TRIANGLES QUELCONQUES

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Valérie Labbé
il y a 6 ans
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1 hpitre 3 TRINGLES QUELONQUES 3. Rppels : TRINGLES RETNGLES Figure de référene γ Nottions β = longueur du ôté opposé u sommet L ngle de sommet se nomme α. = longueur du ôté opposé u sommet L ngle de sommet se nomme β. = longueur du ôté opposé u sommet L ngle de sommet se nomme γ. osinus = djent sur hypoténuse os β = = os γ = = Sinus = opposé sur hypoténuse sin β = = sin γ = = Tngente = ôté sur ôté tg β = = tg γ = = Pythgore ngles = + = + α + β + γ = π β + γ = π 98

2 HPITRE 3. TRINGLES QUELONQUES 99 Exerie 3. Résoudre le tringle retngle en dns hun des s suivnts. β γ , 6 38, 47, 5 54, Exerie 3. Un oservteur veut déterminer l distne de à sns devoir frnhir l rivière représentée idessous. En est plnté un piquet et en se trouve l oservteur. elui-i est muni d un théodolite.. Imginer une méthode et les mesures à prendre pour résoudre le prolème.. Supposer des mesures et luler l distne de à d près es mesures. Exerie 3.3 Qund l plnète Vénus est oservée depuis l Terre pendnt une ertine période, elle prît se mouvoir en vnt et en rrière le long d un segment de droite, Le Soleil étnt u milieu. l distne pprente mximle du Soleil, l ngle 3 Soleil-Terre-Venus est d environ 36. Shnt que l distne Terre-Soleil vut environ 48, km, estimez l distne séprnt Vénus du Soleil. L figure de référene est elle donnée en déut de prgrphe ppreil qui permet de mesurer des ngles sur le terrin 3 et ngle s ppelle l élongtion. Il est mximum qund le Soleil, l Terre et Vénus sont en qudrture.

3 HPITRE 3. TRINGLES QUELONQUES TRINGLES QUELONQUES l-kshi, mthémtiien originire d Irn mort pproximtivement en 436 est onnu pour voir donné des déimles de π ssez préises. Mis nous llons nous intéresser ii u théorème qui porte ujourd hui enore son nom, et qui est une forme générlisé du théorème de Pythgore. Il énone une reltion entre l longueur des ôtés d un tringle quelonque et l un des ngles de elui-i. Notons que le résultt fut trouvé ntérieurement pr Eulide d lexndrie u IIIème sièle vnt J.. et figure dns l proposition XII du seond livre des Eléments. 3.. Théorème du osinus (Théorème d l-kshi) Soit un tringle quelonque. Deux s se présentent. Les trois ngles sont igus Un ngle est otus Y (x;y) β y α x D (x;0) γ (;0) X (x;y) y D (x;0) β π α x Y α γ (;0) X os α = D = x ou x = os α os α = os(π α) = D = x ou x = os α sin α = y ou y = sin α sin α = y ou y = sin α = ( x) + y Don = ( os α) + ( sin α) = ( os α + os α) + sin α = + (os α + sin α) os α = + os α En fisnt une permuttion ylique des lettres,, et α, β, γ, nous otenons les formules pour et. 3.. Théorème du sinus Soit un tringle quelonque. On déduit des figures du théorème préédent : sin α = y et sin γ = y sin α = sin(π α) = y et sin γ = y

4 HPITRE 3. TRINGLES QUELONQUES 0 insi, y = sin α et y = sin γ y = sin(π α) = sin α et y = sin γ e qui nous donne Un risonnement similire donne l reltion 3..3 ire d un tringle Soit un tringle quelonque. sin γ = sin α = sin α = sin α = sin β sin β = se Huteur = On déduit des figures du premier théorème : sin α = sin γ qui, ominée ve l préédente, nous fournit: sin γ = y = sin α sin γ sin(π α) sin α sin γ ou = = = ou = Un risonnement nlogue donne l reltion 3..4 Formulire = sin β Figure de référene α γ Les ngles β α + β + γ = π Théorème du osinus Théorème du Sinus ire = + os α = + os β = + os γ sin α = sin β = sin γ = = = sin α sin γ sin β

5 HPITRE 3. TRINGLES QUELONQUES 0 Remrques importntes. Lorsque deux ngles sont donnés, le troisième ser lulé à l ide de l églité α + β + γ = π.. Lorsqu un seul ngle est donné, hun des ngles inonnus ser lulé en utilisnt soit le théorème du osinus, soit le théorème du sinus mis ps l formule donnnt l somme des trois ngles qui peut lors onduire à des erreurs. 3. On privilégier toujours, si possile, le théorème du osinus à elui du sinus pour déterminer un ngle inonnu. En effet, si l ngle est donné pr son osinus, seule l solution omprise entre 0 et π est à retenir (elle donnée systémtiquement pr l lultrie!). Pr ontre, si l ngle est donné pr son sinus, deux solutions omprises entre 0 et π sont éventuellement à prendre en onsidértion : l une donnée systémtiquement pr l lultrie, l utre étnt l supplémentire de l première Exeries Exerie 3.4 Résoudre les tringles suivnts et luler églement leur ire :. = 70.4 = 8. γ = β = 58.5 γ = = = 4.94 = 96.9 = = 0.43 = 5.63 = β = = = β = = = Réponses. α = β = 90.5 = 4.9. α = 8.37 = 7.55 = α =.99 β = 64.5 γ = impossile 5. α = 7.89 γ = 4.46 = deux solutions : α = γ = 80. = 5.33 ou α = 9.57 γ =.06 = 90. Un oservteur, ouhé sur le sol, voit un stellite sous un ngle de 35 ve l vertile. Shnt que le stellite grvite à 000 km u-dessus de l surfe de l Terre, quelle est l distne séprnt le stellite de l oservteur (ryon de l Terre : 6370 km)? Réponse: km Exerie 3.5 Un teu quitte le port à 3h00 et fit route dns l diretion 55 W à l vitesse de 38 km/h (les ngles sont mesurés ve l diretion N). Un deuxième teu quitte le même port à 3h30 et vogue dns l diretion 70 E à 8, 5 km/h. lulez l distne séprnt les teux à 5h00. Réponse: km

HPITRE 3. TRINGLES QUELONQUES 03 Exerie 3.

On situe un point P sur l digonle à une distne du sommet.

Les deux pvés insi formés sont ppelés fer de lne et erf-volnt. erf-volnt P 7 Fer de lne D. lulez les mesures en degrés de ÂP, ÂP et P.

0, 36 0, 59 4 e pvge joue un rôle importnt en ristllogrphie. Roger Penrose (olhester, 8 oût 93 - ) Physiien et mthémtiien ritnnique.

strs), entre 964 et 973, où il renontre le élère physiien Stephen Hwking.

6 HPITRE 3. TRINGLES QUELONQUES 03 Exerie 3.6 (Le pvge de Penrose) Les pvés de Penrose 4 ont l forme d un losnge D dont l longueur des ôtés est et dont un ngle intérieur fit 7. On situe un point P sur l digonle à une distne du sommet. De e point prtent les deux segments de droite P et P D rejoignnt les deux utres sommets du losnge, omme le montre l figure i-dessous. Les deux pvés insi formés sont ppelés fer de lne et erf-volnt. erf-volnt P 7 Fer de lne D. lulez les mesures en degrés de ÂP, ÂP et P.. lulez l longueur du segment [P ] à 0.00 près. 3. lulez l ire d un fer de lne et d un erf-volnt à 0.0 près. Réponses , , 36 0, 59 4 e pvge joue un rôle importnt en ristllogrphie. Roger Penrose (olhester, 8 oût 93 - ) Physiien et mthémtiien ritnnique. Il enseigne les mthémtiques u irkek ollège de Londres où il élore l théorie dérivnt l effondrement des étoiles sur elles-mêmes (Deth of strs), entre 964 et 973, où il renontre le élère physiien Stephen Hwking. Ils trvillent lors àune théorie de l origine de l univers, Penrose y pportnt s ontriution mthémtique l théorie de l reltivité générle ppliquée à l osmologie et à l étude des trous noirs. En 974, il pulie un rtile où il présente ses premiers pvges non-périodiques : les pvges de Penrose (Pentplexity, ulletin of the Institute for Mthemtis nd its pplitions, 0, 66 7, 974 ).

7 HPITRE 3. TRINGLES QUELONQUES 04 Exerie 3.7 Une silique est située u sommet d une olline (voir shém i-dessous). Quelle est l huteur de ette silique? Réponse: 05 m Exerie 3.8 Quelle est l longueur du segment [DE]? Réponse: 4, 69 Exerie 3.9 onstruire et mesurer l intensité de l fore résultnte (résolution lgérique) 0N 80N 6 00N 0 0N Réponse: 55, 4N et 7, 3N

8 HPITRE 3. TRINGLES QUELONQUES 05 Exerie 3.0 Le prllélogrmme D ses digonles qui mesurent 4m et 5m et qui font un ngle de 6. luler les mesures des ôtés et les ngles de e prllélogrmme. O 6 D Réponses: = D = 39, 96 m ; D = = 4, 6 m; Â = Ĉ = 0, 474 et = D = 77, 56. Exerie 3. Les ôtés prllèles d un trpèze mesurent 5m et 0m et les utres ôtés 5m et 6m. luler les ngles et les longueurs des digonles. Exerie 3. Un lire d ngles l forme de l figure. Il est déoupé dns une pièe d ier de 5m sur 0m. Indiquer les otes sur le pln si les enohes doivent voir des prois de m de long Exerie 3.3 luler les éléments mnqunts. M N 3 49 P 8 Q

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