Son, Musique et Mathématiques

Transcription

1 Nom et Classe : MPS 2015/2016 : TP3 Date : / / Son, Musique et Mathématiques - Ecriture en portées : Clés, Transpositions. Nouvelle notion mathématique : Translation. - Ecriture circulaire de la musique. Notion mathématique : Polygônes réguliers et Rotation. - Ecriture hélicoïdale. - Utilisation de géogébra. Notation musicale : En musique, on appelle notation le fait de transcrire sur un support, appelé partition de musique, les constituants d'une oeuvre musicale, afin de conserver celle-ci, de la diffuser, de l'interpréter de manière différée. Tout procédé de notation musicale met en relation un système et un code. Le code du système musical occidental s'est développé au Moyen Âge et est appelé solfège. Il décrit le système en lui associant un certain nombre de symboles plus ou moins contraignants. Les symboles les plus précis sont ceux concernant la durée et la hauteur des sons. Les autres composantes musicales, notamment les nuances, un son doux, un son moyen, un son fort..., ne se mesurent pas avec autant de précision que la hauteur ou la durée, elles ne se transcrivent sur la partition que par des symboles «ouverts», dont l'appréciation reste confiée à l'interprète. L'écriture de la musique représente une forme d abstraction par excellence. Évolution historique de la notation musicale : Au départ, les neumes sont constitués d'un ensemble de points ou d'accents, disposés au-dessus du texte à chanter, et destinés à jouer le rôle d'aide-mémoire, afin de permettre aux chanteurs de retrouver les inflexions de la mélodie apprise de manière orale. Notation musicale religieuse, Italie, XIe siècle : La notation évoluera progressivement à partir du XIIIe siècle, pour poser les neumes sur 4 lignes de portée. Notation musicale religieuse, Italie, XIVe siècle : Enfin se généralisera la notation solfégique au moyen des figures de note placées sur la portée, et de barres de mesure marquant le cadre rythmique de l'oeuvre. Notation musicale moderne

2 Observation d'une partition moderne : La pemière mesure est identique à la seconde. Un glissement de cette première sur 4 temps nous donne la seconde. La troisième mesure est identique à la quatrième. Un glissement de cette troisième sur 4 temps nous donne la quatrième. Ce glissement, ce déplacement correspond à une opération mathématiques, une opération sur les objets géométriques : la translation. Mathématiques et Translation : Une translation est une transformation, opération, fonction, qui à un objet géométrique fait correspondre un objet géométrique. Chaque translation, est caractérisée par le "glissement" qu'elle représente. Ce "glissement" est caractérisé par la direction à suivre (horizontalement pour notre partition précédente), le sens à suivre (vers la droite pour notre partition), la longueur du déplacement (exprimée en temps pour notre exemple). La donnée de ces trois caractéristiques, nous fourni un nouvel objet mathématiques : Le vecteur. Direction Sens Longueur Vecteur La translation de vecteur AB transforme le point A en B. On peut alors appliquer cette translation à tout objet mathématique.

3 Construction à la règle et au compas : Construire les images du quadrilatère EFGH, ainsi que du cercle de centre I, par la translation de vecteur AB : Construire le vecteur EE ' de même direction, même sens et même longueur que le vecteur AB Ces deux vecteurs ont donc : même direction, même sens et même longueur, ils sont donc égaux. AB = EE ' Combien de vecteurs sont égaux à AB?... L'ensemble des vecteurs égaux à AB, forment une classe de vecteurs ou encore classe d'équivalence, dont AB est un représentant. Quelles transformations connaissiez vous déjà?... Quelles propriétés semble avoir les translations?... Avec Géogébra : 1) Ouvrir une fenêtre géogébra, 2) Construire un vecteur AB, où A(1 ; 0) et B(-1 ; 2), 3) Construire un triangle CDE, où C(-2 ; 1), D(-2 ; 3) et E(2 ; 3), 4) Construire l'image de CDE par la translation de vecteur AB.

4 Ecriture circulaire de la musique : Vu en TP2 : la musique présente la propriété d'être périodique. La période est d'une gamme. Le nombres de notes de la gamme considérée est 12 : Do, Do# (ou Réb), Ré, Ré# (ou Mib), Mi, Fa, Fa# (ou Solb), Sol, Sol# (ou Lab), La, La# (ou Sib), Si. Compléter la représentation de la gamme cicontre : Le polygône obtenu a 12 côtés. Quel est son nom?... Mathématiques, Rotations et Polygônes Réguliers : Notons I, le centre de la représenation circulaire musicale ci-dessus. Si I est fixe, tourner la figure obtenue d'un angle de 30, ou de 60, ou de ne modifie pas sa forme, seules les notes sont déplacées. Le polygône obtenu après déplacement est de mêmes caractéristiques. Ce déplacement, fixant I, tournant de 30, est appelé rotation de centre I, d'angle 30. Nous préciserons le sens de rotation, sens des aiguilles d'une montre, ou sens inverse des aiguilles d'une montre. Le sens des aiguilles d'une montre est par convention le sens positif. Une rotation est une transformation, opération, fonction, qui à un objet géométrique fait correspondre un objet géométrique. Chaque rotation, est caractérisée par un centre, fixe, immobile, un angle dont on précise le sens. Constructions à la règle et au compas : Construire l'image du rectangle ABCD, par la rotation de centre E, d'angle -45.

5 Définition Polygône Régulier : Construction à la règle et au compas de polygônes réguliers : a) Construire un cercle de diamètre 8cm, puis un octogone inscrit dans ce cercle. b) Construire un décagone de côté 3cm. Construction avec géogébra de polygônes réguliers : a) Construire un cercle de diamètre 8 unités, puis un octogone inscrit dans ce cercle. b) Construire un décagone de côté 3 unités. Ecriture hélicoïdale de la musique : Il peut être nécessaire de pouvoir représenter plusieurs octaves. Le cycle précédent se montre alors insuffisant. Nous pouvons alors élargir ce type d'écriture musicale, avec une spirale des notes : Compte rendu de séance : 1) Compléter Mathématiques et Translation. 2) Construire à la règle et au compas puis avec Géogébra les translations demandées. 3) Compléter Mathématiques Rotations et Polygônes Réguliers. 4) Construire à la règle et au compas puis avec Géogébra les polygônes demandés. 5) Reporter les aides que vous avez sollicitées. 6) Vous pourrez compléter l'exposé par des recheches personnelles.