Chap 3 Fonctions exponentielles (1)
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1 Chap 3 Fonctions exponentielles () Terminale ES Chap 3 - Fonctions exponentielles I. Les fonctions exponentielles de base q...4 ) Introduction...4 2) Définition...5 3) Propriété de la fonction exponentielle de base q...5 4) Relation fonctionnelle et règles de calcul...5 5) Sens de variation...6 II. La fonction exponentielle...7 ) Définition...7 2) Conséquences immédiates...7 3) Propriétés...7 4) Règles de calculs...8 5) Équations et inéquations...8 A. Gniady Chap 3 Fonctions exponentielles / 9
2 A. Gniady Chap 3 Fonctions exponentielles 2 / 9
3 Vérifier les acquis p 38 Activités : Bordas p 64 du discret au continu 2 p 39 : sens de variation de q^x et tracer e^x TES.3 Chap3 Fonctions exponentielles Exercices TES.30 TES.3 TES.32 TES.33 TES.34 Reconnaître une courbe représentative d'une fonction x->q^x. Résoudre des équations et des inéquations contenant des exponentielles. Utiliser la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle et des fonctions q^x. Connaître la dérivée, les variations et la représentation graphique de la fonction exponentielle. Étudier une fonction contenant e^x. 43, 44, 45 p 48 Feuille, 24, 25, 26, 30, 3, 32, 34, 36, 37 50, 5 p 49 Feuille 4, 5, 6, 47 à 50, 52, 53 36, 37 p 48, 48, 49 p 49 Feuille 28, 2, 3, 39, 40, 42, 43, 44, 45, p 78 Feuille 8, 55, 52, 53 p 49, 56, 57, 58 p 49, 8 p 55 (signe de 2nd dg) 9 p 57 (signe ax+b) Feuille 56 à 64, 65 à 78 Exercices bilan : 84 p 56 (loi binom) 85 p 56 (chiffre d'aff., evol exponentielle, tableur) 80 p 55 (prob économique : seuil de rentabilité et maxi) 54 p 49 (position relative) Feuille 45 Algo : 86 p 56 (CA, boucle pour) TP : 78 p 55 une histoire d'annuités (calc, tableur) A. Gniady Chap 3 Fonctions exponentielles 3 / 9
4 I. Les fonctions exponentielles de base q ) Introduction On considère la suite définie pour tout entier naturel n par u n =,5 n. Cette suite est géométrique de raison,5. A l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, on peut représenter le nuage de points de cette suite. En utilisant les propriétés de collège sur les puissances, on peut aussi calculer les valeurs de,5 n pour des valeurs de n négatives (en effet, on sait que q n = q n ). On peut donc étendre ces valeurs à des exposants négatifs et compléter le nuage de points. On décide de relier tous les points du nuage par une ligne continue (c'est-à-dire d'un seul trait), parfaitement lisse et arrondie. On obtient ainsi la courbe d'une fonction définie et dérivable sur R. A. Gniady Chap 3 Fonctions exponentielles 4 / 9
5 Ceci permet de définir une nouvelle fonction f : x,5 x, appelée fonction exponentielle de base,5. Attention : Dans cette fonction, la variable est située dans l'exposant. 2) Définition Définition : Soit q un réel strictement positif. La suite de terme général u n =q n (pour tout n N ) est une suite géométrique de raison q. On appelle fonction exponentielle de base q, la fonction dont la courbe représentative réalise un prolongement continu du nuage de points de la suite (u n ). La fonction exponentielle de base q est définie sur R par f ( x)=q x, avec q>0. 3) Propriété de la fonction exponentielle de base q a. Dérivabilité On admet que la fonction exponentielle de base q ( q> 0 ) est dérivable sur R. b. Signe On admet que la fonction exponentielle de base q ( q> 0 ) est strictement positive sur R. 4) Relation fonctionnelle et règles de calcul a. Relation fonctionnelle Théorème (admis) : Soit f une fonction exponentielle de base q> 0 : f (x)=q x La fonction f transforme les sommes en produits, c'est-à-dire que pour tous réels x et y, on a f (x+ y)= f ( x) f ( y) ou encore : pour tous réels x et y, q x+ y =q x q y b. Conséquences : règles de calculs Soit q un réel strictement positif. On a : q 0 = et q =q ; Pour tous réels x et y, q x = q x et q x y = qx q y ; A. Gniady Chap 3 Fonctions exponentielles 5 / 9
6 Pour tout réel x et tout entier relatif n, ( q x ) n =q n x =( q n ) x ; Pour tour réel x, q 2 =(q x ) Cas particulier : q Preuve : Hyperbole page 40 x 2 = q 2 = q x 5) Sens de variation Le sens de variation de la fonction x q x (avec q> 0 ) est le même que celui de la suite géométrique associée. Ainsi : - Si 0< q<, la fonction x q x est strictement décroissante sur R ; - Si q=, la fonction x q x est constante sur R (égale à ) ; - Si q>, la fonction x q x est strictement croissante sur R. Exercice : Écrire chacun des nombres suivants sous la forme q x. A=2,3 2 4, B=,5 3,5 2, C=,8 2,3,8,2 Exercice 2 : ) On considère la fonction f définie sur R par f (x)=0,5 x. On note C sa courbe représentative. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant vos réponses. a. La courbe C est située au dessus de l'axe des abscisses. b. Le point de coordonnées ( ;0) appartient à la courbe C. c. La fonction f est croissante sur R. 2) Reprendre la question avec la fonction g définie par g( x)=3,2 x. A. Gniady Chap 3 Fonctions exponentielles 6 / 9
7 II. La fonction exponentielle ) Définition Propriété-définition : On admet que, parmi toutes les fonctions exponentielles x q x, il en existe une seule qui admet pour nombre dérivé en 0. Cette fonction est la fonction exponentielle de base e avec e 2,78, plus simplement appelée LA fonction exponentielle et notée exp. Ainsi on a, pour tout réel x, exp : x e x Remarques : Par définition le nombre e est l'image de par cette fonction : exp() =e =e ; Le nombre e est un nombre irrationnel qui admet une écriture décimale illimitée et désordonnée (comme π ). 2) Conséquences immédiates La fonction exponentielle est strictement positive sur R, c'est-à-dire e x >0 pour tout x ; La fonction exponentielle transforme les sommes en produits, c'est-à-dire : pour tous réels x et y, e x +y =e x e y ; e 0 = et e =e 3) Propriétés a. Dérivabilité La fonction exponentielle est dérivable sur R et elle est égale à sa dérivée. Ainsi, pour tout x R, ( e x ) ' =e x. b. Sens de variation La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Preuve : 2 méthodes Signe de la dérivée : Comme pour tout x R, ( e x ) ' =e x, et que e x >0, alors (e x ) ' >0. D'où le résultat. La fonction exponentielle est la fonction exponentielle de base e 2,78>, donc d'après le paragraphe I, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. A. Gniady Chap 3 Fonctions exponentielles 7 / 9
8 4) Règles de calculs La fonction exponentielle hérite des même propriétés que les fonctions exponentielles de base q : Pour tous réels x et y, e x = et e x y = e x e x e y ; Pour tout réel x et tout entier relatif n, ( e x ) n =e n x =( e n ) x ; Pour tour réel x, e 2 =(e x ) Cas particulier : e x 2 = e 5) Équations et inéquations 2 = e x Propriété : La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R, on a pour tous réels a et b : e a =e b équivaut à a=b ; e a < e b équivaut à a< b. Remarques : Ces propriétés permettent de résoudre des équations et inéquations avec exponentielle. Comme pour tout x R, e x >0, alors les équations e x =0 et e x =k (avec k< 0 ) n'admettent pas de solution. Exercice 3 : ) Simplifier les expressions suivantes, valables pour tout réel x : A=e x e x B=( e 2 x ) 2 ( e x ) 2 C = e3 x e 4 x 2) Démontrer que pour tout réel x on a : e 2 x +e = e x x e x + Exercice 4 : f est la fonction définie sur R par f (x) = xe x. ) A l'aide de la calculatrice, conjecturer le signe et le sens de variation de la fonction f. 2) Démontrer ces conjectures. A. Gniady Chap 3 Fonctions exponentielles 8 / 9
9 Exercice 5 : Soit la fonction f définie sur R { } par f ( x)= e x x. ) Calculer la dérivée de f et montrer que pour tout réel x, on a f ' (x) = e x ( x 2). ( x ) 2 2) Etudier le sens de variation de f sur R {} et dresser son tableau de variations. 3) Déterminer le minimum de f sur ] ;+ [. Exercice 6 : Résoudre les équations et inéquations suivantes : a. e 2 x = e 3 x b. e x2 +2 x +3 > c. e x e x = d. e x e A. Gniady Chap 3 Fonctions exponentielles 9 / 9
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