Chap. 2 : La prévision des ventes

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1 Chap. : La prévision des ventes La prévision des ventes (la réalisation du budget des ventes) est généralement mise en œuvre à l aide d un outil statistique : l ajustement (linéaire ou exponentiel). I- L ajustement linéaire et le coefficient de corrélation linéaire A) L ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés Exemple : Le directeur commercial de la SARL Piano Land souhaite estimer le nombre prévisionnel de pianos susceptibles d être vendus au cours de l exercice +. Le service commercial dispose de données relatives aux neuf dernières années : Rang de l année ombre de pianos vendus Représentation graphique : 000 Evolution du nombre de pianos vendus en fonction du rang de l année ombre de pianos vendus y i Rang de l'année x i Lorsque la variable «explicative» (x) est le temps, les valeurs observées de y (variable «expliquée») ordonnées dans le temps constituent une série chronologique. La méthode des moindres carrés permet de déterminer les paramètres a et b de l équation d une fonction d ajustement de type linéaire (y = ax + b). /

2 La droite d ajustement est déterminée de sorte que les valeurs de y, obtenues par la fonction (valeurs ajustées), soient les plus proches possible des valeurs réelles de y observées au cours d une période donnée. En pratique les paramètres a et b sont déterminés avec une calculette (ou un tableur). a =... b =... Equation de la droite d ajustement :... Prévision des ventes de pianos pour l exercice + : L équation de la droite d ajustement permet d effectuer des prévisions à partir des valeurs de la variable x (ce qui revient à «prolonger» la droite au-delà du rang 9) : Rang de l exercice + : x =... Prévision de vente pour + : y =... Remarque : Les limites des méthodes d ajustement (ou méthodes d extrapolation du passé) Les méthodes d ajustement reposent sur l hypothèse que les tendances (évolutions) du passé se reproduiront dans le futur La prévision des ventes par ces méthodes n est possible que pour un produit existant (pour les nouveaux produits : études de marchés ). B) Le coefficient de corrélation linéaire Corrélation : Relation réciproque entre deux variables (Attention : une corrélation n implique pas nécessairement un lien de dépendance entre les deux variables ) Le coefficient de corrélation (r) permet de mesurer le degré de corrélation linéaire entre les deux variables (i.e. la pertinence d un ajustement linéaire) : r est toujours compris entre - et +. Plus r est proche de ou de -, plus la corrélation linéaire entre les deux variables est forte (les valeurs observées de y sont proches des y ajustés i.e. des y obtenus avec l équation de la droite : Cf. graphique : le nuage de points est allongé en ligne droite). Si r = ou -, la corrélation linéaire est parfaite (tous les points du nuage sont sur la droite!). Plus r est proche de 0, plus la corrélation est faible! Si r est positif, les deux variables varient dans le même sens ; si r est négatif, elles varient en sens inverse. Exemple : Avec une calculette : r =... Cf. Cas oë /

3 II- L analyse des séries chronologiques avec un phénomène saisonnier (ou périodique) Exemple : Le directeur commercial de la SA Chrono souhaite obtenir une prévision du chiffre d affaires pour l exercice +. Le service commercial dispose des CA trimestriels (en milliers d euros) des quatre dernières années : s s er trimestre e trimestre e trimestre e trimestre Représentation graphique : 500 Evolution du CA trimestriel en fonction du temps Chiffre d'affaires (y i ) Rang du trimestre (x i ) /

4 A) La détermination de la tendance générale (trend) La tendance générale peut être déterminée à l aide d un ajustement linéaire sur les valeurs observées par la méthode des moindres carrés : a =... b =... Equation de la droite d ajustement :... Remarque : r =... B) Le calcul et l utilisation des coefficients saisonniers L équation de la tendance générale permet de prévoir la tendance générale des périodes futures mais les prévisions ainsi obtenues ne tiennent pas compte des variations saisonnières. Les coefficients saisonniers, calculés sur les périodes passées, permettent de «saisonnaliser» les prévisions tirées de la tendance générale. Les coefficients saisonniers sont calculés par la méthode des rapports à la tendance («rapports au trend») : Le coefficient saisonnier pour une période (un mois ou un trimestre, selon le nombre de périodes dans un cycle : ou ) est égal à la moyenne par période (mois ou trimestre) des rapports : Rapport au trend = valeur observée Valeur ajustée () Valeur ajustée : valeur de y obtenue par l équation de la tendance générale. Signification : Si valeur observée > valeur ajustée Rapport au trend > : La valeur observée est «audessus» de la tendance. Si valeur observée < valeur ajustée Rapport au trend < : La valeur observée est «endessous» de la tendance. B : () Valeur observée = Valeur ajustée rapport au trend (coefficient) Les coefficients saisonniers sont utilisés pour saisonnaliser les prévisions de ventes : Prévision (saisonnalisée) = prévision ajustée (tendance) x coefficient saisonnier Prévision ajustée (ou désaisonnalisée) : Prévision obtenue avec l équation de la droite d ajustement (prolongement de la tendance). /

5 Exemple : Tendance générale par ajustement linéaire sur les valeurs observées Calcul des rapports au trend : Rang du trimestre x i Chiffre d'affaires en K Valeur Valeur observée ajustée y i y' i =,8x i + 8,7 Rapports au trend y i /y' i Calcul des coefficients saisonniers (moyenne par trimestre des rapports au trend) : Moyenne Coefficient saisonnier Total Prévisions du chiffre d affaires pour l exercice + (en milliers d euros) : Eléments Rang du trimestre (x) Prévision ajustée (y) Coefficient saisonnier Prévision saisonnalisée 5 /

6 C) La détermination de la tendance générale à l aide des moyennes mobiles La tendance générale peut également être déterminée par un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés mais appliquée aux moyennes mobiles. La méthode des moyennes mobiles consiste à remplacer chaque valeur observée par la moyenne d un ensemble (d un groupe) de ces valeurs observées. Il existe plusieurs méthodes de calcul des moyennes mobiles et le nombre de valeurs retenues pour calculer les moyennes dépend de la périodicité du phénomène saisonnier ( si périodicité trimestrielle ; si mensuelle). Par exemple, pour une périodicité trimestrielle : Série chronologique (ventes trimestrielles) : y, y, y, y, y 5, y 6, y 7, y 8, Moyennes mobiles (simples) d ordre : m = (y + y + y + y ) / ; m 5 = (y + y + y + y 5 ) / ; m 6 = (Chaque valeur observée est remplacée par la moyenne des quatre valeurs qui la précèdent.) Moyennes mobiles centrées d ordre : m = ( y + y + y + y + y 5 ) / ; m = ( y + y + y + y 5 + y 6 ) / ; m 5 = Exemple : Moyennes mobiles simples d ordre Rang du trimestre x i Chiffre d'affaires en K Valeur Moyenne observée mobile y i m i 6 /

7 Représentation graphique : 500 Evolution du CA trimestriel en fonction du temps Chiffre d'affaires (y i ) Rang du trimestre (x i ) La méthode des moyennes mobiles est une méthode de lissage des séries chronologiques (les variations saisonnières sont neutralisées). Les moyennes mobiles sont déjà représentatives de la tendance générale de la série (elles sont parfois utilisées comme «valeurs ajustées» dans le calcul des coefficients saisonniers). L équation de la tendance générale peut alors être déterminée par un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés mais appliquée aux moyennes mobiles. a =... b =... Equation de la droite d ajustement :... Coefficient de corrélation linéaire : r =... Calcul des coefficients saisonniers et prévisions de CA pour + : Cf. tableaux page suivante Les calculs sont identiques au cas précédent, les valeurs ajustées étant en principe calculées avec l équation de la tendance obtenue à l aide des moyennes mobiles. B : On retrouve les mêmes coefficients saisonniers, les prévisions sont en revanche sensiblement inférieures. 7 /

8 Exemple : Tendance générale par ajustement linéaire sur les moyennes mobiles Calcul des rapports au trend : Rang du trimestre x i Chiffre d'affaires en K Valeur Valeur observée ajustée y i y' i =,8x i +,95 Rapports au trend y i /y' i Calcul des coefficients saisonniers (moyenne par trimestre des rapports au trend) : Moyenne Coefficient saisonnier Total Prévisions du chiffre d affaires pour l exercice + (en milliers d euros) : Eléments Rang du trimestre (x) Prévision ajustée (y) Coefficient saisonnier Prévision saisonnalisée 8 /

9 Remarque : Les coefficients saisonniers peuvent également être utilisés pour désaisonnaliser une série chronologique (Saisonnaliser : prendre en compte les variations saisonnières ; Désaisonnaliser : les éliminer!). Valeur désaisonnalisée = Valeur observée / coefficient saisonnier On obtient ainsi une série corrigée des variations saisonnières (une tendance plus régulière). Exemple (En supposant que les coefficients saisonniers sont donnés) : Rang du trimestre x i Coefficients saisonniers c t Chiffre d'affaires en K Valeur observée, 6 0,8 89 0,75 77,0 8 5, , , ,0 6 9, ,8 0,75 97,0 58, 0 0,8 5 0,75 7 6,0 6 y i Valeur désaisonnalisées y i /c t Chiffre d'affaires (y i ) Valeurs observées Valeurs désaisonnalisées Rang du trimestre (x i ) Cf. Cas Mikaze ; Cas Moun 9 /

10 III L ajustement exponentiel (ramené à un ajustement linéaire) L ajustement linéaire (y = ax + b) est justifié lorsque les valeurs observées (ou la tendance) varient avec un taux (à peu près) constant (égal à «a» : pente de la droite) : les ventes augmentent (ou diminuent) à un rythme régulier. Lorsque les ventes augmentent avec un taux de variation croissant, on procède alors à un ajustement exponentiel : le nuage de points est alors proche d une courbe d une fonction exponentielle de type y = b.a x. Ajustement linéaire y = ax + b Ajustement exponentiel y = ba x Variable y (ventes) a Variable y (ventes) Variable x (temps) Variable x (temps) L équation d une fonction exponentielle peut être transformée en une équation linéaire par un changement de variable et de paramètres : y = ba x lny = ln(ba x ) lny = lnb + lna x lny = lnb + xlna En posant : Y = lny A = lna B = lnb l'équation devient : Y = Ax + B La méthode des moindres carrés permet alors de déterminer les paramètres A et B On en déduit a et b : A = lna a = e A B = lnb b = e B B : y = ba x = b(e A ) x = be Ax (si e A = a) Exemple : Le directeur commercial de la SA EGB souhaite obtenir une prévision du chiffre d affaires trimestriel pour l exercice +. Le service commercial dispose des CA trimestriels (en milliers d euros) des deux dernières années : - Chiffre d affaires /

11 Représentation graphique : Evolution du CA en fonction du temps Chiffre d'affaires en K (y i ) Rang du trimestre (x i ) - Rang du trimestre x i Chiffre d'affaires en K Valeur observée Y i = lny i y i A =... B =... (Y =... ) r =... a = e A =... b = e B =... y =... Prévisions du chiffre d affaires pour l exercice + (en milliers d euros) : Eléments Rang du trimestre (x) Prévision (y) Cf. Cas Price /

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