Août 2015 (1 heure et 45 minutes)

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1 Aoû 05 ( heure e 45 miues). a) Cier oues les opéraios élémeaires (permea de réduire ue marice à sa forme écheloée lige réduie) e doer, pour chacue, so effe sur le déermia d ue marice carrée? Ne pas démorer. (.5 p.) b) Qu'appelle--o marice élémeaire? Comme uilise--o ue elle marice pour effecuer ue opéraio élémeaire? ( p.) c) Que vau le déermia de chaque pe de marice élémeaire? Démorer pour u de ces pes au choix. (.5 p.). a) Qu'es-ce que le rag d'ue marice réelle? (0.5 p.) 3x3 b) Soie A e B Î IR. Remplacer das chacue des phrases suivaes... par «es oujours» ou «es parfois» ou «es jamais». si (A+B) es iversible, alors A...es parfois... iversible si le rag de A =, alors (A.B)... es jamais... iversible si A es iversible, alors (A.B)...es parfois... iversible si rag(a.b) = 3, alors B es oujours.. iversible Jusifier soigeuseme ue de ces affirmaios au choix (pour ue répose «es oujours» ou «es jamais», jusifier de maière héorique ; pour ue répose «es parfois», doer u exemple de chaque cas. (.5 ps.) c) Soi M =, avec IR. ( ) Discuer, selo les valeurs réelles de, la valeur du rag de M. Pour quelle(s) valeur(s) réelle(s) de M es-elle iversible? (.5 ps.) 3. a) Défiir : - base d u espace vecoriel V (0.5 p.) - dimesio d u espace vecoriel fiidimesioel (0.5 p.) b) Déermier ue base du sous-vecoriel W des soluios du ssème homogèe suiva : Quelle es la dimesio de W? x + - z = 0 5x + 3-4z = 0. ( ps.) 4. Soi M IR x, IN 0. a) Défiir : - valeur propre e veceur propre de M. (0.5 p.) b) Démorer que les valeurs propres de M so les racies de so polôme caracérisique. (.5 p.) 3 c) Soi la marice M = Déermier oues les valeurs propres de M. Pour ue de ces valeurs propres au choix, déermier les veceurs propres associés. ( ps.)

2 5. Doer (répose fiale uiqueme) ) das, si z = i., a) le module e l argume de z =4 =- 4 b) ue valeur de z (au choix, sous forme rigoomérique) z = (cos(- ) + i.si(- )) 8 8 c) la valeur de z 4-6 i ( ps.) ) la soluio géérale de la RLACC (récurrece liéaire à coefficies cosas) Y 5.Y 4.7 Y = C.5 + ( - 7).7 C IR (.5 p.)

3 Répose quesio a) Les opéraios élémeaires permea de réduire ue marice à sa forme écheloée réduie so : - la permuaio de deux liges (différees!!); - la muliplicaio d'ue lige par u réel o ul; - l'ajou à ue lige d'u muliple d'ue aure lige. Effe de chacue de ces opéraios élémeaires sur le déermia d ue marice carrée : - la permuaio de deux liges chage le sige du déermia ; - la muliplicaio d'ue lige par u réel o ul muliplie le déermia par ce réel ; - l'ajou à ue lige d'u muliple d'ue aure lige e chage pas le déermia. Répose quesio b) O appelle marice élémeaire oue marice uié sur laquelle a éé effecuée ue opéraio élémeaire. Pour effecuer ue opéraio élémeaire sur ue marice, il suffi de la prémuliplier par la marice élémeaire correspodae. Répose quesio c) Le déermia d ue marice élémeaire correspoda à la permuaio de deux liges vau -. Le déermia d ue marice élémeaire correspoda à la muliplicaio de ous les élémes d ue lige par u réel o ul r vau r. Le déermia d ue marice élémeaire correspoda à l ajou à ue lige d u muliple d ue aure lige vau. Démosraio de «le déermia d ue marice élémeaire correspoda à la permuaio de deux liges vau -» : Soi E, ue marice élémeaire correspoda à l opéraio élémeaire permuaio de deux liges. E es le résula d avoir appliqué à la marice uié I ue opéraio élémeaire de ce pe qui (cf. répose quesio a)) chage le sige du déermia. O a doc dé(e) = - dé(i). Or, le déermia d ue marice uié vau. Doc, dé(e) = -. = -. Répose quesio a) Le rag d ue marice A es le ombre de liges o ulles (ou le ombre de pivos) de la marice écheloée lige réduie de A. Répose quesio b) si (A+B) es iversible, alors A...es parfois... iversible si le rag de A =, alors (A.B)... es jamais... iversible si A es iversible, alors (A.B)...es parfois... iversible si rag(a.b) = 3, alors B es oujours.. iversible

4 Jusificaio de «si A es iversible, alors (A.B)...es parfois... iversible» : 0 0 Soi A = 0 0. Cee marice es iversible puisque c es la marice uié de IR 3x3 do le 0 0 déermia vau (e es doc o ul). () Si B = A, A.B es égaleme la marice uié e es doc égaleme iversible () Si B = (la marice ulle de IR 3x3 ), A.B es égaleme la marice ulle, do le déermia vau 0 e A.B es doc pas iversible Répose quesio c) O a M = ( ). Réduisos-la. ( ) ( ) L ( ) L L ( ) L. ( ) L L.L ( ) ( ) 0 0 () si ( ) 0 0 ou. (a) si = 0, la marice devie 0 0. Elle es sous forme écheloée réduie. Comme elle a ue lige o ulle, le rag de M vau. (b) si =, la marice devie 0 0. Elle es sous forme écheloée réduie. Comme elle a ue lige o ulle, le rag de M vau. () si ( ) 0 0 e, il es clair que la réduie de la marice liges o ulles, doc que le rag de M vau das ce cas. 0 ( ) ( ) aura deux Résumé : - si = 0 ou =, rag(m) = - si IR \ {0,}, rag (M) =. M es doc iversible ssi IR \ {0,} puisqu ue marice carrée es iversible ssi elle es de rag maximum (das ce cas = ).

5 Répose quesio 3 a) Ue esemble de veceurs E d u espace vecoriel V es ue base de V ssi les veceurs de E so liéaireme idépedas e que VCT(E) = V (c es-à-dire que les veceurs de E egedre V). La dimesio d'u espace vecoriel fiidimesioel V es le ombre de veceurs d'ue base de V Répose quesio 3 b) O a le ssème (homogèe) x + - z = 0. Résolvos-le e réduisa sa marice augmeée : 5x + 3-4z = 0 O a LLL L L 5.L L 0 L ( ) Les soluios so doées par x z 3z zir. L'esemble (sous-vecoriel) des soluios du ssème es W = x 3x x z IR : 3z z ou ecore z W = 3z :z IR 3.z:zIR do ue base es ou aurelleme z 3. Répose quesio 4 a) x Le réel es ue valeur propre de la marice M ssi il exise u veceur o ul Î IR x el que x x x M. =.. Les veceurs x x x els que M. x x x =. so alors les veceurs propres x x associés à la valeur propre. Répose quesio 4 b) x O sai que IR es valeur propre de MIR ( IN 0 ) ssi il exise x x 0 x x x IR,, el que M.. x x 0 x x Cee relaio es équivalee à

6 x x x 0 M. =.I. ou ecore (M-.I ).. x x x 0 Les valeurs permea à ce ssème d'avoir des soluios o riviales so doc les valeurs de reda la marice (M -.I ) o iversible, doc elles que dé(m -.I ) = 0, doc les racies du polôme caracérisique de M Répose quesio 4 c) VERSION A O a M = Les valeurs propres de M so les racies de so polôme caracérisique dé(m- I). O a ici dé(m- I) = dé = ( - )( ) - = Recherche des racies de : o a De là = 6 6 ou. 6 M possède doc deux valeurs propres, e 6 Déermios les veceurs propres associés à la valeur propre. x Les veceurs propres associés à cee valeur propre so les veceurs de IR x els que x M. x =. x ou ecore (M-.I). = x 0 ou ecore x do les soluios so doées par l'esemble suiva: x x IR : x = x :xir x. :xir x.

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