Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques A MP

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1 SESSION 2007 Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques A MP Partie I ) Puisque la matrice F n est pas nulle, H est l hyperplan de vecteur normal F 2) Soit X = (x i,j ) i,j n F X = i,j n f i,j x i,j = n x i,i + i= n i=2 n x i, + x i,n 3) Soit M M n (R) On note p H (M) le projeté orthogonal de M sur l hyperplan H D après le théorème de Pythagore, pour U H on a i= M U 2 = M p H (M) 2 + p H (M) U 2 Mais alors M U 2 M p H (M) 2 avec égalité si et seulement si U = p H (M) Ceci montre déjà que inf M U = U H min M U = M p H(M) Ensuite, on sait que U H M p H (M) = p Vect(F) (M) = (F M) F 2 F, et donc d(m, H) = F M F 2F = (F M) F M M n (R), d(m, H) = (F M) F 4) F = f 2 i,j = n + 2(n ) = 3n 2 i,j n F = 3n 2 5) a) On a déjà B = Les colonnes C 2, C 3,, C n de B sont nulles et donc rg(b) 2 Les colonnes C et C n sont linéairement indépendantes et donc rg(b) 2 Finalement rg(b) = 2 http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés

2 b) B 2 = = De nouveau les colonnes C 2, C 3,, C n de B2 sont nulles et les colonnes C et C n sont linéairement indépendantes et donc rg(b 2 ) = 2 rg(b 2 ) = rg(b) = 2 c) Notons (e, e 2,,e n ) la base canonique de R n Puisque les colonnes C 2,, C n de B sont nulles, on a Vect(e 2,, e n ) Ker(g) Mais d autre part, dim(ker(g)) = n rg(b) = n 2 et donc Ker(g) = Vect(e 2,, e n ) D autre part, (en identifiant un élément de R n et un vecteur colonne) Im(g) = Vect(C,,C n ) = Vect(C, C n ) = Vect(e 2 + e e n, e + e e n ) Donc Im(g) = Vect(u, u 2 ) où u = e 2 + e e n et u 2 = e + e e n Montrons alors que Ker(g) Im(g) = {0} Soit (λ, µ) R 2 λu + µu 2 Ker(g) λ(e 2 + e e n ) + µ(e + e e n ) Vect(e 2,,e n ) µe + (λ + µ)e (λ + µ)e n + λe n Vect(e 2,, e n ) λ = µ = 0 Ainsi Ker(g) Im(g) = {0} () Mais d autre part, d après le théorème du rang, dim(ker(g))+dim(im(g)) = dim(r n ) (2) De () et (2) on déduit R n = Kerg Img d) La famille B = (e 2,, e n, u, u 2 ), obtenue en réunissant une base de Ker(g) et une base de Im(g), est donc une base de R n Puisque Im(g) est stable par g, les images ( de u) et u 2 par g sont des combinaisons linéaires de u et u 2 Par suite la matrice de g dans la base B est du type 0 B où B est une matrice carrée de format 2 D autre part B est de rang 2 et donc 0 B est de rang 2 ou encore B est de rang 2 (en éliminant les lignes ou les colonnes de 0) B est ainsi une matrice de( format 2 ) et de rang 2 et donc une matrice de format 2 inversible Enfin, les matrices B et 0 B sont les matrices de g dans des bases différentes et donc ces matrices sont semblables e) Tr(B) = 0 et Tr(B 2 ) = 2 Maintenant B est semblable à 0 B et donc Tr(B) = Tr 0 B = Tr(B ) 2 D autre part, un calcul par blocs montre que 0 B = 0 B 2 et donc Tr(B 2 ) = Tr(B 2 ) Ainsi Tr(B ) = 0 et Tr(B 2 ) = 2 Maintenant, la matrice B a deux valeurs propres dans C notées λ et µ On sait que Tr(B) = λ + µ et Tr(B 2 ) = λ 2 + µ 2 Or { λ + µ = 0 { µ = λ { λ = λ 2 + µ 2 = 2 2λ 2 = 2 µ = ou { λ = µ = Les valeurs propres de B sont simples, égales à et http ://wwwmaths-francefr 2 c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés

3 f) Le polynôme caractéristique de B est celui de 0 B et donc Mais alors XIn 2 0 χ B = det 0 B = ( X) XI n 2 χ B = ( X) n 2 (X )(X + ) 2 χ F = χ In+B = det(i n + B XI n ) = det(b (X )I n ) = χ B (X ) = ( X + ) n 2 (X 2)(X) Les valeurs propres de F sont donc d ordre n 2 et 0 et 2 d ordre Puisque 0 et 2 sont des valeurs propres simples, les sous-espaces propres associés sont de dimension D autre part, D après la question a), la matrice F I n est de rang 2 et donc le sous-espace propre associé à la valeur propre est de dimension n 2 Les valeurs propres de F sont donc d ordre n 2 et 0 et 2 d ordre La dimension de chaque sous-espace propre est égale à l ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante 6) On a vu que Calculons (F P( t F)) (F P( t F)) = Tr ( t F(a 0 I n + d(p( t F), H) = (F P(t F)) F = (F P(t F)) 3n 2 ) ( k k ) a i ( t F) i ) = Tr a i ( t F) i+ ) = i= k a i Tr(( t F) i+ ) On sait alors que Tr(( t F) i+ ) = Tr(F i+ ) puis que Tr(F i+ ) est la somme des valeurs propres de Tr(F i+ ) Donc Par suite, Finalement, (F P( t F)) = Tr(F i+ ) = i+ + + i+ + 0 i+ + 2 i+ = (n 2) i+ + 2 i+ k a i ((n 2) i+ + 2 i+ ) = (n 2) d(p( t F), H) = k k a i i + 2 a i 2 i = (n 2)P() + 2P(2) (n 2)P() + 2P(2) 3n 2 On note la norme sur E Partie II ) a) Soit x 0 E Par définition d(x 0, H) = inf y H x 0 y Mais alors ε > 0, y ε H/ d(x 0, H) x 0 y ε < d(x 0, H) + ε En particulier n N, y n H/ d(x 0, H) x 0 y n < d(x 0, H) + n + Comme tend vers 0 n + quand n tend vers +, la suite (y n ) n N est une suite d éléments de H telle que lim x 0 y n = d(x 0, H) Il existe une suite (y n ) n N d éléments de H telle que lim x 0 y n = d(x 0, H) b) Il existe un rang n 0 tel que pour n n 0, y n x 0 d(x 0, H) + Soit n n 0 y n = y n x 0 + x 0 y n x 0 + x 0 d(x 0, H) + + x 0 Mais alors la suite (y n ) n n0 est bornée Puisque E est de dimension finie, d après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de cette suite et donc de la suite (y n ) n N une sous-suite convergente On note (y ϕ(n) ) n N cette sous-suite http ://wwwmaths-francefr 3 c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés

4 Puisque E est de dimension finie, la forme linéaire h est continue sur E et puisque H = Ker(h) = h ({0}), H est un fermé de E en tant qu image réciproque d un fermé de R par une application continue Puisque (y ϕ(n) ) n N est une suite convergente d éléments de H et que H est fermé, sa limite est dans H c) La suite ( x 0 y ϕ(n) ) n N est extraite de la suite ( x 0 y n ) n N et donc converge et a pour limite d(x 0, H) Renotons (z n ) n N la suite (y ϕ(n) ) n N La suite (z n ) n N est une suite d éléments de H, convergeant vers un certain y 0 de H et vérifiant lim x 0 z n = d(x 0, H) Mais alors, par continuité de la norme, d(x 0, H) = lim x 0 z n = x 0 lim z n = x 0 y 0 x 0 E, y 0 H/ d(x 0, H) = x 0 y 0 2) a) Puisque la forme linéaire h est continue sur E et que H = Ker(h) = h ({0}), H est un fermé de E en tant qu image réciproque d un fermé de R par une application continue b) Supposons h non continue On sait alors que h n est pas continue en 0 Par suite ε > 0/ α > 0, u α E/ ( u α < α et h(u α ) = h(u α ) h(0) ε) ( ) ε est dorénavant ainsi fixé D après ( ), pour chaque n N, il existe u n E tel que u n < n + et h(u n) ε En particulier, n N, h(u n ) 0 et pour chaque n on peut poser t n = h(u n ) u n Pour n N, on a h(t n ) = h(u n ) h(u n) = Mais d autre part, pour n N et en particulier lim t n = 0 t n = h(u n ) u n ε(n + ), Si h n est pas continue sur E, (t n ) n N E N / { lim t n = 0 h(t n ) =, pour tout entier n Pour chaque n, on a alors h(t n t 0 ) = h(t n ) h(t 0 ) = = 0 Par suite, pour chaque n le vecteur t n t 0 est dans H ou encore la suite (t n t 0 ) est une suite d éléments de H Cette suite est de plus convergente vers t 0 Mais le vecteur t 0 n est pas dans H car h( t 0 ) = 0 En résumé, la suite (t n t 0 ) est une suite convergente d éléments de H dont la limite n est pas dans H ce qui montre que H n est pas fermé Par contraposition, on a montré que si H est fermé alors h est continue sur E Si H est un fermé de E alors h est continue sur E c) Soit H un hyperplan de E Tout d abord H car H contient H et en particulier 0 H Soient alors (x, y) H 2 et (λ, µ) R 2 Il existe deux suites (x n ) n N et (y n ) n N d éléments de H, convergentes, de limites respectives x et y Mais alors la suite (λx n + µy n ) n N est une suite d éléments de H (puisque H est un sous-espace vectoriel de E), convergente, de limite λx + µy, ce qui montre que λx + µy H On a montré que si H est un hyperplan de E, H est un sous-espace vectoriel de E d) Soient H un hyperplan de E puis h une forme linéaire non nulle telle que H = Ker(h) Si h est continue sur E, alors H est fermé et donc H = H Si h n est pas continue, H est un sous-espace vectoriel de E contenant strictement l hyperplan H et donc H = E Partie III Dans cette partie désigne la norme hilbertienne associée au produit scalaire ( ) ) Soit x H Alors y H, (x y) = 0 Soit z E Puisque E = H, il existe une suite (y n ) n N H N telle que z = lim y n On sait alors que la forme linéaire y (x y) est continue sur E pour la norme et donc (x z) = (x lim y n) = lim (x y n) = 0 http ://wwwmaths-francefr 4 c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés

5 Ainsi un vecteur de H est orthogonal à tout vecteur de E et finalement H = {0} 2) Mais alors immédiatement H H = H 3) Soit x E Puisque H = E, ε > 0, y H/ x y < ε ce qui montre immédiatement que d(x, H) = 0 x E, d(x, H) = 0 4) Soit x E Si d(x, H) est atteinte, il existe un vecteur y H tel que x y = d(x, H) = 0 Mais alors, x = y H Donc si x 0 / H, d(x, H) n est pas atteinte Partie IV ) a) Soit x 0 E Pour tout vecteur t de E on a h(t) t En particulier, pour y H, et finalement, puisque > 0, x 0 y h(x 0) b) h(x 0) h(x 0 ) = h(x 0 ) h(y) = h(x 0 y) x 0 y, x 0 E, y H, x 0 y h(x 0) est donc un minorant de { x 0 y, y H} et puisque d(x 0, H) est le plus grand des minorants de cet ensemble, on a donc d(x 0, H) h(x 0) x 0 E, d(x 0, H) h(x 0) c) Soit x 0 E Si x 0 H, d(x 0, H) x 0 x 0 = 0 et donc d(x 0, H) = 0 Si x 0 / H, alors h(x 0 ) 0 et donc d(x 0, H) h(x 0) > 0 En particulier, d(x 0, H) 0 En résumé x 0 E, (d(x 0, H) = 0 x 0 H) d) Soit x 0 / H Par définition, h(x 0 ) 0 α) Puisque = sup x 0 h(x) x, pour tout entier n, il existe w n E\{0} tel que n + < h(w n) w n est alors une suite de vecteurs tous non nuls tels que h(w n ) lim w n = β) Soit n N Posons λ n = h(w n) h(x 0 ) puis y n = w n λ n x 0 Par définition, w n = λ n x 0 + y n D autre part, h(y n ) = λ n h(x 0 ) h(w n ) = h(w n) h(x 0 ) h(x 0) h(w n ) = 0, ce qui montre que y n H Notons que λ n peut être nul (si w n H) x 0 / H, (λ n, y n ) R H/ w n = λ n x 0 + y n (w n) n N http ://wwwmaths-francefr 5 c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés

6 γ) Le résultat est clair si w n H Sinon, λ n 0 et donc h(w n ) w n = λ n h(x 0 ) λ n x 0 + y n = h(x 0) x 0 + h(x 0) d(x y n 0, H), λ n car λ n y n H et donc x 0 + λ n y n d(x 0, H) > 0 Finalement n N, h(w n ) w n h(x 0) d(x 0, H) e) Quand n tend vers +, on obtient h(x 0) d(x 0, H) ou encore d(x 0, H) h(x 0) En récupérant le résultat de la question )b), on a montré que si x 0 / H, d(x 0, H) = h(x 0) Ce résultat est encore valable si x 0 H d après la question )c) et finalement x 0 E, d(x 0, H) = h(x 0) 2) a) Soit (u n ) n N E Puisque lim u u n n = 0, 2 n+ = o( 2 n ) Comme la série géométrique de terme général u n converge, on en déduit que la série de terme général est absolument convergente et en particulier convergente 2n+ b) La fonction h est donc effectivement une application de E dans R Montrons que h est linéaire Soient (u, v) E 2 et (λ, µ) R 2 h(λu + µv) = λu n + µv n 2 n+ = λ u + n 2 n+ + µ h est donc une forme linéaire sur E Montrons que h est continue sur E Soit u E Ainsi, u E \ {0}, h(u) h(u) u On en déduit que u n 2 n+ u 2 n+ = u h est une forme linéaire continue sur E et v n = λh(u) + µh(v) 2n+ 2 n c) Soit p N h(v p ) = p 2 n+ = 2 p+ 2 2 Comme d autre part, v p =, on a donc h(v p) = Par suite v p 2p+ h(v p ) lim = p + v p = 2 p+ On sait déjà que Mais d autre part, par définition de, pour tout entier p on a h(v p) v p et quand p tend vers + on obtient Finalement = http ://wwwmaths-francefr 6 c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés

7 d) Soit u E On a h(u) u n 2 n+ u 2 n+ = u Supposons de plus que = h(u) u ou ce qui revient au même telle que h(u) = u Alors chacune des deux inégalités ci-dessus doit être une égalité ce qui impose à la suite u d être de signe constant puis à chaque u n d être égal à u En résumé, la suite u est nécessairement constante Comme u doit avoir une limite nulle en +, u est nécessairement la suite nulle Finalement, il existe pas d élément u non nul de E tel que = h(u) u e) H est le noyau d une forme linéaire non nulle et continue sur E et donc un hyperplan fermé de E d après la question II2)a) f) Soit u / H Si la distance de u à H est atteinte, alors il existe v H (et donc u v 0) telle que u v = d(u, H) = h(u) u v est alors un vecteur non nul tel que = = h(u) h(v) = h(u v) h(u v) u v ce qui contredit le résultat de la question d) et donc si u / H, d(u, H) n est pas atteinte http ://wwwmaths-francefr 7 c Jean-Louis Rouget, 2007 Tous droits réservés