;+ [ par f La courb ( rpréstativ d la foctio f admt l a ds abscisss comm asymptot horizotal si d) Pour tout, la suit ( u ) défii par u covrg vrs 0 CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amis ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brst ISEN Lill ISEN Toulo ISEP LASALLE Bauvais pag 3

6 Baqu d épruvs FESIC 05 Épruv d Mathématiqus Ercic 7 Calcul itégral a) J d3 ² 3 b) K d ² ² 0 c) Soit u rél strictmt positif, d l d) Soit l O a : L L d 0 Ercic 8 Foctio potill Soit F t g ls foctios défiis sur rspctivmt par O désig par (C) la courb rpréstativ d la foctio F t par ( ) la suit défii, pour tout, par 0 = t = g( ) a) L'équatio F ( ) 0 admt u uiqu solutio avc 0 < < Das ls qustios b), c) t d), o admt la covrgc d la suit ( ) b) lim c) Si a, alors la tagt à (C) = a coup l a ds abscisss u poit d'absciss g(a) t g F O do l programm Prog ci-cotr : d) Pour = 5, Prog affich 0,35 t 0,375, ous pouvos déduir qu 0,35 < < 0,375 CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amis ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brst ISEN Lill ISEN Toulo ISEP LASALLE Bauvais pag 4

7 Baqu d épruvs FESIC 05 Épruv d Mathématiqus Ercic 9 Foctio potill t logarithm l Soit f la foctio défii sur ]0 ; + [ par f l t la foctio défii sur ] ; + [ par g l g b) ' c) g admt u miimum = + a) g O admt qu il ist u uiqu solutio à l équatio g() = 0 sur ] + ; + [ d) f l, g la foctio défii sur ] ; + [ par l Ercic 0 Suit t trigoométri Soit ( u ) la suit défii, pour tout, par u si 4 a) Pour tout tir aturl, o a : u8 u b) Pour tout tir aturl, o a : 3 3 c) La suit ( u ) st mooto u d) lim 0 u CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amis ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brst ISEN Lill ISEN Toulo ISEP LASALLE Bauvais pag 5

8 Baqu d épruvs FESIC 05 Épruv d Mathématiqus Ercic Suit d ombrs compls O s plac das l pla compl mui d u rpèr orthoormé dirct Ouv ;, z0 ( z ) d ombrs compls défii, pour tout, par : i z z O pos A l poit d affi a) La suit u st géométriqu z z b) Pour tout tir aturl, z z t o défiit, pour tout, la suit ( u ) par u z i c) A partir du rag = 4, l poit A appartit au disqu d ctr O t d rayo R d) Pour tout tir aturl, l triagl OAA st isocèl t rctagl t o cosidèr la suit Ercic Géométri t compls L pla compl st mui d u rpèr orthoormé dirct Ouv ;, O défiit A t B du poits d'affis rspctivs z A = t z B = i t T la trasformatio compl du z i pla qui, à tout poit M d'affi z o ull, associ l poit M ' d'affi z z i 4 4 a) L imag du poit d'affi par la trasformatio T st l poit d'affi b) L'smbl ds poits M du pla compl tls qu OM = rprést la médiatric du sgmt [OB] c) M appartit au crcl d ctr A t d rayo si t sulmt si l poit M appartit au crcl d ctr O t d rayo R = d) z' st u ombr compl imagiair pur si t sulmt si l poit M appartit au crcl d diamètr [OB] i CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amis ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brst ISEN Lill ISEN Toulo ISEP LASALLE Bauvais pag 6

9 Baqu d épruvs FESIC 05 Épruv d Mathématiqus Ercic 3 Variabls aléatoirs rélls : Cours - Calculs X st u variabl aléatoir qui suit la loi potill d paramètr λ = a) Pour tout tir aturl, o a : PX b) Pour tout tir aturl, o a : PX ( X ) P( X ) Soit > 0, Y st u variabl aléatoir qui suit la loi ormal 9; σ Y 9 par Z c) Z suit la loi ormal (0 ;) P 7 Y P 0Z d) t Z la variabl aléatoir défii Ercic 4 Probabilités coditiolls U actur st sujt à ds trous d mémoir S il rlit so tt avat d trr scè, la probabilité qu il ait u trou d mémoir pdat la rpréstatio vaut 9, tadis qu s il rlit pas so tt, ctt probabilité vaut 3 S il a u u trou d mémoir au cours d u rpréstatio, il rlit forcémt so tt avat la rpréstatio suivat ; mais s il a pas u d trou d mémoir, il rlit so tt qu avc u probabilité d O suppos qu l actur a rlu so tt l soir d la prmièr rpréstatio a) La probabilité qu il ait u u trou d mémoir lors d la prmièr t d la duièm rpréstatio st d 9 b) La probabilité qu il ait u u trou d mémoir à la duièm rpréstatio st d 5 8 c) Sachat qu il a pas u d trou d mémoir l soir d la prmièr, la probabilité qu il ait pas u o plus à la duièm rpréstatio st d 7 9 O ot p ( état u tir aturl o ul) la probabilité d l évémt «l actur a u u trou d mémoir lors d la èm rpréstatio» p d) Pour tout tir, p 9 CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amis ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brst ISEN Lill ISEN Toulo ISEP LASALLE Bauvais pag 7

10 Baqu d épruvs FESIC 05 Épruv d Mathématiqus Ercic 5 Logiqu t géométri das l spac L spac st mui d u rpèr orthoormé Oi ;, jk, t m t p sot du réls O défiit l pla (P) ayat pour équatio cartési y + z 3 = 0 t () la droit passat par l poit A d coordoés ( ; p ; ) t d vctur dirctur u m a) Il ist au mois u rél m tl qu () soit parallèl à (P) b) Si m =, alors il ist au mois u rél p tl qu () (P)= c) Si m, alors pour tout rél p, () (P) d) Si p =, alors pour tout rél m, () (P)= {A} Ercic 6 Orthogoalité das l spac SABCD st u pyramid régulièr à bas carré ABCD L poit O st l ctr du carré ABCD, J st l miliu du sgmt [SO], F st l miliu du sgmt [BC] t K st l poit défii par SK SD 3 3 a) BK SB SD t BJ SB SD b) B, K t J sot aligés c) Ls plas (BJC) t (SAD) sot sécats suivat u droit () orthogoal à la droit (SF) Pour l d), o suppos qu BD = SO t o s plac das l rpèr orthoormé dirct OOBOCOJ ;,, d) La droit (KJ) coup l pla (P) d équatio cartési + 3y z + 4 = 0 au poit d coordoés ( ; 0 ; ) CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amis ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brst ISEN Lill ISEN Toulo ISEP LASALLE Bauvais pag 8