Chapitre 4 : le triangle Activité 2 page 178 avec le triangle ABC tel que BC = 4 cm ; ĈBA = 60 et BCA = 100.

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1 hapitre 4 : le triangle ctivité 2 page 178 avec le triangle tel que = 4 cm ; Ĉ = 60 et = 100. I. ngles dans le triangle 1. Propriété 4.1: Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180. vec des lettres : dans un triangle : + + = 180 Exemples: Dans un triangle IJK, KIJ = 40 et IJK = 60 Déterminer une mesure de l'angle JKI. Rédaction : La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180 donc IJK + JKI + KIJ = 180 Or -On écrit la somme des mesures des angles connues : - IJK + KIJ = = 100 Donc -on remplace dans l'égalité de départ :- JKI = 180 Soit JKI = = pplication à la construction onstruire le triangle tel que = 50 ; = 100 et la longueur = 4 cm. Méthode : 1. Faire un croquis de la figure 2. oder dessus les mesures connues 3. Déterminer si besoin les mesures manquantes Réaliser la construction Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180. Dans le triangle, + = = 150 Donc = = 30. Programme de construction : 1. Tracer le segment [] de 4 cm. 4 cm 2. onstruire un angle de 50 au point : construire la demi-droite [). 3. onstruire un angle de 30 au point : construire la demi-droite [). 4. es demi-droites sont sécantes en : placer ce point.

2 II. as particuliers 1. Triangle rectangle : propriétés 4. 2 et 4.3 Si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90. Si dans un triangle la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90, alors ce triangle est rectangle. Définition : lorsque la somme des mesures de deux angles vaut 90 on dit qu'ils sont complémentaires. Exemples : 1 ) Soit un triangle rectangle en tel que = 30 ; Déterminer. D'après la propriété = 90 donc 30 + = 90 Soit = = 60 2) Dans le triangle KLM, LMK = 25 et MKL = 65. Quelle est la nature du triangle KLM? LMK + MKL = = 90 Les angles LMK et MKL sont donc complémentaires. Donc d'après la propriété 4.3, le triangle KLM est rectangle ( en L). 2. Triangle isocèle : Propriété 4.4: si un triangle est isocèle, alors ces angles adjacents à la base principale ont la même mesure. Écriture mathématique : Soit un triangle isocèle en. = sommet principal Justification : il y a deux triangles rectangles symétriques Exemple : a) onstruire le triangle MNP, isocèle en M tel que MP = 3 cm et MPN = 70 On effectue le croquis : on s'aperçoit qu'il nous manque une mesure, celle de l'angle PMN. alculs et rédaction: Si un triangle est isocèle, alors ces angles adjacents à la base principale ont la même mesure. donc : MNP = MPN La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180, donc : PMN = 180 ( MNP + MPN ) = = PMN = 40 M N cm P base principale

3 b) onstruire le triangle IJK, isocèle en I, tel que KIJ = 30 et JK = 2,5 cm. On effectue le croquis : on s'aperçoit qu'il nous manque une mesure, celle des angles IJK et JKI. alculs et rédaction : La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180, donc : IJK + JKI + KIJ = 180 si un triangle est isocèle, alors ces angles adjacents à la base principale ont la même mesure. donc : IJK = JKI Soit 2 IJK + 30 = IJK = IJK = 150 IJK = IJK = 75 et par suite, JKI = 75 Propriété 4.5 : Si un triangle possède deux angles de même mesure, alors il est isocèle. 3. Triangle rectangle-isocèle Propriété 4.6: si un triangle est rectangle-isocèle, alors les angles de sa base principale mesurent 45. Idée de la preuve : 90 2 = Triangle équilatérale : Justification : Soit un triangle équilatéral omme un triangle isocèle a trois côtés de même longueur, le triangle est donc isocèle en et par conséquent = et comme il est aussi isocèle en, =. On obtient donc la double égalité : = = + + = 180 donc 3 = 180 par conséquent : = 180 = 60 3 Propriété 4.7: si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles ont la même mesure : 60.

4 hapitre 6: triangles, partie 2 I. Inégalité triangulaire Propriété du triangle : la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Dans le triangle : < + ; < + et < + Exemple : dans le triangle RST : RS = 3 cm ; ST = 4 cm donc RT< soit RT < 7 Remarque : dans le langage courant, on dirait que le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est la ligne droite. ondition d existence d'un triangle : Étant donné trois longueurs,, (la plus grande étant ) : Si < +, alors on peut construire un triangle avec ces trois longueurs. Si = +, alors les trois points sont alignés ( triangle aplati ). Si > +, alors on ne peut pas construire le triangle ayant pour longueurs, et Exemples a) = 7 cm = 5 cm et = 1 cm. Peut on construire le triangle? est la plus grande longueur et + = 6 cm donc > + : on ne peut pas construire le triangle. b) : MN = 7 cm NP = 5 cm et MP = 2 cm. Peut on construire le triangle MNP? MN est la plus grande longueur et MP + PN = 7 cm donc MN = MP + PN : les points M, N et P sont alignés ( le point P appartient au segment [MN]). c) : RS = 7 cm ST = 5 cm et RT = 3 cm. Peut on construire le triangle RST? RS est la plus grande longueur et RT + TS = 8 cm donc RS < RT + TS : on peut construction le triangle RST.

5 II. Droites particulières du triangle 1) La médiatrice Définition : une droite coupe un segment perpendiculairement en son milieu s'appelle la médiatrice de ce segment. On sait que la droite (d) est perpendiculaire au segment [] et le coupe en son milieu. D'après la propriété 2.6, on peut conclure que (d) est la médiatrice du segment []. Définition : une médiatrice d'un triangle est une médiatrice de l'un de ses côtés ( il y en a trois ). Propriété 6.1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est à égal distance des extrémités du segment. On sait que M (d). D'après la propriété 6.1 on peut conclure que M = M. Propriété 6.2 ( la réciproque ) : Si un point est à égal distance des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

6 Propriété 6.3 : Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O : centre du cercle circonscrit au triangle ( il passe par les trois sommets ). Explication : d'après la propriété : Soit O le point de concours des médiatrices des segments [] et []. omme O appartient à la médiatrice du segment [], d'après la propriété 2.7, on sait que O = O, comme O appartient à la médiatrice du segment [], d'après la propriété 2.7, on sait que O = O, Par suite O = O = O, en particulier, O = O, d'après la propriété 6.2, le point O appartient à la médiatrice du segment [] Donc les médiatrices sont²mèynh concourrantes. et les points, et appartiennent au même cercle de centre O ( et de rayon O). Les construction peuvent être fait à l'équerre ( moins précis ) ou au compas. Méthode de construction : tracer deux ( ou trois ) médiatrices du triangle. O vec le compas :

7 2) La médiane Définition : Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé. Exemple : onstruis la médiane issue de dans le triangle. 1) On détermine le milieu du segment [] qui est le côté opposé au sommet. I Propriété 2.4 : les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point ( appelé centre de gravité du triangle ). 2) On trace la droite qui passe par le sommet et par le point I. I 3) La hauteur Définition : dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Exemple : Trace la hauteur relative au côté [R]. La hauteur relative au côté [R] est la droite perpendiculaire au côté [R] et passant par. R

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