NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 1 I.1 Le nombre i... 1 I.2 L ensemble des nombres complexes... 1

Transcription

1 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction I. Le nombre i I. L ensemble des nombres complexes II Forme algébrique II. Définition II. Premiers calculs II.3 Représentation graphique II.4 Conjugué d un complexe II.5 Inverse d un complexe III Forme trigonométrique 6 III. Module d un nombre complexe III. Argument d un complexe non nul III.3 Forme trigonométrique I Introduction Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racines carrées 3 et 3 Par contre, aucun réel négatif n a de racine carrée (réelle) C est pour pallier à cette discrimination que furent créer les nombres complexes I. Le nombre i Le nombre i est un nombre dont le carré vaut. Ainsi, i = De plus, son opposé i a aussi pour carré. En effet : ( i) = [( i) ( i)] = i = Les deux racines de sont deux nombres irréels i et i Un peu d histoire : La notation i fut introduite par Euler en 777, puis reprise par Gauss au début du XIXème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 637 I. L ensemble des nombres complexes On connait déjà 5 ensembles permettant de "ranger" les nombres : il s agit de N, Z, D, Q et R : --

2 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 R π 36π Q D Z N π Définition On définit l ensemble C qui a les caractéristiques suivantes : Ses éléments sont appelés nombres complexes Il contient le nombre i vérifiant i = Remarque C est alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : N Z D Q R C II Forme algébrique II. Définition Définition Chaque élément z de l ensemble C s écrit de manière unique z = a + ib, a et b étant des réels a est appellé partie réelle de z et est noté Re(z) b est appellé partie imaginaire de z et est noté Im(z) Remarque Nombres particuliers : si b = 0, on a z = a, z est donc réel si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur --

3 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 Exemple Donner la partie réelle et imaginaire dans chacun des exemples suivants : z = + 3i a = b = 3 z = + i a = b = z = i a = 0 b = z = π a = π b = 0 z = 4i 3 a = 3 b = 4 Propriété Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : z = z a + ib = a + ib a = a et b = b II. Premiers calculs Propriété On pose z = a + ib, z = a + ib et k un réel, on a : z + z = (a + a ) + i(b + b ) z z = (a a ) + i(b b ) kz = ka + ikb zz = (aa bb ) + i(ab + a b) Démonstration de la dernière propriétés : zz = (a + ib)(a + ib) = aa + iab + ia b + i bb = aa + iab + ia b bb = (aa bb ) + i(ab + a b) Exemple Soit z = + 3i et z = i 5. Calculer et écrire sous la forme algébrique les nombres suivants : z + z = + 3i + i 5 = 3 + 4i z z = + 3i (i 5) = + 3i i + 5 = 7 + i z 3z = ( + 3i) 3(i 5) = 4 + 6i 3i + 5 = 9 + 3i zz = ( + 3i)(i 5) = i 0 + 3i 5i = i 0 3 5i = 3 3i z = ( + 3i) = + 3i + (3i) = 4 + i + 9i = 4 + i 9 = 5 + i -3-

4 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 II.3 Représentation graphique Définition 3 On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O; u ; v ) Au point M de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib On dit que z = a + ib est l affixe du point M Au vecteur w de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexe z = a + ib On dit que z = a + ib est l affixe du vecteur w Lorsqu on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu on se place dans le plan complexe b M(z = a + ib) v w 0 u a Exemple 3 Placer dans le plan complexe les points M i d affixes z i : M z = + 3i z = 3 + i z 3 = + i z 4 = i z 5 = i z 6 = i z 7 = z 8 = i 3 M 8 M 7 M 3 i 0 M 5 M 6 M 4 M Propriété 3 Si M a pour affixe z = a + ib et si M a pour affixe z = a + ib, alors : Le vecteur MM a pour affixe z z = (a a) + i(b b) OM = a + b MM = (a a) + (b b) Le milieu I de [MM ] a pour affixe z I = z + z -4-

5 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 II.4 Conjugué d un complexe Définition 4 On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le nombre z = a ib Géométriquement, si M est le point d affixe z, le point M d affixe z est le symétrique de M par rapport à l axe des abscisses M ( z) M (z) b a v 0 u a M 3 ( z) b M 4 (z) Exemple 4 Soit z = 3 + 5i et z = + 3i, calculer : z + z = (3 + 5i) + ( + 3i) = + 8i z z = (3 + 5i) ( + 3i) = 6 + 9i 0i + 5i = 6 i 5 = i z = 3 5i z = 3i z + z = (3 5i) + ( 3i) = 8i z + z = 8i z z = (3 5i) ( 3i) = 6 9i + 0i + 5i = 6 + i 5 = + i z z = + i Propriété 4 Soit z et z deux nombes complexes, alors : z + z = z + z z z = z z z = z z R z = z z ir z = z Re(z) = (z + z) Im(z) = i (z z) II.5 Inverse d un complexe Soit z = a + ib, on a : zz = (a + ib)(a ib) = a (ib) = a + b qui est un nombre réel Ainsi, on a : z = z zz = z a + b = a ib a + b -5-

6 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 Exemple 5 Calculer l inverse des nombres suivants : + i = i ( + i)( i) = i = i 3i = + 3i ( 3i)( + 3i) = + 3i i = = i 3 i ( 3 + i)( 3 i) = 3 i = i i = i i i = i = i Propriété 5 Soit z et z deux nombes complexes, alors : ( z ) = z ( z z ) = z z III Forme trigonométrique III. Module d un nombre complexe Définition 5 Le module du complexe z est le réel positif noté z tel que z = z z = a + b Remarque 3 Si a est un réel, a = a a = aa = a car a = a La notion de module dans C généralise donc celle de valeur absolue dans R Exemple 6 Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants : 3 + 4i = = = 5 = 5 i = + ( ) = + = 5 i = ( 5) + ( ) = = 9 5 = 5 9i = = 8 = 9 Propriété 6 z = 0 z = 0 z = z = z z z = z z z = z z z = z z -6-

7 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 III. Argument d un complexe non nul Définition 6 Soit z = a + ib non nul et M le point d affixe z On appelle argument de z tout nombre réel θ tel que θ = ( u, OM)[ π] On note θ = arg(z) cos θ = θ vérifie : sin θ = a a + b b a + b Exemple 7 Trouver un argument des nombres complexes z i suivants : cosθ = = z = + i : + = sinθ = = + = θ = π 4 arg( + i) = π 4 z = + i 3 : cosθ = sin θ = + 3 = = 4 = 3 = 4 θ = π 3 arg( + 3i) = π 3 Propriété 7 Propriétés algébriques des arguments : arg(zz ) = arg(z) + arg(z )[π] arg( ) = arg(z) = arg(z)[π] z arg( z z ) = arg(z) arg(z )[π] Exemple 8 D après l exemple précédent, on obtient : arg(z z ) = arg(z ) + arg(z ) = π 4 + π 3 = 7π arg( z ) = argz = π 4 arg( z z ) = arg z arg z = π 4 π 3 = π -7-

8 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 III.3 Forme trigonométrique On se place dans un plan muni du repère (O; u ; v ) Définition 7 Tout nombre complexe non nul z peut-être écrit sous la forme z = r(cos θ + isin θ) avec : arg(z) = θ R est l argument de z z = r R + est le module de z cette écriture s appele la forme trigonométrique de z b = r sinθ M(z) r = a + b v θ 0 u a = r cos θ Pour trouver la forme trigonométrique d un nombre z, il faut donc calculer successivement le module et l argument de z Exemple 9 Déterminer la forme trigonométrique des nombes suivants : + i = z = i : cosθ = r = et θ = π sinθ = i = z = i : cosθ = r = et θ = π sinθ = 6 i = [ ( cos π ) ( + i sin π )] 4 4 [ ( π ) ( π )] 3 + i = cos + i sin 6 6 Remarque 4 Dans certains cas, il est inutile de faire tous les calculs : la forme trigonométrique se "voit" : = cos( 0 + isin 0 donc = et arg() = 0 π ( π i = cos + isin donc i = et arg(i) = ) ) π Pour conclure, on peut dire que : Les formes trigonométriques sont adaptés aux produits de complexes Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes -8-