Cours de Mathématiques. Chapitre 1 : Produit de convolution Distribution et peigne de Dirac. Distribution et peigne de Dirac

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1 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac UNVERSTE DE TULN UT DE TULN DEPARTEMENT GE Cours de Mahémaiques Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac Enseignane : Sylvia Le Beux sylvia.lebeux@univ-ln.fr Bureau A hp://moodle.univ-ln.fr/course/view.p php?id=57 UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance

2 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance

3 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac Programme de Mahémaiques (S3), d'uils Logiciels (S3) e d'uils Mahémaiques (S4) Chapire : Produi de convoluion e disribuion de Dirac (MA3) Chapire : Transformaion de Fourier (MA3) DS- MA Chapire : Séries de Fourier (MA3) Chapire V : Transformaion en Z (MA3) DS- MA Chapire V : Foncions à plusieurs variables - négrales muliples (L3) DSTP - L Chapire V : Calcul mariciel e diagonalisaion d'une marice (M4) DSTP - M Chapire V : Séries numériques (M4) Chapire V : Séries enières (M4) DS - M Fourniures Chemise A4 pour le cours Cahier A4 de 00 pages ou classeur pour les exercices de TD Carne à spirales pour noer les formules e/ou le résumé de cours. Méhodologie Apporez oujours en cours e TD les chemise e cahiers ci-dessus. Dès que vous ne connaissez pas une formule ou une noion en cours e/ou TD Noez-là immédiaemen dans vore carne à spirales Chaque semaine Travaillez les exercices donnés en parallèle avec le cours e résumez le cours dans le cahier Deux semaines avan un gros DS refaies ous les exercices de cours e de TD, e apprenez les formules du carne. UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 3

4 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac Chapire : Produi de convoluion - Disribuion de Dirac. Produi de convoluion ) Définiion Soi f e g, deux foncions coninues par morceaux sur R. n appelle produi de convoluion de f par g, la foncion noée : f g, définie par l inégrale suivane : Exemples + ( f g)() = f(u)g( u) du. n peu aussi noer : = Déerminer le produi de convoluion suivan : rec e, où rec () rec () si < = 0 sinon... UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 4

5 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac Si f e g son deux foncions causales (nulles sur R - ) alors : ( f g)() =... Donc ( f g)() =... ) Propriéés Les foncions f, g, g, g, h son inégrables sur R, e λϵr. f g = g f. f (g + λ.g ) = f g + λ.f g 3. ( f + λf ) g = f g + λ.f g 4. ( f g) h = f (g h) 5. ( f g)' = f' g + f g' Démonsraion du. ( g f )() =... UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 5

6 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac 3) Exemples Convoluion par l échelon-unié. 0 si U() = si < 0 0 ( f U)() = U() x Donc ( f U)() =... Convoluion par une pore de largeur ( ) = 0 si si > () + n remarque que : ( ) d =... UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 6

7 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac ( )( ) = f La convoluion par une pore de largeur représene donc la valeur moyenne de f sur, +.. mpulsion ou disribuion de Dirac ) Définiion n appelle impulsion de Dirac : δ = lim () où > 0 0 n défini parfois δ abusivemen par : + 0 si 0 δ( ) =, e )d + si = 0 δ( = δ n es pas une foncion, c es une disribuion, c es pourquoi on l appelle aussi disribuion de Dirac. + Comme Π x) dx représenaion graphique es : ( =, par convenion, on noe donc : δ( x)dx =, e par convenion sa δ() + UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 7

8 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac Remarque De nombreux héorèmes (convergence d inégrales, de séries, inversion de limies en général, ) reposen sur des hypohèses souven rès fores poran sur les foncions. Dans la majeure parie des cas, celles-ci ne son pas vérifiées. Le recours aux disribuions perme d élargir le champ d applicaion de ces héorèmes. Une disribuion es un concep plus général que celui de foncion. l perme, enre aure, la formulaion e donc le raiemen de signaux discres. Tous les calculs sur les foncions s appliquen aussi aux disribuions. ) Dérivaion au sens des disribuions (pour la culure) Supposons qu une foncion f soi disconinue en un poin a, mais admee en ce poin une limie finie à droie f(a + ) e une limie finie à gauche f(a - ). La foncion es non dérivable en a, puisque disconinue. La variaion bruale enre f(a - ) e f(a + ) se radui au niveau de la dérivée de f (au sens des disribuions) par l addiion d un Dirac cenré en a d ampliude f(a + ) - f(a - ). + f ' D () = f '() + f (a ) f (a ). δ( a Plus généralemen, si les a i son les poins de disconinuiés : + f ' () = f '() + f (a ) f (a ). δ( a La dérivée de f au sens des disribuions s écrira donc : ( ) ) a i ( ) D i i i ) Exemples Π ( ) U() Dérivée d une pore (ou d'un recangle, noé rec ou Π) : Dérivée d'un échelon unié (ou Heaviside, noé U ou Φ) :... x... 3) Produi de convoluion par une impulsion de Dirac n adme que : (f δ)() = ( f lim )() = lim( f )() 0 n suppose que f es coninue e on noe F, une foncion primiive de f, alors : ( f )( ) = UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 8

9 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac ( f )( ) = Si f es coninue alors : ( f δ) () = f () n di que l impulsion de Dirac es l élémen neure pour le produi de convoluion. 4) Convoluion par une impulsion de Dirac décalée de a δ ( a) 0 si δ( a) = + a si = a a Produi de convoluion Si f es coninue alors : f() δ( a) = f( a) Remarque Ne pas confondre avec le produi classique : f () δ( - a) = f (a) δ( - a) ( p.) 5) Disribuion en peigne de Dirac de période T 0 + δ () = δ( k.t T 0 ) 0 k= δ T 0 () -3.T 0 -.T 0 -T 0 T 0.T 0 3.T 0 UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 9

10 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac Produi de convoluion par un peigne de Dirac n adme que : ( f + + δ )() = + T f 0 δ( k.t ) () = f () δ( k.t0 ) = f ( k.t k= k= k= Si f es coninue alors : ( f δ T ) )() = + k= f ( k.t ) 0 n obien la somme des ranslaés du signal f, on di que le signal f es "périodisé". exemple : ri () δ + () = ri( k) k= x0() x() * = Remarque Ne pas confondre avec le produi «classique» d une foncion par le peigne de Dirac de période T 0, e représené graphiquemen par : (f δ T )() 0 y=f() -3.T 0 -.T 0 -T 0 T 0.T 0 3.T 0 n obien ici l échanillonnage du signal f à la période T 0. UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 0

11 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac Ne pas confondre les quare opéraions Le prélèvemen f() δ( a) = f(a). δ( a) exemple : ri() δ( / ) = ri(/ ). δ( / ) x0() x = Le prélèvemen muliple + f () δ () = f(kt). δ( kt exemple : ri () δ + () = ri(k). δ( k) k= T ) k= x0() x = La ranslaion f() δ( a) = f( a) exemple : ri() δ( ) = ri( ) x0() x() * = La ranslaion muliple ou périodisaion + f () δ () = f( kt T ) k= exemple : ri () δ + () = ri( k) k= x0() x() * = UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance

12 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac. Sinus cardinal (sinusoïde amorie) ) Définiion n appelle sinus cardinal, la foncion noée sinc, définie sur R * par : sin c() = sin( π) π ) Représenaion graphique (voir cours de première année) ) Produi de convoluion avec le peigne de Dirac sin c δ () = Périodisaion du sinus cardinal à la période 4 : ( ) + 4 k sin π( 4k) 4k) = π( UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance

13 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac Remarque : A ne pas confondre avec ( ) + sin π4k sin c δ 4 () =. δ( 4k) qui es k= π4k l échanillonnage du sinus cardinal à la période 4 : UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 3

14 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac Exercices du chapire ) Déerminer h()=sin(3)*rec() e e x.u(x) x.u(x) ) Déerminer graphiquemen rec()*rec() 3) Représenez les signaux suivans : a) rec() δ() b) rec() δ() c) rec() δ () d) rec() δ () UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 4

15 Chapire : Produi de convoluion Disribuion e peigne de Dirac UT de Toulon Déparemen GE Deuxième année par alernance 5

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