Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues."

Transcription

1 DOCUMENT 23 Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. 1. Introduction et notations Considérons la fonction f : x sin x définie sur R. La valeur 0 n appartient pas à x l ensemble de définition de f mais il existe dans cet ensemble des éléments aussi proche que l on veut de 0. De ce fait on peut étudier le comportement de cette fonction pour des valeurs de la variable voisines de 0 et obtenir par exemple le tableau suivant : x 0,4 0,3 0,2 0,1 0,01 0,001 f(x) 0, , , , , , Ce tableau montre que lorsque les valeurs de x deviennent proche de 0 alors les valeurs de la fonction se rapproche de 1 et l objectif de ce document est de donner un contenu mathématique précis à cette situation. Pour préciser la position de 0 par rapport à l ensemble de définition de f on introduit plus généralement le concept suivant : Pour toute partie X de R, on définit un ensemble noté X par: x 0 X η > 0, il existe x X tel que x x 0 < η. L ensemble X, appelé adhérence de X, est formé par les éléments de R que l on peut approcher d aussi près que l on veut par des éléments de X et x X si et seulement si il existe une suite de points de X qui converge vers x. Il est clair que : X X, X Y implique X Y et donc X Y X Y. Exemple : si X est une réunion disjointe et finie d intervalles non vides alors X est obtenu en ajoutant à X les bornes finies de ces intervalles qui ne sont pas déjà dans X. En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R 2.1. Limite finie. 2. Limite en un point de R Définition Soit f une fonction de D f dans R et x 0 D f. On dit que l R est une ite de f quand x tend vers x 0 si : ɛ > 0, il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η impliquent f(x) l < ɛ. 247

2 LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. Proposition Soit f une fonction de D f dans R et x 0 D f. La fonction f possède au plus une ite quand x tend vers x 0. Preuve. Soient l 1 et l 2 deux ites de f quand x tend vers x 0 et considérons ɛ > 0. Il existe η 1 > 0 et η 2 > 0 tels que : x D f et x x 0 < η 1 impliquent f(x) l 1 < ɛ/2; x D f et x x 0 < η 2 impliquent f(x) l 2 < ɛ/2. Posons η = min(η 1, η 2 ). Comme η > 0 et x 0 D f, il existe x 1 D f tel que x 0 x 1 < η. On a: l 1 l 2 l 1 f(x 1 ) + f(x 1 ) l 2 ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ. et donc l 1 = l 2 (sinon, ɛ = l 1 l 2 /2 conduit à une contradiction). Notations. Si la ite de f existe quand x tend vers x 0, on la désigne par f(x) ou, plus simplement, par x0 f. Exemples. sin x 1) = 1. Une preuve (souvent peu rigoureuse) de ce résultat utilise des considérations géométriques. Si on introduit les fonctions trigonométriques à l aide des séries x 0 x entières alors la fonction sinus est dérivable et (sin x) = cos x. Il en résulte que: sin x x 0 x = sin x sin 0 = cos 0 = 1. x 0 x 0 2) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xe(1/x). On a 0 D f et par définition de la partie entière, E(1/x) 1/x < E(1/x) + 1, d où, pour x R, 0 1 x E( 1 x ) 1 et 0 1 x E( 1 ) 1. On en déduit que x 0 x 1 x E( 1 ) x x et donc 1 f(x) x. En prenant η = ɛ dans la définition d une ite, f(x) = 1. x 0 3) L inégalité x x 0 x x 0 entraine qu en chaque point de R la fonction f de R dans R définie par f(x) = x a une ite et que x = x 0. 4) La fonction f(x) = E(x) n a pas de ite quand x tend vers 1. En effet supposons que E(x) = l et soit ɛ = 1/4. Il existe η > 0 tel que 1 x < η implique E(x) l < 1/4. x 1 Cela est a fortiori réalisé en supposant de plus η < 1. On a alors E(1 + η/2) l < 1/4 et E(1 η/2) l < 1/4 ou encore, 1 l < 1/4 et l < 1/4 ce qui est contradictoire. Remarques. 1) On a f(x) = l si et seulement si la fonction g(x) = f(x) l a pour ite 0 quand x tend vers x 0. 2) L unicité de la ite en un point est due à l existence, pour tout η > 0, d un élément x 1 de D f tel que x 0 x 1 < η (voir la preuve de la proposition 23.1). Cet élément n existe pas nécessairement, et il n y a alors plus unicité de la ite, si l on modifie la définition de f(x) de l une des façons suivantes :

3 3. LIMITE ET RESTRICTIONS 249 On ne fait pas figurer la condition x 0 D f. Par exemple, tout nombre réel est ite de f(x) = x quand x tend vers 1 car, en prenant η = 1/2, aucun x ne satisfait x D f et x ( 1) < 1/2. Pour tout l R et tout ε > 0, l implication x D f et x ( 1) < 1/2 f(x) l < ε est donc vraie. On impose 0 < x x 0 < η au lieu de x x 0 < η. Avec cette nouvelle condition, tout nombre réel est ite quand x tend vers 1 de la fonction f définie sur D f = { 1} [0, + [ par f(x) = x. Si l on adopte cette nouvelle définition il faut alors remplacer D f par: D f = {x η > 0, y D f tel que 0 < x y < η} (D f est l ensemble des points d accumulation de D f ) On remarque que 1 n est pas un point d accumulation de { 1} [0, + [ et donc on ne peut plus considérer la ite en 1 de la fonction f définie sur cet ensemble par f(x) = x. 3) On peut aussi obtenir l unicité de la ite en démontrant immédiatement après la définition d une ite, la proposition 23.6 et son corollaire. En appliquant ce corollaire avec f = g on obtient l 1 l 2 et l 2 l 1 et donc l 1 = l 2. Proposition Si une fonction f de D f dans R a une ite en un point x 0 de D f alors cette ite vaut f(x 0 ). Preuve. Soit l la ite de f en x 0 D f. Pour tout η > 0, x 0 satisfait les deux conditions x 0 D f et x 0 x 0 < η et donc, pour tout ɛ > 0, f(x 0 ) l < ɛ d où f(x 0 ) = l. Remarques 1). Une fonction qui possède une ite en un point x 0 de son domaine de définition est dite continue en x 0. On verra qu il existe un autre type de ite, la ite par valeurs différentes, qui ne fait pas intervenir la valeur de la fonction en x 0 et donc qui n entraine pas la continuité en ce point. 2). Il est facile de construire des fonctions simples f telles que l ensemble des points adhérents à D f soit strictement plus grand que l ensemble des points d accumulation de D f c està-dire dont l ensemble de définition possède des points isolés. On peut par exemple considérer l application f définie par f(x) = x 2 (x 1)(2 x). Son ensemble de définition est {0} [1, 2] et en généralisant cet exemple on peut obtenir des applications ayant un nombre fini mais arbitraire de points isolés dans leurs ensembles de définition. 3. Limite et restrictions 3.1. Caractère local du concept de ite. On peut considérer la fonction f, définie sur x [ π/2, 0[ ]0, +π/2], qui à x fait correspondre, puis la fonction g définie sur R {kπ k Z} sin x par g(x) = x. La fonction f est une restriction de g, mais peut-on affirmer que ces deux sin x fonctions ont la même ite en 0. La proposition suivante permet souvent de répondre à ce type de questions. Proposition Soit f : D f R, A R et x 0 D f. Si f possède une ite quand x tend vers x 0 et si x 0 D f A alors la restriction de f à D f A, notée f A, possède la même

4 LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. ite quand x tend vers x 0. Réciproquement, si f A possède une ite quand x tend vers x 0 D f A et si A contient un intervalle ouvert contenant x 0 alors f possède la même ite quand x tend vers x 0. Preuve. La première partie est évidente. Pour la réciproque, soit ]x 0 α, x 0 +β[ l intervalle ouvert contenant x 0 et contenu dans A et l = f A. Considérons ɛ > 0. Il existe η > 0 tel que x D f A et x x 0 < η impliquent f(x) l < ɛ. Il est clair que x 0 D f et considérons η = min(η, α, β). On a η > 0 et x x 0 < η entraine x A. Il en résulte que x D f et x x 0 < η impliquent f(x) l < ɛ et donc f(x) = l. Remarques. 1) Pour la réciproque, il est important que A contienne un intervalle ouvert contenant x 0. Si le résultat était vrai sans cette hypothèse alors toute fonction aurait une ite en chaque point de son ensemble de définition. En effet si A = {x 0 } et si x 0 D f alors f A possède la ite f(x 0 ) quand x tend vers x 0. 2) La proposition précédente montre le caractère local de la notion de ite : seul le comportement de f dans un voisinage de x 0 intervient dans l existence ou la valeur d une ite en x Limites à droite, à gauche et par valeurs différentes. On considère f : D f R et x 0 D f. Soit A =]x 0, + [. Si x 0 D f A et si x0 f A existe, on dit que c est la ite à droite de f quand x tend vers x 0 et on la note f(x) ou encore f(x). On définit de x x 0,x>x 0 x x + 0 façon analogue la notion de ite à gauche de f en x 0 en considérant la restriction de f à B =], x 0 [. Si f possède des ites à droite et à gauche en x 0 et si ces ites ont la même valeur l alors: si x 0 D f D f, f possède la ite l en x 0 ; si x 0 D f, f possède la ite l en x 0 si et seulement si l = f(x 0 ). L existence d une ite en x 0 entraine l existence d une ite à droite (resp. à gauche) de même valeur en x 0 si x 0 D f ]x 0, + [ (resp. si x 0 D f ], x 0 [). Considérons maintenant A = R {x 0 }. Si x 0 D f A (autrement dit si x 0 est un point d accumulation de D f ) et si f A existe on dit que c est la ite de f quand x tend vers x 0 par valeurs différentes et on écrit f(x). x x 0,x x 0 Remarquons que : x x 0,x x 0 f(x) = l ɛ > 0, il existe η > 0 tel que x D f et 0 < x x 0 < η impliquent f(x) l < ɛ. Lorsque x 0 D f cette notion concide avec celle de ite quand x tend vers x 0 car alors x D f et 0 < x x 0 < η est équivalent à x D f et x x 0 < η. Exemples.

5 5. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 251 1) Considérons les fonctions g et h définies sur R par g(0) = 0, h(0) = 1 et g(x) = h(x) = x sin(1/x) si x 0. On a x 0 g(x) = 0, h n a pas de ite en 0 et g(x) = h(x) = 0. x 0,x 0 x 0,x 0 2) Soit f une fonction réelle, monotone sur un intervalle ouvert I. En chaque point x 0 de I, f possède une ite à doite f(x) = inf{f(x) x I, x > x 0 } et une ite à gauche,x>x 0 f(x) = sup{f(x) x I, x < x 0 }. De plus, f(x) f(x 0 ) f(x).,x<x 0,x<x 0,x>x 0 3) Une fonction qui possède en chaque point d un intervalle I une ite à droite et une ite à gauche est dite réglée sur I. Pour qu une fonction f soit réglée sur I il faut et il suffit que, sur tout segment inclus dans I, la fonction f soit ite d une suite uniformément convergente de fonctions en escalier. Parmi les fonctions réglées on trouve les fonctions continues par morceaux, les fonctions monotones, les fonctions à variations bornées (car une fonction à variations bornées est la différence de deux fonctions croissantes). 4) Soit f : D f R et K R. On dit que l R est la ite de f quand x tend vers x 0 en restant dans K si x 0 D f K et si ε > 0, η > 0 tel que x x 0 < η et x D f K impliquent f(x) l < ε. Si K = R, on retrouve la notion usuelle de ite et en prenant K =]x 0, + [, K =], x 0 [, K = R {x 0 } on a les notions de ites à droite, à gauche et par valeurs différentes. 4. Limites infinies Définition Soit f : D f R et x 0 D f {x 0 }. On dit que f tend vers + (resp. ) quand x tend vers x 0 si : A R, il existe η > 0 tel que x D f et 0 < x x 0 < η impliquent f(x) > A. (resp. A R, il existe η > 0 tel que x D f et 0 < x x 0 < η impliquent f(x) < A.) Remarques. 1) Dans la définition précédente la valeur f(x 0 ) n intervient pas lorsque x 0 D f et c est pour cela qu il faut prendre x 0 D f {x 0 } (sinon une fonction aurait toujours une ite infinie en un point isolé de son ensemble de définition). Dans la plupart des exemples, on a x 0 D f et on pourrait supposer dans la définition que x 0 D f D f. 2) On peut aussi définir la notion de ite infinie à droite ou à gauche d un point. 3) Les propositions 23.1 et 23.3, démontrées pour les ites finies, s étendent au cas des ites infinies. 4) Il existe des relations entre les ites nulles et les ites infinies. Par exemple, si f(x) = + alors (1/f(x)) = 0. Attention! f(x) = 0 entraine seulement 1/f(x) = +. (Cette égalité suppose que x 0 D 1 ) f 5. Opérations sur les ites 5.1. Limites finies. L utilisation de la définition pour vérifier l existence d une ite est souvent fastidieuse. Il est donc utile de voir comment se comporte la notion de ite vis-à-vis des opérations algébriques que l on peut effectuer sur les fonctions afin de pouvoir déduire l existence et la valeur de la ite de fonctions compliquées lorsque l on connait celles de fonctions plus simples qui les composent. Avant d énoncer les résultats concernant la ite d une somme,

6 LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. d un produit ou d un quotient de fonctions, il est intéressant de démontrer deux lemmes qui vont simplifier les démonstrations. Commençons en donnant une définition. Une fonction f de R dans R est dite bornée s il existe M R, M > 0 tel que x D f implique f(x) < M. La fonction est dite bornée dans un voisinage de x 0 s il existe une restriction de f à un intervalle ouvert contenant x 0 qui est bornée. Lemme Soit f : D f R et x 0 D f. a) Si f possède une ite finie quand x tend vers x 0 alors f est bornée dans un voisinage de x 0. b) Si de plus f 0 alors x 0 D 1/f et 1/f est bornée dans un voisinage de x 0. Preuve. a) Soit l = f(x). Il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η impliquent f(x) l < 1. Comme f(x) l f(x) l on a f(x) l + 1 et donc f est bornée sur le voisinage I =]x 0 η, x 0 + η[ D f de x 0. b) Comme l /2 > 0 il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η impliquent f(x) l < l /2. L inégalité f(x) l f(x) l permet de déduire l /2 < f(x) < 3 l /2 ce qui équivaut à 2 3 l < 1 f(x) < 2 l Soit I =]x 0 η, x 0 + η[. On a I D f D 1/f d où I D f I D 1/f et, comme D 1/f D f, I D f = I D 1/f. La deuxième inégalité de (1) montre que 1/f est bornée sur le voisinage I de x 0. D autre part, x 0 I D f car pour tout ɛ > 0 il existe x D f tel que x x 0 < min(η, ɛ) (car x 0 D f ) et l on a aussi x I D f. Il en résulte que x 0 I D 1/f D 1/f. Lemme Soient f : D f R, g : D g R et x 0 (D f D g ) a) Si f(x) = g(x) = 0 alors f + g a une ite quand x tend vers x 0 et (f + g)(x) = 0. b) Si f(x) = 0 et si g est bornée dans un voisinage de x 0 alors fg à une ite quand x tend vers x 0 et (fg)(x) = 0. c) Si f(x) = 0 et si, dans un voisinage de x 0, g(x) f(x) alors g à une ite quand x tend vers x 0 et g(x) = 0. Preuve. La preuve de a) est une conséquence de l inégalité triangulaire et celle de c) est immédiate. Pour b), considérons I =]x 0 α, x 0 +α[ un intervalle ouvert sur lequel g est bornée par M > 0. Pour tout ɛ > 0, il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η entrainent f(x) < ɛ/m. Si x I D f D g = I D fg et x x 0 < η alors f(x)g(x) = f(x) g(x) < M.ɛ/M = ɛ. La restriction de fg à I a pour ite 0 quand x tend vers x 0 et la proposition 23.3 entraine que (fg)(x) = 0. Proposition Soient f : D f R, g : D g R et x 0 (D f D g ). On suppose que f(x) = l 1 et g(x) = l 2 a) Pour tout (λ, µ) dans R 2, la fonction λf + µg a une ite quand x tend vers x 0 et (λf + µg)(x) = λl 1 + µl 2. (1)

7 5. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 253 En particulier, l ensemble des fonctions, définies sur un intervalle ouvert contenant x 0 et qui possède une ite en ce point, forme un sous espace vectoriel de l espace vectoriel des fonctions de R dans R. b) La fonction fg a une ite quand x tend vers x 0 et (fg)(x) = l 1 l 2. Preuve. a) Le lemme 23.2, a) et b), entraine que [λ(f(x) l 1 ) + µ(g(x) l 2 )] = 0 ce qui équivaut à (λf + µg)(x) = λl 1 + µl 2. b) Les lemmes 23.1 et 23.2 montrent que g(x)(f(x) l 1 ) = 0 et l 1 (g(x) l 2 ) = 0. Le lemme 23.2 entraine [g(x)(f(x) l 1 )+l 1 (g(x) l 2 )] = 0 ce qui équivaut à (fg)(x) = l 1 l 2. Proposition Soit f : D f R et x 0 D f. Si f possède une ite l 0 quand x tend vers x 0 alors 1/l est la ite de 1/f en x 0. Preuve. Par le lemme 23.1.b) x 0 D 1/f. Il existe un intervalle ouvert I contenant x 0 tel que 1/f soit définie et bornée sur D 1/f I (cf la preuve du lemme 23.1). En utilisant le lemme 23.2.b) on a donc : (1/f(x))(f(x) l) = 0 soit encore (1 l/f(x)) = 0 ce qui équivaut à (1/f(x)) = l. En utilisant les propositions 23.4 et 23.5 on obtient le résultat concernant la ite d un quotient de deux fonctions. On peut remarquer que les résultats précédents ne sont que des conditions suffisantes pour l existence d une ite. Ces conditions ne sont pas, en général, nécessaires. Par exemple, soit f(x) = x sin(1/x). On a f(x) = 0 alors que x sin(1/x) n a pas de ite quand x tend x 0 vers 0. Exemples L application identique de R possède une ite en chaque point. Les résultats précédents entrainent qu en tout point de R les fonctions monômes, et donc aussi les fonctions polynômes, ont une ite. Les fractions rationnelles ont une ite en chaque point où le dénominateur n est pas nul Le cas des ites infinies. Une partie des résultats précédents s étend au cas où l une des fonctions au moins possède une ite infinie. Il y a de nombreux cas particuliers et le tableau suivant en donne quelques uns. On considère deux fonctions f et g de R dans R possédant une ite finie ou infinie en un point x 0 D f D g. Le symbole l désigne un nombre réel et? signifie que l on ne peut pas conclure dans le cas général. f l > 0 l < 0 l > 0 l < g f + g + + +?? fg f/g ????

8 LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. 6. Limites et inégalités Proposition Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur D f et x 0 D f. Si f(x) = l et s il existe un voisinage U de x 0 tel que x U D f implique f(x) 0 alors l 0. Preuve. Supposons l < 0. La restriction de f à D f U ayant la ite l en x 0, il existe η > 0 tel que x ]x 0 η, x 0 + η[ D f U implique f(x) l = f(x) l < l 2 = l 2 d où f(x) < l 2 < 0, ce qui est absurde. Donc on a l 0. Corollaire Soit f et g deux fonctions à valeurs réelles, définies sur D f et D g, et x 0 D f D g. Si f(x) = l 1, g(x) = l 2 et s il existe un voisinage U de x 0 tel que x U D f D g implique f(x) g(x) alors l 1 l 2. Preuve. On applique la proposition précédente à g f. Proposition Soit f, g et h trois fonctions à valeurs réelles, définies sur D f, D g et D h et soit x 0 D f D g D h. Si f(x) = h(x) = l et s il existe un voisinage U de x 0 tel que x U D f D g D h implique f(x) g(x) h(x) alors g(x) existe et g(x) = l. Preuve. Pour x U D f D g D h on a f(x) l g(x) l h(x) l d où g(x) l max( f(x) l, h(x) l ). La suite de la preuve est facile. Remarques et exemples. 1). Les résultats précédents s étendent en général au cas des ites infinies et des ites à l infini. Le cas des ites à l infini contient celui des suites. 2). Si l on sait que pour x > 0, ln x x 1 alors ln x x 1 d où 1 2 ln x < x et, pour x > 1, 0 < ln x x < 2 x. De x + 2 x = 0, on déduit donc ln x x + x = Limites et composition des fonctions Proposition Soit f : D f R, g : D g R avec D g = f(d f ) et x 0 D f. Si f possède la ite (finie) l quand x tend vers x 0 alors l D g et si g possède la ite k en l alors (g f)(x) = k. Preuve. Soit ɛ > 0. Il existe η > 0 tel que si x D f et x x 0 < η alors f(x) l < ɛ. Comme x 0 D f il existe x 1 D f tel que x 1 x 0 < η. On a alors f(x 1 ) l < ɛ et f(x 1 ) D g montre que l D g. En utilisant g(x) = k, on trouve η > 0 tel que x D g et x l < η impliquent x l g(x) k < ɛ. Comme f(x) = l il existe η > 0 tel que si x D f et x x 0 < η alors f(x) l < η d où g(f(x)) k < ɛ car f(x) D g. Il en résulte (g f)(x) = k. Remarques et exemples. 1) Si l application g est définie sur un ensemble plus grand que f(d f ) c est en fait sa restriction à f(d f ) qui intervient dans sa composition avec f et c est donc l existence d une ite pour cette restriction qui permet d utiliser de la façon la plus efficace la proposition précédente. Par exemple, soit E + la restriction de la fonction partie entière E à

9 8. LIMITES ET SUITES 255 R +. On a E + (x) = 0 d où E + ( x) = 0. Comme pour tout x 0, E + ( x) = E( x), x 0 x 0 E( x) = 0. On ne peut pas obtenir ce résultat en appliquant la proposition à E car cette x 0 fonction n a pas de ite en 0. 2) La proposition précédente, telle quelle est rédigée, est fausse pour la notion de ite par valeurs différentes (Elle donc aussi fausse quand on écrit 0 < x x 0 < η dans la définition d une ite.). Par exemple considérons f : R R définie par f(0) = 0, f(x) = x sin(1/x) si x 0 et g : R R tel que g(0) = 0 et g(x) = 1 si x 0. On a f(x) = 0, g(x) = 1 alors x 0,x 0 x 0,x 0 que g f n a pas de ite quand x tend vers 0. Donnons le résultat précis sur la composition des ites par valeurs différentes. Proposition Soit f : D f R, g : D g R avec f(d f ) = D g, x 0 un point d accumulation de D f et y 0 un point d accumulation de D g. Si f(x) = y 0, g(x) =,x x 0 x y 0,x y 0 l et si x 0 n est pas un point d accumulation de f 1 ({y 0 }) alors g f(x) = l,x x 0 Preuve. Comme x 0 n est pas un point d accumulation de f 1 ({y 0 }), il existe α > 0 tel que x D f ]x 0 α, x 0 + α[ et x x 0 impliquent f(x) y 0. Soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que 0 < x y 0 < η et x D g impliquent g(x) l < ε. D autre part, il existe η > 0 tel que 0 < x x 0 < η et x D f entrainent f(x) y 0 < η. Considérons η = min(α, η ). Si 0 < x x 0 < η et x D g f = D f alors x x 0 < α et x x 0 d où f(x) y 0. On a aussi 0 < x x 0 < η d où 0 < f(x) y 0 < η et finalement g(f(x) l < ε ce qui signifie g f(x) = l,x x 0 Dans l exemple ci-dessus l une des hypothèses de cette proposition n est pas vérifiée : 0 est un point d accumulation de f 1 ({0}) = { 1 kπ k Z } {0}. 3) Pour les ites à droite ou à gauche, il existe un résultat analogue à la proposition 23.8 à condition que les deux fonctions soient croissantes. 4) Soit f la fonction de R dans R définie par f(x) = x sin(1/x). Si l on sait que la fonction sinus possède en chaque point une ite, alors les résultats précédents (Propositions 23.4.b), 23.5 et 23.8) permettent de conclure que f possède en chaque point x 0 de R une ite. Dans une démonstration très rigoureuse, on doit d abord remplacer f par sa restriction à un intervalle ouvert contenant x 0, ne contenant pas 0 et appliquer la proposition 23.3 pour terminer la preuve. Corollaire Soit f : D f R et x 0 D f. Si f(x) = l alors f possède une ite en x 0 et f (x) = l. Pour la preuve il suffit de dire que la fontion x x a une ite en chaque point et appliquer la proposition On peut aussi utiliser l inégalité f(x) l f(x) l. La réciproque du corollaire est fausse. Si f est définie par f(x) = 1 si x Q et f(x) = 1 sinon, alors f n admet de ite en aucun point de R et f a une ite en tout point de R. 8. Limites et suites Proposition Soit f : D f R, x 0 D f et soit (t n ) une suite d éléments de D f. Si la suite (t n ) converge vers x 0 et si f possède la ite l quand x tend vers x 0 alors la suite

10 LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. (f(t n )) converge vers l. Réciproquement, si pour toute suite (t n ) d éléments de D f qui converge vers x 0, (f(t n )) converge vers l alors f possède la ite l quand x tend vers x 0. Preuve. Soit ɛ > 0. Il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η implique f(x) l < ɛ et n 0 N tel que n > n 0 entraine t n x 0 < η. Pour n > n 0 on a donc f(t n ) l < ɛ d où n f(t n) = l. Démontrons la réciproque sous sa forme contraposée. Si f ne possède pas la ite l quand x tend vers x 0 alors il existe ɛ > 0 tel que, pour tout n N, il existe t n D f tel que t n x 0 < 1/n et f(t n ) l > ɛ. La suite (t n ) d éléments de D f converge vers x 0 et (f(t n )) ne converge pas vers l. Remarques 1) Pour montrer qu une fonction f : D f R n a pas de ite quand x tend vers x 0, il suffit de trouver deux suites (s n ) et (t n ) d éléments de D f qui convergent vers x 0 et telles que (f(s n )) et (f(t n )) n aient pas la même ite. Il suffit aussi de trouver (t n ) tel que n t n = x 0 et (f(t n )) ne converge pas. 2) Soit f : D f R tel que f(d f ) D f, et (t n ) une suite de points de D f définie par son premier terme t 0 D f et la relation de récurrence t n+1 = f(t n ). Si (t n ) converge vers l alors l D f et si f possède une ite quand x tend vers l alors l = f(l). Ce résultat est plus facile à utiliser quand f est continue sur D f car alors cette fonction possède une ite en chaque point de D f. 9. Fonctions continues Définition Soit f : D f R R et x 0 R. On dit que f est continue en x 0 si f possède une ite en x 0. Comme on l a déjà remarqué (Proposition 23.2), si une fonction f possède une ite en un point x 0 de son ensemble de définition alors cette ite est nécessairementf(x 0 ). On peut donc définir la continuité de f en x 0 D f sans faire apparaître explicitement la notion de ite par ε > 0, η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) f(x 0 ) < ε. Le lien étroit entre ite et continuité va être précisé par le paragraphe suivant Prolongement par continuité. Proposition Soit f : D f R, a D f \ D f (ce qui signifie : a D f et η > 0, x D f tel que x a < η). La fonction f possède une ite en a si et seulement si il existe un prolongement de f à D f {a} continu en a. Lorsque ce prolongement existe, il est unique et est appelé le prolongement par continuité de f en a. Sa valeur en a est f(x). Si la fonction x a f est continue en x 0 D f alors il en est de même pour son prolongement par continuité en a. Preuve. Supposons que f possède un prolongement f à D f {a} continu en a. On a D b f {a} = D f et donc a D b f {a} (a n est pas isolé dans l ensemble de définition de f) et la continuité de f en a entraine f(a) = f(x) = f(x). x a,x a x a

11 9. FONCTIONS CONTINUES 257 Réciproquement, supposons que f possède une ite en a. On peut définir un prolongement f de f à D f {a} par f(a) = x a f(x). On a : f(x) = f(x) = f(a) x a,x a x a ce qui montre que f est continue en a. Considérons maintenant x 0 D f. Si f est continue en x 0 alors sa restriction f l est aussi. Réciproquement, supposons f continue en x 0, posons η = x 0 a et soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) f(x 0 ) < ε. Soit η = min(η, η ). On a η > 0 et x x 0 < η entraine x a. Il en résulte que si x x 0 < η et x D b f alors f(x) f(x 0 ) < ε et la fonction f est continue en x 0. (On peut aussi dire que D f étant ouvert dans D f {a}, la continuité de f en un point de D f équivaut à celle de f.) Pour l unicité du prolongement, soit g un prolongement de f à D f {a}, continue en a. Comme a n est pas isolé dans D f {a} (tout voisinage de a contient des éléments de D f et donc des éléments de D f {a} distincts de a) la continuité de g en a entraine : d où g = f. g(a) = g(x) = f(x) = f(a) x a,x a x a Exemples. 1) Une fonction f, definie sur un intervalle I, est dérivable en un point x 0 de I si et seulement si la fonction x0 definie sur I {x 0 } par x0 (x) = f(x) f(x 0) x x 0 est prolongeable par continuité à I. De plus, on a f (x 0 ) = x0 (x 0 ). 2) On définit la fonction f sur R + par f(x) = x ln x. On sait que x 0 f(x) = 0 et donc on peut prolonger f par continuité en 0 par la fonction f en posant f(0) = 0. Remarque. En général, on introduit la notion de ite avant celle de continuité. L inverse est aussi possible en utilisant les équivalences suivantes où f : D f R et a D f : si a D f, f admet une ite en a f est continue en a si a D f, f admet une ite en a il existe un prolongement de f à D f {a} continu en a Propriétés des fonctions continues. Chaque résultat sur les ites a un analogue concernant la continuité. Par exemple : (1) Si une fonction f est continue en x 0 alors f est bornée dans un voisinage de ce point. (2) Soit f et g deux fonctions continues en x 0. Les fonctions f + g et fg sont continues en x 0. De plus, si g(x 0 ) 0 alors la fonction f g est continue en x 0. (3) Soit f une fonction continue en x 0 et g une fonction continue en f(x 0 ). La fonction g f est continue au point x 0. (4) La fonction f : D f R est continue au point x 0 si et seulement si pour toute suite (x n ) de points de D f qui converge vers x 0, la suite (f(x n )) converge vers f(x 0 ).

12 LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. Il n est pas nécessaire de démontrer ces résultats qui ne sont que le cas particulier x 0 D f de résultats sur les ites. Pour une étude plus détaillée de la continuité, on consultera le document 24.

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

- Module M2 - Fondamentaux d analyse

- Module M2 - Fondamentaux d analyse - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Formules de Taylor et développements limités

Formules de Taylor et développements limités Chapitre 4 Formules de Taylor et développements limités 4. Taylor-Lagrange Si a, b R, on note Int(a, b) l intervalle ouvert dont les bornes sont a et b, c est-à-dire Int(a, b) =]a, b[ si a b et Int(a,

Plus en détail

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30 Table des matières 1 Généralités 3 1.1 Un peu de logique................................. 3 1.1.1 Vocabulaire................................ 3 1.1.2 Opérations logiques............................ 4 1.1.3

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Du Calcul d Aire... ...Au Calcul Intégral

Du Calcul d Aire... ...Au Calcul Intégral Du Calcul d Aire......Au Calcul Intégral Objectifs Définir proprement l aire d une surface plane, au moins pour les domaines usuels (limités par des courbes simples) et fournir un moyen de la calculer.

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES I. Logique. II. Ensemble. III. Relation, fonction, application. IV. Composition, réciprocité. V. Relation d

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

PROGRAMME DE I. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE CLASSE DE PREMIÈRE ANNÉE MPSI

PROGRAMME DE I. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE CLASSE DE PREMIÈRE ANNÉE MPSI CLASSE DE PREMIÈRE ANNÉE MPSI Le programme de première année MPSI est organisé en trois parties. Dans une première partie figurent les notions et les objets qui doivent être étudiés dès le début de l année

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Dénombrement, opérations sur les ensembles.

Dénombrement, opérations sur les ensembles. Université Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 1 (du 16 au 20 septembre 2013) Dénombrement, opérations sur les ensembles 1 Combien de façons y a-t-il de classer

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Analyse. Gaëtan Bisson. bisson@gaati.org

Analyse. Gaëtan Bisson. bisson@gaati.org Analyse Gaëtan Bisson bisson@gaati.org Table des matières Nombres réels 4. Construction........................................ 4. Densité et distance..................................... 6.3 Exercices...........................................

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Cours Intégration MA62. Université de Reims

Cours Intégration MA62. Université de Reims Cours Intégration MA62 Frédéric Hérau Université de Reims mai 2006 Table des matières Introduction 2 1 Préliminaires et Rappels 3 1.1 La droite achevée R............................... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Exercices de mathématiques MPSI et PCSI

Exercices de mathématiques MPSI et PCSI Exercices de mathématiques MPSI et PCSI par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des matières Généralités sur les fonctions 2 2 Continuité 3 3 Dérivabilité 4 4 Fonctions de classes C k 5 5 Bijections

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

MPSI PCSI PTSI. Julien Freslon polytechnicien, professeur agrégé de mathématiques en classe préparatoire au lycée Dessaignes de Blois.

MPSI PCSI PTSI. Julien Freslon polytechnicien, professeur agrégé de mathématiques en classe préparatoire au lycée Dessaignes de Blois. Mathématiques Exercices incontournables MPSI PCSI PTSI Julien Freslon polytechnicien, professeur agrégé de mathématiques en classe préparatoire au lycée Dessaignes de Blois. Jérôme Poineau polytechnicien,

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail