On donne un entier b supérieur ou égal à 2. Un signal de période T est représenté par le graphique ci-dessous :

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1 EXERCICES SUR L APPROXIMAION D UN SIGNAL PÉRIODIQUE Exercice 1 On donne un entier b supérieur ou égal à. Un signal de période est représenté par le graphique ci-dessous : Ce signal peut être décrit par la fonction périodique y, de période, d'amplitude maximale Vmax définie sur [ ; [ par : si t, y() t = Vmax, b si < t <, y() t = b On sait que la décomposition harmonique de y( t) s'exprime par : π y ( t) = Yo + A1cos ( ωt) + B1sin ( ωt ) Akcos( kωt) + Bksin ( kωt ) +... avec ω = 1 On donne : Y = y() t dt et pour k 1 Ak y() t cos ( kωt) dt =, () sin ( ω ) Bk = y t k t dt 1) Que représente Y pour la fonction y. Calculer Y en fonction dev max et b. ) Calculer A1 et B1 en fonction dev max et b. (D après sujet de Bac Pro Maintenance de l audiovisuel électronique Session 1988) Exercices sur l approximation d un signal périodique 1/1

2 Exercice On considère un signal u périodique dont l'expression du polynôme de Fourier d'ordre 7 est : u t π t 3π t 5π t 7π t () = + sin ( 1π ) sin ( 3π ) + sin ( 5π ) sin ( 7π ) - u() t est une tension exprimée en volt (V) - les fréquences sont exprimées en Hertz (Hz) 1) Donnez la valeur moyenne du signal u. ) Déterminez la fréquence f 1 du fondamental du signal. 3) Construisez la représentation graphique du spectre C n du signal pour des fréquences appartenant à l'intervalle [ ; 3 5]. On rappelle que l'amplitude C de la raie d'ordre n du spectre est telle que : Prenez comme échelles : axe des abscisses : 1 cm pour 5 Hz. axe des ordonnées : cm pour 1 V. (Utilisez une feuille de papier millimétré.) Exercice 3 n C = a + b n n n (D après sujet de Bac Pro Maintenance des réseaux bureautiques et télématiques Session 1994) On considère le signal s ayant la forme d'onde apparaissant sur le schéma (où τ π ). s a pour période π. τ τ s() t = 1 si - t τ τ s() t = si < t < π 1) On suppose que τ = π. Etablir la relation générale pour calculer les coefficients de Fourier. ) Calculer les coefficients de Fourier jusqu'au rang n = 5. (D après sujet de Bac Pro MRB Session 199) Exercices sur l approximation d un signal périodique /1

3 Exercice 4 Le signal u est un signal périodique de période ( > ) défini sur. Dans le plan rapporté à un repère orthogonal (Ot, Oy) : - les points, A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : ;5 4, 4 ;5, 4 ; et 3 ; la représentation graphique du signal u considéré sur l'intervalle ; 4 4 est constituée des segments de droites [AB] et [CD] 1) Donner la représentation graphique, dans le plan rapporté au repère (Ot, Oy), du signal u considéré sur l'intervalle ; On rappelle que les coefficients de Fourier a n et b n du signal u sont donnés par les formules : 1 π a = u() t dt et en posant : ω = pour tout n entier strictement positif (n > ) an = u() t cos( nω t) dt et bn = u() t sin ( nω t) dt ) Indiquer quelle sont, pour tout entier n strictement positif (n > ), les valeurs des coefficients de Fourier b n du signal u. 3) Déterminer la valeur de u() t pour : a) t < b) 4 4) Calculer a. t < c) t < Calculer, pour tout entier n strictement positif (n > ), la valeur du coefficient de Fourier a n du signal u. 5) Indiquer ce que représente le nombre a pour le signal u. (D après Bac Pro Maintenance audiovisuel électrique Session 1996) Exercices sur l approximation d un signal périodique 3/1

4 Exercice 5 La transmission d'un signal s est une suite périodique d'impulsions rectangulaires de durée défini par la fonction notée également s, représentée ci-dessous et de période. s() t = si - t 4 4 s() t = si < t < 4 4 Les coefficients de Fourier a n et b n sont donnés, pour tout n 1 par : 4 nπ an = sin ; bn =. nπ 4 1) Exprimer l'amplitudec n de la raie d'ordre n du spectre du signal pour 1 n 5. ) Effectuer une représentation graphique du spectre de raies. (D après sujet de Bac Pro MRB Session 1991) Exercice 6 Soit V, la tension périodique de période, telle que : t si t, V () t = 5 sin π, si < t, V () t = 1) Représenter graphiquement cette tension pour t dans un repère orthonormal tel que : en abscisse, 6 cm représentent une période ; en ordonnée, l'unité graphique est le cm. ) Déterminer les coefficients de Fourier a, a 1, b 1 de la fonction V. 1 3)a) Calculer l'intégrale E = V () t dt qui représente l'énergie moyenne du signal sur une période. 1 b) Calculer le nombre E1 = a + ( a1 + b1 ) qui représente l'énergie moyenne transmise sur une période par le fondamental et la première harmonique. E1 c) Calculer E. (D après sujet de Bac Pro Maintenance audiovisuel électronique Session 199) Exercices sur l approximation d un signal périodique 4/1

5 Exercice 7 Un signal s, de période = π, est représenté par une fonction f dont la courbe représentative ;π. est donnée sur l'intervalle [ ] 1) a) Représenter f sur [ π ;π ]. b) A partir de la représentation graphique, étudier la parité de f. ) a) Montrer, par exemple par des considérations d'aires, que a et a n sont nuls pour tout entiers n. b) Montrer que l'on a : π π / V bn = f () t sin ( nt) dt sin ( nt) dt π = π π / 6 c) Calculer b 1 et b. d) En déduire le polynôme trigonométrique d'ordre associé au signal. Exercice 8 Le polynôme de Fourier d'ordre n d'un signal périodique est donné par : P(t) = a + acos( ωt) + bsin( ωt) + a cos( ωt) + b sin( ωt ) a cos( nωt) + b sin( nωt) n 1 1 n n Un signal temporel s est périodique, de période. Le polynôme de Fourier d'ordre 5 associé à ce signal est le suivant : π P5 ( t)= cos(1 πt) cos(3 πt) cos(5 πt) π 9π 5π 1) Exploitation du polynôme de Fourier d'ordre 5 : P 5 (t) a) Quel terme représente l'harmonique fondamentale? b) En déduire la pulsation ω, la fréquence f et la période du signal. c) Quelle est la composante continue a de ce signal? d) Identifier les coefficients de Fourier : a k et b k pour k variant de 1 à 5. Exercices sur l approximation d un signal périodique 5/1

6 ) Représentation spectrale a) Calculer l'amplitude des raies spectrales C k pour k variant de 1 à 5. b) Construire sur le graphique ci-dessous la représentation spectrale du signal pour les fréquences comprises dans l'intervalle [ ; 5 Hz]. On rappelle que l'amplitude de la raie d'ordre k est donnée par la relation : C = a + b k k k 3) Énergie du spectre E s Calculer l'énergie transportée par les 5 premiers harmoniques du spectre : E 5 Donner le résultat avec une précision de 1-3. Formule de Parseval : 1 En = a + a1 + b ak + b k an + b n 4) Énergie du signal E Sur une période ce signal est défini par : st ( ) = 1 πt si t [, 1 ; [ st ( ) =+ 1 πt si t [ ;, 1[ Le temps est exprimé en secondes. L'énergie du signal est donnée par l'intégrale : E 1 s t dt = a) Calculer E. Montrer que sa valeur approchée à 1-3 près est 3,9 J. Es b) Calculer E Quelle est, en pourcentage, l'énergie relative transportée par les 5 premiers harmoniques du spectre? (D après sujet debac Pro Maintenance réseaux bureautique télématique session septembre 1) () Exercices sur l approximation d un signal périodique 6/1

7 Exercice 9 Les nombres et I M sont deux nombres strictement positifs donnés. Le diagramme ci-dessus est la représentation graphique, dans le plan rapporté au repère orthogonal (Ot, Oy), du signal i sur et périodique de période. La représentation graphique du signal i considéré sur l'intervalle ; deux segments de droite [AO] et [OB] tels que : est constitué des - le point A a pour coordonnées ; IM, - le point B est le point symétrique du point A par rapport à l'axe (Oy). 1) Indiquer quelle est la parité du signal i. Justifier votre réponse. π ) On considère la fonction g définie sur par t i() t sin t.1) Montrer que g est une fonction impaire. /.) En admettant que g() t dt = () b 1 de i sachant que : g t dt, calculer la valeur du coefficient de Fourier / / π b1 = i() t sin t dt / 3.1) Pour tout t de l'intervalle ; donner une expression algébrique de i() t en fonction de t. 3.) Calculer le coefficient de Fourier a de i sachant que : / a = i t dt π 4.1) Vérifier que la fonction f définie sur par t i() t cos t est une fonction paire. () Exercices sur l approximation d un signal périodique 7/1

8 / f t dt, montrer que : 4.) En admettant que f () t dt = () / / / () = () f t dt / f t dt 4.3) Montrer que la fonction F définie sur par : I M π π t t sin t + cos t π π est une fonction primitive de la fonction f définie précédemment. 4.4) Calculer la valeur exacte du coefficient de Fourier a 1 de i sachant que : / π a1 = i() t cos t dt / (D après sujet de Bac Pro M.A.V.E.L.E.C. Session 1998) Exercice 1 Partie I (D'après une étude du signal de commande d'un moteur cabestan). 1 désigne le nombre 4. Partie A Dans le plan rapporté au repère orthogonal (Ot, Oy) d'unités graphiques 48 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée, le signal u l de la variable t, défini sur et périodique de période, admet comme représentation graphique sur l'intervalle [ ; ] l'ensemble constitué du segment de droite [AB] et du segment de droite [CD] privé des points C et D tels que : le point A a pour coordonnées ( ; 5) le point B a pour coordonnées (,5 t ; 5) le point C est le projeté orthogonal de B sur l'axe (O t) le point D est le point de l'axe (O t) d'abscisse. 1) Calculer la valeur moyenne m 1, du signal u 1, sur l'intervalle [ ; ]. On rappelle que la valeur moyenne du signal s sur l'intervalle [a ; b] est égale à s( t )dt b a. a ) Calculer les coefficients de Fourier a 1 et b 1 du signal u 1 périodique de période sachant que : Exercices sur l approximation d un signal périodique 8/1 1 b

9 π a1 = u1 t t dt (donner les résultats demandés arrondis à 1-1 ). π b = u t sin t dt () cos et () 1 1 Partie B 1) Soit le signal u de la variable t, défini sur et périodique de période tel que : u ( t) = 5 pour t,4 u () t = pour,4 < t < 1.1) Sur la figure ci-dessous, tracer dans le plan rapporté au repère (Ot, Oy) la représentation graphique du signal u. 1.) Calculer la valeur moyenne m du signal u sur l'intervalle [ ; ]. ) Soit le signal u 3 de la variable t, défini sur et périodique de période tel que : u3 ( t) = 5 pour t,6 u3 () t = pour,6 < t <.1) Sur la figure ci-dessous, tracer dans le plan rapporté au repère (Ot, Oy) la représentation graphique du signal u 3..) Calculer la valeur moyenne m 3 du signal u 3 sur l'intervalle [ ; ]. 3) Le signal u est tel que : pour tout t de l'intervalle [ ; ] u( t) = ul ( t) pour tout t de l'intervalle [ ; 6] u( t) = u ( t) pour tout t de l'intervalle [6 ; 1 ] u( t) = u ( t) 3 Exercices sur l approximation d un signal périodique 9/1

10 Sachant que : u () t dt u1() t dt u() t dt u3() t dt 1 = et que m1 m 1 m3 u1() t dt ; u() t dt ; u3() t dt 1 = 6 = = calculer la valeur moyenne du signal u sur l'intervalle [; 1 ] (donner la valeur exacte). Partie II Étude et représentation d'un signal On considère le signal s de la variable t défini sur par : st ( ) = 1 + 9cos( 1ωt) + cos( 3π t) 1) Le signal s est la somme des trois signaux élémentaires f, g et h de la variable t définis sur respectivement par : f ( t) = 1 ; g( t) = 9cos( 1π t ) et h ( t) = cos(3 πt). Déterminer la période du signal sinusoïdal g, ainsi que celle du signal sinusoïdal h. Montrer que la période du signal g est aussi une période du signal s. ) Montrer que le signal s est un signal pair. 3) Montrer que, pour tout nombre t réel, s( t) 4) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant t,1,,3,4,5,6,7,8,9,1 Valeur arrondie de s(t) à 1-5.1) Déterminer le signal dérivé s' du signal s. 5.) En sachant que, pour tout nombre réel t, sin ( 3π t) = sin ( 1πt) cos( πt) + sin ( πt) cos( 1πt) et sin ( πt) = sin ( 1πt) cos( 1πt) montrer que, pour tout t réel, sin 3πt = sin 1πt cos πt + sin 1πt cos² 1πt et s' t = -3πsin (1 πt) cos² 1πt + cos πt + 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( )( ( ) ( ) ) 5.3) Vérifier que, pour tout t réel, ( cos² ( 1πt) cos( πt) 3) tout t réel, le signe de s' (t) est le même que le signe de (-sin ( 1π t) ). 5.4) Pour tout t de l'intervalle [ ;,1], étudier le signe de sin ( 1π t). + + ; en déduire que, pour 5.5) Déduire de ce qui précède le sens de variation, sur l'intervalle [ ;,1], du signal s (justifier la réponse donnée). 6) Dans le plan rapporté à un repère orthogonal (Ox, Oy) d'unités graphiques 5 cm sur l'axe des abscisses et,5 cm sur l'axe des ordonnées, représenter graphiquement le signal s considéré sur l'intervalle [-,l ;,]. (D après sujet de Bac Pro M.A.V.E.L.E.C. Session 1999) Exercices sur l approximation d un signal périodique 1/1