Les nombres complexes

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1 A) Forme algébrque des nombres complexes Théorème (adms) Il exste un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté, vérfant les tros proprétés suvantes :. content ;. Il exste dans un élément tel que : -; 3. Tout nombre complexe s écrt d une manère unque a + b où a et b sont réels.. est mun d une addton et d une multplcaton qu vérfent les mêmes proprétés que l addton et la multplcaton de. L équaton x + admet alors et (-) comme solutons. dans Défnton Sot a + b avec a, b. Le réel a s appelle parte réelle de et on écrt Re() a. Le réel b s appelle parte magnare de et on écrt Im() b. L écrture a + b s appelle écrture algébrque ou cartésenne. S la parte réelle de est nul, est appelé un magnare pur.. On a ben : car tout réel x s écrt : x x +.0. Les réels sont des nombres complexes de parte magnare nulle.. Attenton : l écrture a + b ne désgne une forme algébrque que s a et b sont des réels. En partculer, + 3 n est pas une forme algébrque, ans que + (5 3). La forme algébrque de + 3 est plutôt : a + (3 + b). Pour + (5 3), ça sera : La parte magnare de a + b est b et non b.. Re( + ) Re( ) + Re( ), Im( + ) Im( ) + Im( ). 5. Aye le réflexe suvant : 0 est magnare pur. Mas: on ne parle jamas n de complexes posfts, n de complexes négatfs. 6. Un nombre complexe, dont la parte magnare vaut 0, est un réel. Année page - 7

2 Proprété Sot un nombre complexe. On a :. est réel Im() 0;. est magnare pur Re() 0; 3. 0 est le seul nombre réel et maganre pur à la fos. + est un nombre complexe. On a : Re() et Im(). Sot + 3, alors Re() et Im() 3. Proprété (égalté de deux nombres complexes). Sot a + b et a + b deux nombres complexes. Alors et sont égaux s et seulement s' ls ont mêmes partes réelle et magnare: a + b a + b a a et b b.. En partculer, a + b 0 (a 0 et b 0). Théorème Sot a + b et a + b deux nombres complexes. On a :. + (a + a ) + (b + b ).. (a a b b ) + (a b + a b ). Sot + 3 et -. On a : +. ( + ) ( )(3 + ) Proprété. L addton dans vérfe les proprétés suvantes : - Pour tout, Pour tout, + (-) 0 avec -a b ) La multplcaton dans vérfe les proprétés suvantes : - Pour tout,.. - Pour tout, avec a b a a b a b b Année page - 7

3 Théorème. L addton dans vérfe : Pour tout, et 3 de, + + a + a + (b + b ) ( + ) ( + 3 ).. La multplcaton dans vérfe : Pour tout, et 3 de, ( ) 3 ( 3 ) ( + 3 ) + 3. On constate que les opératons de calculs dans obéssent aux mêmes règles que dans. Donc dans les calculs sur, ne précptons pas sur la forme algébrque. On rasonne le plus longtemps possble avec la varable et on ne passe à la forme algébrque que lorsqu on ne peut plus avancer. Notaton Sot un nombre complexe. Pour tout naturel n non nul, on pose : n (n fos). Par conventon : s est non nul, on note : 0. S est non nul, on note : -n n. Proprété (nouvelle dentté remarquable) Pour tout réels a et b, on a : a + b (a + b)(a b).. En partculer, ayons le réflexe d écrre : + ( + )( ). Il n y a pas d uncté de la décomposton car on peut auss écrre : + + ( + )( ).. Retene : ( ) - et ( + ). Cette remarque nous permet de dre que tout nombre complexe magnare pur est un carré. En effet s avec +, alors on peut écrre : ( ) [( + ) ]. S < 0, alors : -(- ) [( ) ]. Année page 3-7

4 s Cherchons une expresson de n en foncton de n. Pour cela, calculons d abord : - -; ; -. 3.(-) ; Lorsqu on calcule p, on peut exprmer n en foncton de p. Ic p et on sat que tout enter postf n s écrt sous la forme : n k + r avec k et r {0,,, 3}. On conjecture et on prouve par récurrence: n, n +, n + - et n En effet s n k +, alors n k ( ) k. Donc s n k +, alors n k + -. S n k + 3, alors n k Cela nous permet d écrre : car La forme algébrque de est : -. Il s ensut que : -n n (-) n (-) n n. Mettons 3 ( ) 3 sous forme cartésenne: 3 ( ) 3 3 ( + )( ) ( ) 3 ( + )( ) (-3 + )( ). 3 3 Mettons 7 3 sous forme algébrque : 7 3 ( 7)(3 ) Cherchons à résoudre dans l équaton : (5 + ) On a : (5 + ) (5 + ) ( ) ( )( ) -. Année page - 7

5 B) Interprétaton géométrque Défnton On appelle plan complexe un plan affne euclden P rapporté à un repère orthonormé drect (O, u, v ). Défnton A tout nombre complexe a + b, on peut lu assoce un pont unque M(a, b) de coordonnées (a, b), appelé pont mage de et on le note M(). A tout pont M(a, b) de coordonnées (a, b) du plan, on peut lu assocer un unque nombre complexe a + b, appelé affxe de M. On le note M.. La notaton M( ) se lt alors «M d affxe».. Le nombre complexe 0 a pour mage le pont O. Théorème Sot P un plan rapporté au repère orthonormé drect (O, u, v ). A tout nombre complexe a + b, on peut lu assoce un vecteur unque appelé vacteur mage de et on le note OM ( ). OM a u + b v. A tout vecteur OM a u + b v du plan, on peut lu assocer un unque nombre complexe a + b, appelé affxe de M. On le note M.. S M( ) est un pont d affxe, alors le vecteur OM est l mage de.. Le complexe 0 a pour mage le vecteur nul. 3. Deux ponts du plan sont confondus s et seulement s ls ont même affxe.. est réel s et seulement s M() appartent à l axe des abscsses. 5. est magnare pur s et seulement s M() appartent à l axe des ordonnées. Année page 5-7

6 Ans : l axe des abscsses sera appelé axe réel et l'axe des ordonnées sera appelé axe magnare. Proprété Sot w un vecteur du plan tel que w où B et A sont les affxes respectves de B et A. AB où A et B sont deux ponts du plan. On a : B A w Proprété.. B A où B et A sont les affxes respectves de B et A. AB Sot u et v deux vecteurs du plan ayant pour affxe et respectvement. u + v a pour affxe + ; Pour, u a pour affxe. Sot,, des réels tels que et A, B, C tros ponts du plan affectés des coeffcents, et. Le barycentre G du système {(A, ), (B, ), (C, )} a pour affxe : G A B C. En partculer s I est le mleu de [AB], on a : I (A + B ). Année page 6-7

7 C- Module d un nombre complexe Défnton Sot a + b, on appelle a b le complexe conjugué de. On a appelle module d un nombre complexe a + b avec (a, b) le réel postf noté défne par : a b.. Sot M l mage de a + b et M l mage de a b. Alors M et M sont symétrques par rapport à l axe des abscsses.. L nterprétaton géométrque du module est donné par la relaton : OM. Cette relaton vent du théorème de Pythagore. 3. Sot a, alors le module de est : a a. Donc pour un réel, le module coïncde avec la valeur absolue, ce qu légtme la notaton.. On a : - ; -. On fat attenton à ne pas confondre équvalence et mplcaton! Année page 7-7

8 s , 8 8, ,, - 3. Cherchons l ensemble des nombres complexes tel que. Posons x + y, alors on a : x y + xy x y xy 0 x y x y On a deux cas à examner : - S x 0, alors : y y y 0 0 ; - S y 0, alors x x, ce qu mplque : x x x (x ) 0 x 0 ou x ou x -. Donc on a sot 0, sot ou sot -. Comme on a une mplcaton, on vérfe que ces solutons vérfent ben. Il se trouve que c est la cas. Sot un complexe. Détermnons l ensemble D {M() P, 3}. On écrt : OM. Alors 3 OM 3. Donc D est un cercle de centre O et de rayon 3. On peut auss utlser la forme algébrque pour résoudre ce problème : posons x + y, x et y réels, on a : 3 x y 3 x + y 9 0. C est l équaton du cercle de centre (0, 0) et de rayon 3. Proprété _ S a + b, alors a + b. En partculer, on a : Année page 8-7

9 Proprété. Le conjugué de est.. est réel. 3. est magnare pur -.. Re() et Im(). Il est peut-être commode retenr sous la forme suvante: sot a + b. On a :. + a.re() donc + est un réel. b.im() donc est magare pur. Proprété ,.. n n, n ( 0 s n < 0) 5. \{0}, et.. Les résultats s étendent à la somme ou au produt de n nombres complexes.. Voc une méthode de recherche de l écrture algébrque d un quotent : Par exemple, on a :. 3 (3 )( ) ( )( ) M( ) est stué sur la dem-drote O et qu content M( ) : Année page 9-7

10 Proprété _. -.., 0 et et,....,. 5. *, 6. n n, n ( 0 s n 0) 7. et, + + (négalté trangulare). Sot On a : 5. Cherchons l ensemble des tel que : _ Utlsons la relaton:. On a : ( 3) (8 9) Consdérons le pont A( 3), B(-8 9) et M(). On est ramener à chercher M tel que: AM BM. L ensemble des ponts cherchés est la médane de [AB]. Cherchons l ensemble des nombres complexes tel que : ( + )( ). Nous allons donner deux méthodes. ère méthode ( + )( ) ( + )( ) + (-). Consdérons le pont A(-) et M(), alors on est ramené à chercher les ponts M tels que : AM. C'est un cercle de centre A et de rayon. Année page 0-7

11 ème méthode On peut auss utlser la forme algébrque. Sot a + b et calculons: ( + )( ) + 0 a + b + ( ) 0 a + b + (b) 0 a + b b 0 a + (b ) 0. C est l équaton d un cercle de centre (0, ) et de rayon. Cherchons l ensemble des ponts M() tels que :. On a : ( ). On consdère les ponts A() et B( ), alors : AM BM 0 et AM BM. BM L ensemble cherché est la médatrce de [AB]. Cherchons l ensemble des nombres complexes tels que : +. Consdérons les ponts M(), A() et B(-). On a : + AM BM AM BM 0 ( AM BM )( AM + BM ) 0 Sot I Bar{(A, ), (B, )} et J Bar{(A, ), (B, )}. On a : ( AM BM )( AM + BM ) 0 - IM.3 JM 0 M C([IJ]). Année page - 7

12 D) Argument et forme trgonométrque Défnton Sot * d mage vectorelle OM. On appelle argument de, noté arg(), une mesure quelconque exprmée en radan de l angle (, OM ) : arg ( u, OM ) [#].. 0 n a pas d argument. Donc ne pas parler d argument pour 0!. Deux arguments d un nombre complexe dffèrent d un multple de #. S et sont deux arguments de, on a : [#]. Les arguments d un nombre complexe non nul sont les nombres de la orme + k# avec k et l un quelconque de ses arguments. arg 0 [#], arg # [#], arg( + ) # [#]. ^ Proprété. S arg 0 [#] + *.. S arg # [#] - *. 3. S arg # [#] *. On peut explcter encore plus la proprété 3 ) : - y + * arg(y) # [#]; - y - * arg(y) 3# [#]. Construre l ensemble des ponts M() tel que arg() 3# [#]. On a : arg() ^ 3# [#] ( u, OM ) 3# [#]. L ensemble cherché est la dem drote prvée de son orgne O de vecteur drecteur w (- + ). Théorème Sot un nombre complexe non nul et M son mage dans un plan P. On a : ^.(cos +.sn ) avec ( OI, OM ) [#]. Récproquement s le nombre complexe s écrt r.(cos +.sn ) avec r > 0 et réel, alors : r et ^ ( OI, OM ) [#]. Année page - 7

13 L hypothèse r > 0 est essentelle. S l est strctement négatf, l faudra écrre : -r.(-cos + (-sn )). On cherche alors % tel que cos % -cos et sn % -sn. Dans ce cas, on pose -r > 0 et on a : Théorème.(cos % +.sn %) avec % # + [#]. Sot un nombre complexe non nul. Il exste r + * et [0, #] tel que: r.(cos +.sn ). Défnton L écrture r(cos +.sn ) avec r + * et [0, #] est appelée forme trgonométrque de. On peut toujours chosr dans l ntervalle ]-#, #[. On dt dans ce cas que est l argument prncpal. ) Attenton : la forme trgonométrque est de la forme r(cos + sn ), c est-à-dre que la parte réelle est un cosnus et la parte magnare un snus. En plus de cela, cos et sn agssent sur le même réel. Ans l écrture sn 5 # +.cos 5 # n est pas une forme trgonométrque. Pour passer à la forme trgonométrque, on utlse les formules sn x cos( # x) et cos x sn( # x). On a alors : # # 3# 3# sn +.cos cos +.sn # 3# Et l écrture cos +.sn est ben une forme trgonométrque. 0 0 ) Récaptulons : a- Sot r.(cos +.sn ). On a deux cas : & s r > 0, alors r et arg [#]; & s r < 0, alors -r et arg # + [#] b- Sot r.(sn +.cos ) avec r + * et, alors r et arg # [#]. 3 ) La forme algébrque est meux adaptée aux calculs avec des sommes et des dfférences. En revanche, la forme trgonométrque est meux adaptés dans les calculs de produts et de quotents. Proprété (relaton entre forme cartésen et forme trgonométrque) Sot a + b. On a : cos a a b, sn Sot - +. Cherchons sa forme trgonométrque : a b b et a b. ( ) (- + ) (- + ). Année page 3-7

14 On résout {cos - 3# et sn } et on trouve. Sot 3. Cherchons sa forme trgonométrque : ( 3) ( + ). 3 On résout {cos et sn 3 } et on trouve - 3 #. Sot - 3. Cherchons sa forme trgonométrque : ( ) ( 3) (- ). 3 3 # On cherche à résoudre {cos - et sn - } et on trouve # 5# Sot (cos + sn ). Cherchons sa forme cartésenne. Pour cela, calculons : 6 6 5# # # 5# # # 3 sn sn(# ) sn et cos cos(# ) -cos On trouve ans : ( 3 ) 3. Proprété. arg -arg [#].. arg (-) arg + # [#]. Preuve Il sufft de fare un dessn pour vor que ces relatons sont vraes : On peut compléter : * et + *, arg( ) arg() [#] et arg(- ) arg() [#]. # 3# On a : arg() [#] arg(-) [#]. arg( + ) # [#] arg(0( + )) # [#]. Année page- 7

15 Proprété Sot, et des nombres complexes non nuls. On a :. arg( ) arg( ) + arg( ) [#]. n, arg( n ) n.arg() [#] 3. arg -arg [#]. arg arg arg [#]. Cherchons arg 0. On a : # # arg( + ) et arg( ) - arg 0 # # # # (- ) arg 0. Donc on trouve : arg 5# [#]. Cherchons arg((cos sn )) : 0 arg((cos sn )) arg + arg(cos sn ) [#] # [#]. Attenton à : sn + cos cos( # ) + sn( # ). 3# Sot un nombre complexe de module 5 et d argument, un autre nombre complexe de module et d argument - #. Détermner le forme trgonométrque de et de. On a :..5 0 et arg() arg() + arg() [#] # [#]. De même: 5 et arg( ) arg() arg() [#] # [#]. De l autre côté, on pose Z -, alors : Z et arg(z) # [#]. Donc Z Z r et arg Z arg Z [#] r et # + k# avec k. 3 Année page 5-7

16 E) Equatons du type ² a Théorème Sot a un nombre complexe non nul d argument. L équaton a admet deux solutons dans qu sont [ a, et ] a. [, ] Nous avons utlser pour la démonstraton du théorème une méthode trgonométrque. Il exste une méthode algébrque pour calculer la racne d un nombre complexe. Cherchons à résoudre avec. Posons x + y avec x, y et a + b. On a : Alors x y a et xy b x y a, sgne( xy ) sgne(b) et x + y a b. x (a + a b ), y (-a + a b ) et x y D où xy et b ont le même carré pusqu ls ont même sgne : b xy. b Sot l équaton : On pose x + y et on a : -5 + x y x y xy x 8 y 8 xy 0 x y xy 9 0 x y 3 ou x y 3 Donc l ensemble des solutons est : S { + 3, - 3}. On constate que -. Année page 6-7

17 Sot l équaton :. Posons x + y, alors : D autre part, on a : x y + xy x y et xy -. On a donc : x + y. x y x y xy 0. On trouve x, et y,. On trouve : et - +. Année page 7-7

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