UN CADRE DE REFERENCE POUR UN MODELE INTERNE PARTIEL EN ASSURANCE

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1 Manuscri aueur, publié dans "Bullein Français d'acuaria, 2 (2) pp. 5-34" UN CADRE DE REFERENCE POUR UN MODELE INTERNE PARTIEL EN ASSURANCE DE PERSONNES APPLICATION A UN CONTRAT DE RENTES VIAGERES Version.2 du 6/4/2 Frédéric Planche Quenin Guiber Marc Juillard ISFA - Laboraoire SAF Universié de Lyon - Universié Claude Bernard Lyon WINTER & Associés hal-53864, version - Jan 2 RESUME Ce aricle propose un cadre général pour consruire un modèle inerne ou un modèle inerne pariel dans un conexe d'assurance de personnes. Sa conribuion consise à monrer que dans ce conexe, du fai du caracère gaussien des engagemens condiionnellemen aux faceurs de risque sysémaique, il es possible d'obenir des expressions des valeurs de référence (bes esimae, marge pour risque e SCR) dans le cadre d'une approche mêlan calculs analyiques e simulaion qui s'avère pariculièremen efficace en ermes de mise en œuvre. Frédéric Planche es Professeur à l'isfa e acuaire associé chez WINTER & Associés. Conac : fplanche@winerassocies.fr. Marc Juillard e Quenin Guiber son acuaires consulans chez WINTER & Associés Insiu de Science Financière e d Assurances (ISFA) - 5 avenue Tony Garnier Lyon Cedex 7 - France. WINTER & Associés 55 avenue René Cassin Lyon - France. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - -

2 SOMMAIRE hal-53864, version - Jan 2. Inroducion Une équaion générale pour le SCR Analyse du bilan e expression générale Simplificaion de la marge pour risque Calcul des quaniles de Approche asympoique Résoluion dans le cas général Cas pariculier de l'absence de risque financier Prise en compe de faceurs de risque sysémaiques Approximaion log-normale Applicaion à un régime de renes viagères Présenaion du régime Naure des engagemens Populaion couvere Allocaion d acifs Analyse e modélisaion des faceurs de risques Risques économique e financier Risques biomériques Calcul du capial requis Expression du bilan à la dae d invenaire Expression du SCR... 2 Expression de la variable Résulas de la simulaion Comparaison avec les résulas approche «formule sandard» e solvabilié Conclusion Bibliographie INTRODUCTION La mise en place du cadre echnique imposé par la réforme Solvabilié 2 condui à repenser les logiques de provisionnemen uilisées jusqu alors en assurance de personnes (cf. PLANCHET [29]). A une logique de choix d hypohèses prudenes pour l acualisaion e la probabilisaion des flux de presaions fuures, le régulaeur a subsiué une logique d expliciaion des marges pour risque en reenan un calcul fondé sur l ajou au niveau du bes esimae des provisions une marge pour risque. Le calcul de la marge pour risque éan effecué dans une logique de coû du capial immobilisé se rouve de fai éroiemen associé à la déerminaion du capial de solvabilié (cf. GUIBERT [2]). Ainsi, la mise en place d un référeniel de calcul des provisions sur un porefeuille d assurance de personnes condui à devoir consruire les processus de calcul permean poeniellemen d élargir le champ d applicaion du disposiif à la mise en place d un modèle inerne pariel pour le risque de souscripion, voire d un modèle inerne. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 2 -

3 En subsiuan une logique de prise en compe de manière implicie des risques d un conra d assurance, via le choix d hypohèses prudenes, par une logique de calcul basée sur une prise en compe explicie de l ensemble des risques du conra, la réforme prudenielle Solvabilié 2 a profondémen complexifié les praiques acuarielles (cf. PLANCHET [29]). Confroné à cee conraine, le premier réflexe des organismes d assurance a éé de mere en place des algorihmes de simulaion lourds e complexes, fournissan la plupar du emps un résula peu audiable e surou peu exploiable (poin en oal opposiion avec les préconisaions développées par le CEIOPS dans le consulaion paper n 26). En effe, aussi précis e documenés que soien les algorihmes, ils présenen un emps de raiemen relaivemen long empêchan une uilisaion fréquene. hal-53864, version - Jan 2 Or ce dernier poin es en oal opposiion avec le principe même de la réforme, cee dernière ayan pour bu d incier les assureurs à mieux connaîre leurs risques 2 d assurance (cf. consulaion paper n 3). En effe, au-delà du calcul du SCR e des fonds propres de base, Solvabilié 2 doi permere aux assureurs d oriener leur poliique de managemen (allocaion d acifs, couverure de nouveaux risque, ) afin de mieux maîriser leurs risques. Ce dernier poin ne pouvan êre aein par la seule applicaion de la formule sandard, le développemen de modèles inernes simplifiées semble nécessaire. Ainsi, comme le sipule la direcive solvabilié 2, «chaque enreprise d'assurance e de réassurance devrai procéder régulièremen à l'évaluaion de son besoin global de solvabilié, en an que parie inégrane de sa sraégie commerciale e compe enu de son profil de risque spécifique (évaluaion inerne des risques e de la solvabilié). Cee évaluaion ne requier pas le développemen d'un modèle inerne, ni ne ser à calculer des exigences en capial différenes du capial de solvabilié requis ou du minimum de capial requis. Les résulas de chaque évaluaion devraien êre communiqués à l'auorié de conrôle parmi les informaions à fournir aux fins du conrôle». A ce sade, il convien de remarquer qu une compagnie ne souhaian pas développer un modèle inerne mais voulan calculer de manière exace ses fonds propres de base se rouve confronée au calcul de sa marge pour risque. Or l'approche par quanile développée sous le QIS3 ayan éé abandonnée au profi de l approche coû du capial, un calcul rigoureux de la marge pour risque oblige de projeer jusqu'à l exincion du porefeuille l'ensemble des SCR fuurs (ce calcul s avéran rapidemen infaisable comme le reconnaî le CEIOPS dans le consulaion paper n 76), Paran de ce consa, nous avons cherché à développer un processus de calcul basé sur des formules analyiques (cee méhode éan recommandée par le CEIOPS dans le consulaion paper n 26 afin valoriser les risques liés au passif) e uilisan aux mieux l ensemble des Via le calcul d un bes esimae des flux de résorerie fuurs e d une marge pour risque. 2 Nous enendons par là l ensemble des risques y compris financiers. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 3 -

4 proxies 3 proposés par le CEIOPS, l idée éan de proposer une méhode alernaive à celles basées sur la simulaion dans la simulaion (uilisée par exemple par GORDY e JUNEJA [28]). Ce processus perme in fine de calculer de manière simplifiée le SCR e les provisions echniques dans l opique de réaliser des ess de sensibilié ou des analyses de profi (lors de la créaion d un nouveau produi par exemple). L aricle se focalisan sur les risques d assurance, la problémaique liée au risque opéraionnel n es pas abordée (le besoin en capial associé à ce risque pouvan êre calculé par applicaion de la formule sandard). De manière plus précise, la présene éude monre qu une approximaion du SCR e de la provision echnique d un conra d assurance de personne peu êre obenue sur la base de la connaissance des risques sysémaiques 4 e des momens condiionnels 5 d ordre e 2 de la disribuion des flux de résorerie. hal-53864, version - Jan 2 Il convien égalemen de souligner que le relâchemen de ceraines hypohèses de calculs (via le recours à la simulaion par exemple) perme de reenir le processus décri ci-après dans le cadre de la mise en place d un modèle inerne pariel. Le présen aricle es organisé de la manière suivane : dans une première parie on présene d un poin de vue formel le cadre de ravail proposé e la seconde parie es consacrée à un exemple d applicaion dans le cas d un conra de renes viagères. 2. UNE EQUATION GENERALE POUR LE SCR L'analyse d un bilan simplifié perme de déerminer une équaion implicie vérifiée par le SCR ; une fois cee équaion obenue, une hypohèse de proporionnalié du capial requis par rappor au niveau du bes esimae perme d obenir une expression direce du SCR en foncion de la disribuion d une variable faisan inervenir les ineracions acif / passif. 3 Pour plus de déails, le leceur inéressé pourra se référer aux spécificaions echniques du QIS4 ainsi qu aux consulaion papers relaifs aux exes de niveau 2. 4 Connaissance basée sur des calculs empiriques ou analyiques. 5 Momens condiionnels aux risques sysémaiques. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 4 -

5 2.. ANALYSE DU BILAN ET EXPRESSION GENERALE On s inéresse donc dans une première éape à l analyse du bilan simplifié de l assureur, qui se présene de la manière suivane à la dae : BILAN en E A L où : - A : la valeur de marché de l acif en ; hal-53864, version - Jan 2 - L : la valeur de marché du passif en. Il évolue selon la dynamique suivane : où : A A R F C L BEL RM E A L - R : le rendemen (aléaoire) des acifs incluan les coupons enre e ; - F : les presaions e les frais versés (aléaoires) enre e ; - C : les coisaions perçues (aléaoires) enre e. On peu ouefois observer que sauf excepion les coisaions fuures ne son pas prises en compe dans le calcul, effecué dans une logique de run-off, e que donc on a en général C, hypohèse que l on supposera donc vérifiée dans la suie. Dans le disposiif Solvabilié 2, le crière de calcul du SCR es le conrôle de la probabilié de ruine à un an, ce qui condui à devoir respecer la condiion P A L 99,5%. En praique, à la dae iniiale, une parie des fonds propres de l enié correspond au capial requis e l aure parie rese disponible (Free Surplus) : Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 5 -

6 BILAN en FS A SCR E FS L hal-53864, version - Jan 2 Pour le calcul du SCR, on ne s inéresse qu à la parie basse du bilan (c'es-à-dire à la fracion de l acif en représenaion des engagemens), ce qui revien à se placer dans la siuaion où FS. Or, on peu écrire en foncion des équaions ci-dessus e en supposan pour simplifier que C : A L A R F L SCR L R F L. On en ire que SCR L A L F L R R ce qui condui à observer que : F L P A L PSCR L R e donc la condiion limie P A L 99,5% impose que SCR saisfasse l égalié : F L SCR VaR99,5% L. R Ainsi, condiionnellemen à l informaion relaive à l évoluion de l acif, on se ramène à calculer la loi de Z F L. On peu observer qu on compare les charges à un an acualisées F L au aux de rendemen du porefeuille R F L R L E RM. à l engagemen iniial peu êre inerpréé comme l engagemen économique, compe enu de l allocaion Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 6 -

7 d acifs effecuée (cf. PLANCHET e THEROND [25]). On peu noer que pour le calcul de la F L VaR, la règle de l horizon d un an condui à remplacer par. R 2.2. SIMPLIFICATION DE LA MARGE POUR RISQUE L expression ci-dessous doi êre expliciée car le SCR inervien égalemen dans le erme L au ravers de la marge pour risque. Comme L BEL RM e que la marge pour risque es de la forme r, en uilisan l approximaion RM E SCR e avec D la duraion de l engagemen, soi D E F e E F e r r RM D SCR, on obien que : hal-53864, version - Jan 2 e on en dédui finalemen que : F L SCR VaR99,5% BEL D SCR R F L SCR VaR99,5% BEL. D R Il rese à jusifier l approximaion RM D SCR ; pour cela on fai l hypohèse que le SCR à chaque dae es proporionnel au bes esimae, soi SCR k BEL ce qui condui à : r r u r RM k E BEL e k E E Fu e e u k E Fu e u ru ru ru Comme, par inversion des sommaions, E Fu e ue Fu e D BEL rouve que : on u u RM k D BEL. Mais comme par définiion de k, on a en SCR k on obien bien finalemen : BEL RM D SCR. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 7 -

8 On peu noer que l hypohèse de proporionnalié SCR k BEL es idenique à la logique de déerminaion de la marge de solvabilié des engagemens en assurance vie dans le référeniel Solvabilié, l exigence de marge éan exprimée sous la forme d un pourcenage de la provision mahémaique. L expérience passée lui confère donc une ceraine légiimié dans sa capacié à conduire à des résulas cohérens. On dispose donc mainenan d une expression générale : F L SCR VaR99,5% BEL D R hal-53864, version - Jan 2 dans laquelle inerviennen les variables aléaoires Z F L e R associées respecivemen à la charge des engagemens à un an e au rendemen du porefeuille d acifs. Ces variables peuven ne pas êre indépendanes, par exemple dans le cas où il exise un disposiif de paricipaion aux bénéfices. On doi encore ouefois observer que la consane k SCR BEL inervien dans la marge SCR BEL pour risque conribuan à L. On a en effe RM D SCR, ce qui condui finalemen à RM k D BEL e donc à l expression suivane de la provision à la dae (qui es donc une variable aléaoire) : puis L BEL k D, Z F BEL k D Dans les développemens ci-dessus, on vien d éablir que : F L F BEL k D R R avec SCR k ; en reporan cee expression dans l égalié : BEL F L SCR VaR99,5% BEL D R on rouve finalemen que : Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 8 -

9 SCR F BEL D BEL SCR VaR 99,5% BEL. D R Cee équaion es une équaion implicie en la variable SCR don la forme n es pas simple. On peu donc chercher à la simplifier pour obenir une expression explicie du besoin en capial. Le erme correcif k D qui es en oue rigueur une variable aléaoire (vu de ) peu êre approché par la consane c k D ; cee consane es par ailleurs supérieure à un e on majore donc (légèremen) Z en considéran Z c F BEL On en dédui que : c. hal-53864, version - Jan 2 VaR F L c VaR F BEL 99,5% 99,5% R R l approximaion éan prudene. En reporan dans l équaion implicie saisfaie par SCR, on en dédui que : SCR F BEL SCR D VaR99,5% BEL D BEL R ce qui condui après quelques calculs à l expression : VaR99,5% BEL SCR VaR99,5% D BEL D BEL F BEL avec. R VaR s inerprèe comme le "aux de chargemen" des BEL 99,5% engagemens requis pour le conrôle de la ruine au niveau choisi. On a en foncion de cee variable : SCR BEL. D D F BEL On es ainsi ramené au calcul des quaniles de la loi de la variable aléaoire. R En foncion du conexe, e noammen de l exisence ou non d une clause de paricipaion aux Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 9 -

10 bénéfices, les deux ermes de peuven êre ou non indépendans. On monre dans la suie que la complexié du problème dépend finalemen assez peu de cee dépendance, le poin crucial éan de déerminer la loi de F BEL condiionnellemen à l ensemble des faceurs de risques sysémaiques, que ceux-ci soien de naure financière ou pas. 3. CALCUL DES QUANTILES DE F BEL On se propose de fournir des soluions au calcul des quaniles de R approches disinces : avec deux - dans un premier emps on s appuie sur la normalié asympoique du passif ; hal-53864, version - Jan 2 - dans un second emps on chercher pluô une loi ajusable raisonnablemen qui permee un calcul explicie, suivan en cela la démarche de DEELSTRA e JANSSEN [998]. 3.. APPROCHE ASYMPTOTIQUE On considère dans un premier emps que l engagemen n es soumis à aucun risque sysémaique. Dans le cas d un conexe en assurance de personnes avec des individus i I, la somme des presaions acualisées de i I éan une variable aléaoire X i, on noe I l ensemble aléaoire des individus encore présens en.la valeur acualisée des presaions fuures s écri alors : ii i r e F ii X peu êre approchée par une loi normale. On pose X où on a noé i Xi X i I. Condiionnellemen à I approximaivemen gaussienne. Cela perme d écrire : X i i ii I I, cee variable es égalemen 2 u ue I V I u u 2 E e E E e I E e Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - -

11 e donc : u E e P I e II 2 u ue I V I 2 où PI es la probabilié de réalisaion de l ensemble I ce qui monre que n es pas gaussienne e que sa loi es un mélange de lois normales décri par l équaion ci-dessus. hal-53864, version - Jan Résoluion dans le cas général On peu ouefois raisonnablemen, à la dae r r e F e X i ii, approximer F BEL F E par qui es disribué selon une loi normale. En effe, en posan r i i, comme par définiion de i r F E e E X e X ii ii r r r i i i i ii ii ii X, E X e X E e X e X, es l écar enre une variable e son espérance condiionnelle e es donc de variance minimale. Cela légiime l approximaion proposée, au sens de la norme L 2. A ce sade on a donc prouvé qu il éai possible d approcher la loi de Z F BEL par la loi normale de r e. Plus précisémen on doi calculer, en uilisan l approximaion gaussienne r jusifiée ci-dessus e en supposan e : R F BEL R rr x P x Pe x ce qui condui à l expression : e finalemen : r r r r xe E r x P xe E xe E x f u du ur r. L équaion donnan SCR es x,995, qui nécessie une résoluion numérique par des echniques de ype Newon-Raphson. La prise en compe du risque de marché, au ravers de Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - -

12 r, rend donc impossible l'obenion de formules fermées, même dans le cas de rendemens 2 gaussiens ; en effe, si r es gaussienne de paramères, alors on a : x ur 2 exp 2 2 xe E u du. Avec le changemen de variable : r ln E v u x ; E v dv du on obien : hal-53864, version - Jan 2 r ln E v v x exp E v 2 2 x Le calcul numérique de cee inégrale es possible, mais la résoluion de x,995 n adme pas de soluion explicie Cas pariculier de l'absence de risque financier Dans le cas limie où il n y a pas de risque financier e r u99,5% e alors le capial réglemenaire es de la forme : BEL 2 dv r, on a simplemen SCR 99,5% u 99,5% cv D u cv BEL avec cv le coefficien de variaion du porefeuille. On peu observer que ce BEL coefficien es pei car il décroi en 2 N avec N la aille du porefeuille. Ce cas pariculier es imporan, il correspond à la mise en place d un modèle inerne pariel pour le risque de souscripion. On vien en fai de monrer que, en assurance de personne, lorsque l ensemble des risques son bien resiués dans le calcul du bes esimae, les élémens clé de mesure du risque de souscripion s obiennen simplemen : BEL E, Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 2 -

13 SCR 99,5% BEL, u99,5% cv D u cv RM D SCR. Ainsi, dans ce cas, le calcul du bes esimae perme de rouver les deux aures élémens requis, la marge pour risque e le capial de solvabilié PRISE EN COMPTE DE FACTEURS DE RISQUE SYSTEMATIQUES L approximaion gaussienne effecuée ci-dessus n es valide qu en présence d individus indépendans e de flux fuurs uniformémen bornés. Si un faceur de risque sysémaique es inrodui, les résulas éablis resen valides condiionnellemen à ce faceur e l obenion d une expression explicie pour le SCR n es plus possible, même dans les cas simples. hal-53864, version - Jan 2 En effe, soi Z f X, Y avec ZYgaussienne, on a : y y q PZ q E P f X, Y q Y FY dy e donc la résoluion de l équaion en q PZ q n es pas simple. On peu noer que le risque financier es un cas pariculier de risque sysémaique. En praique, la résoluion de l équaion ci-dessus es possible par des méhodes de simulaion de ype Mone Carlo. En effe, on peu simuler le faceur de risque Y e calculer : y K q y k P Z q K k k puis résoudre numériquemen k q y K k K k y. Une fois déerminé, un esimaeur q du SCR, la marge pour risque rese calculée via RM D SCR APPROXIMATION LOG-NORMALE Pour évier le recours à la résoluion d une équaion don les ermes on éé obenus par simulaion des faceurs de risque sysémaiques, on peu rechercher une formule analyique dans un conexe simplifié, dans une logique de recherche de proxy capable de fournir simplemen une maîrise des ordres de grandeur sous-jacens. On peu déerminer une formule approchée pour 99,5% r VaR en supposan que e R Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard es une variable log-normale (ce qui revien à supposer que le aux de rendemen insanané es gaussien, hypohèse souven

14 reenue en praique e qui, bien que souven conesée, peu apparaîre jusifiable, cf. ROSA [977]), en supposan égalemen la log-normalié de F BEL, la variable F BEL R es alors égalemen log-normale e on a VaRp exp m up. Supposer la log-normalié de revien à faire une hypohèse fore sur l ineracion enre les faceurs de risque sysémaiques e la charge acualisée condiionnelle à ces faceurs, qui on l a vu es approximaivemen gaussienne. Sous cee hypohèse, on a finalemen l expression simple du SCR : 99,5% mu99,5% D exp m u BEL SCR exp D BEL hal-53864, version - Jan 2 F BEL 2 F BEL avec m E ln R e V ln R. Du poin de vue praique, le calcul des momens de Z F BEL nécessie simplemen une simulaion du passif sur un an, BEL pouvan êre calculé simplemen condiionnellemen à la connaissance des individus présens (à risque) en. On dispose donc d'une formule simple pour le calcul du SCR (e par conséquen de la marge pour risque qui lui es par hypohèse proporionnel) dans ce conexe. On peu généraliser ce raisonnemen en supposan que le passif e l acif son des exponenielles de lois sables, ce qui ramène au calcul du quanile d une loi sable. 4. APPLICATION A UN REGIME DE RENTES VIAGERES La présene parie décri les modaliés de consrucion d un modèle inerne pariel adapé à un régime de renes viagères. Le développemen une elle approche es moivée par la nécessié de quanifier au mieux l exigence de fonds propres imposée par les risques spécifiques qui affecen l enié. 4.. PRESENTATION DU REGIME Le régime de renes viagères éudié e repris de l exemple uilisé dans GUIBERT [2] es un régime de reraie supplémenaire d enreprise à presaions définies ransféré auprès d un organisme assureur e géré de manière isolée du rese de son acivié au sein d un fonds canonné. Rappelons que la mise en place d un el disposiif au sein d une enreprise condui le souscripeur à provisionner (compabilisaion selon la norme IAS9) l engagemen promis à l égard des acifs e des allocaaires du régime. Le mécanisme de ransfer de l engagemen Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 4 -

15 vers un organisme assureur perme d alléger la charge du souscripeur généralemen en phase de resiuion, ce qui impose au premier d analyser avec précision les risques qui lui son ransmis Naure des engagemens Au dépar de chaque salarié de l enreprise à la reraie, le régime éudié prévoi le versemen, d une pension viagère, don le monan dépend des drois acquis par l inéressé au cours de sa carrière, compléée d une allocaion supplémenaire de réversion à desinaion du conjoin survivan. Pendan la phase de consiuion de la rene, l employeur coise à un fonds de manière à pouvoir honorer son engagemen vis-à-vis du salarié. Au dépar à la reraie fixé à 6 ans, il verse à l assureur le capial consiuif de la rene en foncion des condiions de ransformaion en rene applicables. hal-53864, version - Jan 2 Pour des raisons de simplificaion, on suppose le urnover e le aux de croissance des salaires nuls. En praique, ces élémens son caracérisés par le biais de ables foncion de l ancienneé ou de l'âge déerminées sur la base de données propres à l enié. La reraie de réversion es versée à parir du décès de l assuré allocaaire sans condiion d âge pour les réversaaires. Par ailleurs, le conra inègre deux garanies supplémenaires. D une par, les revalorisaions versées aux allocaaires son par convenion issues de décisions discréionnaires indépendanes des résulas echniques e financiers. De cee manière, la problémaique associée à l évaluaion d opions de paricipaion aux bénéfices ne se pose pas. En revanche, le conra prévoi une revalorisaion des presaions servies chaque année au niveau de l inflaion, caracérisée par l indice des prix à la consommaion. Grâce à ce disposiif oue évoluion défavorable de l inflaion par rappor aux revalorisaions anicipées par le arif es à la charge de l assureur. D aure par, le régime es assori d une garanie sur la able de moralié. Elle perme de ransférer vers l assureur le risque inhéren à l aléa viager qui pèse habiuellemen sur l employeur pendan la phase de consiuion. Ainsi, le souscripeur es couver conre oue dérive de la moralié du groupe assuré. L assureur s engage alors à arifer le conra sur la base d une able de moralié définie conracuellemen. Ainsi, il suppore le coû d une dérive de la moralié ou d un évenuel changemen de able. L inégraion de ces garanies (décries par ailleurs dans PLANCHET e JOUAHRI [28]) impose de considérer l ensemble de la populaion des assurés, e non plus seulemen les seuls allocaaires. On considère que les drois des acifs son figés (pas d acquisiion de drois fuurs) à la dae d évaluaion. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 5 -

16 Enfin, on considère la mise en place d un raié de réassurance en quoe par de aux de cession 5 % Populaion couvere Le régime de reraie éudié couvre une populaion d assurés, en groupe fermé, consiuée : - de salariés encore en acivié à la dae d évaluaion, appelés «acifs» ; - de reraiés, appelés «allocaaires». Dans le cadre de cee éude, une informaion êe par êe es disponible pour le groupe des assurés ce qui perme de ravailler direcemen sur une populaion non agrégée. Les caracérisiques de cee populaion son décries par les ableaux suivans : Acif Effecif Age moyen hal-53864, version - Jan 2 Homme ,87 Femme ,48 Toal ,2 Allocaaire Effecif Age moyen Homme 5 7,47 Femme ,57 Toal ,2 Les figures suivanes présenen les flux de presaions espérées e acualisées versées aux acifs e aux allocaaires (sans revalorisaion) : Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 6 -

17 Fig. - Flux de presaions espérées e acualisées des allocaaires hal-53864, version - Jan 2 Fig. 2 - Flux de presaions espérées e acualisées des acifs Allocaion d acifs A la dae des calculs, les acifs du fonds canonnés son réparis de la manière suivane (en valeur compable) : 9 % d obligaions ; % d acions. On suppose dans la suie que ces acifs son parfaiemen liquides. Par ailleurs, les problémaiques de déerminaion d un crière opimal d allocaions sraégiques d acifs ne son pas abordées dans cee éude. Ces aspecs éan néanmoins esseniels dans le conrôle de la probabilié de ruine, le leceur inéressé pourra rouver dans PLANCHET e THEROND [28] une démarche appropriée pour répondre à cee problémaique. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 7 -

18 4.2. ANALYSE ET MODELISATION DES FACTEURS DE RISQUES L idenificaion des faceurs de risques es une éape indispensable à la bonne maîrise de ces derniers e par ricoche à la maîrise de la solvabilié de l enié. La présene parie perme de reprendre les principaux faceurs de risques suscepibles de nuire à la bonne marche du régime, l obje de cee présenaion n éan pas de décrire de manière exhausive ous les formes de risques adverses à l enié mais seulemen celles don la survenance es réalise e les effes quanifiables. Par ailleurs, la modélisaion des risques nécessie de disinguer les sources d inceriude selon leur caracère muualisable ou sysémaique Risques économique e financier hal-53864, version - Jan 2 Le choix d un modèle d acifs es un élémen délica dans la mise en place d un modèle inerne. Il doi en effe êre accompagné d une analyse méhodique des risques impacan l assureur afin d idenifier les informaions suscepibles d êre uilisées pour caracériser les risques e pour alimener le modèle. Dans le cadre de l évaluaion marke consisen des différens poses du bilan, le modèle d acifs uilisé doi s inscrire dans une logique de long erme e respecer les équilibres macroéconomiques ou en prenan en compe les variaions à cour erme de la valeur des acifs. L inflaion, compe enu de son imporance dans la réalisaion de ces équilibres e de son rôle dans les disposiifs de revalorisaion des pensions, doi faire l obje d une aenion pariculière. Par la suie, une approche dérivée du modèle inégré d AHLGRIM e AL. [25] es reenue afin de répondre à cee problémaique. La spécificaion e le calibrage de ce modèle n éan pas l obje de cee éude, le leceur inéressé pourra se reporer à GUIBERT [2] pour plus de précisions sur ces élémens. Ce modèle perme noammen de spécifier : - les aux d inérês réels e nominaux ainsi que le prix des zéro-coupon associés ; - l inflaion uilisée à la fois pour la revalorisaion des presaions e des frais ; - le rendemen des acions ; - le risque de spread. L expression des grandeurs économiques elles que le prix des zéro-coupon es régie par des formules fermées. Ainsi, l évaluaion de ces quaniés es direce à n impore quelle dae condiionnellemen à l informaion disponible à cee dae, ce qui perme d éluder les problémaiques liées à la simulaion dans la simulaion à l acif. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 8 -

19 Risques biomériques Un régime de reraie es soumis à une inceriude relaive à la durée de vie de son porefeuille. En pariculier, le risque de longévié prend une place d auan plus imporane que s allonge la durée de vie humaine. La gesion de ce aléa nécessie de considérer à la fois sa par muualisable, caracérisée par les flucuaions d échanillonnage observées auour de la able d expérience refléan le niveau de moralié moyen, e les risques sysémaiques impacan cee même able 6. Ces derniers ne son pas modélisés par ailleurs, l ajou de faceurs de risques sysémaiques supplémenaires ne venan pas modifier l expression des quaniés uiles à la spécificaion du modèle mais simplemen augmener le nombre de faceurs de risque dans les simulaions primaires. Dans cee éude, la able d expérience reenue pour valoriser les engagemens bes esimae es la able réglemenaire TGH/F 5 pendan quinze ans puis cee même able abaue de 3 % au-delà. hal-53864, version - Jan CALCUL DU CAPITAL REQUIS Le calcul du capial requis SCR nécessie la projecion e l évaluaion du bilan à un an de l assureur. Ainsi, condiionnellemen à l informaion disponible à cee dae, les différens poses doiven êre valorisés de manière marke consisen. A ravers ce exemple, un modèle inerne pariel simplifié es développé e on monre qu à ravers une approche «semianalyique», l expression des différenes grandeurs de références que son le bes esimae, la marge pour risque e le SCR son obenues de manière explicie. Ainsi, la démarche pour consruire le modèle inerne pariel peu êre décomposée en cinq éapes principales : - Eape : Généraion des scénarii économiques (valeur des acions, des aux cours, des aux longs, des aux d inflaion, ec.) à horizon un an ; - Eape 2 : Déerminaion du rendemen de l acifs e évaluaion des zéro-coupon e des coefficiens de revalorisaion vus de pour chaque irage du faisceau de rajecoires générées ; - Eape 3 : Evaluaion des momens d ordre e 2, condiionnels à chaque éa du monde, de la variable aléaoire afin de caracériser sa loi condiionnelle ; - Eape 4 : Déerminaion de la foncion de répariion e de la densié de la loi de ; - Eape 5 : Calcul du quanile à 99,5 % de puis calcul du SCR. 6 Cf. pour une présenaion de ces risques : hp://acudacuaires.ypepad.com/laboraoire/29//prendre-encompe-les-chocs-sys%c3%a9maiques-li%c3%a9s-%c3%a-la-morali%c3%a9.hml Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 9 -

20 4.3.. Expression du bilan à la dae d invenaire Dans le conexe de cee applicaion, on a : IPC nom F C exp rs ds IPC hal-53864, version - Jan 2 où IPC représene l indice des prix à la consommaion à la dae e nom r le aux d inérê nominal coninu à la dae. La revalorisaion des presaions au niveau de l inflaion revien à considérer une acualisaion au niveau du aux d inérê réel. En effe, en considéran, l expression du rappor des indices des prix IPC IPC exp qsds où q représene la aux d inflaion insanané à la dae e le fai que le aux d inérê nominal nom nom r s écri r q r en foncion du aux d inérê réel r e du aux d inflaion, l engagemen s écri : F C exp rs ds En faisan l hypohèse d indépendance enre l évoluion de la moralié e celle des aux d inérê, il vien l expression de BEL E La quanié : BEL E F C E exp rs ds E exp rs ds correspondan à la valeur d un zéro coupon (aux réel) à la dae d invenaire e de maurié que l on noe B, Expression du SCR Conformémen à l approche décrie en 2.2, la simplificaion de la marge pour risque es opérée pour calculer le SCR, cee grandeur éan une variable aléaoire non indépendane de BEL, nous avons vue que son expression n éai pas simple a priori. On prend dans la suie l approximaion : VaR99, 5% BEL SCR VaR99, 5% D BEL Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard D BEL

21 Expression de la variable L approche développée pour évaluer le besoin en capial SCR requis par les risques modélisés F BEL nécessie le calcul des quaniles de la variable, conformémen à ce qui es R décri en 2.2. hal-53864, version - Jan 2 En noan Y es une variable synhéique représenan l ensemble des risques sysémaiques économiques e financiers, on remarque que la variable Y es asympoiquemen gaussienne puisque soumise au seul risque muualisable de moralié. Cee variable ne dépend que de la populaion d individus survivans à la dae don la composiion es aléaoire e varie selon la survie des individus qui la compose. Sa convergence vers une loi normale es assurée par l indépendance des individus e par le caracère uniformémen borné des monans considérés. Par conséquen, la loi de Y es déerminable par la connaissance de ses momens. Dans le cas de la populaion considérée iniialemen avec des individus i I e en noan I I l ensemble aléaoire des individus encore présens en, la valeur acualisée des presaions fuures vues de s écri alors avec les mêmes noaions qu en 3. : X i ii En supposan que les coisaions perçues son nuls pour simplifier l expression des calculs, la variable X i s écri pour i I en foncion du monan de sa rene f i (connue à la dae d invenaire) e de sa durée de survie résiduelle à l âge xi noée T : X f IPC IPC r ds i i s IPC IPC Tx i nom exp IPC f exp r ds IPC i s Tx i x i A la dae, le bes esimae s écri BEL E e F ii IPC fi. A présen, IPC considérons le calcul de ces grandeurs condiionnellemen à l ensemble des faceurs de risques sysémaiques Y y. Il vien alors BEL y E Y y avec : ii E Y y E X i Y y ii E X Y y i Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard - 2 -

22 e F y f y IPC i. ii IPC Par indépendance enre l évoluion de la moralié e des aux d inérês, on obien pour i I : IPC E X i Y y y E fi exp rs ds Y y Tx i IPC x i, Tx i IPC y E exp T E r s ds Y y IPC IPC y E B y IPC hal-53864, version - Jan 2 Ainsi, condiionnellemen à Y y, y y F y BEL y R es asympoiquemen gaussienne. Il s agi pour la caracériser de calculer ses momens, condiionnellemen à Y les expressions de l espérance 2 y e de la variance y y, éan alors immédiaes sous l hypohèse d indépendance enre les individus e en remarquan que l ensemble aléaoire I es déerminée par la survie T à un an des individus i Iprésen à la dae d invenaire : 2 y y x i i i Tx i ii R y 2 i i T ii R y IPC f E X Y y E y IPC IPC x i f E X Y y V y IPC 2 2 Dès lors la loi de peu êre caracérisée par l expression suivane : y y q P q FY dy I En praique, l approximaion de cee quanié es obenue via la généraion de scénarii économiques ce qui grâce aux echniques de ype Mone Carlo perme d obenir : P y K q y k q K k k Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard

23 Densié Foncion de répariion 4.4. RESULTATS DE LA SIMULATION A la dae d invenaire, l évaluaion du bilan perme de définir les poses suivans, le SCR éan calculé par la suie le monan de Free Surplus e de marge pour risque n es pas déerminable iniialemen : BILAN en (en M ) FS? SCR? A 93,9 hal-53864, version - Jan 2 RM? BEL 38, 42 L acif iniial es composé des ires financiers valorisés en fair value. La valeur compable de l acif es 64,8 M (5 % de plus values laenes). La duraion de l engagemen du passif es esimée à 2,4 ans. Dans le cadre de l exemple éudié, un nombre de K simulaions on éé réalisées afin de projeer la siuaion économique de l enié à horizon un an. A parir de là, l évaluaion des différens poses du bilan à cee dae es réalisée pour chaque scénario simulé. Le graphique suivan fourni la disribuion e la foncion de répariion des rendemens ainsi générés : 5,5 5, 4,5 4, 3,5 3, 2,5 2,,5,,5, -3% -2% -% % % 2% 3% 4% Densié Rendemen Foncion de répariion % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% % % Fig. 3 - Densié e foncion de répariion du rendemen de l acif Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard

24 Indicaeur Esimaion Moyenne,4% Médiane,9% Ecar ype 7,82 % Kurosis 7,34% Skewness 26,99 % Dès lors, pour chaque rajecoire de risque sysémaique, la variable es calculée, l évaluaion du bes esimae éan réalisée à parir des condiions économiques e financières valables dans chaque éa du monde à la dae. hal-53864, version - Jan 2 Fig. 4 - Densié e foncion de répariion de Indicaeur Esimaion (en M ) Moyenne 7,79 Médiane 69,69 Ecar ype 7, Kurosis 6,84 % Skewness 56,8 % Cee disribuion es caracérisée par une queue de disribuion épaisse ce qui se radui par une «dangerosié» imporane. Elle peu êre mesurée par son coefficien de variaion empirique, rappor de l écar ype e de la moyenne empirique qui vau 9,89 %. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard

25 Le niveau de risque global peu êre apprécié en uilisan la variance de e en décomposan les pars relaives aux risques sysémaiques (financiers) e de moralié. En effe, en condiionnan par les risques sysémaiques Y, l équaion de décomposiion de la variance condui à l égalié suivane : V E V Y V E Y Le erme de gauche de l expression ci-dessus représene le risque muualisable de moralié e le second quanifie le risque associé aux aléas sysémaiques. Ces indicaeurs son calculés empiriquemen grâce à leur esimaeur sans biais e convergen. hal-53864, version - Jan 2 K 2 E V Y yk K k K K V E Y y y K k k E V Indicaeur Y V E Y k K k 2 Par de la variance oale 2,32 % 97,68 % La par du risque muualisable es relaivemen modese (2,32 % de la variance globale), preuve de la bonne muualisaion du porefeuille. Dans le cas présen, la prise en compe de cee source d aléas affece donc assez peu la ruine à un an. A présen, le SCR propre au régime es esimé. Le quanile à 99,5 % de la variable es égal à 97,7 M. Sans prise en compe de la marge pour risque, une charge en capial relaive à l ensemble des risques modélisés dans le cadre du modèle inerne pariel de 27,46 M doi êre consiuée. L inégraion de la marge pour risque, varian avec le niveau de coû du capial, génère un besoin en capial repris dans le graphique suivan : Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard

26 SCR 39 M 37 M 35 M 33 M 3 M 29 M 27 M 25 M,%,% 2,% 3,% 4,% 5,% 6,% 7,% 8,% Coû du capial Fig. 5 - Evoluion du SCR en foncion du coû du capial hal-53864, version - Jan 2 L évoluion du SCR en foncion du coû du capial perme de quanifier l impac de la marge pour risque. Cee dernière ien compe de l ensemble des faceurs de risques sysémaiques simulés e noammen des aléas financiers. La démarche adopée n es pas neure car elle condui à considérer pour la marge pour risque la même exposiion que le bes esimae. Ainsi, pour un coû du capial 6%, le SCR vau 34,46 M soi un surcoû indui par les aléas qui pèsen sur la marge pour risque à un an de près de 7 M. A la dae d invenaire, la marge pour risque esimée selon la méhode du coû du capial vau 25,9 M COMPARAISON AVEC LES RESULTATS APPROCHE «FORMULE STANDARD» ET SOLVABILITE A ire indicaif, cee parie présene les résulas obenus en appliquan l approche «formule sandard», conformémen aux spécificaions du QIS4 (cf. CEIOPS [28]). On noe que l évaluaion des besoins en capial relaifs aux faceurs de risques non pris en charge dans le modèle inerne pariel es réalisée en appliquan la démarche préconisée dans le QIS4. Pour rendre les résulas comparables, la marge pour risque es recalculée en excluan le risque de marché. Référeniel (en M ) Bes esimae Marge pour risque Provision echnique exigence de marge de solvabilié Fonds propres de base(*) FP de base /SCR Solvabilié 5,8 5,3 4,3 2,73 Solvabilié 2 Approche «formule sandard» 38,42 9,83 48,25 22,7 45,67 2, Solvabilié 2 Approche «modèle inerne pariel» 38,42 9,83 48,25 3,83 45,67,48 (*) Evalués selon les règles compables propres à chaque référeniel. Dans l approche «modèle inerne pariel», le besoin en fonds propres s élève à 3,83 M ce qui laisse un free surplus de 4,84 M (le capial alloué représenan 79,8 M ) à la disposiion de l enié conre 22,97 M dans l approche «formule sandard» (pour un capial Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard

27 alloué de 7,94 M ). La charge en capial relaive à l ensemble des faceurs de risques modélisés es supérieure à celle issue de l approche «formule sandard». Cee augmenaion s explique d une par par la prise en compe du risque associé à la revalorisaion des pensions, non inégrée dans l approche «formule sandard» e par une démarche plus prudene pour analyser le risque acion. Par ailleurs, le processus développé pour inégrer le risque muualisable, via une méhode analyique, fourni une plus grande finesse à l esimaion réalisée, même si au global il ne pèse que rès peu sur la solvabilié. In fine, ces deux évaluaions indiquen une fore sensibilié du SCR aux risques de marché, l engagemen long associé à un régime de reraie éan foremen dépend des risques de aux, de spread e incidemmen du disposiif de revalorisaion mis en place, d où l inérê de mêler les problémaiques de réducion de la probabilié de ruine e d allocaion sraégique d acifs. hal-53864, version - Jan 2 En norme française, les acifs financiers son évalués en valeur compable e les provisions echniques son calculées sur la base d un aux echnique égal à 6 % du TME. Le capial alloué es alors de 55,93 M, conduisan à un capial disponible présenan une valeur de marché de 37,99 M (8,9 en valeur compable e 29,9 de plus values laenes), foremen supérieur à celui esimé dans le référeniel Solvabilié 2. Le monan des provisions echniques dans le référeniel acuel es relaivemen proche de celui consiué dans le référeniel Solvabilié 2. A conrario, l exigence de marge, proporionnelle au monan des provisions, ne semble suffisane que pour couvrir les risques de souscripion, une parie des risques de marché éan en fai inégrée dans le principe de prudence des provisions echniques. On noe ouefois au global, une dégradaion relaivemen fore du raio de couverure des engagemens, qui passe de 2,7 en Solvabilié à,5 dans le modèle inerne pariel, ceci éan en accord à ce que l'on peu consaer pour d'aures ypes de conras. 5. CONCLUSION Dans le cas d un modèle inerne, le calcul du SCR es la plupar du emps effecué par l applicaion des echniques de simulaion dans les simulaions, pariculièremen coûeuses en ermes de emps de raiemen. Si des méhodes d opimisaion son uilisables (cf. DEVINEAU e LOISEL [29]) cee echnique suppose de calculer d une manière approchée la marge pour risque à an. Paran du consa que la marge pour risque ne peu êre calculée suivan l approche coû du capial, le présen ravail a monré que le SCR e les provisions echniques d un conra d assurance de personne peuven êre obenus sur la base de la connaissance des risques Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard

28 sysémaiques 7 e des momens condiionnels 8 d ordre e 2 de la disribuion des flux de résorerie. Par applicaion des mécaniques de calculs analyiques, le recours à la simulaion s en rouve foremen limié réduisan de ce fai les emps de calcul de manière drasique. Au-delà de la simple considéraion du emps de calcul, en se focalisan sur l analyse de la loi des risques, le processus présené dans cee éude perme aux organismes assureurs de mieux maîriser leurs risques e de mesurer l impac de chaque hypohèse dans l évoluion du SCR. Ainsi, oure le fai de proposer une méhode de calcul du SCR efficace, ce ravail se posiionne dans une opique d analyse de la poliique de gesion des risques d assurance en vue de le conrôler. On noera que le présen ravail monre que la clé du calcul du SCR se siue non pas au niveau de la projecion des rajecoires des flux de résorerie (propre à la mécanique de simulaion dans les simulaions) mais dans la déerminaion de ables d'expérience e de la capacié à modéliser de manière opéraionnelle le risque sysémaique associé au choix de ces ables. hal-53864, version - Jan 2 L approximaion de la marge pour risque éan l un des poins esseniels de la méhode décrie dans ce papier, il convien de noer que dans le cas de conras à passif longs, un calcul rigoureux de la marge pour risque es en praique irréalisable. En effe, de par la relaion de récurrence relian le SCR à la marge pour risque, ce calcul nécessie de modéliser l ensemble des SCR par récurrence inverse de l exincion du conra jusqu à sa créaion. De ce fai, la marge pour risque es évaluée sur la base de la connaissance du SCR d une manière relaivemen semblable à l approche par quaniles 9 (mais en perdan le lien direc avec le risque du conra). De plus, il convien de remarquer que l approche coû du capial préconisée par le CEIOPS es relaivemen arbiraire. Tou d'abord, le CEIOPS inrodui cee dernière via la noion de valeur de ransfer des provisions echniques. Or le bes esimae e les SCR ne son pas éablis sur la base de données de marché mais sur des données propres à la compagnie (la problémaique des frais éan le poin crucial). Il es d ailleurs opporun de se demander si un calcul basé sur des données de marché pourrai êre bes esimae (il paraî délica de créer des lois d expérience de marché présenan un niveau de finesse adéqua pour l ensemble des porefeuilles du marché français). Donc le calcul apparaî ici peu conforme au principe même de la valeur de ransfer. Enfin, en raison du faible nombre de ransfers de porefeuille sur le marché français, il es pariculièremen délica d ajuser les paramères de marché de la formule du coû du capial. 7 Connaissance basée sur des calculs empiriques ou analyiques. 8 Momens condiionnels aux risques sysémaiques. 9 E plus pariculièremen dans le cas d une approximaion gaussienne. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard

29 Cee réserve faie sur la perinence de l uilisaion d une approche coû du capial pour le calcul de la marge pour risque, le présen ravail a permis de proposer une srucure relaivemen générale pour un modèle inerne pariel en assurance de personnes. Cee srucure repose sur l hypohèse que le capial requis es proporionnel au bes esimae, ce qui peu apparaîre assez conraignan, mais consiue une simplificaion inconournable pour prendre en compe la logique de coû du capial sous-jacene à Solvabilié 2. Le modèle proposé s adape aisémen au conexe d une évaluaion par quanile de la marge pour risque, qui serai du poin de vue de la rigueur de la modélisaion préférable à l approche acuellemen en vigueur dans le cadre de Solvabilié BIBLIOGRAPHIE AHLGRIM K. C., D ARCY S. P., GORVETT R. W. [25] Modeling Financial Scenarios: A Framework for he Acuarial Profession. Proceedings of he Casualy Acuarial Sociey 92. (hp:// hal-53864, version - Jan 2 CEIOPS [28] QIS4 Technical Specificaions. MARKT/255/8. CEIOPS (hp:// DEELSTRA G., JANSSEN J. [998] «Ineracion Beween Asse Liabiliy Managemen and Risk Theory», Applied Sochasic Models and Daa Analysis, vol. 4, DEVINEAU L., LOISEL S. [29] «Consrucion d un algorihme d accéléraion de la méhode des 'simulaions dans les simulaions' pour le calcul du capial économique Solvabilié II», Bullein Français d'acuaria, vol. 9, n 7. GORDY M.B., JUNEJA S. [28] «Nesed Simulaion in Porfolio Risk Measuremen» Finance and Economics Discussion Series, Divisions of Research & Saisics and Moneary Affairs, Federal Reserve Board, Washingon D.C. GUIBERT Q. [2] «Analyse de la solvabilié d un régime de reraie supplémenaire», ISFA, Mémoire d acuaria. PLANCHET F. [29] «Provisionnemen bes esimae e risque arrê de ravail.», la Tribune de l Assurance (rubrique «le mo de l acuaire»), n 4 du //29. PLANCHET F. JOUAHRI A. [28] «Assurer la pérennié du niveau de vie des reraiés dans un régime de reraie collecive : les garanies de rendemen avec monage inflaion son-elles la soluion?», la Tribune de l Assurance (rubrique «le mo de l acuaire»), n 28 du //28. PLANCHET F., THEROND P.E. [25] «Allocaion d acifs selon le crière de maximisaion des fonds propres économiques en assurance non-vie : présenaion e mise en œuvre dans la réglemenaion française e dans un référeniel de ype Solvabilié 2», Bullein français d acuaria, Vol. 7 n 3. PLANCHET F.,THEROND P.E. [28] «Renes en cours de service : un nouveau crière d allocaion d acifs», Bullein français d acuaria, Vol. 9 n 7. PLANCHET F., THÉROND P.E., JACQUEMIN J. [25] Modèles financiers en assurance. Analyses de risques dynamiques, Paris : Economica. ROSA J.J. [977] «Réponse aux commenaires de M Mouillar», Revue Economique, Vol. 28, n 2, pp SAPORTA G., Probabiliés, analyse des données e saisique, Technip, 99. Calcul du SCR Planche - Guiber - Juillard

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