Propriété Les 3 hauteurs d un triangle sont concourantes. Le point de concours s appelle l orthocentre du triangle.

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1 Géométrie Espace 2 nde 1 Géométrie dans l espace I. Rappels de collège A. Formumaire 1. Hauteurs Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Il y a donc 3 hauteurs dans un triangle. Le point d'intersection d'une hauteur et d'un côté s'appelle le pied de la hauteur. Les 3 hauteurs d un triangle sont concourantes. Le point de concours s appelle l orthocentre du triangle. O est l orthocentre, H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Aire (ABC) = base hauteur 2 = BC AH 2. Médianes TP 2 p 250 Une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Les 3 médianes d un triangle sont concourantes. Le point de concours s appelle le centre de gravité du triangle. Le centre de gravité est situé au tiers de chaque médiane. GA = 2 GA GA = 1 3 AA 2 Exercice n 121 p Médiatrices des côtés La médiatrice d un segment est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment. La médiatrice est l axe de symétrie du segment. Théorème Si un point M appartient à la médiatrice de [AB] alors MA = MB Si MA = MB alors M appartient à la médiatrice de [AB]

2 Géométrie Espace 2 nde 2 Les 3 médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes. Le point de concours s appelle le centre du cercle circonscrit au triangle. 4. Bissectrices des angles La bissectrice d un angle xoy est l axe de symétrie de l angle xoy. La bissectrice de l angle xoy partage cet angle en deux angles de même mesure. Tout point de la bissectrice de xoy est équidistant des côtés [Ox) et [Oy). Les bissectrices des trois angles d un triangle sont concourantes. Le point de concours s appelle le centre du cercle inscrit dans le triangle. B. Triangle rectangle 1. Théorème de Pythagore Théorème de Pythagore Si le triangle ABC est rectangle en A alors on a BC² = AB² + AC² Théorème de Pythagore (réciproque) Si BC² = AB² + AC² alors ABC est un triangle rectangle en A. Activité 2 p Cercle circonscrit Si le triangle ABC est rectangle en A alors le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu du segment [BC]. CK = 1 2 AB réciproque Si le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC] alors ABC est rectangle en A. 3. Trigonométrie Si le triangle ABC est rectangle en A alors cos B = côté adjacent = AB hypothénuse BC sin B = côté opposé = AC hypothénuse BC tan B = côté opposé = AC côté adjacent AB C. Théorème de Thalès 1. Enoncé Théorème de Thalès Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC) distincts de A. Si (BC) et (MN) sont parallèles, alors AMN et ABC ont leurs côtés proportionnels AM AB = AN AC = MN BC

3 Géométrie Espace 2 nde 3 2. Réciproque Théorème de Thalès (réciproque) Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC) distincts de A. Si AM = AN et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre alors (BC) et (MN) AB AC sont parallèles. 3. Théorème des milieux Théorème Dans un triangle ABC, si I et J sont les milieux de [AB] et [AC], alors (IJ) // (BC) et IJ = 1 2 BC Théorème Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB], alors la parallèle à (BC) passant par I coupe [AC] en son milieu. Exercices n p 253 à 255 Exercice n 122 p 264 D. Angles 1. Angles de même mesure Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180. Soient deux droites d et d sécantes en A. Deux angles au sommet ont même mesure. Soient deux droites d et d parallèles et (AB) une droite sécantes aux droites d et d. Les angles alternes-internes déterminés par deux droites parallèles et une droite sécante ont la même mesure. 2. Angle et cercle Soit O le centre du cercle passant par A et B. soit M un point de ce cercle. Dans le cercle, l angle au centre mesure le double de chaque angle inscrit qui intercepte le même arc. Soient M et N deux points d un cercle passant par A et B. Dans le cercle, les angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

4 Géométrie Espace 2 nde 4 II. Représentations planes de solides Pour reprendre contact : n 1 à 4 p 266 A. Patrons B. Perspective cavalière C. Rappels sur les périmètres et volumes Activités n 1 2 p 267 Exercices : n p

5 Géométrie Espace 2 nde 5 III. Droites et plans de l espace Une droite peut être déterminée dans l espace par deux points distincts. Un plan peut être déterminé par trois points non alignés A, B et C. On note (ABC) le plan qu ils déterminent. Si deux points A et B appartiennent à un plan, tout point de la droite (AB) appartient au plan : on dit que la droite (AB) est incluse (ou) contenue dans le plan et on note (AB) Dans un plan de l espace, on peut appliquer les propriétés de géométrie plane. A. Position relative de deux droites (admise) B. Position relative de deux plans (admise) Notation : (ABC) (EFC) = (DC) signifie que les plans (ABC) et (EFC) ont pour intersection la droite (DC). se lit «inter». C. Position relative d une droite et d un plan (admise) Notation : (AC) (ABC) signifie que la droite (AC) est incluse (contenue) dans le plan (ABC) Exercices : n p 282

6 Géométrie Espace 2 nde 6 IV. Détermination d un plan Un plan peut être déterminé par : une droite d et un point A n appartenant pas à d ; deux droites sécantes ; deux droites parallèles non confondues. Exemple Le plan (ACG) représenté ci-contre peut être aussi défini comme le plan : passant par A et contenant (CG) contenant les droites sécantes (EG) et (GC) contenant les droites parallèles (et distinctes) (EA) et (GC) V. Parallélisme et propriétés Exercices : n p Exercices : n p 283

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