C f. 1 u.a. B x 1 A' E4 E2. 1 u.a. a. OJ = et K le point tel que OIKJ. OI = i, J le point tel que

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Antonin Valentin Pruneau
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1 CLCULS 'IRES. INTEGRLES. PRIMITIVES ) Intégrle d'une fonction. Soit f une fonction définie sur [ ; ] et C s coure représenttive dns un repère orthogonl ( ; j ). Si I est le point tel que I i, J le point tel que J = et K le point tel que IKJ J est un rectngle, on ppelle unité d'ire et on note u. l'ire du rectngle IKJ. o K I Prop et déf : Si f est continue et positive sur [ ; ], on dmet que le domine E situé sous l coure (entre l coure, l'e des scisses, les droites d'équtions = et = ) dmet une ire. n ppelle intégrle de à de l fonction f, l'ire, en unités d'ire, du domine E. n l note f () d = (E). K Remrque : E est l'ensemle des points M( ; ) tels que f () f () d = f (t) dt = f (u) du =.. o ' Eemple = 5 ( + ) d. l coure est ici l droite d'éqution = +. est l'ire du trpèze '' (' + ') (3 + 6) 3 donc = = = 3,5 u.. ' C f éf : Si f est continue et négtive sur [ ; ], on ppelle intégrle de à de l fonction f, l'opposé de l'ire, en unités d'ire, du domine E situé entre l coure et l'e des scisses. n l note f () d = (E). u.. ' Remrque : si f, l'ire est comptée positivement si f, l'ire est comptée négtivement. on dit que l'intégrle est une ire lgérique. ' éf 3 : Si f est continue et de signe non constnt sur [ ; ], on ppelle intégrle de à l somme des "ires lgériques" des domines situés entre l coure et l'e des scisses. ici f () d = E + E E 3 + E 4. u.. E4 E E3 C f E éf 4 : Si l fonction f est continue sur un intervlle I, pour tous réels et de I, si f () d = f () d si = f () d =.

2 ) Propriétés de l'intégrle. ) Reltion de Chsles. prop : Soit f une fonction continue sur un intervlle I,,, c trois réels de I c f () d + c f () d = f () d c ) Linérité. Th : Soit f et g deu fonctions continues sur un intervlle I,, deu réels de I, k un nomre réel. [k.f ()] d = k f () d (f + g) () d = [f () + g()] d = f () d + g () d c)positivité et ordre. Th : Soit f et g deu fonctions continues sur un intervlle [, ] ( ) si f est positive sur [ ; ] lors f () d si f est négtive sur [ ; ] lors f () d si f g sur [ ; ] lors f () d g () d remrque: les réciproques sont fusses : si f n'est ps de signe constnt, l'intégrle peut être positive ou négtive suivnt les eemples. d) Vleur moenne d'une fonction. Th 3 : Inéglité de l moenne. Si f est une fonction continue sur [ ; ] telle que pour tout de [ ; ], m f () M, lors m ( ) f () d M ( ) dns le cs où f est positive sur [ ; ], l'ire sous l coure est comprise entre l'ire du rectngle C et l'ire du rectngle EF F M E éf 5 : Si f est une fonction continue sur [ ; ], on ppelle vleur moenne de f sur [ ; ] le réel µ = f () d on m µ M dns le cs où f est positive sur [ ; ], l'ire sous l coure est égle à l'ire du rectngle GH. m F M H µ m C E G C e) ire comprise entre deu coures. Th 4 : Soit deu fonctions f et g continues sur [ ; ],vec f g ; l'ire du domine compris entre les coures, représenttives des deu fonctions et les droites d'équtions = et = est ( g f ) () d.

3 f ) Fonction pire, fonction impire. th 5 : Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle [- ; ], où est un réel. Si f est une fonction pire lors f () d = - f () d. Si f est une fonction impire lors f () d = ) Intégrles et primitives. ) Primitive d'une fonction. éf 6 : Soit f une fonction continue sur un intervlle I. n ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivle sur I telle que F ' = f. Prop 3 : Si f est une fonction continue sur un intervlle I et si pprtient à I, lors l fonction F définie sur I pr F () = f (t) dt est une primitive de f sur I. Prop 4 : Toute fonction continue sur I dmet une infinité de primitives sur I. Si F est une primitive de f, lors l'ensemle des primitives de f sur I est l'ensemle des fonctions G telles que G() = F() + k vec k réel. e : sur ] ; + [, l fonction ln est une primitive de l fonction, les primitives de l fonction ln sont donc les fonctions G telles que G() = ln + k vec k réel. Prop 5 : Si est un réel donné dns I et un réel quelconque. lors il eiste une primitive et une seule F de f sur I telle que G( ) =. Th 6 : Si f est une fonction continue sur un intervlle I et si pprtient à I, lors l fonction F définie sur I pr F() = f () d est l'unique primitive de f sur I s'nnulnt pour =. ( F() = ). ) Clcul d'une intégrle à l'ide d'une primitive. Th 7 : Si f est une fonction continue sur un intervlle I et si et pprtiennent à I, lors, pour toute primitive F de f sur I, f () d = F() F(). e : d = [ ln ] = ln ln = ln. 4 ) Clculs de primitives. ) Primitives des fonctions usuelles. f () F () intervlle de vlidité k k + C IR n, n IN n + n + + C IR ln + C ] ; [ou ] ; + [ = - + C ] ; [ou ] ; + [ = / + C ] ; + [ l dérivée de 3 est 3 3 = 3 ² l dérivée de 3 3 est 3. 3 ² = ² donc 3 3 est une primitive de ². de même : 4 4 est une primitive de 3. l'eposnt ugmente de et on divise pr le nouvel eposnt.

4 n, n entier négtif n - α, α IR {-} α + n + n + + C ]- ;[ ou ] ; + [ α + + C ] ; + [ e e +C IR cos sin + C IR sin - cos + C IR e e + C IR ttention l dérivée de sin est cos mis une primitive de sin est cos cr ( - cos )' = (cos )' = (- sin ) = sin de même l dérivée de cos est sin mis une primitive de cos est sin cr ( sin )' = cos ) Primitives des fonctions composées usuelles. f () vec u dérivle sur I et primitive u n, n z, n - u ne s'nnule ps sur I u n + qund n - n + + C u ne s'nnule ps sur I u ² u + C u > sur I u + C u u ne s'nnulnt ps donc de ln u + C u de signe constnt sur I e u e u + C cos u sin u + C sin u cos u + C u( + ) U une primitive de u U( + ) + C e 3 (3 4 ) 5 d = 3 (3 4) = 3 ( (-) 6 ) = 6 3 ( 565 ) = 64 = c) Méthode d'intégrtion pr prties. Th 8 : Si u et v sont deu fonctions dérivles sur I telles que et v' soient continues sur I, lors pour tous réels et de I : u() v'() d = [u() v()] () v() d e clculer ( + ) e d on ne connît ps directement une primitive de ( + ) e on pose u() = + donc () = on v dériver u cr on v psser du degré u degré (une constnte) v '() = e donc v() = e - donc ( + ) e d = ( + ) e - e - d = e - - e - + e d = e + + e - = e + + ( e - - e - ) = e + e = 5 e e clculer e ( ) ln d on pose u() = ln donc () =. v '() = ( ) donc v() = ² e ( ) ln d = ln ( ² ) e e ( ² on ne connît ps de primitive de l fonction ln, on v donc l dériver e ² ) d = [ln e ( e) ln ( )] e ( ) d = e ² e ² e = e ² e [ ( e ² 4 e) ( 4 )] = e ² e e ² 4 + e 7 4 = e ²

5 5 ) Clcul de volumes. éf 7: unité de volume. L'espce étnt muni d'un repère orthogonl ( ; k ), on ppelle unité E C F de volume et on note u.v.,le volume du prllélépipède CEFG G tel que i, j, C k. o Th 9 (dmis) : L'espce étnt muni d'un repère orthogonl ( ; k ), soit et deu réels tels que et S un solide compris entre deu plns P() et P() prllèles d'équtions respectives z = et z =. Soit P(t) le pln perpendiculire à l'e (z) d'éqution z = t, et S(t) l'ire de l section du solide S pr le pln P(t). Si l fonction t S(t) est continue sur l'intervlle [; ], lors le volume V du solide, en u.v. est donné pr V = S(t) dt. Th : L'espce étnt muni d'un repère orthonorml ( ; k ), soit et deu réels tels que. Soit f une fonction continue et positive sur [; ], et C s coure représenttive dns le repère ( ; j ). n note le domine limité pr C, l'e ( ; i ) et les droites d'équtions = et =. lors le volume V du solide de révolution engendré pr l rottion de utour de l'e ( ; i ) est V = π ( f (t) )² dt u.v. 6 ) Cinémtique. Prop 6 : Soit un moile M en mouvement sur une droite munie d'un repère ( ; i ). dx(t) Soit les fonctions X : t X (t) et V t X ' (t) = qui représentent respectivement l'éqution du dt mouvement et l vitesse du moile M. L vitesse moenne du moile entre les instnts t et t (t < t ) est le réel: t t t t V(t) dt. e : un moile se déplce sur une droite, s vitesse est donnée pour t pr V(t) = -5 t +. Clculer s vitesse moenne entre les instnts et 5. v -5 = 5 5 (- 5 t + ) dt = 4 5 t ² + t 5 = 4 [ ( ) (- 5 + )] = 5 on peut vérifier : s position est donnée pr une primitive de V : X = - 5 t ² + t. X() = 5 et X(5) = - 5 ; l'écrt des positions est -4 = - pour un écrt de temps de 4 s; l vitesse moenne est ien - 5 RESTITUTIN RGNISEE E CNNISSNCES Pré-requis : " Soit f et g deu fonctions définies et continues sur un intervlle I de IR. Soit et deu réels pprtennt à I tels que. Si pour tout de [; ], f (), lors f () d. ". questions de cours. ) Soit f et g deu fonctions définies et continues sur un intervlle I de IR. Soit et deu réels pprtennt à I tels que. émontrer les propriétés suivntes : (P ) : [ ; ], f () g () f () d g () d. (P ) : si m et M sont deu réels tels que pour tout de [ ; ], m f () M, lors m ( ) f () d M ( ). ) Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I de IR, soit et deu réels pprtennt à I. émontrer l propriété suivnte : (P 3 ) : si M est un réel strictement positif tel que pour tout de I f () M, lors f () d M.. ppliction : émontrer que : pour tout réel et tout réel, sin() sin(). Réponse : on v utiliser l propriété (P 3 ) vec f (t) = cos t. cos t dt = [ sin t ] = sin sin. pour tout réel t, cos t donc cos t. onc d'près l propriété (P 3 ) cos t dt donc sin sin.

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