Géométrie dans l' espace

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1 Exercice 1 Le repère ( A, AB, AD,AF ) formé sur le cube ABCDEFGH est orthonormé direct Calculer les produits vectoriels suivants AB AD, AB AC, AC BD et AC FH Dans tous les exercices qui suivent, l espace est supposé rapporté au repère orthonormé direct ( O, i, j, k ) Exercice Soient u 3 2 et v deux vecteurs de l espace - 2 Déterminer une mesure de l angle orienté ( u, v ) Exercice ) Soient u 1 et 2 1 a) Calculer u v 1 v 2 1 deux vecteurs de l espace b) Qu on déduit-on pour u et v? 2) Soient les points A(2,0,0), B(0,4,0) et C(0,0,3) a) Calculer AB AC, BC BA et CA CB b) Qu on déduit-on? Exercice 4 1) On donne le point A(-3,5,2) et les vecteurs a) Montrer que u et v ne sont pas colinéaires -1 u 3 et 4 0 v 1 2 b) Ecrire une équation cartésienne du plan passant par A et de vecteurs directeurs u et v 2) Calculer la distance du point B(3,-1,1) au plan (P) puis la distance du point C(-2,0,2) au plan (P) Année scolaire wwwmathsecondairenet page 1-9

2 Exercice 5 On considère le point A(2,2,1) et une droite définie par l un de ses points B et par un vecteur directeur u 1 Calculer la distance du point A à la droite - 2 passant par B(4,2,0) et de vecteur directeur u 3 1 x 1 2 Calculer la distance du point A à la droite D: y 1 -, z Exercice 6 Soit les points A(1,2,3), B(4,2,-1) et C(2,-1,2) de l espace 1 On désigne par A l aire du triangle ABC Calculer A 2 a) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme b) Donner l aire A de ABCD Exercice 7 1) Montrer que les points A(1,1,1), B(-1,2,-1), C(2,3,5) et D(1,0,-1) ne sont pas coplanaires ) Les vecteurs u -1, v -1 et w -3 sont-ils coplanaires? ) Soient A(1,-2,3), u -1 et v Déterminer l ensemble ( ) des points M de l espace tels que det( u, v, AM ) 0 Exercice 8 : 1) On donne les points A(1,1,1), B(2,0,0), C(0,3,0) et D(0,0,-2) Calculer le volume du tétraèdre ABCD 2) a) Calculer la hauteur issue de A du tétraèdre ABCD b) Déterminer une équation du plan (BCD) et retrouver le résultat de la question précédente Année scolaire wwwmathsecondairenet page 2-9

3 Exercice 9: A, B et C sont trois points de l espace On considère l application f qui, à tout point M de l espace, associe le point M, tel que: MM' = 2 MA MBMC 1 Démontrer que f est une translation dont on exprimera le vecteur en fonction des vecteurs AB et AC 2 On donne A(-1;2;1) ; B(1;1;-3) et C(3;3;-1) a) Déterminer l expression analytique de la translation définie ci-dessus b) Montrer que A est un point équidistant des points B et C c) Déterminer l image par f du plan (P) médiateur du segment [BC] Exercice 10 : A, B et C sont des points de l espace et G le point tel que: 2GA GB 3GC = 0 1 Montrer que l application f qui à tout point M, on associe le point M, tel que: MM' = 2 MA MB3 MC est une homothétie de centre G, dont on déterminera le rapport 2 On donne A(-1;2;1) ; B(1;1;-3) et C(2;3;-1) a) Déterminer les coordonnées du point G b) Déterminer l expression analytique de l homothétie f Exercice 11 : On considère les applications f et g de l'espace définies par leurs expressions analytiques respectives x' x 1 y' y 2 z' z + 3, 5 1 Reconnaitre f et x' 6 3x y' 3 3y z' 3z 2 a) Démontrer qu il existe un unique point G, invariant par g b) Pour tout point M de E, on note M = g(m) Exprimer le vecteur GM' en fonction du vecteur GM c) Reconnaitre g Année scolaire wwwmathsecondairenet page 3-9

4 Exercice 1 Le repère ( A, AB, AD,AF ) est orthonormé direct AB AD est un vecteur orthogonal aux vecteurs AB et AD, de même sens que le vecteur AE et de norme AB AD ABADsin BAD 1 donc AB AD AF AB AC est un vecteur orthogonal aux vecteurs AB et AC, de même sens que le vecteur AE et de norme AB AC ABACsin BAC 2 sin 4 1 donc AB AC AE AC BD est un vecteur orthogonal aux vecteurs AC et BD, de même sens que le vecteur AE et de norme AC BD ACBDsin donc AC BD 2AE 2 AC et FH sont colinéaires donc AC FH 0 Exercice Soient les vecteurs u 3 2 et v On a d une part : uv et d autre part uv u v cos cos 1 2 IL en résulte que cos 30 cos cos 2 2 Or 0, donc 4 Exercice 3 1) Soient les vecteurs a) 0 u v u 1 et 2 1 donc uv0 1 v b) On en déduit que u et v sont colinéaires 2) Soient les points A(2,0,0), B(0,4,0) et C(0,0,3) a) On a : AB 4 et AC 0 donc AB AC Année scolaire wwwmathsecondairenet page 4-9

5 On a : BC 4 et BA 4 donc BC BA On a : CA 0 et CB 4 donc CA CB b) On en déduit que, étant trois points A, B et C de l espace : AB AC BC BA CA CB Exercice 4 1) On donne le point A(-3,5,2) et les vecteurs a) 2 u v 2 1 donc u v 0 d où -1 u 3 et 4 0 v 1 2 u et v ne sont pas colinéaires b) Soit (P) le plan passant par A et de vecteurs directeurs u et v 2 u v 2 est un vecteur normal à (P) donc P : 2x 2y z d 0 où d 1 Or A(-3,5,2) (P) d 0 d 2 Il en résulte que P : 2x 2y z 2 0 2) On a B(3,-1,1) et C(-2,0,2) donc db,p d C,P et Exercice 5 1 La distance du point A(2,2,1) à la droite passant par B(4,2,0) et de vecteur directeur Donnée par la formule db, Comme 2 AB 0 1 alors 3 AB u 0 6 AB u u et par suite : db, AB u u Déterminons d abord un point B et un vecteurs directeur u de la droite (D) : 1 Prenons 0, nous obtenons B(1,1,0) Donc AB u 3 est 1 Année scolaire wwwmathsecondairenet page 5-9

6 Du système, nous obtenons 1 u 1 Donc 1 La distance du point A(2,2,1) à la droite (D) est db,d 2 AB u 0 2 AB u 8 8 u 3 3 Exercice 6 Considérons les points A(1,2,3), B(4,2,-1) et C(2,-1,2) de l espace AB AC 1 L aire A du triangle ABC est donnée par la formule A = On a AB 0 et AC 3 donc AB AC Par suite A = AB AC xd 1 2 xd 3 2 a) ABCD est un parallélogramme AD BC yd 2 3 yd 1 zd 3 3 zd 6 Donc D(3,-1,6) b) L aire A de ABCD est A = 2 A = 2 59 Exercice 7 1) On a : A(1,1,1), B(-1,2,-1), C(2,3,5) et D(1,0,-1) donc Le déterminant des vecteurs AB, AC et AD est 2 AB 1, 2 1 AC det AB, AC, AD Il en résulte que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires det u, u, w ) et 0 AD ) Soient A(1,-2,3), M(x, y, z), u -1 et v 1 et ( ) l ensemble des points M(x, y, z) de l espace tels que 1 3 det( u, v, AM ) 0 Année scolaire wwwmathsecondairenet page 6-9

7 2 1 x 1 1 y 2 1 x 1 1 x 1 det u, u, AM y z 3 3 z 3 1 y z 3 2x 7y z 19 0 Ainsi l ensemble ( ) est le plan d équation 2x 7y z 19 0 Exercice 8 : 1) On a les points A(1,1,1), B(2,0,0), C(0,3,0) et D(0,0,-2) donc AB 1, AC 2 et AD Le volume du tétraèdre ABCD est V= det AB, AC, AD or , il en résulte que V= ) a) Soit H le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD), la hauteur issue de A du tétraèdre ABCD est donc AH On sait que V = 1 AH A où A est l aire du triangle BCD On a BC 3 et BD 0 donc BC BD 4 d où A = BC BD Il en résulte que AH 22 d où AH b) Comme BC BD 4 est un vecteur normal au plan (BCD) alors 6 BCD : 6x 4y 6z d 0, où d Or B(2,0,0) (BCD) 12 d 0 d 12 Par suite, BCD : 6x 4y 6z 12 0 ou encore La distance AH est donc la distance du point A au plan (BCD) d où BCD : 3x 2y 3z 6 0 AH Année scolaire wwwmathsecondairenet page 7-9

8 Exercice 9: A, B et C sont trois points de l espace On considère l application f qui, à tout point M de l espace, associe le point M, tel que: MM' = 2 MA MB MC 1 MM = 2 MA - MB - MC Donc f est la translation de vecteur - AB AC MM = 2 MA MA AB - MA AC = - AB AC 2 On donne A(-1;2;1) ; B(1;1;-3) et C(3;3;-1) a) On a - 6 AB AC 0 donc l expression analytique de la translation f est : 6 x x 6 y y z z 6 b) On a : AB et AC donc A est un point équidistant de B et C c) On sait que A appartient à (P) donc l image par f du plan (P) est lui-même Exercice 10 : A, B et C sont des points de l espace et G le point tel que: 2GA GB 3GC = 0 1 Pour tout point M de l espace, MM = 2MA MB 3MC 2MG d où MG + GM = - 2 MG ou encore GM = 3 GM Il en résulte que f est une homothétie de centre G et de rapport 3 2 On donne A(-1;2;1) ; B(1;1;-3) et C(2;3;-1) a) 2GA GB 3GC = 0-2 GO + 2 OA OB - 3OC = OG = 1 2 OA OB OC Par suite G 9, 3,4 2 b) L expression analytique de l homothétie f est z ' 4 3z 4 Exercice 11 : 9 9 x ' 3x 2 2 x ' 3x 9 y 3 3 y 3 y' 3y 6 z ' 3z 8 On considère les applications f et g de l'espace définies par leurs expressions analytiques respectives x' x 1 x' 6 3x y' y 2 et y' 3 3y z' z + 3, 5 z' 3z 1 f est la translation de vecteur i+ 2 j + 3,5 k Année scolaire wwwmathsecondairenet page 8-9

9 3 x x 6 3x 4x a) y 3 3y 4y 3 y 4 z 3z z 0 z 0 Donc g admet un unique point invariant G 3, 3,0 2 4 b) Pour tout point M(x, y, z) de l espace, on note M = g(m) telle que M (x, y, z ) et x 3x x 3 x x 6 3x y 3 3y y 3y y 3y GM = -3GM z 3z z 3z z 3z c) g est donc l homothétie de centre G et de rapport -3 Année scolaire wwwmathsecondairenet page 9-9

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