Faculté des Sciences de Luminy Année Licence MASS1 Unité Mat18 Exercices d analyse

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1 Faculté des Sciences de Luminy Année Licence MASS Unité Mat8 Exercices d analyse A.BROGLIO TD : Révisions.. Domaine de définition. Déterminer pour chaque valeur de f ci-dessous le domaine de définition de la fonction? f(x) = x + x 3 4x ; f(x) = 4x 6x 2 + 3x 5 f(x) = 2x 3 x 2 5x + 4 ; f(x) = 4x 3 x 2 4 f(x) = (x + 3) 3 2 ; f(x) = x + (x + 2) 2.2. quelques graphes. Tracer les graphes de f pour les valeurs données de c. On précisera les déplacements ou transformations effectuées. f(x) = x +c c = 0,, 3 ; f(x) = 2 (x) + c c = 0, 3, 2. f(x) = c 4 x 2 c =, 3, 2 ; f(x) = (x c) c = 0, 4, encore. Tracer les graphes de f, pour f(x) = 3x 2 ; f(x) = 2x + 3 (5) f(x) = x ; f(x) = x 2 f(x) = x + 2 ; f(x) = [x] f(x) = [ x] ; f(x) = [2x] f(x) = x [x] ; f(x) = x 2

2 2 A.BROGLIO (6) (7) f(x) = x + 2six, f(x) = x 3 si x < et f(x) = x + 3 si x (fonction définie par morceaux) f(x) = x 3 si x 2, f(x) = x 2 si 2 < x < (fonction définie par morceaux) et f(x) = x + 4 si x.4. Domaines de définition. Définir les fonctions f + g, f g, fg et f/g en précisant pour chacune le domaine de définition, lorsque puis lorsque f(x) = 2x x 4 ; g(x) = x x + 5, f(x) = 3 2x ; g(x) = x Composition de fonctions. Définir les fonctions f og, gof en précisant pour chacune le domaine de définition, lorsque, f(x) = x 5 ; g(x) = x 2 + 2x, f(x) = 3 x ; g(x) = x + 2, f(x) = 3 x ; g(x) = x 2 6, f(x) = x 3x + 2 ; g(x) = 2 x.6. Parité. Examiner l éventuelle parité des fonctions suivantes: (5) (6) f(x) = x 3 f(x) = ( 8x 3 3x 2) 3 f(x) = 6x 5 4x 3 + 2x f(x) = [x] + [ x] f(x) = sin(x) 2 f(x) = tan(x) 2

3 .7. Parité. Préciser, si elle est définie, la parité des fonctions suivantes: x ln + x x, x ], +[, x ex /x, x x + + x, x x 2 x, x ln(x + x 2 + ), x x + + x x. Si f et g ont une parité définie, g f a-t-elle une parité définie? Si oui, laquelle?.8. Fonctions classiques.. Rappeler la formule d addition pour sin(x + a). En déduire sin(2a). Dériver par rapport à x pour obtenir la formule d addition de cos(x + a). En déduire trois écritures différentes de cos(2a). 2. On rappelle que tan x = sin x ; donner la formule d addition pour tan(x + a) et en cos x déduire tan(2a). 3. Exprimer sin 2 x et cos 2 x en fonction de tan 2 x. 4. Soit a R, on rappelle que x a e a ln x pour x > 0. Montrer les égalités x 0 =, x a x b = x a+b, x a = x a, (x a ) b = x ab, x > Comparer (x x ) x et x (xx), pour x > 0, en les écrivant sous forme d exponentielles. 6. Déterminer le domaine de définition et simplifier les fonctions x f(x) = e ln x, x g(x) = e ln x, x h(x) = ln(e x )..9. Etude de fonctions. Etudier la fonction x f(x) = ln x x, et tracer sa courbe représentative..0. pour aller plus loin.. Montrer que le réel, est un rationnel. 2. Ranger, par ordre croissant, au sens de l inclusion, les sous-ensembles classiques de IR, en rappelant leur définition. 3. Est-il vrai que: La somme d un rationnel et d un irrationnel est un irrationnel? La somme de deux nombres irrationnels est un irrationnel? Le produit d un rationnel et d un irrationnel est un irrationnel? Le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel? Entre deux nombres réels distincts, il y a au moins un rationnel? Entre deux nombres réels distincts, il y a au moins un irrationnel? 3

4 4 A.BROGLIO TD 2: Intervalles, Limites 2.. Exercice. Résoudre les inégalités et exprimer la solution sous forme d intervalles x 8 > 5x + 3 x 3 4x 7 4 x 4 x + 2 > régionnement du plan. Soit P la parabole d équation y = x 2 2x. Définir par des inégalités les deux régions qu elle détermine dans le plan. On considère les droites D : y = x + et H : x y 2 = 0. Définir par des inégalités les quatre régions qu elles déterminent dans le plan La fonction partie entière. Rappeler la définition de la fonction partie entière de x, notée E(x). Puis:. Calculer E(2, 8), E( 2, 8), puis E(x), x n+ E(x), x n E(x), x n+ E(x), n N. x n Rappeler la définition de E(x) et en déduire l encadrement x < E(x) x. Tracer le graphe de cette fonction Equations.. Résoudre l équation x x = ( x) x. 2. Simplifier x A(x) avec A(x) = ln(ln x) ln x Quelles sont les solutions de l équation sin(θ) = /2? 2.6. Exercice. Démontrer l inégalité triangulaire suivante Pour tout réel x et y, x + y x + y 2.7. Exercice. Calculer sin(θ), cos(θ) et tan(θ) si θ = 5π 6 θ = 35 o 2.8. On considère la fonction f(x) = x E(x). Pour tout intervalle de la forme ]n, n + [ avec n Z, donner la forme explicite de la fonction f(x) restreinte à cet intervalle. En déduire les points de discontinuité de f et sa période. Graphe de f?

5 2.9. Partie entière. En n utilisant que l encadrement x < E(x) x qui définit la partie entière, démontrer les relations suivantes: x R, y R, E(x + y) = E(x) + E(y) + ɛ, ɛ = {0, }. x R, y R, E(x y) = E(x) E(y) ɛ, ɛ = {0, }. x R, n N, E( E(nx) n x R, n N, Σ n k=0 ) = E(x). E(x + k/n) = E(nx) Pour aller plus loin. Quelles sont les propriétés vérifiées par la fonction partie entière?. x R, n Z, E(x + n) = E(x) + n? 2. x R, n N, E(nx) = ne(x)? 3. x R, y R, E(x + y) = E(x) + E(y)? 4. E( x) = E(x) si x Z et E( x) = E(x) si x Z? 5

6 6 A.BROGLIO TD 3: Limites 3.. Limites.. Enoncer au moins 4 cas d indétermination. 2. Trouver les ites suivantes x x 2 2x 2 x, x ± x x2 x, x x + x 3 +, x + (x5 x 3 ), ( x x 2 ), 2 x 4 x 4 x + + 2x 3 x 2. x a ln x, (a > 0, b > 0). x b ln x 3. Déterminer les ites à droite et à gauche, en x = 0, des fonctions e /x, e /x +, e /x (e /x + ) Tracer le graphe de la fonction sinus. En déduire sans calcul l allure des graphes des fonctions x sin( x ), x x sin( x ), x x2 sin( x ). Regarder les ites lorsque x tend vers Exercice. Démontrer, à l aide de la définition de la ite, que: x 4 3x 5 = Exercice. Déterminer les ites x + 4 x 2x + 5, x 3 h 0 h 0 x + 4 = 3 x 5 x 2x sin(x) = + x 2 + 2x 3 x 2 + 7x + 2, (x + h) 3 x 3 h (x + h) 2 x 2 h 2x 3 6x 2 + x 3 x 3 x 3 x 2 6 x 4 x 2 h 3 + 8, h 2 h + 2, h 2 h 3 8 h 2 4

7 3.4. Exercice. Calculer les ites en a,a + et a, des fonctions suivantes, pour la valeur de a indiquée f(x) = f(x) = x 4 x 4, a = 4 x + 5 x + 5, f(x) = x x, a = 5 a = 6 7 f(x) = 5 2x x 2, a = 5/2 (5) f(x) = x 3, a = 0 (6) f(x) = x 8, a = Exercice. Une compagnie de téléphonie applique le tarif suivant: 0,20 euro la première minute, puis 0,2 les minutes suivantes. Quelle est la fonction f définie par morceaux qui donne le coût total d une communication en fonction du temps? si n est un entier positif, déterminer la ite de la fonction f lorsque la variable (t pour le temps) tend vers n + et n Exercice. Pour chacune des fonctions suivantes, dessiner le graphe représentatif et donner les ites à droite et à gauche au point n (ou n est un entier positif). f(x) = ( ) n si n x < n + (5) f(x) = n si n x < n + f(x) = [x] f(x) = x [x] f(x) = [ x]

8 8 A.BROGLIO 3.7. Exercice. En utilisant la définition d une suite, montrer que les fonctions suivantes n ont pas de ite: x en 0 x 4 en 4 x 4 sin( x ) en Exercice. En encadrant la fonction à étudier par deux fonctions ayant mme ite, montrer que x Exercice. Expliquer pourquoi x 0 x2 sin( x 2 ) = 0 x x4 + 4x = 0 xsin( x 0 x ) = 0 x 0 xsin( x ) ( x 0 x)( x 0 sin( x )

9 TD 4: Fonctions, Continuité 4.. Domaines,continuité.. Soit la fonction f(x) = x2 + x 6 pour x 2. Comment faut-il choisir f pour x 2 que f soit continue en x 0 = 2? 2. Soit la fonction f(x) = x2 5x + 4 pour x et f = 3. Est-elle continue en x 2 x =? 4.2. Propriétés des fonctions continues.. Dessiner des exemples de fonctions f continues (ou donner leur forme analytique), lorsque c est possible, qui transforment l intervalle I en J = f(i) dans les cas suivants: I = R J = [0, + [, I = R J = [0, ], I = [0, ] J =]2, 4], I = [0, [ J = R +, I =]0, [ J = R, I =]0, 2π[ J = [, ] 4.3. Fonctions définies par morceaux et continuité.. Soient les fonctions { 5 tan 2 x + a 2, x 0 4ch x x 0 x f(x) = x g(x) = 3 sin x + 0 < x < π a x < 0 2 cos x + a x π Déterminer les paramètres de façon que f et g soient continues sur leur domaine de définition Pour aller plus loin. Soit f une fonction continue en x 0. Montrer, en précisant les théorèmes du cours utilisés, que f est continue en x 0. Montrer, par un contre-exemple, que la réciproque est fausse. Pour aller plus loin Soit f une fonction continue sur un intervalle I de IR. Les affirmations suivantes sont-elles vraies? Si I est un intervalle borné, alors f est bornée et atteint ses bornes sur I. Si a et b sont deux éléments de I et si f(a) y f(b), alors il existe c entre a et b tel que y = f(c). Si I est un intervalle ouvert, alors f(i) est un intervalle ouvert. Si I est un intervalle fermé, alors f(i) est un intervalle fermé. 9

10 0 A.BROGLIO TD 5: Images,Fonctions réciproques 5.. Image. Pour les fonctions suivantes, déterminer Imf: f(x) = x ln x f(0) = 0, D f = R + f n (x) = x n e x n N, D f = R +, f(x) = (x a) 2 (x b) 2, D f = [a, b] Fonctions réciproques.. Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui admettent une fonction réciproque x f(x) = x /2 D f = R +, x f(x) = x D f = R, x f(x) = x 3 D f = R. Lorsque c est possible, donner la fonction réciproque en précisant son domaine et son image. 2. Soit la fonction x f(x) = x x + avec D f =], + [. Déterminer Imf. Montrer que f est une bijection continue de D f Imf. Calculer f et préciser D f et Imf. Comparer les graphes de f et f. 3. Soit la fonction x f(x) = x /x avec D f =]0, + [. Déterminer Im f. Montrer que c est une bijection de D f Im f et déterminer sa fonction réciproque f ainsi que D f Im f. Comparer les graphes de f et f Fonctions réciproques trigonométriques.. Donner quelques arguments qui montrent que la relation ne peut être que fausse. 2. Simplifier arctan x = arcsin x arccos x arcsin(sin x) x [ π/2, +π/2], arcsin(cos x) x [0, π]. En déduire que arcsin u+arcsin u 2 est une constante u [, ] que l on déterminera. 3. Simplifier sin(arcsin x), cos(arcsin x), sin(arccos x), x [, +]. 4. Résoudre sur R l équation arctan x + arctan( x) = π 2.

11 Pour aller plus loin 5.4. Calculs de fonctions réciproques. On définit les 3 fonctions f i pour i =, 2, 3 par: x f (x) = (x 2 ) 2 D f = [, 0], x f 2 (x) = (x 2 ) 2 D f2 = [0, ], x f 3 (x) = (x 2 ) 2 D f3 = [, + ].. Déterminer Imf i pour i =, 2, Montrer que chaque f i est une bijection continue de D fi Imf i. 3. Déterminer f i (x) en précisant pour chacune son domaine de définition et son image.

12 2 A.BROGLIO TD 6: Dérivées 6.. E. tudier la dérivabilité des fonctions: f(x) = x et g(x) = x x 6.2. Calculer les dérivées à droite et à gauche en 2 afin de démontrer que f n est pas dérivable en 2, si f(x) = [x 2] 6.3. Exercices de dérivation. Sans vous préoccuper du domaine de validité des fonctions, calculer et simplifier les dérivées des fonctions suivantes: ax + b cx + d, ax, a > 0, e sin x, ln( + tan 2 x), ch ( x), ln(x + x 2 + ), ch 2 x sh 2 x, ln(cos x), e x, (x x ) x, a th x, a > Dérivées successives. Calculer la dérivée nième de x p pour p N et de x xe x, x x + a, x x encore des calculs... Calculer les dérivées des fonctions suivantes: sin(x 2 ), x R, e /x, x R, 2 x, x R +, ln(ch x), x R graphe. Visualiser par un graphe la continuité et la dérivabilité pour x R des fonctions x x, x sin 2 x, x sin x La fonction f a -t-elle une tangente verticale, un point de rebroussement en (0, 0), pour, f(x) = x 3 (5) (6) f(x) = x 5 3 f(x) = x 2 5 f(x) = 3x 4 f(x) = 5x 3 2 f(x) = 7x Le graphe de la fonction f(x) = ax 2 + bx + 3 passe au point(2, 0), la tangente au graphe en ce point est parrallèle à la droite d équation y = 3x + 2. D eterminer f.

13 6.9. D eterminer les extrémas locaux ainsi que les intervalles de croissance et de décroissance de f. f(x) = 2x 3 + x 2 20x + f(x) = x x 3 3 f(x) = x 2 (x 2 4) 3 f(x) = 2x x D eterminer les extrémas locaux avecle test de la dérivée seconde, ainsi que les intervalles sur lesquels f est concave ou convexe, et les points d inflexion. f(x) = (x 2 ) 2 f(x) = cos x) + sin(x), x [0, 2π] f(x) = x 2 9 x 2 f(x) = x 2 3 (3x + 0) 6.. Exercices d entrainement. Calculer les dérivées des fonctions suivantes: f(x) = 5 x + 4x 2 + 5x 4 (5) (6) f(x) = x 2 (x 2 + 2x + 3) f(x) = f(x) = + x + x 2 + x 3 5 (x 5 32) 5 f(x) = sin( x + sin(x) f(x) = x 2 + tan( x Points d inflexion. Déterminer les (éventuels) points d inflexion des fonctions suivantes: x f(x) = + x 2, x f(x) = x 2 x2, x f(x) = 3 x 2 +.

14 4 A.BROGLIO 6.3. Accroissements finis.. Soit la fonction x x 2 pour x [a, b], un compact de R. Ecrire, après avoir rappelé les hypothèses de validité, le théorème des accroissements finis. On se propose de déterminer la valeur du paramètre c; pour cela on pose a = x, b = x + h et c = x + θh. Déterminer la valeur de h. 2. Mêmes questions pour la fonction x /x pour [a, b] R A l aide du théorème des accroissements finis démontrer les inégalités: x R : e x + x, x [0, + [: sin x x Pour aller plus loin: Vrai ou faux? Soit x 0 R et soit f une fonction à valeurs réelles: f dérivable en x 0 f continue en x 0? f dérivable en x 0 f continue en x 0? f non-continue en tout x x 0 f non-dérivable en x 0? f dérivable en tout x x 0 et f (x) existe x x0 f dérivable en x 0? 6.5. Pour aller plus loin: Fonctions C. Que signifie f C (R)? Donner deux exemples de telles fonctions choisies dans la liste suivante: x, sin 2 x, x, e x,, th x. x 2 +

15 5 TD 7: Dérivation des fonctions réciproques 7.. Dérivées diverses.. Calculer les dérivées des fonctions suivantes: 2. Simplifier la dérivée de arcsin( x), x ]0, [, e arctan x, x R. f(x) = arctan x + arctan x, x R. Peut-on conclure que f(x) = π/2 x R? 3. En utilisant la définition de la dérivée déterminer les ites arcsin x arctan x,. x 0 x x 0 x 4. Pour les fonctions hyperboliques inverses argsh x ln(x + x 2 + ), x R, argch x ln(x + x 2 ), x [, + [, et argth x 2 ln + x, x ], +[, x calculer et simplifier leurs dérivées Pour aller plus loin:fonction réciproque et dérivation. Soit la fonction x f(x) = arcsin(e x ), définie sur D f = R +.. Déterminer Imf. Sens de variation de f? Montrer que c est une bijection de D f Imf. 2. Calculer explicitement f et donner D f et Imf. 3. Calculer directement la dérivée de f en utilisant la forme explicite de f obtenue à la question précédente. Sur quel domaine maximal est-elle définie? Sens de variation de f? 4. Donner la formule qui exprime la dérivée d une fonction réciproque (f ). 5. En utilisant cette formule, vérifier la dérivée de f obtenue à la question précédente. Reprendre le même exercice avec les fonctions: x f(x) = x 2 x, D f = [0, ], x f(x) = x + x, D f = [, + [.

16 6 A.BROGLIO TD 8: Formules de Taylor et Développements ités 8.. Calcul de quelques DL.. Calculer les DL suivants DL(2, 0) + x ln( + x), DL(3, 0) e 2x x 2, DL(2, 0) DL(4, 0) cos x, DL(3, 0) cos(sin x), DL(4, 0) ln(cos x), DL(2, 0) e cos x. 2. Même question pour, DL(4, 0) x 2 + x, DL(4, 0) 2 x2 +, DL(4, 0) x, 2 et en déduire par primitive les DL(3,0) des fonctions réciproques circulaires et hyperboliques. Que peut-on dire du DL(2,0) de arg ch x? 8.2. Quelques ites. Utiliser les DL pour calculer les ites ( cos x e x2 /2, x 0 x 4 x 0 x sin x x 0 ), x[ln( + sin x) tan x] ( π ), sin x tan x x x + 2 arctan x Prolongement par continuité. Utiliser un DL pour obtenir le prolongement par continuité en x = 0 de f et de ses dérivées pour les fonctions définies dans R par x 2 ch x, ln( + tan x) sh x, x 3 Donner dans chaque cas les valeurs de f(0), f (0), f (0) Asymptotes. Soient les fonctions x 3 argsh x arcsin x. f(x) = x 2 2ax +, a ±, f(x) = arctan x + x, f(x) = x 3 x 3 + 3x 2 + 6x + 4. Déterminer l équation f as (x) de son asymptote lorsque x ±. Préciser la position de f par rapport à l asymptote Equivalents. Donner un équivalent lorsque x 0 des fonctions a x, a R e x + e x 2 +\{},, + 2ax + x ax + 3 x 2 2 x2, a R. On rappelle que 0 ne peut pas être un équivalent! 8.6. DL décalés.. Donner le DL(4, ) de e x. 2. Donner le DL(5, π/2) de cos x. x2 3. Donner le DL(4, ) de. x

17 POUR ALLER PLUS LOIN 8.7. Extremum local ou inflexion? Soit f une fonction C 5 sur R. On considère un point x 0 R pour lequel on a a) f(x 0 ) = f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (5) (x 0 ) =, b) f(x 0 ) = f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = f (5) (x 0 ) = 0, c) f(x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0 f (5) (x 0 ) = 0, d) f(x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (5) (x 0 ) = 0, e) f(x 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (5) (x 0 ) =. Décider, en utilisant la série de Taylor, pour chaque cas si x 0 est un maximum local, un minimum local ou un point d inflexion Quelques DL. Calculer les DL: DL(3, 0), DL(5, 0) arcsin( + x), DL(4, 0) ln( + sh x), sin(x + π/4) DL(3, 0) sin(2x 4x 2 ) 2 sin(x 2x 2 ), DL(3, 0) fracsh x ln( + x), DL(4, 0) e arcsin x e sin x. 7

18 8 A.BROGLIO 9.. Aires.. Calculer les intégrales TD 9: Primitives et intégrales 6 (2 + 3x)dx, 6 (4 x)dx, puis vérifier vos résultats par des arguments géométriques. 2. Calculer la surface comprise entre la parabole f(x) = x 2 et la droite f(x) = x pour x [0, ]. 3. Calculer 0 ( x2 x) dx, 0 ( x2 /4 (/2 x) 2 ) dx, puis vérifier vos résultats par des arguments géométriques. On rappelle que l équation cartésienne d un cercle de centre (x 0, y 0 ) et de rayon R est (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R Primitives et intégrales avec indications.. Calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes par décomposition en éléments simples x 2 = a x + b x +, x x 2 = a x + b x +, 4 x 3 + 4x = a x + bx + c (parité). x Calculer les primitives des fonctions trigonométriques sin 2 x, cos 2 x, sin 3 x, cos 4 tan 2 x x, tan x, + tan 2 x. 3. Montrer leur existence puis calculer, par changement de variable, les intégrales ln ex dx t t 2 dt (poser e x = t), (poser t = 5 sin s), π/2 0 2 ln s s 2 ds (poser s = et ), sin 3 t dt (poser cos t = x). 4. Montrer que les intégrales suivantes existent, puis les calculer par ipp: e x n }{{} ln x dx, n N, u 3 / 3 arctan }{{ s} ds, u 3/2 /2 arcsin }{{} t dt. u 9.3. Primitives et intégrales.. Etudier l existence des intégrales suivantes, et les calculer si elles existent, par changement de variable 2 x e x2 dx, /2 0 e x ch x dx, π/2 0 (tan x) 3 dx, +π/2 2. Etudier l existence des intégrales suivantes, et les calculer si elles existent x x + 2 dx, 0 dx x 2 + a 2, 0 x dx, a > 0, x 2 + a2 0 π 0 sin 3 x cos 2 x dx. sin 2 x cos 2 x dx, π/2 π/4 dx sin 2 x.

19 9.4. Pour aller plus loin: Intégrales fonction de leurs bornes.. Calculer les dérivées des fonctions suivantes: x 2x tan x e u du du, (sh t ch (2t))dt, 0 x 0 (u 2 + ) Préciser, pour les intégrales suivantes, si elles sont croissantes ou décroissantes en x: x 2x ch t dt, e u2 du, e v2 dv. x 9.5. pour aller plus loin:valeur moyenne. Soit f(x) une fonction réelle, continue et périodique, de période T. On définit sa valeur moyenne comme l application qui à f(x) associe le réel f(x) défini par a+t f(x) = f(x)dx, a R. T a On admet que la valeur moyenne est indépendante du choix de a. On a deux choix commodes a = 0 ou a = T/2. Calculer les valeurs moyennes de, sin x, cos x, sin x cos x, sin 2 x, cos 2 x, sin 2 x cos 2 x. 9

20 20 A.BROGLIO TD 0: Etudes de fonctions 0.. Graphes. Soit f la fonction définie sur l ensemble des réels positifs, par x x 2 2x. Dessiner les graphes des fonctions suivantes: x f(x), x f( x), x f(x), x f(x), x f( x) x f(x ), x f 2 (x), x (f(x)) Tangentes. Soient les fonctions f(x) = 2 x+2 (2 x ), f(x) = + x. Montrer que ces fonctions sont dérivables en x = 0 et déterminer l équation de leur tangente f T (x) en x = 0 puis préciser la position de f par rapport à f T Asymptotes. Déterminer l équation des asymptotes pour x + des fonctions suivantes et préciser leur position par rapport à la fonction considérée: x 2 x 2, x 3 + x x 2, x2 3x Etude de fonctions. Etudier les variations et dessiner le graphe de la fonction x 3 x2. x f(x) = + cos(2x) 2 cos x. On réduira l intervalle de l étude en utilisant les symétries de f. Soit la fonction x (x + 2)e /x. Calculer les ites à droite et à gauche en x = 0. Quel est le domaine maximal de continuité D f? Cette fonction est-elle dérivable sur D f? Calculer sa dérivée pour x D f. Déterminer les dérivées à droite et à gauche en x = 0. Quel est le domaine maximal de continuité D f? Déterminer les points d inflexion. (5) Montrer que pour x ± f est asymptote à une droite (D) dont on donnera l équation cartésienne y = f as (x). Préciser la position de la courbe par rapport à l asymptote. (6) Tableau des variations et graphe de f. POUR ALLER PLUS LOIN 0.5. Asymptotes. Déterminer l équation des asymptotes pour x + des fonctions suivantes et préciser leur position par rapport à la fonction considérée: (x + ) 3 (x ), x + 2 x2, (x 2)e x3 3x 2 2x + 2 x 3, x +. x x +

21 2 TD : Dérivées partielles.. Calculs de dérivées partielles et de différentielles.. Après avoir déterminé les domaines de définition, calculer les dérivées partielles premiéres et les différentielles des fonctions suivantes: f = ax + by, f 2 = xy, f 3 = x/y, f 4 = x 2 + y 2, f 5 = e xy. 2. On passe aux coordonnées sphériques par φ : x = r cos θ, y = r sin θ. Exprimer F (r, θ) = f φ(x, y). Calculer les dérivées partielles premières et la différentielle des fonctions F i = f i φ pour i =, Théorème de Schwartz. Soient les fonction (x, y) R 2 f(x, y) = xy(x 2 y 2 ), (x, y) R 2 f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ).. Calculer les dérivées partielles premières et écrire la différentielle df. 2. Calculer toutes les dérivées partielles secondes et vérifier le théorème de Schwarz. Pour aller plus loin.3. Théorème de Schwarz et laplacien. Soient les fonctions de R 2 R: f(x, y) = x 5 0x 3 y 2 + 5xy 4, f(x, y) = x sin y + y sin x, f(x, y) = sin x ch y, et (x, y) R 2 \{(0, 0)} f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ).. Calculer les dérivées partielles f f et et écrire la différentielle df. x y 2. Vérifier le théorème de Schwarz. 3. Calculer et simplifier le Laplacien de f défini par f 2 f x + 2 f 2 y. 2

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