Corrigé du baccalauréat S Pondichéry du 26 avril points

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1 EXERCICE 1 5 poits Comm a tous les cadidats Les parties A, B et C peuvet être traitées de faço idépedate Das tout l exercice, les résultats serot arrodis, si écessaire, au millième La chocolaterie «Choc o» fabrique des tablettes de chocolat oir, de 1 grammes, dot la teeur e cacao aocée est de 85 % Partie A À l issue de la fabricatio, la chocolaterie cosidère que certaies tablettes e sot pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc La chocolaterie dispose de deux chaîes de fabricatio : la chaîe A, lete, pour laquelle la probabilité qu e tablette de chocolat soit commercialisable est égale à,98 la chaîe B, rapide, pour laquelle la probabilité qu e tablette de chocolat soit commercialisable est,95 À la fi d e jourée de fabricatio, o prélève au hasard e tablette et o ote : A l évèemet : «la tablette de chocolat proviet de la chaîe de fabricatio A» ; C l évèemet : «la tablette de chocolat est commercialisable» O ote x la probabilité qu e tablette de chocolat proviee de la chaîe A 1 Motrer que PC =,3x+,95 L éocé doe PA=x, P A C =,98 et P A C =,95 A et A formet e partitio de l ivers doc d après les probabilités totales o a PC =PC A+P C A = P A C PA+P A C P A =,98x+,951 x=,3x+,95 A l issue de la productio, o costate que 96 % des tablettes sot commercialisables et o retiet cette valeur pour modéliser la probabilité qu e tablette soit commercialisable Justifier que la probabilité que la tablette proviee de la chaîe B est deux fois égale à celle que la tablette proviee de la chaîe A PC =,96,3x+,95=,96 x = 1 3 Doc PA= 1 A 3 et PB=P = 3 La probabilité que la tablette proviee de la chaîe B est doc bie égale au double de celle que la tablette proviee de la chaîe A Partie B Ue machie électroique mesure la teeur e cacao d e tablette de chocolat Sa durée de vie, e aées, peut être modélisée par e variable aléatoire Z suivat e loi expoetielle de paramètre λ 1 La durée de vie moyee de ce type de machie est de 5 as Détermier le paramètre λ de la loi expoetielle La durée de vie moyee est de 5 as o a doc EZ = 5 or EZ = 1 car Z suit la loi expoetielle de paramètre λ λ Fialemet λ= 1 5 =, Baccalauréat 17 page 1 sur 11 A Detat

2 Calculer PZ > PZ > = 1 PZ =1,e,t d t = 1 [ e,t] = 1 e,4 + 1 = e,4,67 3 Sachat que la machie de l atelier a déjà foctioé pedat 3 as, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 as? O cherche P Z>3 Z > 5 Or o sait que loi expoetielle est e loi de durée de vie sas vieillissemet, O a doc P Z>3 Z > 5=P Z>3 Z > 3+= PZ >,67 Partie C O ote X la variable aléatoire doat la teeur e cacao, exprimée e pourcetage, d e tablette de 1 g de chocolat commercialisable O admet que X suit la loi ormale d espérace µ=85 et d écart type σ= 1 Calculer P83< X < 87 P83< X < 87= P µ σ< X < µ σ,683 d après le cours Quelle est la probabilité que la teeur e cacao soit différete de plus de % du pourcetage aocé sur l emballage? D après la questio précédete, la probabilité que la teeur e cacao diffère de mois de % du pourcetage aocé est d eviro,683 doc la probabilité cherchée est 1-,683 =,317 Détermier e valeur approchée au cetième du réel a tel que : Iterpréter le résultat das le cotexte de l exercice P85 a < X < 85+ a=,9 Soit Y la variable aléatoire défiie par Y = X 85 alors o sait que Y suit la loi ormale cetrée réduite 85 a < X < 85+ a a<x 85< a a < X 85 < a a < Y < a Doc P85 a < X < 85+ a=,9 P a < Y < a =,9 Soit P Y < a =,95 D après la calculatrice o trouve a 1,6449 doc a 3,898 soit 3,9 au millième Cela sigifie que l o peut estimer à 9% la proportio de tablette ayat e teeur e cacao etre 81,71% et 88,9% 3 La chocolaterie ved lot de 1 tablettes de chocolat à e eseige de la grade distributio Elle affirme au resposable achat de l eseige que, das ce lot, 9 % des tablettes ot pourcetage de cacao apparteat à l itervalle [81,7 ; 88,3] Afi de vérifier si cette affirmatio est pas mesogère, le resposable achat fait prélever 55 tablettes au hasard das le lot et costate que, sur cet échatillo, 8 e répodet pas au critère Au vu de l échatillo prélevé, que peut-o coclure quat à l affirmatio de la chocolaterie? Baccalauréat 17 page sur 11 A Detat

3 Ici o répète = 55 fois de maière idépedate le prélèvemet d e tablette das le lot La proportio aocée est p =,9 O a 3, p = et 1 p=55 5 O peut doc bâtir l itervalle de fluctuatio asymptotique O peut affirmer avec e cofiace à 95% que la fréquece [ de tablettes dot la teeur e cacao est comprise etre 81,7% et 88,3% appartiet à l itervalle I = p 1,96 ; p+ 1,96 p1 p p1 p ] Or p 1,96 p1 p,87 et p+ 1,96 p1 p,95,93 Doc I = [,87 ;,93] mais la fréquece observée est f = 47 55,85 et appartiet doc pas à I O peut doc coclure que l affirmatio est mesogère au risque de 5% de se tromper EXERCICE 3 poits Comm a tous les cadidats O mit le pla complexe d repère orthoormé direct 1 O cosidère l équatio O, u, v où c est réel strictemet supérieur à 9 E : z 6z+ c = a Justifier que E admet deux solutios complexes o réelles =b 4ac = 36 4c < car c > 9 doc E admet deux solutios complexes o réelles b Justifier que les solutios de E sot z A = 3+i c 9 et z B = 3 i c 9 Les solutios de E sot cojuguées de la forme z 1 = b+ i a z 1 = 6+i 4c 36 = 6+i c 9 O ote A et B les poits d affixes respectives z A et z B Justifier que le triagle OAB est isocèle e O OB= z B = za = za =OA OAB est doc bie isocèle e O = 3+i c 9= z A et z = z 1 = z A = z B et z = z 1 3 Démotrer qu il existe e valeur du réel c pour laquelle le triagle OAB est rectagle et détermier cette valeur OAB est rectagle e O si et seulemet si AB = OA car o sait qu il est isocèle e O AB = z B z A = i c 9 = 4c 9 et OA = z A = 9+c 9= c AB = OA 4c 9=c c = 18 OAB est doc rectagle si et seulemet si c = 18 Baccalauréat 17 page 3 sur 11 A Detat

4 EXERCICE 3 4 poits Comm a tous les cadidats Ue etreprise spécialisée das les travaux de costructio a été madatée pour percer tel à flac de motage Après étude géologique, l etreprise représete das le pla la situatio de la faço suivate : das repère orthoormal, d ité m, la zoe de creusemet est la surface délimitée par l axe des abscisses et la courbe C motage C zoe de creusemet v O u O admet que C est la courbe représetative de la foctio f défiie sur l itervalle [,5 ;,5] par : f x=l x + 13,5 L objectif est de détermier e valeur approchée, au mètre carré près, de l aire de la zoe de creusemet Partie A : Étude de la foctio f 1 Calculer f x pour x [,5 ;,5] Sur [,5 ;,5], x 6,5 x 1,5 1,5 x 1 x + 13,5 13,5 f = lu avec u dérivable et strictemet positive sur [,5 ;,5], f est doc dérivable sur [,5 ;,5] { f = u ux= x u avec + 13,5 u x= 4x x [,5 ;,5], f 4x x= x + 13,5 Dresser, e justifiat, le tableau de variatio de la foctio f sur [,5 ;,5] E déduire le sige de f sur [,5 ;,5] sur [,5 ;,5], o a vu que x + 13,5>1> doc f x est du sige de 4x soit f x> sur [,5 ; [ et f x< sur ] ;,5] O e déduit le tableau suivat : x,5,5 f x + f x l13,5 Baccalauréat 17 page 4 sur 11 A Detat

5 Partie B : Aire de la zoe de creusemet O admet que la courbe C est symétrique par rapport à l axe des ordoées du repère 1 La courbe C est-elle arc de cercle de cetre O? Justifier la répose D après les deux poits sur l axe des abscisses, le diamètre d tel cercle serait de 5 doc so rayo de,5 or f =l13,5,5 C est doc pas arc de cercle de cetre O Justifier que l aire, e mètre carré, de la zoe de creusemet est A = 8,5 f x dx La courbe C état symétrique par rapport à l axe des ordoées et au dessus de l axe des abscisses, l aire est doée par,5 f x dx e ité d aire Or e ité d aire est de 4 m puisque l ité du repère orthoormé est de m Fialemet l aire de creusemet est bie doée par A = 8,5 f x dx 3 L algorithme, doé e aexe, permet de calculer e valeur approchée par défaut de I = otée a f f,5 O admet que : a I a+,5,5 f x dx, a Le tableau fouri e aexe, doe différetes valeurs obteues pour R et S lors de l exécutio de l algorithme pour = 5 Compléter ce tableau e calculat les six valeurs maquates Iitialisatio S=, = 5 Boucle Pour Étape k R S Affichage S = 5, ,5f,5=,13116,13116,13 6, ,19 968, ,19 837, , ,5 75 5, , , 16 5, ,5 f,5= S+ =5, b E déduire e valeur approchée, au mètre carré près, de l aire de la zoe de creusemet L algorithme doe e valeur approchée par défaut de I et il est admis que : f f,5 a I a+,5, doc o obtiet : 5, I 5, l13,5,5 ou 5 5, I 5, ,13135 et efi 5, I 5,3767 Baccalauréat 17 page 5 sur 11 A Detat

6 Or A = 8I, doc 8 5, I 8 5,3767 ou 41,583 A 4,6 doc 4 1 A 4+1 Doc l aire de creusemet a e valeur approchée de 4 m, au mètre carré près EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité O cosidère deux suites u et : la suite u défiie par u = 1 et pour tout etier aturel : u +1 = u + 3 ; la suite défiie, pour tout etier aturel, par = Partie A : Cojectures Floret a calculé les premiers termes de ces deux suites à l aide d tableur Ue copie d écra est doée ci-dessous A B C 1 rag terme u terme Quelles formules ot été etrées das les cellules B3 et C3 pour obteir par copie vers le bas les termes des deux suites? e B3 : «=B A+3» e C3 : «= A3» ou «= C» Pour les termes de rag 1, 11, 1 et 13 Floret obtiet les résultats suivats : l Cojecturer les limites des suites u et La limite de u semble être+ Celle de semble être 3 Partie B : Étude de la suite u 1 Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a u = 3 + Baccalauréat 17 page 6 sur 11 A Detat

7 O procède par récurrece : iitialisatio : u = 1 et 3 + =1 doc l égalité est vérifiée au rag hérédité : Soit aturel quelcoque et supposos que : u = 3 + D après la défiitio : u +1 = u +3=3 + +3= = soit u +1 = = La relatio est vraie au rag + 1 Coclusio : la relatio est vraie au rag, et si elle est vraie au rag, elle est vraie au rag + 1 D après le pricipe de la récurrece o a doc démotré que pour tout aturel, u = 3 + Détermier la limite de la suite u lim + =+ doc par somme, lim u =+ + 3 Détermier le rag du premier terme de la suite supérieur à 1 millio u 18 = < 1 et u 19 = > 1 19 est doc le rag du premier terme supérieur à millio Partie C : Étude de la suite 1 Démotrer que la suite N, u = 3+ N, u +1 u = Doc u u < si > 3 alors est décroissate à partir du rag = +1 = est tu sige de + 3 est décroissate à partir du rag 3 O admet que, pour tout etier supérieur ou égal à 4, o a : < 1 Détermier la limite de la suite N, u = 3+ = d après l ecadremet doé, o e déduit que pour 4, < u Or lim + = et lim 1 u = alors d après le théorème des gedarmes o a lim = EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité O défiit les suites u et par : u = v = 1 et, pour tout etier aturel, u +1 = u + 3 et +1 = u + O admettra que les termes de ces suites sot des etiers aturels o uls Baccalauréat 17 page 7 sur 11 A Detat

8 Partie A : Cojectures Flore a calculé les premiers termes des suites à l aide d tableur Ue copie d écra est doée ci-dessous A B C 1 rag terme u terme Quelles formules ot été etrées das les cellules B3 et C3 pour obteir par copie vers le bas les termes des suites? e B3 : «= B+3 C» e C3 : «= B+C» Soit etier aturel Cojecturer la valeur de PGCDu ; Auce justificatio est demadée PGCDu ; semble être de 1 c est le cas pour les 5 premiers termes 3 Pour les termes de rag 1, 11, 1 et 13 Flore obtiet les résultats suivats : Elle émet la cojecture : «la suite Qu e peser? coverge» u 1 1, , v 1 il semblerait que la suite u 11 v 11 1,5149, coverge vers 1,5 u 1 v 1 1, , u 13 v 13 1,59 Partie B : Étude arithmétique 1 Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a : u 3 = 1 +1 Iitialisatio : u 3v = 1 et 1 +1 = 1 doc l égalité est vérifiée au rag Hérédité : Supposos que pour etier aturel p quelcoque, u p 3v p = 1 p+1, alors u p+1 3v p+1 = u p + 3v p 3 up + v p = up + 3v p = u p 3v p = 1 p+1 = 1 p+ Il y a doc hérédité à partir du rag La relatio est vraie au rag et si elle est vraie à rag p elle est vraie au rag suivat p+ 1 D après le pricipe de récurrece N, u 3 = 1 p+1 Baccalauréat 17 page 8 sur 11 A Detat

9 Soit etier aturel Déduire de la questio précédete la valeur de PGCDu ; D après le théorème de Bezout, o peut déduire que PGCDu ; =1 car u 3 = 1 ou u +3 = 1 Partie C : Étude matricielle Pour tout etier aturel, o défiit : la matrice coloe X =, les matrices carrées P = et Q = a Motrer que la matrice 1 3 est l iverse de P P = 1 5 O e déduit que P admet = I et P = P = pour iverse = I 5 b O admet que, pour tout etier aturel, o a X = Q P 1 X u = Démotrer que, pour tout etier aturel, o a 5 = Q P 1 = Q = = u 1 De plus X = = v 1 Doc X = = u = O a doc bie pour tout etier aturel, o a 5 = a Vérifier que, pour tout etier aturel, o a u = Pour tout etier aturel, o a u = = Baccalauréat 17 page 9 sur 11 A Detat

10 O a bie N, u = b E déduire la limite de la suite et lim +1 + O a doc, d après le théorème des gedarmes, O e déduit, par opératio sur les limites, lim = lim = lim + 1 = +1 u = 3 qui cofirme la cojecture émise EXERCICE 5 3 poits Comm à tous les cadidats O cosidère cube ABCDEFGH fouri e aexe L espace est rapporté au repère A ; AB, AD, AE O ote P le pla d équatio x+ 1 y+ 1 z 1= 3 Costruire, sur la figure fourie e aexe, la sectio du cube par le pla P La costructio devra être justifiée par des calculs ou des argumets géométriques versio 1 Le poit B1 ; ; P Le poit M ; ; P M est le symétrique de A par rapport à D Le poit N ; ; 3 P N est défii par AN = 3 AE BM ABC, BM coupe [DC] e poit I BN ABE, BN coupe [EF] e poit L Les plas ABE et CDH sot parallèles doc P les coupe suivat deux droites parallèles La parallèle à BJ passat par I coupe [GH] e K Rem O peut fiir à la règle seulemet e traçat MN et EH sécates e P La droite JP coupe l arête [GH] e K La sectio du cube par P est la surface limitée par le parallélogramme BIKJ versio O cherche des poits comms au pla et au cube Avec le choix de l origie du repère e A les équatios des plas coteat les faces sot simples : x =, x = 1, y =, y = 1, z =, z= 1 Comme e équatio du pla P est x+ 1 y + 1 z = 1, o cherche doc trois ombres de somme 1 ; et si l 3 d etre eux est égal à 1, la somme des deux autres est ulle Il y a déjà trois possibilités : x= 1, d où 1 y+1 z= 3y+ z = : le poit B1 ; ; est l des poits cherchés 3 y =, doe x+ 1 z= ; o obtiet le poit M ; ; 3 z= 3, doe x+ 1 y = ; o obtiet le poit N ; ; 3 x= 1 et y = 1 doet z= ; o obtiet le poit I ; 1 ; milieu de [CD] x= et y = 1 doet z = 1 z = 3 z= 3 ; o obtiet le poit L ; 1 ; 3 Baccalauréat 17 page 1 sur 11 A Detat

11 Les droites IL et GH sot coplaaires et sécates e K Les droites BN et EF sot coplaaires et sécates e J La sectio du cube par P est la surface limitée par le parallélogramme BIKJ N L E H P J K F G A D M I B C Baccalauréat 17 page 11 sur 11 A Detat