Géométrie vectorielle

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1 Géométrie vectorielle Table des matières 1 activités activité 1 : (vecteurs égaux et parallèlogramme) activité 2 : (somme de vecteurs et milieux) activité 3 : (relation de hasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs) activité 4 : (relation de hasles, calcul vectoriel ) activité 5 : (décomposition dans une base et alignement ) activité 6 : (décomposition dans une base et alignement ) corrigés activités corrigé activité 1 : (vecteurs égaux et parallèlogramme) corrigé activité 2 : (somme de vecteurs et milieux) corrigé activité 3 : (relation de hasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs) corrigé activité 4 : (relation de hasles, calcul vectoriel ) corrigé activité 5 : (décomposition dans une base et alignement ) corrigé activité 6 : (décomposition dans une base et alignement ) à retenir notion de vecteur et vecteurs égaux somme de vecteurs multiplication d un vecteur par un nombre réel vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points décomposition d un vecteur selon une base exercices 11 5 corrigés exercices 13 6 évaluation 14 7 corrigé évaluation 16 8 évaluation 19 9 corrigé évaluation devoir maison corrigé devoir maison tp 25

2 1 activités 1.1 activité 1 : (vecteurs égaux et parallèlogramme) est un triangle et E sont tels que = et E = 1. faire une figure 2. quelle est la nature de E? 1.2 activité 2 : (somme de vecteurs et milieux) est un triangle, E et F sont tels que = +, 1. faire une figure 2. démontrer que est le milieu de [E] E = +, F = 1.3 activité 3 : (relation de hasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs) est un triangle quelconque I est le milieu du segment [] J est le milieu du segment [] M est tel que JM est un parallèlogramme N est tel que IN est un parallèlogramme P est le milieu de [MN] Que dire des droites (P) et ()? M P en utilisant le repère (; ; ) 1. exprimer les vecteurs et P en fonction des vecteurs de base et montrer que P = conclure I J N 1.4 activité 4 : (relation de hasles, calcul vectoriel ) on sait que = 10 cm et que G est tel que 2 G+3 G = 0 1. montrer que G = faire une figure 1.5 activité 5 : (décomposition dans une base et alignement ) est un triangle est tel que = faire une figure et estimer si, et sont alignés 2. exprimer et en fonction de et et conclure 1.6 activité 6 : (décomposition dans une base et alignement ) est un triangle I est tel que I = +2 J est tel que J = faire une figure et estimer si () et (IJ) sont parallèles 2. exprimer IJ et en fonction de et et conclure

3 2 corrigés activités 2.1 corrigé activité 1 : (vecteurs égaux et parallèlogramme) est un triangle et E sont tels que = et E = 1. figure E 2. quelle est la nature de E? Il semble que ce soit un parallèlogramme démonstration : (énoncé) (P1) = (P1) parallèlogramme = = E (énoncé) E parallèlogramme E = (P1) (transitivité) 2.2 corrigé activité 2 : (somme de vecteurs et milieux) est un triangle, E et F sont tels que = +, 1. faire une figure E = +, F = E F 2. démontrons que est le milieu de [E] = (énoncé) (P4) (P1) + parallèlogramme = E = + E = E parallèlogramme (énoncé) (hasles) (P1) (P1) = E (transitivité) milieu de [E] (P2) E =

4 2.3 corrigé activité 3 : (relation de hasles, calcul vectoriel, colinéarité de vecteurs) est un triangle quelconque (H 1 ) : I est le milieu du segment [] (H 2 ) : J est le milieu du segment [] (H 3 ) : M est tel que JM est un parallèlogramme (H 4 ) : N est tel que IN est un parallèlogramme (H 5 ) : P est le milieu de [MN] Que dire des droites (P) et ()? M P en utilisant le repère (; ; ) 1. = 1 +0 I J N P = + + N + NP (hasles) P = I+ NM 2 P = NM 2 2 P = ( N+ M) P = ( I + J) P = I + 1 J P = ( 1 + ) (1 2 ( + )) P = P = P = ( ) 1 +( ) P = P = 3 4 donc P et sont colinéaires 2. donc () et (P) sont parallèles

5 2.4 corrigé activité 4 : (relation de hasles, calcul vectoriel ) on sait que = 10 cm et que G est tel que 2 G+3 G = G+3 G = 0 2 G+3( G+ ) = 0 2 G+3 G+3 = 0 5 G+3 = 0 5 G = 3 G = 3 5 G = 3 5 G = faire une figure G

6 2.5 corrigé activité 5 : (décomposition dans une base et alignement ) est un triangle est tel que = faire une figure et estimer si, et sont alignés, et semblent alignés 2. exprimer et en fonction de et et conclure d une part : = + = + d autre part : = + = +3 2 = 2 2 on remarque que : = 2 2 = 2( + ) = 2 donc et sont colinéaires donc, et sont alignés

7 2.6 corrigé activité 6 : (décomposition dans une base et alignement ) est un triangle I est tel que I = +2 J est tel que J = faire une figure et estimer si () et (IJ) sont parallèles J I 2. exprimer IJ et en fonction de et et conclure IJ = I+ J IJ = I + J IJ = ( +2)+(3 +2) IJ = IJ = ( + ) IJ = IJ = IJ = 3 +3 d autre part : = + = + on remarque que : IJ = 3 donc IJ et sont colinéaires donc (IJ) et () sont parallèles

8 3 à retenir 3.1 notion de vecteur et vecteurs égaux définition 1 : (même direction ou colinéaires) Quels que soient les points et, et ont même direction ()//() (parallèles) définition 2 : (même sens) Quels que soient les points et, et ont même direction et et ont même sens le sens "de vers " est "le même" que le sens "de vers " définition 3 : (même norme) Quels que soient les points et, et ont même norme = définition 4 : (opposés) Quels que soient les points et, et ont même direction et et le sens "de vers " sont opposés est "le sens contraire " du sens "de vers " et et ont même norme définition 5 : (égalité de vecteurs) Quels que soient les points et, = et ont même direction et ont même sens et ont même norme propriété 1 : (égalité de vecteurs et parallélogramme) quels que soient les points,,, et non alignés est un parallélogramme = (attention à l ordre des lettres) propriété 2 : (égalité de vecteurs et milieu d un segment) quels que soient les points, et I I = I I est le milieu du segment [] (attention à l ordre des lettres) I

9 3.2 somme de vecteurs définition 6 : (somme de vecteurs ) quels que soient les points,, et soit E un point quelconque soit X tel que EX = soit F tel que XF = E X le vecteur EF est appelé "vecteur somme" de et et on note : EF = + F propriété 3 : (commutativité de la somme de vecteurs) quels que soient les points,, et + = + propriété 4 : (somme de vecteurs et parallélogramme) quels que soient les points,, et avec, et non alignés est un parallélogramme = + (attention à l ordre des lettres) propriété 5 : (milieu et somme de vecteurs) quels que soient les points, et I avec I est le milieu du segment [] I+ I = 0 (attention à l ordre des lettres) I propriété 6 : (relation de hasles) quels que soient les points, et + = remarques : i. = =... = 0 est appelé le vecteur nul, il n a pas de direction et pas de sens. 3.3 multiplication d un vecteur par un nombre réel définition 7 : (produit d un vecteur par un nombre) quels que soient les points et, quel que soit le nombre réel non nul k R soit un point quelconque soit tel que : a pour direction la direction de { a pour sens E = 2 EF = 2 le sens de si k > 0 le sens contraire de celui de si k < 0 F a pour longueur la la longueur de multipliée par k le vecteur est appelé "vecteur produit" de par k et on note : = k

10 propriété 7 : (milieu et produit d un vecteur par un réel) quels que soient les points, et I avec I est le milieu du segment [] I = 1 2 I propriété 8 : (somme de vecteurs, produit par un réel et milieu) quels que soient les points, et I est le milieu de [] I = 1 2 ( + ) I propriété 9 : (opérations sur les vecteurs) quels que soient les vecteurs u et v quels que soient les réels k R et l R k( u + v ) = k u +k v k(l u) = (kl) u 1 u = u 0 u = 0 k 0 = 0 (k +l) u = k u +l u 0 + u = u 3.4 vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points. propriété 10 : (vecteurs colinéaires) quels que soient les vecteurs non nuls u 0 et v 0 u et v sont colinéaires il existe un réel non nul k R tel que v = k u propriété 11 : (droites parallèles) quels que soient les points et les droites () et () sont parallèles et sont colinéaires propriété 12 : (points alignés) quels que soient les points et les points, et sont alignés et sont colinéaires 3.5 décomposition d un vecteur selon une base propriété 13 : (base de vecteurs du plan ) quels que soient les tois points du plan, et non alignés quel que soit le point M du plan il existe un couple unique de réels (x;y) tels que M = x +y on dit que M a pour coordonnées (x;y) dans la base ( ; ) on dit que M a pour coordonnées (x;y) dans le repère (; ; ) M M

11 4 exercices exercice 1 : est un triangle et M est le point tel que M = 3 +4 M 1. essayer de faire une figure et remarquer qu il n est pas aisé de placer le point M car il apparaît dans deux vecteurs 2.(a) en utilisant la relation de hasles, démontrer que : M = 3 +4 M M = (b) construire grâce à cette nouvelle égalité le point M sur la figure exercice 2 : est un triangle. et E sont des points tels que 2 = et E = faire une figure. 2. que semble t-il pour les droites () et (E)? 3 3.(a) en utilisant la relation de hasles et les hypothèses, démontrer que : E = 2 (b) de même, montrer que : = 2 3 (c) démontrer que 3 E = 2 (d) qu en déduire pour les vecteurs E et? puis pour les droites (E) et ()? exercice 3 : Soit un triangle et G un point tel que G+ G + G = 0 1.(a) montrer que G = (b) placer le point G sur la figure (G est appelé le "centre de gravité" du triangle ) 2. soit I = m([]) le milieu du segment [] (a) montrer que I = (b) en déduire que G et I sont colinéaires (donner un coefficient de proportionnalité) (c) que dire alors des points,g et I? (d) plaçer I sur la figure et vérifier la cohérence 3. où se trouve le centre de gravité par rapport à une quelconque des médianes d un triangle?

12 exercice 4 : est un parallèlogramme P est tel que P = 1 3 I est le milieu de [] E est le symétrique de par rapport à 1. faire une figure 2.(a) exprimer IP et IE en fonction de et (b) en déduire que I,P et E sont alignés (justifier) 3. soit F tel que 1 F = 3 (a) placer F sur la figure (b) démontrer que (F) et (IE) sont parallèles (utiliser la décomposition dans un repère ainsi que la colinéarité) exercice 5 : un triangle 1. Soit G tel que G+2 G + G = 0 (a) soit I le milieu de [] émontrer que G+ G = 2GI (b) en déduire que G = m([i]) et construie G 2.(a) contruire tel que = 2 + (b) démontrer que,g et sont alignés exercice 6 : (59 page 183) un parallélogramme quelconque 1. Soient I tel que 2 I = et J tel que J = 3 (a) construire I et J (b) i. exprimer IJ et I en fonction de et ii. en déduire que, et E sont alignés

13 5 corrigés exercices

14 6 évaluation

15 7 devoir maison

16 7.1 corrigé devoir maison 1

17 8 tp

18 tp : logiciels et vecteurs nom, prénom :... buts : utiliser le logiciel géogebra conjecturer des résultats faire des démonstrations de certaines conjectures situation : on construit au hasard un quadrilatère quelconque on construit le quadrilatère des milieux EFGH bien que ait été construit au hasard, il semble que EFGH ne soit pas quelconque, qu en est-il vraiment? H E G F 1. lancer le logiciel geogebra 2. construire un quadrilatère quelconque (utiliser le menu) (polygone, puis cliquer dans la figure à 4 endroits et fermer le polygone en cliquant sur le premier point) 3. construire le milieu E du segment [] 4. construire de même les milieux F, G et H de respectivement [], [] et [] dans cet ordre 5. construire le quadrilatère EFGH 6. sélectionner le point puis le déplacer et observer le quadrilatère EFGH quelle semble toujours être la nature de EFGH? : construire le segment [] 8. afficher les longueurs des segments [] et [EF] 9. entrer dans la barre de saisie (en bas) la commande : rapport = e/i quel résultat obtient-on à gauche dans la barre d algèbre? : rapport =... à quoi correspond ce nombre concrètement? : construire les vecteurs et EF 11. déplacer le point et observer les vecteurs et EF les vecteurs et EF semblent-ils colinéaires?... quel semble-être le rapport de proportion entre et EF? : EF = compléter le schéma de démonstration E milieu de [] F milieu de [] G... H... EF = 1/2 et (EF)//() théorème de la droite des... théorème... HG=... dans EF =... HG =... EF =... EFGH...

19 13. trouver le bouton qu il faut dans le menu et tracer la droite () 14. déplacer le point pour que les points E,F,G et H soient alignés 15. activer la trace de ( clic droit sur puis cocher "Trace activée") 16. déplacer le point de façon telle à ce que les points E,F,G et H restent alignés et observer la trace laissée par préciser au maximum quel semble être le lieu géométrique décrit par? (cercle, droite, courbe quelconque,... ) : (a) démontrer ci dessous (par un schéma de démonstration) que : si E,F,G et H sont alignés alors et sont colinéaires (aide : montrer que si E,F,G et H sont alignés alors HE et EF sont colinéaires) (b) en déduire que est sur la parallèle à () passant par 18. réciproquement, démontrer ci dessous (par un schéma de démonstration) que : si est sur la parallèle à () passant par alors E,F,G et H sont alignés 19. en déduire le lieu décrit par et construire ce lieu en trouvant les boutons à utiliser avec géogébra