Chapitre 2. Séries statistiques à une variable.

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1 Chapitre 2. Séries statistiques à une variable

2 Cadre A partir de maintenant, on se limite au cas des variables quantitatives réelles. Les données considérées sont de trois types : ou bien des données brutes de la forme x 1,..., x n avec x i réel ; ou bien des données groupées de la forme (c 1, n 1),..., (c k, n k ), où les c j sont des réels (cas discret sans regroupement de classes) ; ou bien des données réparties en classes de la forme (I 1, n 1),..., (I k, n k ), où les I j sont des intervalles de longueur finie (cas continu ou discret avec regroupement de classes). On présentera, dans ce qui suit, des indicateurs centraux, de dispersion et de concentration pour décrire la série. Pour chaque notion, on distinguera : le cas des variables quantitatives (sans regroupement de classes), où les calculs sont exacts ; le cas des variables continues (ou quantitatives avec regroupement de classes), où les calculs sont approximatifs mais légitimes. 2 / 34

3 Sommaire 1 Indicateurs de position Moyenne Mode Médiane Quantiles 2 Indicateurs de dispersion Variance, écart-type Etendue et écart inter-quantiles 3 Indicateurs de concentration Courbe de Lorenz Indice de Gini 3 / 34

4 Moyenne Définition de la moyenne Définition Considérons une série statistique de données x 1,..., x n ou (c 1, n 1 ),..., (c k, n k ). On appelle moyenne de la série la quantité : x = 1 n n x i = 1 n i=1 k n j c j. j=1 Dans le cas discret (sans classe), on calcule la moyenne en appliquant directement la formule précédente. Dans le cas continu (ou discret avec classe), on ne peut pas calculer exactement la moyenne. En revanche, on peut en donner une approximation en utilisant le fait que : x 1 n k n j C j, j=1 où C j est le centre de la j-ième classe. 4 / 34

5 Moyenne Premier exemple de calcul exact de la moyenne On considère une population de n = 30 personnes dont la série des âges x 1,..., x 30 est donnée par : 53, 61, 60, 50, 59, 51, 63, 60, 58, 49, 54, 53, 48, 49, 58, 50, 58, 55, 48, 59, 57, 62, 60, 52, 63, 58, 53, 62, 48, 62. La moyenne (exacte) des âges des individus est alors : x = 1 n n x i = i=1 5 / 34

6 Moyenne Second exemple de calcul exact de la moyenne Les données des âges peuvent également être regroupées sous la forme (c 1, n 1 ),..., (c 16, n 16 ) comme suit : Age Effectifs Age Effectifs La moyenne (exacte) des âges des individus est alors : x = 1 n k c j = j=1 6 / 34

7 Moyenne Exemple de calcul approché de la moyenne, par regroupement en classes On choisit de regrouper les données en 4 classes (I 1, n 1 ),..., (I 4, n 4 ) comme suit : Tranche d âge Effectifs [48, 51] 8 [52, 55] 5 [56, 59] 7 [60, 63] 9 La moyenne (approchée) des âges des individus est alors : x = 1 n n C j i=1 7 / 34

8 Moyenne Remarques sur la moyenne 1 La formule de la moyenne des variables continues est la même que celle des variables discrètes avec données groupées, en prenant comme valeurs les centres des classes. 2 En fait, pour les variables continues on a fait l hypothèse de répartition uniforme au sein des classes. 3 La moyenne est sensible à des valeurs extrêmes. 8 / 34

9 Mode Définition du mode Définition Considérons une série statistique de données x 1,..., x n ou (c 1, n 1 ),..., (c k, n k ). On appelle mode de la série la modalité qui réalise le plus grand nombre d effectifs, c est-à-dire toute quantité c j telle que n j soit le maximum des effectifs. Dans le cas discret (sans classe), on détermine le mode en appliquant directement la définition. Dans le cas continu (ou discret avec classe), on ne peut pas déterminer exactement le mode. Pour avoir une valeur approchée, on procède comme suit : 1 on détermine la classe I j (dite classe modale) dont l effectif est le plus grand ; 2 on prend comme valeur approchée du mode le centre de la classe modale. 9 / 34

10 Mode Exemple de détermination exacte du mode On reprend l exemple de l âge des individus, groupés par modalités : Age Effectifs Age Effectifs Le mode (exact) des âges des individus est / 34

11 Mode Exemple de calcul approché du mode, par regroupement en classes On reprend l exemple du regroupement en 4 classes (I 1, n 1 ),..., (I 4, n 4 ) : Tranche d âge Effectifs [48, 51] 8 [52, 55] 5 [56, 59] 7 [60, 63] 9 La classe modale est [60, 63]. Une valeur approchée du mode est donc / 34

12 Mode Remarques sur le mode 1 Il n y a pas nécessairement unicité du mode ni de la classe modale (plusieurs modalités peuvent avoir le même effectif). 2 Le(s) mode(s) ne sont pas sensibles aux valeurs extrêmes. 12 / 34

13 Médiane Définition de la médiane Définition Considérons une série statistique de données x 1,..., x n ou (c 1, n 1 ),..., (c k, n k ). On appelle médiane de la série toute valeur réelle m telle qu au moins 50% des observations de la série soient inférieures ou égales à m et au moins 50% des observations soient supérieures ou égales à m. Dans le cas discret (sans classe), on donne à la page suivante une méthode pour déterminer une médiane. Dans le cas continu (ou discret avec classe), on procède comme suit : 1 on effectue un tableau des fréquences cumulées ; 2 on détermine la plus petite classe I j (dit intervalle médian) telle qu au moins 50% des observations soient dans cette classe et dans celles qui la précède ; 3 on effectue une interpolation linéaire sur l intervalle médian. 13 / 34

14 Médiane Méthode pour déterminer une médiane On peut déterminer une médiane de deux façons. 1 Ou bien, on ordonne la série sous la forme x 1 x 2... x n. On considère alors deux cas : si n est impair, il n y a qu une seule médiane et celle-ci est égale à x (n+1)/2 ; si n est pair, toute valeur réelle comprise dans l intervalle [x n 2, x n 2 +1] est une médiane. En pratique, on parle de "la" médiane lorsqu on prend le centre de cet intervalle. 2 Ou bien, on construit un tableau des fréquences cumulées croissantes et décroissantes. Toute modalité dont les fréquences cumulées croissantes et décroissantes sont supérieures ou égales à 50% sont des médianes. Si plusieurs modalités sont des médianes, on prend, en pratique, comme médiane la moyenne de ces modalités. 14 / 34

15 Médiane Premier exemple de détermination exacte de la médiane On reprend l exemple de l âge des individus. Si l on ordonne la série, on obtient 48, 48, 48, 49, 49, 50, 50, 51, 52, 53 53, 53, 54, 55, 57, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 60, 60, 60, 61, 62, 62, 62, 63, 63. Le nombre de données n = 30 est pair et les 15ièmes et 16ièmes plus grandes valeurs sont 57 et 58. Toute valeur comprise dans l intervalle [57, 58] est donc une médiane. En pratique, on prend comme médiane le centre de l intervalle c est-à-dire / 34

16 Médiane Second exemple de détermination exacte de la médiane En reprenant le même exemple, on peut également construire le tableau des fréquences cumulées croissantes (F.C.C) et décroissantes (F.C.D) : Age F.C.C F.C.D Age F.C.C F.C.D 48 10% 100% 56 47% 53% 49 17% 90% 57 50% 53% 50 23% 83% 58 63% 50% 51 27% 77% 59 70% 37% 52 30% 73% 60 80% 30% 53 40% 70% 61 83% 20% 54 43% 60% 62 93% 17% 55 47% 57% % 7% Les modalités dont les fréquences cumulées croissantes et décroissantes sont supérieures à 50% sont 57 et 58. Toute valeur comprise dans l intervalle [57, 58] est donc une médiane. En pratique, on prend comme médiane le centre de l intervalle c est-à-dire / 34

17 Quantiles Définition d un quantile Définition Considérons une série statistique de données x 1,..., x n ou (c 1, n 1 ),..., (c k, n k ). On appelle quantile d ordre p toute valeur q p telle que : { (la proportion des données qp ) p (la proportion des données q p ) 1 p Dans le cas discret (sans classe), les quantiles se lisent directement sur le tableau des fréquences cumulées croissantes et décroissantes. Dans le cas continu (ou discret avec classe), on procède dans le même esprit que précédemment en prenant les centres des classes. 17 / 34

18 Quantiles Quantiles particuliers Pour certaines valeurs de p, les quantiles ont des noms spécifiques. En particulier : lorsque p = 50%, un quantile d ordre q 1/2 est une médiane ; lorsque p = 25%, on parle de premier quartile ; lorsque p = 10%, on parle de premier décile. En reprenant l exemple sur l âge des individus, on a : q 1/10 = 48 et q 1/4 = / 34

19 1 Indicateurs de position 2 Indicateurs de dispersion Variance, écart-type Etendue et écart inter-quantiles 3 Indicateurs de concentration 19 / 34

20 Variance, écart-type Définition de la variance et de l écart-type Définition Considérons une série statistique de données x 1,..., x n ou (c 1, n 1 ),..., (c k, n k ) et de moyenne x. On appelle : variance de la série, le nombre réel positif : Var(x) = 1 n n (x i x) 2 = 1 n i=1 k n j (c j x) 2 ; j=1 écart-type de la série, le nombre réel positif : σ x = Var(x). Dans le même esprit que précédemment, on peut calculer une valeur approchée pour les variables continues ou quantitatives avec regroupement de classes. Sans perdre de généralités, on se limite au cas des variables quantitatives discrètes sans regroupement de classes. 20 / 34

21 Variance, écart-type Résultats sur la variance et l écart-type Le résultat suivant donne une autre expression de la variance. Proposition Considérons une série statistique de données x 1,..., x n ou (c 1, n 1 ),..., (c k, n k ) et de moyenne x. Alors Var(x) = x 2 (x) 2. Le résultat suivant met en relief le fait que la variance (ou l écart-type) mesure bien la dispersion autour de la moyenne : Proposition (inégalité de Tchebychev) Soit k, un nombre réel positif. Alors : (proportion des modalités c j telles que c j [x kσ x, x + kσ x ]) > 1 1 k / 34

22 Variance, écart-type Exemple de variance On reprend l exemple de l âge des individus (de moyenne x = 55.77). Age Effectifs Age Effectifs La variance et l écart-type de la série sont donnés par : Var(x) = et σ x = / 34

23 Etendue et écart inter-quantiles Définition de l étendue et l écart inter-quantiles Définition Considérons une série statistique de données x 1,..., x n ou (c 1, n 1 ),..., (c k, n k ) et de moyenne x. On appelle : étendue de la série, le nombre réel positif : x max x min ; écart-interquartiles de la série, le nombre réel positif : q 3/4 q 1/4, longueur d un intervalle qui contient au moins 50% des observations ; écart-interdéciles de la série, le nombre réel positif : q 9/10 q 1/10, longueur d un intervalle qui contient au moins 80% des observations. Dans l exemple des âges des individus, l étendue de la série est x max x min = = 15 ; l écart-interquartiles de la série est q 3/4 q 1/4 = = 9 ; l écart-interdéciles de la série est q 9/10 q 1/10 = = / 34

24 Etendue et écart inter-quantiles Boîte à moustache La boîte à moustache est une représentation graphique permettant de visualiser rapidement des caractéristiques centrales (médiane, quantiles) et de dispersion (écart inter-quantiles) d une série. Pour construire un tel diagramme, on procède comme suit : d abord, on calcule la médiane puis les quartiles Q 1 = q 1/4 et Q 3 = q 3/4 et les déciles D 1 = q 1/10 et D 9 = q 9/10 ; ensuite, on construit une boîte entre Q 1 et Q 3 puis des segments pour D 1 et D 9. Figure: Boîte à moustache 24 / 34

25 Etendue et écart inter-quantiles Exercice d application sur les boîtes à moustache Exercice. On souhaite comparer le niveau de vie des ménages (en euros) en fonction de leur profession : agriculteurs, cadres, professions intermédiaires, employés et ouvriers. 1 Sachant que, pour les agriculteurs, on a : D 1 = 6040, Q 1 = 11135, m = 18010, Q 3 = et D 9 = 39010, compléter le graphique suivant : 2 Préciser la profession pour laquelle la médiane est la plus élevée. 25 / 34

26 1 Indicateurs de position 2 Indicateurs de dispersion 3 Indicateurs de concentration Courbe de Lorenz Indice de Gini 26 / 34

27 Motivation Dans cette section, on présente deux indicateurs dits de concentration. Ces indicateurs sont utilisés pour mesurer (essentiellement) la répartition de la masse salariale. Cette dernière se situe entre les deux cas extrêmes suivants : les salaires sont exactement les mêmes d un individu à l autre : pour n importe quel groupe de salariés représentant un pourcentage p de la population, le pourcentage de la masse salariale détenue par ce groupe est exactement égal à p (on parle alors de concentration nulle) ; un seul salarié reçoit toute la masse salariale et les autres rien (on parle alors de concentration maximale). Les indicateurs que nous présentons sont : 1 la courbe de Lorenz ; 2 l indice de Gini. 27 / 34

28 Courbe de Lorenz Définition de la courbe de Lorenz Considérons une série statistique de données regroupées en classes (I 1, n 1 ),..., (I k, n k ). Pour tout 1 j k, on note : centre de la j-ième classe : c j ; effectif total : n = n n k ; masse salariale totale : M = n 1 c n k c k ; proportion d individus dans la j-ième classe : f j = nj n ; proportion d individus dans les classes précédant la j-ième classe : F j = f f j = n1+ +nj n ; nj cj M ; proportion de la masse salariale de la j-ième classe : g j = proportion de la masse salariale détenue par les classes précédant la j-ième classe : G j = g g j = n1c1+ +nj cj M. Définition On appelle courbe de Lorenz la courbe, affine par morceaux, passant par les points (F 1, G 1 ),, (F k, G k ). 28 / 34

29 Courbe de Lorenz Exemple de courbe de Lorenz (1) Une entreprise de 50 employés fournit les salaires suivants : Salaires Effectifs [600, 1200[ 15 [1200, 1800[ 25 [1800, 2100[ / 34

30 Courbe de Lorenz Exemple de courbe de Lorenz (1) Une entreprise de 50 employés fournit les salaires suivants : Salaires Effectifs [600, 1200[ 15 [1200, 1800[ 25 [1800, 2100[ 10 D abord, on calcule les centres, les effectifs et la masse salariale totale : centres des classes : c 1 = 900, c 2 = 1500, c 3 = 1950 ; effectif total : n = 50 ; masse salariale totale : M = = / 34

31 Courbe de Lorenz Exemple de courbe de Lorenz (1) Une entreprise de 50 employés fournit les salaires suivants : Salaires Effectifs [600, 1200[ 15 [1200, 1800[ 25 [1800, 2100[ 10 D abord, on calcule les centres, les effectifs et la masse salariale totale : centres des classes : c 1 = 900, c 2 = 1500, c 3 = 1950 ; effectif total : n = 50 ; masse salariale totale : M = = Ensuite, on complète le tableau en calculant les f j, F j, g j et G j comme suit : Salaires c j n j f j F j g j G j [600, 1200[ % 30% 19% 19% [1200, 1800[ % 80% 53% 72% [1800, 2100[ % 100% 28% 100% 29 / 34

32 Courbe de Lorenz Exemple de courbe de Lorenz (2) On obtient alors le graphique suivant : Figure: Courbe de Lorenz de la masse salariale le point de coordonnées (30, 19) signifie que les 30% personnes les plus pauvres détiennent 19% des richesses ; le point de coordonnées (80, 72) signifie que les 80% personnes les plus pauvres détiennent 72% des richesses. 30 / 34

33 Courbe de Lorenz Remarques sur la courbe de Lorenz 1 La courbe rouge (première bissectrice) représente une répartition équitable pour chaque individu (ce serait la courbe de Lorenz de l entreprise si chaque employé avait exactement le même salaire). 2 La courbe en noire est la vraie courbe de Lorenz. 3 Plus la courbe noire est "proche" de la courbe rouge, plus la répartition est équitable. 4 A l inverse, plus la courbe noire est "loin" de la courbe rouge, plus les richesses sont réparties de façon inégales. 31 / 34

34 Indice de Gini Définition de l indice de Gini Définition Etant donnée une courbe de Lorenz, on appelle indice de Gini le nombre G = 2 A [0, 1], où A est l aire qui se situe entre le première bissectrice (courbe rouge) et la courbe de Lorenz (courbe noire). Figure: l indice de Gini est le double de l aire de la surface orange 32 / 34

35 Indice de Gini Remarques sur l indice de Gini 1 Plus l indice de Gini est proche de 0, plus la répartition est équitable. 2 A l inverse, plus l indice de Gini est proche de 1, plus les richesses sont réparties de façon inégales. 3 L indice de Gini reflète moins l inégalité des richesses que la courbe de Lorenz car deux courbes de Lorenz peuvent avoir le même indice de Gini sans pour autant être égales. 4 L indice de Gini ne fait pas de différence entre une inégalité dans les bas revenus et une inégalité dans les hauts revenus. 33 / 34

36 Indice de Gini L essentiel Calculer les coefficients de tendance centrale (moyenne, mode, médiane et quartiles). Calculer les coefficients de dispersion (variance, écart-type, étendues et écart inter-quantiles). 34 / 34

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