ajustement affine 1 ajustement par les points extrême activité corrigé activité à retenir... 4

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1 ajustement affine Table des matières ajustement par les points extrême 2. activité corrigé activité à retenir ajustement par les points moyens 5 2. activité corrigé activité à retenir ajustement par les moindres carrés 9 3. activité corrigé activité à retenir exercices ajustement avec changement de variable 9 4. activités activité corrigé activité activité corrigé activité exercices exercice corrigé exercice exercice corrigé exercice exercice corrigé exercice

2 ajustement par les points extrême. activité a i = année ? = année ?? = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8? 2. Construire le graphique associé à la série ( ; ) Déterminer l équation de la droite des points extrêmes (M M 6 ) où M et M 6 sont les premiers et derniers points associés du tableau ci dessus. Les coefficients seront donnés à 0,0 près 3. Donner une estimation graphique puis par calcul de la part du logement dans le budget en 200. les résultats obtenus sont-ils en accord? 4. Estimer graphiquement puis par calcul, l année à partir de laquelle la part du logement dans le budget passera sous 2%. les résultats obtenus sont-ils en accord? 5. A partir de quelle année le modèle d ajustement affine n est-il manifestement plus valable? à retenir : détermination de l équation de la droite (AB) avec x A x B A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) l équation de la droite (AB) est de la forme y = ax+b avec : a = y B y A et b = y x B x A A ax A

3 .2 corrigé activité a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. graphique associé à la série ( ; ). 6 yi 5 4 M 3 M équation de la droite des points extrême (M M 6 ) y = ax+b a = y M 6 y M = 2,8 4,4 0,06 à 0,0 près x M6 x M 34 8 y M6 = ax M6 +b = 2,8 = 0,06 34+b = b = 2,8+0,06 34 = 4,84 y = 0,06x+4,84 3. la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée graphiquement à 2,4% (voir tracés) la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée par calcul à 2,44% à 0,0 près calculs : x = = 40 y = 0, ,84 = 2,44 les résultats graphiques et algébriques sont en accord. 4. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 207 par calcul, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 207 calculs : 0,06 x+4,84 2 x 2 4,84 0,06 x 47,33 les résultats graphiques et algébriques sont en accord. 5. un pourcentage est positif ou nul le modèle d ajustement affine n est plus valable dès que : 0,06 x+4,84 0 c est à dire pour : x 4,84 80,66 soit : = 205 0,06

4 .3 à retenir détermination de l équation de la droite (AB) avec x A x B A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) l équation de la droite (AB) est de la forme y = ax+b avec : a = y B y A et b = y x B x A A ax A

5 2 ajustement par les points moyens 2. activité énoncé : a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. compléter la légende du graphique associé à la série ( ; ) Calcul des coordonnées des points moyens à 0,0 près. a. calculer les coordonnées du point moyen G( x ; y) de l ensemble des 6 points et placer G b. coordonnées du point moyen G ( x ; y ) de l ensemble des 3 premiers points puis placer G. c. coordonnées du point moyen G 2 ( x 2 ; y 2 ) de l ensemble des 3 derniers points puis placer G Déterminer une équation de la droite des points points moyens (G G 2 ) à 0, près. 4. Grâce à cette droite, estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget 200. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement? 5. Estimer de même graphiquement et algébriquement l année pour laquelle la part du logement dans le budget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement? 6. A partir de quelle année le modèle d ajustement affine n est-il manifestement plus valable? à retenir le point moyen G d un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des points de cet ensemble. L ensemble des p points M (x ;y ),M 2 (x 2 ;y 2 ),...,M p (x p ;y p ) a pour point moyen G( x ; y) avec : x = x +x x p et y = y +y y p p p

6 2.2 corrigé activité a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. graphique associé à la série ( ; ). 6 yi 5 4 M G 3 2 G G 2 M coordonnées de points moyens a. coordonnées du point moyen G( x ; y) de l ensemble des 6 points x = = 22 y = 4,4+5,2+4,3+3,2+3,3+2,8 6 donc G(22;3,87) = 23,2 6 3,87 à 0,0 près b. coordonnées du point moyen G ( x ; y ) de l ensemble des 3 premiers points x = = ,67 y = 4,4+5,2+4,3 = 3,9 4,63 à 0,0 près 3 3 donc G (4,67 ; 4,63) c. coordonnées du point moyen G 2 ( x 2 ; y 2 ) de l ensemble des 3 derniers points de même on trouve G 2 (29,33 ; 3,) 3. équation de la droite des points points moyens (G G 2 ) y = ax+b a = y G 2 y G x G2 x G 3, 4,63 29,33 4,67 0, à 0,0 près y G2 = ax G2 +b = 4,63 = 0, 4,67+b = b = 4,63+0, 4,67 = 6, y = 0,x+6,

7 4. la part du logement dans le budget 200 est estimée graphiquement à 2,% la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée par calcul à 2,% car : x = = 40 y = 0, 40+6, = 2, il y a bien cohérence pour les résultats trouvés. 5. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 20 par calcul, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 20 calculs : 0, x+6, 2 x 2 6, 0, x 4 les résultats graphiques et algébriques sont en accord.

8 2.3 à retenir le point moyen G d un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des points de cet ensemble. L ensemble des p points M (x ;y ),M 2 (x 2 ;y 2 ),...,M p (x p ;y p ) a pour point moyen G( x ; y) avec : x = x +x x p et y = y +y y p p p

9 3 ajustement par les moindres carrés 3. activité a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. compléter la légende du graphique associé à la série ( ; ) Déterminer l équation de la droite de régression (des moindres carrés) (AB) grâce à la calculatrice à 0,0 près. 3. Construire la droite (AB) dans le repère précédent en précisant les points A et B utilisés. 4. Estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget 200. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement? 5. Estimer de même, graphiquement et algébriquement l année pour laquelle la part du logement dans le budget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement? 6. Estimer l année de fin de validité du modèle à retenir pour l ensemble des n points M (x ;y ),M 2 (x 2 ;y 2 ),...,M n (x n ;y n ) il existe une unique droite d ajustement affine qui minimise la somme des carrés des résidus S = M P 2 +M 2P M npn 2 où P i est le projeté de M i sur la droite d ajustement parallèlement à l axe (Oy) cette droite est appelée la droite de régression linéaire de y en x ou droite des moindres carrés l équation de cette droite est donnée par les calculatrices scientifiques ou encore par : y = ax+b i=n x y n i= avec a = et b = y ax i=n x 2 i n x2 i=

10 3.2 corrigé activité a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8. graphique associé à la série ( ; ). 6 A B équation de la droite des moindres carrés (AB) y = ax+b la calculatrice donne : a 0,08 et b 5,58 à 0,0 près y = 0,08x+5,58 3. construction de la droite (AB) y = 0,08x+5,58 par exemple A(0; 0,08 0+5,58 = 5,58) et B(40; 0, ,58 = 2,38) soit : point A B x 0 40 y 5,58 2,38 4. la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée graphiquement à 2,3% la part du logement dans le budget 200 est ainsi estimée par calcul à 2,38% : calculs : x = = 40 y = 0, ,58 = 2,38 5. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 204 par calcul, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de = 204 calculs : 0,08 x+5,58 2 x 2 5,58 0,08 x 44,75 les résultats graphiques et algébriques sont en accord.

11 remarque : pour un même tableau de données a i = année = année = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8 selon la droite utilisée : droite des points extrême droite de points moyens droite des moindres carrés on obtient des prévisions différentes droite points extrême points moyens moindres carrés part du logement dans le budget 200 2,44% 2,% 2,38% année pour passer sous les 2% quelle est la prévision la plus acceptable? selon quel critère?

12 activité 2 ( moindres carrés et résidus ) Enoncé Soient trois points : M (0;0), M 2 (0,5;0,8), M 3 (;). M i M M 2 M 3 0 0,5 0 0,8 cherchons la droite qui passe au plus près des points au sens des moindres carrés parmi : _ droite des points extrême _ droite des points moyens _ droite de régression donnée par la calculatrice.. Construire les 3 points dans trois repères différents. Déterminer pour le premier repère, l équation de la droite (M M 3 ) et construire cette droite. Déterminer pour le second repère, l équation de la droite (G G 2 ) et construire cette droite. ( G est le point moyen de M et M 2, G 2 est le point moyen de M 2 et M 3 ) Déterminer pour le troisième repère, l équation de la droite de régression (D) donnée par la calculatrice et construire (D) points extrême points moyens régression droite (M M 3 ) droite (G G 2 ) droite (D) avec avec avec M (0;0), M 3 (;) G (0,25;0,4), G 2 (0,75;0,9) M (0;0), M 2 (0,5;0,8), M 3 (;) le calcul de a et b donne le calcul de a et b donne la calculatrice donne 2. Représenter graphiquent les résidus sachant que : les longueurs M P, M 2 P 2, et M 3 P 3 sont appelées les RESIDUS de l ajustement où, P, P 2, P 3 sont les projetés respectifs de M, M 2, M 3 sur la droite d ajustement parallèlement à (Oy). On cherche, parmi les trois droites ci dessus, celle qui minimise la somme des carrés des résidus S = M P 2 +M 2P 2 2 +M 3P Calculer S pour les trois droites et déterminer la droite des moindres carrés à partir du tableau suivant. droites carrés des résidus M (0,0) M 2 (0,5;0,8) M 3 (;) (M M 3 ) [ ] (G G 2 ) [ ( +0,5)] 2 0,0225 0,675 (D) [ ( +0,)] 2

13 activité 2 ( moindres carrés et résidus ) Corrigé Soient trois points : M (0;0), M 2 (0,5;0,8), M 3 (;). M i M M 2 M 3 0 0,5 0 0,8 cherchons la droite qui passe au plus près des points au sens des moindres carrés parmi : _ droite des points extrême _ droite des points moyens _ droite de régression donnée par la calculatrice.. détermination des équations des trois droites et représentation graphique des points et des droites. y 2 points extrême points moyens régression droite (M M 3 ) droite (G G 2 ) droite (D) avec avec avec M (0;0), M 3 (;) G (0,25;0,4), G 2 (0,75;0,9) M (0;0), M 2 (0,5;0,8), M 3 (;) le calcul de a et b donne le calcul de a et b donne la calculatrice donne y = x+0 y = x+0,5 y = x+0, M 2 (x 2 ;y 2 ) P 3 M 3 M 2 M 3 P 3 M 2 M 3 P 3 ax 2 +b P 2 (x 2 ;ax 2 +b) P 2 P 2 P P M P x 2 M 2 P 2 = y 2 (ax 2 +b) M M 2. représentation graphique des résidus : les longueurs M P, M 2 P 2, et M 3 P 3 sont appelées les RESIDUS de l ajustement où, P, P 2, P 3 sont les projetés respectifs de M, M 2, M 3 sur la droite d ajustement parallèlement à (Oy). on cherche, parmi les trois droites ci dessus, celle qui minimise la somme des carrés des résidus S = M P 2 +M 2P 2 2 +M 3P calcul de S pour les trois droites et détermination de la droite des moindres carrés. droites carrés des résidus M (0,0) M 2 (0,5;0,8) M 3 (;) (M M 3 ) [ ] 2 0 0,09 0 0,09 (G G 2 ) [ ( +0,5)] 2 0,0225 0,0225 0,225 0,675 (D) [ ( +0,)] 2 0,0 0,04 0,0 0,06 on constate que la droite de régression (D) donnée par la calculatrice est celle qui dans ce cas minimise la somme des carrés des résidus ( 0,06 < 0,09 < 0,675 ) c est cette droite (D) qui réalise le meilleur ajustement de y en x au sens des moindres carrés.

14 3.3 à retenir pour l ensemble des n points M (x ;y ),M 2 (x 2 ;y 2 ),...,M n (x n ;y n ) il existe une unique droite d ajustement affine qui minimise la somme des carrés des résidus S = M P 2 +M 2P M npn 2 où P i est le projeté de M i sur la droite d ajustement parallèlement à l axe (Oy) cette droite est appelée la droite de régression linéaire de y en x ou droite des moindres carrés l équation de cette droite est donnée par les calculatrices scientifiques ou encore par : y = ax+b i=n x y n i= avec a = et b = y ax i=n x 2 i n x2 i=

15 3.4 exercices exercice ( utilisation de la calculatrice pour la droite de régression ) Enoncé : (38p55) a i = année = année = taux d activité des femmes de 30 à 54 ans (%) 55,7 62, 67,7 7, ,9. Construire le graphique associé à la série ( ; ) dans un repère d origine O (0;55) avec cm pour 2 en abscisses et cm pour 2% en ordonnées puis justifier si on peut envisager un ajustement affine. 2. Calculer les coordonnées du point moyen G de l ensemble des points et représenter G sur le graphique. 3. Déterminer à la calculatrice l équation de la droite des moindres carrés (AB) puis construire cette droite sur le graphique en précisant les points utilisés. 4. Estimer le taux d activité des femmes de ans en 200 puis en Justifier si l ajustement affine reste approprié pour toutes les années ultérieures à 2020?

16 Corrigé : (38p55) a i = année = année = taux d activité des femmes de 30 à 54 ans (%) 55,7 62, 67,7 7, ,9. graphique associé à la série ( ; ) B G A on peut envisager un ajustement affine car les points sont relativement alignés 2. coordonnées du point moyen G et représentation graphique : la calculatrice donne G(2, 5; 68, 85) ( voir graphique pour la représentation ) 3. équation de la droite des moindres carrés (AB) ( voir graphique pour la représentation ) la calculatrice donne : a 0,94 et b 57,086 à 0,00 près donc y = 0,94x +57,086 construction de la droite (AB) : par exemple A(0;0, ,086 = 57,086) et B(20;0, ,086 75,906) 4. le taux d activité des femmes de ans est ainsi estimée à 90% en 200 car : x = = 35 y = 0, , le taux d activité des femmes de ans est ainsi estimée à 99,4% en 2020 car : x = = 45 y = 0, ,086 99,4 l ajustement affine n est plus approprié passé une certaine date car le taux dépasseraît 00%, ce qui est absurde

17 exercice 2 ( 29p52 ) ( utilisation de la calculatrice pour la droite de régression ) Enoncé = année = nombre d écoles en milliers 74,5 67,6 6,8 57,.a. Construire le graphique associé à la série ( ; ) avec pour origine O (970;50), 2cm pour 5 ans en abscisses et 2cm pour 5 milliers en ordonnées..b. Peut-on envisager un ajustement affine? justifier. 2. Déterminer l équation de la droite des moindres carrés (AB) puis construire cette droite dans le repère. Peut-on placer b dans ce repère? justifier. 3. Estimer le nombre d écoles en 2005 puis en En quelle année le nombre d écoles passe t-il en dessous de 45 milliers?

18 Corrigé = année = nombre d écoles en milliers 74,5 67,6 6,8 57,.a. graphique associé à la série ( ; ) A B b on peut envisager un ajustement affine car les points sont relativement alignés 2. équation de la droite des moindres carrés (AB) ( voir graphique pour la représentation ) la calculatrice donne : a à 0,00 près et b 066,9 à 0, près donc y = 0.504x+066,9 construction de la droite (AB) : par exemple A(970; ,9 = 74,02) et B(2000; ,9 = 58,9) On ne peut pas placer b car le point de coordonnées (0; 066,9) est en dehors de ce graphique 3. le nombre d écoles en 2005 est estimé à 56,38 milliers car : x = 2005 y = ,9 = 56,38 le nombre d écoles en 2020 est estimé à 48,82 milliers car : y = ,9 = 48,82 4. le nombre d écoles passe en dessous de 45 milliers pendant l année 2027 car : 45 = 0.504x+066,9 x = ,9 0,

19 4 ajustement avec changement de variable 4. activités 4.. activité = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m Graphique associé à la série ( ; d i ). d i Pourquoi la forme du nuage de point ne permet-elle pas d envisager un ajustement affine? les points ne sont pas relativement alignés selon une droite. 3. On procède à un changement de variable, soit : = d i a. Compléter le tableau de valeurs ci dessous à 0, près = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m = d i b. Déterminer l équation de la droite de régression de y en fonction de x à 0,0 près c. Estimer par calcul la distance de freinage pour une vitesse de 50 km/h et vérifier la cohérence sur le graphique. d. Estimer par calcul la vitesse qui correspond à une distance de 50 mètres vérifier la cohérence sur le graphique. e. Déduire de b. l expression de d en fonction de x ( d(x) =...) compléter le tableau suivant à m près = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m d( ) La formule trouvée pour d(x) est-elle une relativement bonne approximation à de la distance réelle de freinage?

20 4..2 corrigé activité = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m Graphique associé à la série ( ; d i ). d i B A Pourquoi la forme du nuage de point ne permet-elle pas d envisager un ajustement affine? Parce que les points ne sont pas relativement alignés selon une droite. 3. On procède à un changement de variable, soit : = d i a. Compléter le tableau de valeurs ci dessous à 0, près = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m = d i 0 4,2 7,6 4,6 6,9 b. Equation de la droite de régression de y en fonction de x à 0,0 près la calculatrice donne y = 0,2x+0,3 c. la distance de freinage pour une vitesse de 50 km/h est de 39,8 m à m près car x = 50 y = 0, ,3 6,3 d = 6,3 d = 6,3 2 39,8 m le point A(50;39,8) obtenu sur le graphique est cohérent avec l allure du nuage d. la vitesse qui correspond à une distance de 50 mètres est de 99 km/h à km/h près car d =50 y = d = = 0,2x+0,3 50 0,3 x = 99 à près 0,2 le point B(99;50) obtenu sur le graphique est cohérent avec l allure du nuage e. On déduit de b. que d(x) = (0,2x+0,3) 2 car d = 0,2x+0,3 donc d(x) = (0,2x+0,3) 2 d ou le tableau suivant à m près = vitesse en km/h d i = distance de freinage en m d( ) = (0,2 +0,3) On constate que la formule trouvée pour d(x) est une relativement bonne approximation à de la distance réelle de freinage

21 4..3 activité 2 = prix au kg en euros 0, ,7 5 6,5 8,8 20 = quantité demandée en centaines de tonnes 4,7 4, 4 3,7 3,5 3,2 2,9 2,6 2,4.a. Construire le graphique associé à la série ( ; ) avec cm pour euro en abscisses et 2cm pour 00 tonnes en ordonnées. Un ajustement affine est-il justifié?.b. Donner l équation de la droite de régression de y en x à 0,0 près grâce à la calculatrice Construction cette droite (AB) sur le graphique en présisant les points utilisés. Calculer la quantité demandée pour un prix de 24,5 euros. 2. On procède à un changement de variable, soit : z = 00 y a. Construire un tableau de tableau pour z à 0, près. b. Déterminer la droite de régression de z en fonction de x à l unité près c. En déduire la formule de la fonction f qui au prix x associe la quantité demandée y = f(x). Montrer que f(24,5) = 2 3. Pour un prix de 24,5 euros, on sait que la demande est de 20 tonnes. Quel ajustement est le plus judicieux? le premier ou le second? justifier.

22 4..4 corrigé activité 2 = prix au kg en euros 0, ,7 5 6,5 8,8 20 = quantité demandée en centaines de tonnes 4,7 4, 4 3,7 3,5 3,2 2,9 2,6 2,4.a. Graphique associé à la série ( ; ). 4 A 3 2 B Les points sont relativement alignés selon une droite, donc un ajustement affine est justifié..b. La calculatrice donne l équation de la droite de régression de y en x suivante : y = 0,22x+6,63 Construction de la droite = (AB) : par exemple A(; 0,22 +6,63 = 4,2) et B(20; 0, ,63 = 2,23) La quantité demandée pour un prix de 24,5 euros est alors estimée à 24 centaines car : ,5+6,63,24 2. On procède à un changement de variable, soit : z = 00 y a. Nous obtenons le tableau de valeurs ci dessous à 0, près 0, ,7 5 6,5 8,8 20 4,7 4, 4 3,7 3,5 3,2 2,9 2,6 2,4 z i = 00 2,3 24, ,6 3,3 34,5 38,5 4,7 b. Pour la droite de régression de z en fonction de x à l unité près la calculatrice donne : z = 2x+ c. La fonction f qui au prix x associe la quantité demandée y est donc f(x) = 00 2x+ car : z = 2x+ et z = x+ = y = f(x) = y y 2x+ 2x+ 00 On a alors f(24,5) = 2 24,5+ = 2 3. Pour un prix de 24,5 euros, l ajustement le plus judicieux est le second car : Le second donne une estimation de 200 centaines contre 27 centaines pour le premier ( 20 est plus proche de 200 que de 27 )

23 5 exercices 5. exercice Exercice : ( ajustement par les moindres carrés et validité ) Le tableau ci-dessous donne le taux d équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) d une certaine région française de 980 à 2000 tous les quatre ans. Dans ce tableau, représente l expression : a i Année a i Rang de l année Taux en % Par exemple, 2% des couples avec enfant(s) de cette région possède un magnétoscope en 980. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (units graphiques : 2 cm par rang d année sur l axe des abscisses et cm pour 0% sur l axe des ordonnées).. Représenter le nuage de points correspondant la série statistique ( ; ). 2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique 3. Dans la question a., aucun détail des calculs n est demandé, les résultats pourront être obtenus à l aide de la calculatrice; ils seront arrondis à 0 2. (a) Donner une équation de la droite d ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. (b) Représenter cette droite sur le graphique précédent en donnant les coordonnées de deux points (c) On suppose que le modèle obtenu à la question 3.a. resta valable pour les années suivantes. i. déterminer, par le calcul, le taux d équipement en 20 à % près ii. déterminer, par le calcul, en quelle année le taux d équipement dépassera 95% iii. à partir de quelle année cet ajustement n est-il plus valable? justifier pourquoi

24 5.2 corrigé exercice Corrigé exercice : ( ajustement par les moindres carrés et validité ) Le tableau ci-dessous donne le taux d équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) d une certaine région française de 980 à 2000 tous les quatre ans. Dans ce tableau, représente l expression : a i Année a i Rang de l année Taux en % Par exemple, 2% des couples avec enfant(s) de cette région possède un magnétoscope en 980. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (units graphiques : 2 cm par rang d année sur l axe des abscisses et cm pour 0% sur l axe des ordonnées).. graphique 40 B G 0 0 A G( x ; y) le point moyen de l ensemble des 6 points x = = 2,5 y = donc G(2,5;2) = 26 6 = 2 3. Dans la question a., aucun détail des calculs n est demandé, les résultats pourront être obtenus à l aide de la calculatrice; ils seront arrondis à 0 2. (a) la calculatrice donne y = 9,37x 2,43 à 0 point A B (b) x 0 5 y -2,43 44,42 (c) On suppose que le modèle obtenu à la question 3.a. resta valable pour les années suivantes. i. en 20 à % près : x = = 7,75 donc y = 9,37 7,75 2, % en 20 ii. dépassement de 95% : 9,37x 2,43 95 x 95+2,43 x 0,39 9,37 donc 0, = 202,56 soit pendant l année 202 iii. l ajustement n est plus valable dès que le pourcentage dépasse 00 % : 9,37x 2,43 > 00 x > 00+2,43 x > 0,93 donc 0, = 2023,72 9,37 soit pendant l année 2023

25 5.3 exercice 2 Exercice 2 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal en euros Pourcentage d acheteurs potentiels On voit dans ce tableau, par exemple, que 58% des clients de ce négociant sont prêts à payer jusqu à 0 euros une bouteille de vin.. représenter le nuage de points correspondant à la série statistique ( ; ) dans un repère orthogonal du plan ( unités : 2cm pour 5 euros en abscisses et cm pour 0 % en ordonnées) 2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique 3. Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de y en fonction de x sous la forme y = ax+b où a et b sont arrondis à 0 2 près. 4. Représenter cette droite sur le graphique précédent en donnant les coordonnées de deux points 5. Chez ce négociant, le prix moyen d une bouteille est de 3e.En utilisant l ajustement précédent, calculer le pourcentage des clients prêts à acheter une bouteille à ce prix. On arrondira le résultat à l entier le plus proche 6. On considère que la recette relative des ventes égale au produit du prix maximal par le pourcentage d acheteurs. a. montrer que cette recette est donnée en fonction de x par R(x) = 3,22x 2 +90,07x b. déterminer par une étude de variations, le prix qui rend maximale cette recette relative à e près

26 5.4 corrigé exercice 2 Exercice 2 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal en euros Pourcentage d acheteurs potentiels On voit dans ce tableau, par exemple, que 58% des clients de ce négociant sont prêts à payer jusqu à 0 euros une bouteille de vin.. graphique 90 A G G( x ; y) le point moyen de l ensemble des 6 points B x = y = donc G(7,5;33,6 = 7,5 = ,7 3. la calculatrice donne y = 3,22x+90,07 à 0 point A B 4. x 0 30 y 90,07-6,53 5. pour x = 3 à % près : y = 3, ,07 48% 6. On considère que la recette relative des ventes égale au produit du prix maximal par le pourcentage d acheteurs. a. R(x) = x ( 3,22x+90,07) = 3,22x 2 +90,07x b. déterminer par une étude de variations, le prix qui rend maximale cette recette relative à e près R (x) = 6,44x+90,07 Annulation de R (x) : 6,44x+90,07 x = 90,07 6,44 4 variations de R et signe de R (x) : on utilise la règle du signe du binôme ax+b (signe de "a" à droite et de a à gauche) x R (x) (a = 6,44) 630 R(x) ր ց i. la recette maximale est 630e et il faut fixer le prix à 4e pour maximiser la recette

27 5.5 exercice 3 Exercice 3 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un artiste a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter un certain modèle d une de ses créations. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal en euros Nombre d acheteurs potentiels On voit dans ce tableau, par exemple, que 40 des clients sont prêts à payer jusqu a 0 euros la création en question.. On considère que le nuage de points représenté dans un repère suggère de faire le changement de variable suivant : z = y a. Compléter le tableau de valeurs suivant à 0, près z i 25 b. Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de z en fonction de x sous la forme z = ax+b où a et b sont arrondis à l unité près. c. Déduire du b. le nombre de clients prêts à acheter la création jusqu a 28 euros. d. Déduire des questions précédentes que y est donné en fonction de x par y = (30 x) 2 et vérifier que pour un prix de 5 euros, le nombre d acheteurs potentiels est cohérent avec l effectif du tableau ci dessus. 2. On considère dans cette question que le nombre d acheteurs potentiels correspondant à un prix de x euros est donné par n(x) = (30 x) 2 a. Montrer que la recette des ventes est donnée en fonction de x par f(x) = x 3 60x x (Rappel : recette = nombre de ventes prix de vente) b. Etudier les variations de f pour x [ 0 ; 30 ] après avoir montré que f (x) = 3(x 0)(30 x) c. Quel doit être le prix de vente pour que la recette soit maximale et quelle est cette recette maximale?

28 5.6 corrigé exercice 3 Exercice 3 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction) Un artiste a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter un certain modèle d une de ses créations. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Prix maximal en euros Nombre d acheteurs potentiels On voit dans ce tableau, par exemple, que 40 des clients sont prêts à payer jusqu a 0 euros la création en question.. On considère que le nuage de point représenté dans un repère suggère de faire le changement de variable suivant : z = y a. Complétons le tableau de valeurs suivant à 0, près z i , 4,9 b. Déterminons à la calculatrice une équation de la droite de régression de z en fonction de x sous la forme z = ax+b où a et b sont arrondis à l unité près : z = x+30 c. On déduit du b. le nombre de clients prêts à acheter une bouteille jusqu a 28 euros ainsi : x = 28 = z = = 2 = y = 2 = y = 2 2 = 4 donc 4 clients. d. On déduit des questions précédentes que y est donné en fonction de x par y = (30 x) 2 ainsi : z = x+30 = y = x+30 = y = ( x+30) 2 = y = (30 x) 2 On vérifie que pour un prix de 5 euros, le nombre d acheteurs potentiels est : y = (30 5) 2 = 25 2 = 625 ce qui est cohérent avec l effectif 626 du tableau ci dessus. 2. On considère dans cette question que le nombre d acheteurs potentiels correspondant à un prix de x euros est donné par n(x) = (30 x) 2 a. Montrons que la recette des ventes est donnée en fonction de x par f(x) = x 3 60x x En effet : recette = nombre de ventes prix de vente Donc : f(x) = (30 x) 2 x = ( x+x 2 ) x = (900 60x+x 2 ) x = x 3 60x x b. Etudions les variations de f pour x [ 0 ; 30 ] f (x) = 3x 2 20x+900 en développant : 3(x 0)(30 x) = ( 3x+30)(30 x) = 90x+3x x = 3x 2 20x+900 = f (x) donc f (x) = 3(x 0)(30 x) x x x f (x) f(0) = f(x) ր ց 0 0 c. Le prix de vente est donc de 0 euros pour que la recette soit maximale et cette recette maximale est de 4000 euros