TRIGONOMÉTRIE 1 ) ORIENTATION DU PLAN 2 ) MESURE DES ANGLES EN RADIAN. 1 rad 57,3 1 = rad 0,0175 rad
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- Francis Boudreau
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1 TRIGNMÉTRIE 1 ) RIENTTIN DU PLN rienter n cercle, c'est choisir n sens de parcors sr ce cercle appelé sens direct ( o positif ). L'atre sens est appelé sens indirect (négatif o rétrograde) rienter le plan, c'est orienter tos les cercles d plan dans le même sens. L'sage est de choisir por sens direct le sens contraire des aigilles d'ne montre. ( appelé assi sens trigonométriqe ) Un cercle trigonométriqe est n cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. ) MESURE DES NGLES EN RDIN n appelle radian ( rad ) la mesre de l'angle a centre qi intercepte, sr n cercle de rayon R, n arc de longer R. Remarqes : Un angle a centre plat intercepte n arc de longer π R. Il a donc por mesre π radians. 1 rad rayon R rc de longer R Les mesres d'n angle en radian et en degré sont proportionnelles. ( heresement ) Il en décole qe l 'on pet faire les conersions de mesres à l'aide d'n tablea de proportionnalité : rad mesres en degré mesres en radian rad 57,3 1 = rad 0,0175 rad 180 L'arc intercepté par n angle a centre de x radians sr n cercle de rayon R a por longer xr. Si le cercle a por rayon 1, alors l'arc a por longer x 3 ) MESURES DE L NGLE RIENTÉ D UN UPLE DE VETEURS NN NULS Norme d'n ecter : ) ENSEMLE DES MESURES n note la norme (longer) d'n ecter. 0 =0 = 0 k = k Saf ais contraire, les angles sont mesrés en radian. Soit et dex ecters non nls d plan orienté, n point qelconqe et le cercle trigonométriqe de centre. n considère ' et les points définis par '= et =. Les demi-droites [ ') et [ ') copent le cercle trigonométriqe respectiement en et en. Les ecters = 1 et = 1 sont nitaires, respectiement colinéaires à et et de même sens q ex. ' ' Définitions : n appelle mesres de l'angle orienté, tos les réels de la forme : l + k π où l est la longer de l'arc parcor de ers dans le sens direct et où k N l' k π où l' est la longer de l'arc parcor de ers dans le sens indirect et où k' N. Remarqe : n pet exprimer tote les mesres sos la forme l k où k Z. Trigonométrie - ater : Pierre Lx - page 1/6
2 Les mesres en radian de l angle orienté de ecters, sont celles de l angle orienté de ecters nitaires, c'est à dire, celles de l angle orienté de ecters nitaires 1, 1. Il en réslte qe si x est ne mesre de,, alors les atres mesres sont de la forme x k, k Z. n dit qe les angles orientés sont définis modlo. Notations : La notation selle est ;, mais s il n'y a acn risqe de confsion, on notera selement, cet angle orienté. Par abs de langage, on confond n angle et ses mesres. n écrit, par exemple,, = signifiant q ne mesre de, est ; les atres mesres sont alors de la forme k, k Z. n écrit assi, = k, k Z o encore, = [π] ) MESURE PRINIPLE Une sele des mesres de l angle orienté de ecters, appartient à l'interalle ] ; ]. n l'appelle mesre principale de l angle orienté de ecters,. Remarqe : La aler absole de la mesre principale de l angle orienté de ecters, est la mesre de l angle géométriqe formé par ces dex ecters. Exemple : Soit n triangle, rectangle en tel qe = 3 La mesre principale de, est 3. La mesre principale de, est 6 et = 6. La mesre principale de, est et = + ) NGLE NUL, NGLE PLT, NGLES DRITS Soit et dex ecters non nls d plan orienté. Dire qe et sont colinéaires reient à dire qe: ngle nl : la mesre principale de, est égale à 0. (lorsqe et sont de même sens) o ngle plat : la mesre principale de, est égale à. (lorsqe et sont de sens contraire) ; = k k Z Dire qe et sont orthogonax reient à dire qe: ngle droit direct : la mesre principale de, est égale à. o ngle droit indirect : la mesre principale de, est égale à., = k k Z Remarqe : Por tot ecter non nl, ; = 0 et ; =. 4 ) PRPRIÉTÉS DES MESURES DES NGLES RIENTÉS DE VETEURS ) RELTIN DE HSLES Trigonométrie - ater : Pierre Lx - page /6
3 Propriété : admise Soit, et w trois ecters non nls d plan orienté. n a :,, w =, w En additionnant n importe qelle mesre de, à n importe qelle mesre de, w, on obtient ne mesre de, w. Réciproqement, n importe qelle mesre de, w est la somme d ne mesre de, et d ne mesre de, w. Exemple : Soit, et w trois ecters non nls d plan orienté tels qe, = 5 6 et, w = 3. D après la relation de hasles:,, w =, w n en dédit donc qe, w = = = 3 6 = Les ecters et w sont donc orthogonax. w w ) NSÉQUENES DE L RELTIN DE HSLES Soit et dex ecters non nls d plan orienté., =, D'après la relation de hasles,,, =,. r, = 0, Donc, =,., =, D'après la relation de hasles,,, =,. r, = Donc, =,. - ', =, D'après la relation de hasles,,, =,. r, = Donc, =,. ' - Trigonométrie - ater : Pierre Lx - page 3/6
4 , =, D'après la relation de hasles,, =,,, =, =, =, pisqe les mesres sont définies modlo. ' - - ' Soit k et k dex réels non nls. Si k et k sont de même signe, alors: k '. ' k, k ' =, ('est ne conséqence de la définition...) k k. ' Soit k et k dex réels non nls. Si k et k sont de signes contraires, alors: k, k ' =, D'après la relation de hasles, on a: k, k ' = k, k k, k ' k k. ' r k, k =, et k, k ' =, pisqe k et k ' sont colinéaires et de sens contraires. n a donc bien k, k ' =,. k k '. ' 5 ) REPÈRE RTHNRML Un repère orthonormal ; i, j est : direct, si l'ne des mesres de ( i, j) est indirect, si l'ne des mesres de ( i, j) est Exemples : Repère orthonormal direct j j i i Repère orthonormal indirect j j i i Remarqes : n définit de la même façon ne base orthonormale directe Étant donné n ecter nitaire, il existe n niqe ecter nitaire tel qe ( i, j)soit ne base orthonormale directe. Trigonométrie - ater : Pierre Lx - page 4/6
5 6 ) SINUS ET SINUS D UN NGLE RIENTÉ DE VETEURS Saf contre indication, l nité tilisée est le radian. Le plan orienté est mni d n repère orthonormal direct ; i, j. n considère le cercle trigonométriqe de centre. ) RPPEL : osins et sins d n réel Por tot réel x, il existe n point M niqe d cercle trigonométriqe tel qe x soit ne mesre de I,M. L'abscisse d point M est le cosins de x ( noté cos x ) sin x J M L'ordonnée d point M est le sins de x ( noté sin x ) cos x I ) SINUS ET SINUS D UN NGLE RIENTÉ DE VETEURS Soit et dex ecters d plan orienté. Si x est ne mesre en radian de l angle orienté,, alors les atres mesres sont de la forme x k, k Z. r cos x k = cos x et sin x k =sin x. n en dédit la définition siante : Le cosins (respectiement le sins) de l angle orienté de ecters, est le cosins (respectiement le sins) de l ne qelconqe de ses mesres. n note cos, et sin,. ) LIEN entre cos, et cos lorsqe = et = Notons la mesre en radian de l angle géométriqe formé par et, et notons x la mesre principale de,. n a = x. Dex cas se présentent : Si x 0, x = x et par site cos = cos x. Si x 0, x = x, et cos = cos x = cos x n a donc: cos, = cos Remarqe : e n est pas rai por le sins: sin = sin, 7 ) LIGNES TRIGNMÉTRIQUES DES NGLES SSIÉS Remarqe préliminaire : Dans la pratiqe, on se permet soent qelqes légèretés d écritre très tiles por la clarté des figres et por retenir les formles. x x x x x 0 0 x x Trigonométrie - ater : Pierre Lx - page 5/6
6 Les formles ci-dessos sont raies por tot réel x, mais por faciliter la mémorisation, on se place dans le premier cadran. Propriétés : cos x =cos x cos x= cos x cos x= cos x cos x =sin x cos x = sin x sin x = sin x sin x =sin x sin x = sin x sin x =cos x sin x =cos x 8 ) ÉQUTINS TRIGNMÉTRIQUES Propriété : ) cos x = cos a J M Remarqes : cos x =cos a x = a k o x = a k ( k Z) a a I Graphiqement, il existe dex points M et M ', symétriqes par rapport à I sr le cercle trigonométriqe qi correspondent à des angles qi ont le même cosins. n retroe la formle des angles associés : cos x =cos x M ' ttention, la calclatrice ne donne qe la soltion dans l'interalle [0 ; ] ) sin x = cos a J Propriété : M ' M Remarqes : sin x =sin a x =a k o x = a k ( k Z) f a a I Graphiqement, il existe dex points M et M ', symétriqes par rapport à J sr le cercle trigonométriqe qi correspondent à des angles qi ont le même sins. n retroe la formle des angles associés : sin x =sin x ttention, la calclatrice ne donne qe la soltion dans l'interalle [ ; ] Trigonométrie - ater : Pierre Lx - page 6/6
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