Mémoire soutenu pour l Institut des Actuaires le 15 décembre David Sudries Introduction

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1 Modélisaion e exrapolaion de l évoluion de la moralié française à parir de modèles sochasiques Analyse des qualiés prédicives de ces modèles Applicaions praiques Mémoire souenu pour l Insiu des Acuaires le 5 décembre 200 David Sudries Inroducion La modélisaion de la longévié humaine (ou de la moralié humaine) fai l obje d une vase liéraure. Ces dernières années, devan l augmenaion croissane de l espérance de vie, de nouveaux modèles on vu le jour afin de quanifier puis évenuellemen prédire l évoluion de la longévié humaine. Les enjeux son imporans non seulemen pour les sociéés d assurance, qui enen de quanifier les risques liés à l évoluion de la longévié, mais aussi pour les Eas qui doiven rouver des soluions aux défis de demain (financemen des reraies, financemen des sysèmes de sané, prise en charge de populaions vieillissanes, ec.). Les derniers modèles en vogue son les modèles sochasiques. Ces modèles on éé ici appliqués aux données brues de moralié françaises afin de bâir des surfaces de moralié prospecives (ou ables prospecives). Une analyse des qualiés prédicives de ces modèles a égalemen éé menée. Par ailleurs, à ire d'exemple, ces modèles on éé uilisés pour valoriser une rene viagère e les résulas obenus on éé comparés à ceux des ables règlemenaires en vigueur en France.

2 Surface de moralié brue depuis 95 (France) Source: Human Moraliy Daabase ( Figure - Surface de moralié brue m - Hommes e Femmes Modèles sochasiques de moralié Modèle de Lee-Carer (992) En 992, Ronald Lee e Lawrence Carer on proposé un modèle d exrapolaion de la surface de moralié (âge e emps) don l esimaion des paramères s effecue à parir des données hisoriques. La disribuion des aux de moralié es supposée déerminise selon les âges e sochasique selon les années. La modélisaion du aux bru cenral de moralié m s effecue selon l équaion suivane : ln( m, ) = a + b () x x x où a x e b x son des paramères foncion de l âge x e un élémen aléaoire foncion de l année. Ce modèle relaivemen simple souffre malheureusemen de quelques lacunes : (i) c es un modèle à un faceur (i.e. un seul processus dynamique es uilisé pour décrire l évoluion emporelle de la moralié). Ce modèle suppose donc une corrélaion parfaie de l évoluion emporelle de la moralié pour ous les âges (srucure riviale de corrélaion), ce qui es discuable ; e (ii) ce modèle ne perme pas d inégrer les effes de cohore. Malgré ces lacunes, le modèle de Lee-Carer (992) es le modèle le plus uilisé pour l exrapolaion de surfaces de moralié car sa mise en œuvre rese relaivemen simple. 2

3 Modèles sochasiques de moralié (suie) Modèle de Cairns e al. (2006) Afin d obenir une srucure non riviale de corrélaion, Cairns e al. (2006) on proposé le modèle suivan : ln( q q où x représene la moyenne des âges de la populaion analysée, élémens aléaoires corrélés foncion de l année. 2 ) = + ( x x) (2) e 2 représenen des Ce modèle a plusieurs faceurs sochasiques e perme donc d obenir des srucures de corrélaion non riviales. Cependan, à l inverse du modèle de Lee-Carer (992), il es seulemen prévu pour les âges avancés (au-delà de 65 ans) e ne perme pas de couvrir une large gamme d âges (par exemple de 20 à 90 ans). Calibraion des modèles sochasiques Le nombre de décès es modélisé par une loi de Poisson (Brouhns e al. 2002) : D Poisson(E m ) (3) ~ où D représene le nombre de décès, E représene la populaion exposée e m représene le aux bru cenral de moralié modélisé à parir des équaions () e (2). L ensemble des paramères φ es esimé à parir de la recherche du maximum de la foncion de vraisemblance. La log-vraisemblance de l équaion (3) es donnée par l équaion suivane : { D ln[ E m ( ϕ) ] E m ( ) ln( D! )} L( ϕ, D,E) = ϕ La calibraion des modèles a éé réalisée à parir du logiciel R ( e des ouils disponibles sur le sie (4) Exrapolaion des composanes sochasiques L'exrapolaion des composanes emporelles s'effecue à parir de processus sochasiques ARIMA(p,d,q). Par exemple, un ARIMA(0,,0) es une marche aléaoire avec dérive : = + µ + σ ε ( ) avec un brui blanc ε ( ) ~ N( 0,) i.i.d (5) où µ e σ représenen respecivemen la dérive e l écar-ype du processus. 3

4 Représenaion graphique des exrapolaions obenues Modèle de Lee-Carer (992) Modèle de Cairns e al. (2006) Figure 2 - Surface des q - Hommes (60-95 ans) Données brues Données exrapolées Les surfaces exrapolées à parir des modèles de Lee-Carer (992) e de Cairns e al. (2006) son régulières e ne présenen pas d insabilié. Elles apparaissen égalemen plausibles d un poin de vue biologique. Qualiés prédicives des modèles sochasiques 0,035 Age - 65 ans 0,03 Age - 65 ans 0,03 0,025 Taux de moralié 0,025 0,02 0,05 0,0 Taux de moralié 0,02 0,05 0,0 0,005 0, Année Année Modèle de Lee-Carer (992) Modèle de Cairns e al. (2006) Figure 3 - Comparaison des exrapolaions réalisées en 980 avec les aux de moralié q observés par la suie (*) Hommes - Age 65 Même si ces deux modèles on eu endance à sous-esimer le phénomène de décroissance des aux de moralié, les inervalles de confiance à 90% fournissen des enveloppes raisonnables pour l évoluion fuure des aux de moralié. 4

5 Applicaion à l évaluaion d une rene viagère uniaire a w x j a x, = j p v (6) j= Evaluaion de a 65,200 Femmes Hommes Tables INSEE ,97 3,99 Tables généraionnelles TGH05 e TGF05 9,79 7,67 Tables prospecives - Lee-Carer (992) Tables prospecives - Cairns e al. (2006) 8,74 (7,92-9,5) 8,97 (7,90-20,2) 5,74 (5,5-6,3) 5,82 (5,04-6,65) Tableau - Evaluaion de a 65,200 On remarque ou d abord que les modèles sochasiques de Lee-Carer (992) e de Cairns e al. (2006) fournissen des résulas similaires pour l évaluaion de a 65,200. Ce résula corrobore les ravaux de Cairns e al. (2008) qui on démonré que le choix du modèle sochasique avai finalemen peu d impac sur la valorisaion e la disribuion saisique des a x,. On noera cependan ici que les inervalles de confiance donnés par le modèle de Cairns e al. (2006) son un peu plus larges que ceux du modèle de Lee-Carer (992). Les ables généraionnelles TGH05 e TGF05 fournissen des évaluaions supérieures aux modèles sochasiques (+6% pour les femmes e +2% pour les hommes). Ce résula n es pas surprenan puisque ces ables généraionnelles on éé bâies sur des populaions présenan une moralié plus faible que les données naionales. Conclusion Les modèles sochasiques de moralié proposen une approche inéressane permean de bâir des ables prospecives de manière objecive. Ces modèles son relaivemen flexibles e peuven êre appliqués, par exemple, à des données inernes d une compagnie d assurance. Les modèles de Lee-Carer (992) e de Cairns e al. (2006) semblen pariculièremen bien adapés pour la arificaion de renes viagères ou pour la valorisaion de provisions echniques. Ces deux modèles fournissen des exrapolaions plausibles d un poin de vue biologique e possèden des qualiés prédicives indéniables. Par ailleurs, ils permeen de calculer des inervalles de confiance e de mesurer l inceriude des évaluaions réalisées. Il es égalemen envisageable d uiliser ces modèles pour quanifier les risques liés à la dérive de la longévié (risque non muualisable). Ces quanificaions prennen de plus en plus d imporance pour les compagnies d assurance avec l inroducion programmée de Solvency II. 5

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