Equilibrage des Rotors

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1 ous - Equilibge des Rotos Lcée ellevue Toulouse - PGE MP Equilibge des Rotos Exeple de sstèes ROULEAU DE OMPATEUR, ROTOR DE TURINE, ROUE DE VOITURE Losqu un solide est entîné en ottion utou d un xe fixe et qu il possède une uvise éptition de tièe utou de l xe de ottion, l ppliction du Pincipe Fondentl de l Dnique peet de onte que des foces centifuges tounntes s execent su ce solide. Su cetins sstèes cette «uvise éptition» peut ête volontieent echechée fin de génée des vibtions. P exeple dns le cs d un ouleu de copcteu, les vibtions povoquées p le bloud tounnt sont dns ce cs utiles u copctge du sol. Réel ω ouleu fible ω bloud Modèle x x φ x F bloud ouleu Siultion. (tous) P conte, dns l plupt des pplictions où des solides sont entînés en ottion, ces foces tounntes sont indésibles c elles povoquent des vibtions nuisibles, celles-ci peuvent engende une détéiotion pide des liisons insi qu une gêne pou l'utilisteu du téiel. Pou suppie ces vibtions dues ux sses l épties, on élise un équilibge. Equilibge du oto tubine et équilibge est d'utnt plus nécessie que l vitesse de ottion est gnde. Floestn MATHURIN Pge su 7

2 ous - Equilibge des Rotos Lcée ellevue Toulouse - PGE MP () sses ou sselottes d équilibge Les solutions coectives d équilibge des otos sont élisées p jout de tièe () ou enlèveent de tièe p peçges ou eulges. Les conditions d équilibge sont en génél déteinées à l ide de «chines d équilibge» qui esuent les défotions ou les effots vibles généés p le oto los de s ottion su le suppot. L équilibge est ussi pfois élisé su site vec des nlseus pottifs. es ppeils peettent de déteine pideent l'étt de déséquilibe des chines et instlltions. Ils peettent insi de pocéde à l'équilibge de otos sns voi à les dépose, ce qui peet d obteni un coût d équilibge pticulièeent ttctif. es ppeils utilisent en génél les infotions founies p des ccéléoètes et un cpteu de vitesse ngulie. Meulge su oto de oteu électique Msselotte de oue de voitue Peçges su vilebequin Equilibeuse de oue de voitue Equilibge d un essieu de tin Equilibeuse pottive Les objectifs de ce cous sont : de défini les hpothèses peettnt de pose un odèle lié à un poblèe d équilibge d expie de fçon ptique les conditions d équilibge d un oto de ette en plce les déches de clcul peettnt de ésoude un poblèe d équilibge p jout de sselottes. - MODELISATION RETENUE ET HYPOTHESES ASSOIEES () be qui coespond à l xe de l équilibeuse D un point de vue cinétique l équilibeuse est constitué de deux sous enseble : le bâti et un be () is en ouveent de ottion suivnt l xe (A, ) p l inteédiie d un otoéducteu. L oue à équilibe est fixé en liison encsteent déontble su l xe de l équilibeuse. Réel z z Modèle w z α x d L x x u G A = = v Floestn MATHURIN Pge su 7

3 ous - Equilibge des Rotos Lcée ellevue Toulouse - PGE MP On note l clsse d équivlence coespondnt u bâti et l enseble be + oue. Stuctuelleent l liison ente l be de l équilibeuse et le bâti est élisée à l ide de ouleents à billes ux point A et. On considèe donc dns le odèle que l be de l équilibeuse est en liison otule en vec le bâti et en liison linéie nnulie d xe (A, ) vec le bâti. On définit le epèe (O, x,, z ) lié u bâti et le epèe (O, x, =, z ) lié à l be de l équilibeuse. On pose = ( x, x ) tel que = ω.t vec ω = constnte. On joute un epèe suppléentie (O,u, v =,w) tel que α = ( x,u ) = constnte pou défini l position du cente de gvité de l oue non équilibée. L be de l équilibeuse, de sse, pou cente de gvité G = et son oent d inetie p ppot à l xe d inetie est J. L oue, de sse oue, pou cente de gvité G tel que A F E tice d inetie I(oue) = F D. E D (u,v,w) Le otoéducteu exece su l be un couple noté.. G = + G = L. +. u et pou - ONDITIONS D EQUILIRAGE.. Définition de l'équilibge dnique d'un oto Un oto est équilibé dniqueent si les ctions écniques dns les liisons ente le oto et le bâti sont indépendntes de l position ngulie du oto quel que soit le ouveent de ottion du oto... onséquences ptiques Pou déteine les inconnues de l liison, il fut isole l enseble et pplique le PFD à l enseble u point : R d / R = δ, / M( ) lcul du toseu des ctions écniques extéieues : R X A.x ZA.z X.x Y. Z.z = A (X + + M( ) A.x ZA.z) G A (XA.x + ZA.z) = d. (X G.g.z = (L. +.u) oue A oue oue.x + ZA.z) = d.x.g.z =.g.l.x oue A (.g.z +.z oue oue u x = ).g.z x.z d.za. x.g..cos( α +). = v w α x z z lcul de l ésultnte dnique : R R / d/ =.V = d dt R oto/ / = oue oue.v G oue/.. &. u = oue.. &. w Floestn MATHURIN Pge 3 su 7

4 ous - Equilibge des Rotos Lcée ellevue Toulouse - PGE MP lcul du oent dnique : & A σ, / = σ, be/ + σ, oue/ = J.. + F D. Ω oue/ σ δ, /, / = J.&. F. &.u +. &. D. &. w E F D E (u,v,w) = F. &.w D. &. u pou & = ω. t vec ω = constnte, expession que l on tnspote ensuite u point : δ, / = δ, / + Rd/ δ = F. &.w D. &.u, / = F. &.w D. &.u + L...L. &. w oue oue.. &. u D où les équtions vectoielles issues du PFD : oue.. &.u = XA.x + ZA.z + X.x + Y. + Z.z ( oue).g. z F. &.w D. &.u..l. &.w =. + d.x.z d.z.x.g.l.x.g..cos( α + ). oue A e qui peet d écie les 5 équtions sclies (pojection dns l bse de ces équtions vectoielles) peettnt d expie les 5 inconnues de liisons: X A Y + X =.. &.cos( α + ) () oue = () Z A + Z = ( ).g.. &.sin( α + ) (3) oue oue & oue..l. & ).sin( α + ) D. &.cos( α + ) oue.g.l = d.za (4) ( F. ( F. &..L. & ).cos( α + ) + D. &.sin( α + ) = d.x (5) oue A A oue oue On constte donc que : pou que les équtions sclies issues du théoèe de l ésultnte dnique soient indépendntes de, il fut pende = : onséquence ptique : Un oto est équilibé sttiqueent si son cente de gvité est positionné su son xe de ottion pou que les équtions sclies issues du théoèe du oent dniques soient indépendntes de l position de, il fut pende F = D = et =. onséquence ptique : Un oto est équilibé dniqueent si son cente de gvité est positionné su son xe de ottion et si son xe de ottion est xe pincipl d inetie. Dns un équilibge sttique, seule l ésultnte des ctions de su est indépendnte du ouveent du oto p ppot u bâti. Si les clculs sont fit vec un ouveent de ottion ccéléé, les conditions ptiques et estent les êes. L tice d inetie n est ps obligtoieent digonle pou voi l équilibge dnique, seuls les éléents d inetie de l xe de ottion ipotent. Floestn MATHURIN Pge 4 su 7

5 ous - Equilibge des Rotos Lcée ellevue Toulouse - PGE MP 3. REALISATION D UN D EQUILIRAGE PAR AJOUT DE MASSELOTTES 3.. Pincipe Pou que le cente de gvité du oto soit su l'xe de ottion il est nécessie de joute une peièe sse copléentie su le oto. Pou que l'xe de ottion soit un xe pincipl d'inetie il est nécessie de joute une deuxièe sse copléentie su le oto. es deux sses sont fixées ux points M et M, su deux cecles de ons et centés utou de l'xe de ottion et dns deux plns de position ( et ). Techniqueent, on pouit ussi enleve les êes sses ux points N et N sétiques des points M et M p ppot à l'xe de ottion. 3.. Modèle Aux éléents pélbleent définis dns le odèle de l ptie. Hpothèses et odélistion etenue, on joute les éléents suivnts : L sse est fixée u point M positionné dns le pln à l distnce de l xe de ottion suivnt l xe u déclé de α = cte p ppot à u : M =.u +.v M =.cosα.u +.v.sinα.w L sse est fixée u point M positionné dns le pln à l distnce de l xe de ottion suivnt l xe u déclé de α = cte p ppot à u : M =.u +.v M =.cosα.u +.v.sinα.w Les sses est sont supposées ponctuelles. A x x u d w z α u z L α M w x α u u u u G M = = v 3.3. Inconnues du poblèe d équilibge L élistion de l équilibge à l ide des sselottes et consiste à défini les 8 pètes inconnus ssociés ux sselottes qui sont : les 3 pètes de position (,, α ) plus l vleu de pou l sselotte, les 3 pètes de position (,, α ) plus l vleu de pou l sselotte. Les pètes,, et sont dns l ptique iposés p les diensions de l jnte, ils sont donc déteinés p esue su l jnte. L équilibeuse est instuentée pou peette l esue les ctions écniques dns les plies (i.e. liisons bâti/xe de l équilibeuse en A et ), ce qui peet de déteine expéientleent les inconnues oue, D, F, et α. Le clculteu de l équilibeuse déteine u finl les 4 inconnues, α, et α. Floestn MATHURIN Pge 5 su 7

6 ous - Equilibge des Rotos Lcée ellevue Toulouse - PGE MP (3) pou les plus cougeux! En effet on ve en TD coent on ésout dns le ptique un poblèe d équilibge de fçon bien oins clcultoie Mise en éqution à l ide du PFD (3) On isole l enseble E = oue + be équilibeuse sselotte sselotte et on pplique le PFD à l enseble E u point : Rd δ, E/ E/ RE = M E (E E) u u x = x w x w u x w α x u α z = v = z = = v = v α v w x α z z lcul du toseu des ctions écniques extéieues : R X A.x ZA.z X.x Y. Z.z ( oue ).g.z E E = M A (X (E E) A.x ZA.z) G oue.g.z M.g.z M.g.z A (XA.x + ZA.z) = d. (XA.x + ZA.z) = d.xa.z d.za. x G oue.g.z = (L. +.u) oue.g.z = oue.g.l.x oue.g..cos( α +). M.g.z = (.u +.v).g.z =.g..cos( α + α + )..g.. x M.g.z = (.u +.v).g.z =.g..cos( α + α + )..g.. x.z lcul de l ésultnte dnique : R R E/ E/ =.V = d oto/ oue oue.v G oue/.. &.w..&.w.v M..&.w sselotte/.v Rd = R = E/ E/ oue...u...u... u dt & & & M sselotte/ lcul du oent dnique : On gde l expession δ = F. &.w D. &.u..l. &. w clculée pécédeent et on, / joute δ, sselotte/ + δ, sselotte/ δ, sselotte/ = δm, sselotte/ + M Rd = ( sselotte/.u +.v).. &.u =... &. w δ = δ + M R = (.u +.v)..&.u =...&. w, sselotte/ M, sselotte/ dsselotte/ oue D où les équtions vectoielles issues du PFD : oue.. &.u.. &.u.. &.u = X.x + Z.z + X A A.x + Y. + Z.z ( oue ).g.z F. &.w D. &.u oue..l. &.w... &.w... &.w =. + d.xa.z d.z oue.g.l.x oue.g..cos( α + )..g..cos( α + α + )..g..x.g..cos( α + α + )..g..x A.x e qui peet d écie les 4 équtions sclies utiles à l ésolution du poblèe (pojection suivnt x et z des équtions vectoielles) : + X =.. &.cos( α + )..&.cos( α + α + )..&.cos( α + α + ) () XA oue Floestn MATHURIN Pge 6 su 7

7 ous - Equilibge des Rotos Lcée ellevue Toulouse - PGE MP Z A + Z = ( oue ).g.. & oue.sin( α + )..&.sin( α + α + )..&.sin( α + α + ) () (F. & (F. & oue oue..l. & ).cos( α + ) + D. &.sin( α + )...&.cos( α + α + )...&.cos( α + α + ) = d.z.g..g...l. & ).sin( α + )... &.sin( α + α + ).. D. &.cos( α + ) = d.x A A oue.g.l.&.sin( α + α + ) () (3) Equtions heueuseent ésolues p le clculteu de l équilibeuse à pti de l esue des effots ux plies de l enseble non équilibé (u finl seuls,, α et α sont les inconnues dns ces équtions) : Effots (en N) su les plies suivnt l xez Vleu des blouds (en N) pojetés su l xe z 3.5. Résolution ptique du poblèe d équilibge Dns l ptique l ésolution du poblèe d équilibge ne se fit heueuseent ps à pti du P.F.D., on ésout ce poblèe en ptnt des conséquences ptiques énoncées pgphe. et cel evient u finl à ésoude un poblèe de géoétie des sses (voi TD). Floestn MATHURIN Pge 7 su 7