Sujets des projets (version 26/10/2016) Initiation au C++ 4M016 Université Pierre et Marie Curie

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1 Sujets des projets (verson 26/10/2016) Intaton au C++ 4M016 Unversté Perre et Mare Cure F. Hecht, X. Claeys, J. Hammond Master I / sesson 1/S1, 2016/2017 Table des matères 1 Recherche rapde d un trangle contenant un pont dans un mallage LE Projet 1 (promenade) Vsualsaton et optmsaton de mallage Projet Optmsaton d un trajet sur un graphe Dscrétsaton et graphe Détermnaton du plus court chemn But du projet Problème du voyageur de commerce Soluton ntale Méthodes d améloraton Le projet Projet 5/ UMFPACK 8 6 Projet 6/ SuperLU 8 7 Découpe d un cube en tétraèdre et vsualsaton 8 8 Projet 8 : Algorthmes sur les grands enters Nombres de Fbonacc et sutes récurrentes lnéares Algorthme de Cornaccha Annexe : Structure des fchers mallage 11 1

2 Projet INITIATION AU C++, 4M016 2 Introducton Pour tous le projet, l faut fare un rapport d une qunzane de pages nformatque : LbreOffce, Latex, web,... Les Rapports et Programmes et un fcher explcaton sont a envoyer par mèl à malto: frederc.hecht@umpc.fr. Tous ces fchers sont à envoyer dans une archve tar compressé sans les complés, executable. de nom : votrenom-4m016.tar.gz, Pour cela cree un dosser "votrenom-4m016", mettez les fcher dans le dosser, Pus dans le termnal et dans le dosser parent pour cree l archve dans votre home fare tar cvfz ~/votrenom-4m016.tar.gz votrenom-4m016 # verffer (affcher) le contenue fare: tar tvfz ~/votrenom-4m016.tar.gz Ces projets sont a réalser par bnôme pour les étudants de M1, le chox des projets est fate par les ensegnants, une fos le bnôme déclarer. 1 Recherche rapde d un trangle contenant un pont dans un mallage Un mallage conforme formé d un ensemble de n T trangles T h telle que l ntersecton de 2 trangles dstncts sot une arête commune, un sommet commun ou ren, où les l ensemble des n S sommets de T h est noté S h. x FIGURE 1 exemple de mallage Le but est d écrre un algorthme de recherche d un trangle K dans un mallage convexe T h contenant un pont (x,y) en O(log 2 (n T )). 1.1 LE Projet 1 (promenade) Algorthme 1 Partant du trangle K, Pour les 3 arêtes (a,b ), = 0,1,2 du trangle K, tournant dans le sens trgonométrque, calculer l are des 3 trangles (a,b, p). S les tros ares sont postves alors p K (stop), snon nous chosrons comme nouveau trangle K l un des trangles adjacents à l une des arête assocée à une are négatve (les ambguïtés sont levées aléatorement). 1. Construre une classe mallage formée d un tableau de sommets et d un tableau de trangles, qu lt le fcher mallage. 2. Construre une méthode dans la classe mallage donnant le trangle K adjacent d un trangle K opposé à son sommet {0,1,2}. La complexté de cette foncton dot être constante après ben sur une unque ntalsaton en O(n T ) ou O(n T log 2 (n T )). Pour cela vous pourrez utlser le chaptre chaîne et chaînage ou les map de la STL. 3. Programmez l algorthme 1 en partant d un trangle quelconque (ajoutez une nouvelle méthode de la classe mallage).

3 Projet INITIATION AU C++, 4M affcher votre trajet avec le logcel gnuplot. 5. Pus trouver pour chaque sommet d un autre mallage donné du même domane, le trangle le contenant. Afn de brser la complexté algorthmque, l faut utlser l asserton suvante : les sommets d un trangle sont proche car les trangles sont petts. 2 Vsualsaton et optmsaton de mallage Le but de ce projet de vsualser une foncton f avec gnuplot du carré ] 1,1[ 2 à valeur dans IR avec une précson de ε donnée. Il faut donc construre un mallage telle que l erreur L 2 sur chaque trangle du mallage sot nféreure à ε. L algorthme de raffnement de mallage est très smple : l consste à couper les trangles d erreur trop grand en deux partes égales par rapport à une des 3 arêtes en chosssant l arête qu générera l erreur mnmal. Donc l algorthme est : 1. nsérer les trangle avec une erreur trop grande la queue 2. tant que la queue n est pas vde fare : (a) Prendre le trangle de la queue et découper le trangle en deux en chosssant la bonne arête, et ajouter les nouveaux trangles dans la queue s nécessare. L erreur sur un trangle K sera défne par : E K = f Π K ( f ) 2 K Où Π K ( f ) est la projecton L 2 (K) de f sur l espaces P 1 (K) des fonctons polynomes de degre 1 de K a valeur dans R, c est-à-dre : Π K ( f ) f = 0; (Π K ( f ) f )x = 0 (Π K ( f ) f )y = 0 K K Et vous utlserez des formules d ntegraton pour évaluer les ntégrales qu sont défnes dans org/abs/math/ Several new quadrature formulas for polynomal ntegraton n the trangle de Mark A. Taylor, Beth A. Wngate, Len P. Bos. les sources sont dans Remarque sur les formules ntégraton sur un trangle K = (A,B,C) sot F K la transformaton affne de ˆK = ((0,0),(1,0),(0,1)) dans K qu est défn par : F K : ( ˆx,ŷ) (1 ˆx ŷ)a + ˆxB + ŷc Les N ponts {ẑ 1,ẑ 2,...,ẑ N } défn sur le trangle ˆK ry les pods assocés {w 1,w 2,...,w N } sont défns dans le fcher coords.txt pour une formule ntegraton à l ordre d. La formule de quadrature sur K est défn par K g K 2 N j=1 w j g(f K (ẑ )), Cette formule est exact pour les fonctons g qu sont des polynômes de degré d. 2.1 Projet 2 Programmer l algorthme precédent pour vsualser avec gnuplot les fonctons f 1 (x,y) = x 2 + y 2 f 2 (x,y) = x 2 + y 3 +tanh(5sn(2(y + x)) K

4 Projet INITIATION AU C++, 4M Optmsaton d un trajet sur un graphe Le prncpe est d optmser le trajet d un véhcule se déplaçant d un pont à un autre sur un terran ayant une topographe quelconque. Cette optmsaton devra être réalsée en mnmsant deux quanttés : la dstance entre le pont de départ et le pont d arrvée et la pente (postve et négatve) du trajet. Il faudra donc trouver le chemn optmal pour que le véhcule at le mons de dstance à parcourr et qu l at le mons à monter et descendre possble. 3.1 Dscrétsaton et graphe Sot Ω = [0,1] [0,1] R 2 le domane dans lequel le véhcule pourra évoluer. Sot la foncton f : Ω R assocant à un pont X = (x,y) son alttude f (X). La premère étape est la dscrétsaton de Ω. On se donne deux enters N x et N y et on défnt les ponts X j = (x,y j ) avec = 1,...,N x et j = 1,...,N y. S on note x = (b a)/(n x 1) et y = (d c)/(n y 1), on chosra N x et N y tels que x y. Les ponts (X j ), j sont les sommets du graphe assocé à Ω (on notera X l ensemble des sommets (X j ), j du graphe). On défnt ensute l ensemble A des arêtes du graphe. Pour cela, on se donne un réel δ > max( x, y). Les arêtes du graphe sont défnes par les segments σ Xn X m = (X n,x m ) 1 n,m Nx N y vérfant 0 < X n X m δ. Voc deux exemples de graphes obtenus suvant dfférentes valeurs de δ. y δ y δ x max( x, y) < δ < x 2 + y 2 x x 2 + y 2 δ < 2mn( x, y) La dernère étape pour la constructon du graphe est d affecter une valeur à chacune des arêtes. Sot l arête σ Xn X m relant les ponts X n et X m. La valeur c Xn X m (ou le coût) assocée à cette arête sera une foncton qu dépendra à la fos de la dstance X n X m ans que la valeur absolue de la pente f (X m ) f (X n ) / X n X m. Le coût c Xn X m pour aller de X m à X n (ou ben de manère équvalente de X n à X m ) par l arête σ Xn X m sera d autant plus grand que la dstance entre X m et X n sera mportante et que la valeur absolue de la pente sera grande. Par exemple, on pourrat défnr le coût ans : c Xn X m = α X n X m max( x, y) + (1 α) f (X m) f (X n ), 0 α 1. X n X m 3.2 Détermnaton du plus court chemn Sot A X le pont de départ du véhcule et B X son pont d arrvée. On défnt un chemn C allant de A à B comme une sute de sommets de X C = {A = X 0,X 1,X 2,...,X p 1,X p = B} tels que pour tout n = 0,..., p 1 on at σ Xn X n+1 A, c est-à-dre que tout segment (X n,x n+1 ) corresponde à une arête du graphe. On assoce au chemn C son coût : c C = p n=0 c X n X n +1. Le problème d optmsaton du trajet du véhcule revent donc à trouver le chemn allant de A à B dont le coût est le plus fable. Ce chemn est appelé le plus court chemn. Pour le détermner, on utlsera l algorthme de Djkstra. Sot R l ensemble des sommets restant à vster et P l ensemble des sommets déjà parcourus. On défnt auss d(x) comme le coût du plus court chemn relant X à A et p(x) le prédécesseur de X dans le plus court chemn le relant à A. L algorthme de Djkstra : Intalsaton : R = X \ {A}, P = {A}, d(a) = 0, d(x) = c AX s σ AX A et d(x) = + snon. Tant que B / P, Fare :

5 Projet INITIATION AU C++, 4M016 5 Trouver X le sommet réalsant le mnmum de d(.) sur R. Ajouter X à l ensemble P. Enlever X à l ensemble R. Pour tout Y R tel que σ XY A, Fare : S d(x) + c XY < d(y ) Alors d(y ) = d(x) + c XY, p(y ) = X ; Fn S. Pour obtenr le plus court chemn relant A et B, l sufft alors de chemner à l envers : on regarde B, pus on sauvegarde son prédécesseur p(b), pus le prédécesseur de son prédécesseur p(p(b)),... jusqu à arrver à A. 3.3 But du projet 3 Le but de ce projet est donc de réalser un programme utlsant permettant d affcher a l ade de gnuplot le graphe et le chemn pour quelque cas ben chos. 4 Problème du voyageur de commerce Données : n vlles numérotées 1,2,...,n Sot d j le coût (c ce sera la dstance) entre les vlles et j. On cherche le tour de coût mnmum qu passe une fos et une seule par toutes les vlles (cycle hamltonen). Pour les tests, on trera aléatorement suvant une lo unforme les postons des vlles dans un carré S (x,y j ) sont les coordonnées de et j d j = (x x j ) 2 + (y y j ) 2 (dstance eucldenne) Algorthme à tester 4.1 Soluton ntale A1 Prendre les vlles dans l ordre 1,2,...,n A2 Partr d une vlle et chosr la plus proche pus la plus proche etc... S (1) et (k) sont les premères et dernères vlles, refermer le chemn en ajoutant l arc (k,1). A3 Partr de 3 vlles ( {1,2,3} par exemple). Supposons à une tératon qu on at les vlles ( 1, 2,..., k ) formant un cycle. Chosr une vlle j non encore étudée et la placer entre 2 vlles r, r + 1 successves du crcut actuel (1 r < k) ou ( k, 1 ) de la manère la mons coûteuse. A4 Construre l arbre de pods mnmum et parcourr 2 fos cet arbre pus enlever les vlles parcourues 2 fos ce qu donne en fat [ ] 4.2 Méthodes d améloraton B1 Echange de 2 arcs sur la soluton actuelle (vor schma) Soent 2 arcs e = (,+1), f = ( j, j +1) non consécutfs utlsés par la soluton courante H (c.a.d.) les 4 ndces, j, + 1, j + 1 sont dstncts). La nouvelle soluton H 1 consste à prendre j comme sommet suvant de, de parcourr les sommets ( j 1, j 2, ) pus d aller en j + 1 et de compléter la tournée comme dans la soluton H. Le coût C(H 1 ) de H 1 se dédut de celu de C(H) de H en ajoutant le coût des arcs (, j)( + 1, j + 1) et en retrant le coût des arcs (, + 1)( j, j + 1). On dra que H 1 amélore H s C(H 1 ) < C(H). S H 1 amélore H, remplacer H par H 1 et rechercher une nouvelle améloraton S aucune améloraton n est possble à partr de H 1 pour tous les chox possbles de 2 arcs e et f de H, fournr H comme soluton de l algorthme. B2 Enlever une vlle d une soluton actuelle et la replacer par un endrot plus ntéressant entre ( j, j + 1), c està-dre les arcs ( 1,), (, + 1) et j, j + 1 sont supprmés et les arcs ( 1, + 1), ( j,) et (, j + 1) sont créés. Pour fare cette transformaton, l faut que deux arcs (, + 1), ( j, j + 1) n est aucun sommet en commun ( c est à dre que les 4 ndces, + 1, j, j + 1 sont dstncts) utlsés par la soluton actuelle H.

6 Projet INITIATION AU C++, 4M l l l+2. j 8 FIGURE 2 fgure A3 +1 fgure A4. j-1 j+1.. j FIGURE 3 Améloraton fgure B1 j j+1 j j FIGURE 4 Améloraton B2

7 Projet INITIATION AU C++, 4M Le projet 4 programmer les quatre ntalsatons et le deux méthodes d améloraton, fate une analyse numérque de la complexté des algorthmes.

8 Projet INITIATION AU C++, 4M016 8 Résoluton d une EDP par la méthode des dfférences fns et vsualsaton Le but est de résoudre numérquement l équaton suvante : Trouver u une foncton régulère de Ω =]0,1[ 2 dans R tel que u = f, dans Ω (1) et telle que u sot nulle sur le bord du carré Ω et où l opérateur est défn par u = 2 u x u y 2. Pour cela nous utlserons une méthode aux dfférences fns. Nous allons calculé une approxmaton de la foncton u aux ponts x n,m, noté u n,m, où les ponts x n,m sont (h 1 n,h 2 m) avec h 1 = 1/N et h 2 = 1/M, pour n = 0,...,N, et m = 0,...,M. Le schéma aux dfférences fns pour approcher par d au pont nterne x n,m (c est-à-dre n dfférent de 0 ou N et m dfférent de 0 ou M), c est à dre : (n,m) {1,...,N 1} m = {1,...,M 1} d u n,m = u n 1,m + u n+1,m 2u n,m h u n,m 1 + u n,m 1 2u n,m h 2 2 = f (x n,m ). Remarque u n,m est connue et nulle sur les pont du bord, c est-à-dre n {0,N} ou m {0,M}. 5 Projet 5/ UMFPACK Le projet est de numéroté les nconnues du systèmes lnéare, pour construre la matrce creuse du système lnéare (où l on ne stocke que les éléments non nuls, on pourra utlse un map de la STL comme stucture ntermédare). Il exste pluseurs bblothèque sur le tole (WEB) pour résoudre de grand système lnéare creux. Vous utlserez le logcel UMFPACK, qu l faut trouver, compler, tester, valder. Afn de valder programme problème, l faut trouver des solutons du problème (1), le plus smple de de construre une soluton manufacture, c est à dre chosr un foncton analytque φ nulle sur le bord de Ω, et de calculer f = φ. Pour, fnr, vous utlserez gnuplot, pour vsualser la représentaton 3D de votre soluton. Il faut tester votre programme, pour une famlle de N,M allant 5 à 100, fare des courbes de temps calcul, etc... 6 Projet 6/ SuperLU Le projet est de numéroté les nconnues du systèmes lnéare, pour construre la matrce creuse du système lnéare (où l on ne stocke que les éléments non nuls, on pourra utlse un map de la STL comme stucture ntermédare). Il exste pluseurs bblothèque sur le tole (WEB) pour résoudre de grand système lnéare creux. Vous utlserez le logcel SuperLU, qu l faut trouver, compler, tester, valder. Afn de valder programme problème, l faut trouver des solutons du problème (1), le plus smple de de construre une soluton manufacture, c est à dre chosr un foncton analytque φ nulle sur le bord de Ω, et de calculer f = φ. Pour, fnr, vous utlserez gnuplot, pour vsualser la représentaton 3D de votre soluton. Il faut tester votre programme, pour une famlle de N,M allant 5 à 100, fare des courbes de temps calcul, etc... 7 Découpe d un cube en tétraèdre et vsualsaton Le but du projet 7 est très smple, trouver et coder un algorthme qu génère les 74 découpes du cube en tétraèdres, et les vsualser ces découpes avec gnuplot. Les découpes sont des parttons du cube telle que : 1. les sommets des tétraèdres sont des sommets du cube. 2. le mallage est conforme, c est à dre que l ntersecton de deux tétraèdres dfférents (supposés fermés) est sot (a) une face commune aux 2 tétraèdres (b) une arête commune aux 2 tétraèdres (c) un sommet commun aux 2 tétraèdres (d) l ensemble vde. Pour ce fare, l est conseller de construre l ensemble de tétraèdre possble, et de décrre les relatons de compatblté entre les faces. Queston bonus, fare la même chose en dmenson 4 (dur).

9 Projet INITIATION AU C++, 4M Projet 8 : Algorthmes sur les grands enters Le but de ce projet est de se famlarser avec l nstallaton, l apprentssage et l usage d une bblothèque externe. Ic, nous utlserons la bblothèque NTL (A Lbrary for dong Number Theory) de Vctor Shoup. shoup.net/ntl/. Nous n utlserons qu une toute pette parte de cette bblothèque C++, celle consacrée aux grands enters. Toutes les fonctons dont vous aurez beson se trouvent dans le module ZZ. 8.1 Nombres de Fbonacc et sutes récurrentes lnéares Ils sont défns par la récurrence : F 0 = 0, F 1 = 1 et n 2, F n = F n 1 + F n 2. Écrre un programme qu demande à l utlsateur un nombre n, calcule F n et l mprme. On consdère la matrce ( 0 1 M = 1 1 et on défnt M n = M n. Montrer que l on a pour tout n ( Fn 1 F M n = n F n F n+1 et que l on peut applquer la stratége dvser pour conquérr pour calculer M n par la formule { (Mn/2 ) 2 s n est par, M n = M(M (n 1)/2 ) 2 snon. En dédure une autre méthode de calcul de F n et l mplémenter. Comparer sa vtesse d exécuton à la précédente. Montrer que l on peut ans calculer F n modulo m. Implémenter la foncton obtenue et calculer le reste de la dvson par de F De façon générale, s (a ) 0 r 1 sont des (grands) enters, on peut défnr une sute récurrente lnéare en donnant arbtrarement ses n premers termes (u k ) 0 r 1 et en posant r 1 u n+r = =0 ), a u n+ pour tout n 0. Le fcher d entrée est un fcher texte avec un enter par lgne : - la premère lgne content r - Les r lgnes suvantes contennent les a pour de 0 à r 1 - Les r lgnes suvantes contennent les u pour de 0 à r 1 - L avant-dernère lgne content n. - La dernère lgne content m. Écrre un programme qu lt un tel fcher et calcule le reste de la dvson de u n par m. Il faudra sans doute défnr une classe capable de représenter des matrces carrées d ordre r à coeeffcents dans Z/mZ. 8.2 Algorthme de Cornaccha Théorème 1 S p est un nombre premer congru à 1 modulo 4. Il exste deux enters x et y tels que p = x 2 + y 2. Écrre une foncton qu prend en entrée un enter n et renvoe le plus pett nombre premer p congru à 1 modulo 4 qu sot plus grand ou égal à n. On utlsera entre autres NextPrme. Il exste un enter a tel que 1 < a < p et a 2 est congru à 1 modulo p. ),

10 Projet INITIATION AU C++, 4M Écrre une foncton qu prend en entrée un nombre premer p congru à 1 modulo 4 et renvoe un enter a tel que 1 < a < p et a 2 est congru à 1 modulo p. Attenton, s p est grand, l n est pas queston d essayer toutes les valeurs de a possbles. Cherchez dans la bblothèque... Dans l algorthme qu sut, x MODULO m désgne l unque enter congru à x modulo m qu est comprs entre m/2 et m/2. x = a; y = 1; whle x^2 + y^2 > p do begn m = (x^2 + y^2) / p; x1 = x MODULO m; y1 = y MODULO m; x2 = (xx1 + yy1) / m y2 = (xy1 - yx1) / m x = x2; y = y2; end whle Montrer que tous les nombres ntervenant dans l algorthme sont des enters, que l algorthme s arrête et qu à la fn, on a x 2 + y 2 = p. Implémenter l algorthme précédent, en permettant à l utlsateur de donner p, ou de donner n et de lasser le programme trouver p. Le résultat est le couple (x,y) qu est unque à l ordre près.

11 Projet INITIATION AU C++, 4M Annexe : Structure des fchers mallage We can read from Fg. 5 and mesh_sample.msh as n Table 1 where n v s the number of vertces, n t number of trangles and n s the number of edges on boundary. For each vertex q, = 1,,n v, we denote by (q x,q y) the x-coordnate and y-coordnate. Each trangle T k,k = 1,,10 have three vertces q k 1, q k 2, q k 3 that are orented n counterclockwse. The boundary conssts of 10 lnes L, = 1,,10 whose tps are q 1, q 2. In the left fgure, we have the followng. n v = 14, n t = 16, n s = 10 q 1 = ( , )... q 14 = ( , ) The vertces of T 1 are q 9, q 12, q The vertces of T 16 are q 9, q 10, q 6. The edge of 1st sde L 1 are q 6, q The edge of 10th sde L 10 are q 10, q 6. FIGURE 5 mesh by buldmesh(c(10)) Contents of fle Explanaton n v n t n e q 1 x q 1 y boundary label= q 2 x q 2 y boundary label= q 14 x q 14 y boundary label= regon label= regon label= regon label= boundary label= boundary label= boundary label=1 TABLE 1 The structure of mesh_sample.msh