Les intégrales. A aire sous la courbe sur [0 ; 1] II. Deux points de vue. 1 ) 1 er aspect : avec les suites. Méthode des rectangles (Pascal Riemann)

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1 TS I Inroducion ) Prolème Les inégrles II Deu poins de vue ) er spec : vec les suies Méhode des recngles (Pscl Riemnn) f es une foncion définie, coninue e posiive sur un inervlle [ ; ] ( ) On se propose de clculer dns le pln muni d un repère orhogonl l ire du domine limié pr f, l e des scisses e les droies d équions e f : y ) Hisorique Méhode des recngles : Pscl Riemnn suies O i Méhode des foncions : Leiniz Newon dérivées e primiives uchy Riemnn (XIX e siècle) : clcul inégrl A ire sous l coure sur [ ; ] On sudivise [ ; ] en n inervlles O Avec le héorème des gendrmes, on démonre que : A = u unié d'ire i ee méhode es générlisle

2 ) e spec : vec les foncions dérivées e les primiives (Newon Leiniz) Qudrure de l hyperole pr Grégoire de Sin-Vincen III Définiions onséquences ) Remrque : y A S f es une foncion définie e coninue sur un inervlle I Nous svons que f dme des primiives sur I (héorème de Drou) onsidérons deu primiives F e G sur I Il eise donc un réel k el que I F G k Én donnés deu réels e quelconques dns I, on : F F G k G k G G ) Définiion f es une foncion définie e coninue sur un inervlle I O i F es une primiive de f sur I e son deu réels quelconques dns I S : ire sous l coure sur l inervlle [ ; ] On démonre que S es dérivle sur omme ; e que ; S ' S, on en dédui que ; S ln Le nomre F F ne dépend ps de l primiive F choisie On l ppelle «inégrle de à de f» On le noe f d Ainsi, f d F F ee méhode es générlisle f es coninue e posiive sur [, ] F F où F es une primiive de f ) Noions : symole d inégrion (S llongé e déformé) L écriure f d es puremen symolique e son les «ornes d inégrion» Il y ouours ornes d inégrion es ornes s inerprèen comme des scisses dns le 5 ) L ordre des ornes une impornce On n ps forcémen l plus peie orne en s e l plus grnde en hu Voir règle du IV ) es l «vrile d inégrion» : vrile muee, c es-à-dire que l on peu le remplcer pr n impore quelle ure lere (, u ) ure que f,, (e d) O i Le «d» n ps grnde significion Il ser à délimier l inégrle Il ser ussi à préciser l vrile pr rppor à lquelle on inègre Il n ps d influence sur le clcul 6 mrs d indique l vrile 4

3 4 ) Aure noion F F se noe ussi F On écri f d F 5 ) Inerpréion géomérique f es une foncion posiive ou nulle e coninue sur un inervlle [ ; ] IV Propriéés de l inégrle pour les ornes ) Propriéé : ordre des ornes f es une foncion coninue sur un inervlle I e son deu réels quelconques dns I f d f d Aenion à l ordre des ornes Démonsrion : On noe F une primiive de f sur I i A f d F F F F f d ) Propriéé A d f Nous y reviendrons dns le prgrphe VIII f es une foncion coninue sur un inervlle I es un réel quelconque dns I d f 6 ) Eemple lculer l inégrle I 5 d Eisence de l inégrle : L foncion f : 5 es coninue sur comme foncion polynôme donc sur l inervlle [ ; ] Donc f es inégrle sur [ ; ] lcul pr l «méhode des croches» : Démonsrion : On noe F une primiive de f sur I f d F F ) Relion de hsles f es une foncion coninue sur un inervlle I conenn,, c c c f d f d f d une primiive I 5 5 I 5 (on psse en numérique) I On peu vérifier les résuls sur clculrice (voir prgrphe XII) Démonsrion : c f d f d F c F F F c c F F f d 5 6

4 V Propriéés pour les opérions lgériques (linérié de l inégrle) ) Propriéé (inégrle d une somme) VI Inégrles e inégliés ) Propriéé (signe d une inégrle) f e g son deu foncions coninues sur un inervlle I conenn e On : f g d f d g d Démonsrion : On noe F une primiive de f sur I On noe G une primiive de g sur I On si que F G es une primiive de f g d f g F G F G F F G G f d g d ) Propriéé (inégrle du produi d une foncion pr une consne) f e g son deu foncions coninues sur un inervlle I conenn e es un réel quelconque On : f d f d Démonsrion : f es une foncion coninue sur un inervlle [ ; ] Si f sur [ ; ], lors f d (posiivié de l inégrle) Si f sur [ ; ], lors f d Démonsrion : On noe F une primiive de f sur [ ; ] d f F F er cs : f sur [ ; ] F ' f donc F es croissne sur [, ] D où F F Donc f d e cs : f sur [ ; ] Idem Remrque : Il fu ien remrquer que On noe F une primiive de f sur I On si que F es une primiive de f d f F F F F F F f d (on effecue une fcorision) ) Propriéé («croissnce» de l inégrle) f e g son deu foncions coninues sur un inervlle [ ; ] Si f g sur [ ; ], lors f d g d Démonsrion : On si que : f g sur [ ; ] Donc f g sur [ ; ] e f g es coninue sur [ ; ] D près ), on donc : f g d Or pr linérié de l inégrle 7 8

5 f g d f d g d f d g d D où Pr suie, f d g d ee propriéé perme de comprer des inégrles, d élir des inégliés enre inégrles sns les clculer VII Formule d inégrion pr pries (IPP) ) Formule d IPP u e v son deu foncions définies e dérivles sur un inervlle I elles que u ' e v ' soien coninues sur I e on deu réels quelconques dns I u ' v d u v u v ' d On : ) Démonsrion RO ➀ u e v son dérivles sur I e uv' u ' v uv ' ➁ u ' v e uv ' son coninues sur I (donc u ' v uv ') u ' v u v ' d uv' u ' v d u v ' d pr linérié de l inégrle u v D où u ' v d u v ' d u v u ' v d u v u v ' d ) Inérê de l formule d IPP pour le clcul d inégrles Perme de rnsformer une inégrle «prolémique» (qu on ne si ps clculer) en une inégrle plus simple qu on si clculer 4 ) Eercice lculer l inégrle I sin d Eisence de l inégrle L foncion f : sin es coninue sur donc pr resricion sur l inervlle [ ; ] Pr suie, elle es inégrle sur [ ; ] lcul On ne reconnî ps une forme On uilise l formule d IPP u ' v d u v u v ' d er choi : u ' v sin u v' cos On choisi u : e v : sin u e v son définies e dérivles sur [ ; ] u ' e v ' son coninues sur [ ; ] I sin d u ' v d Donc d près l formule d IPP : I u v u v ' d I sin cos d I sin sin cos d I cos d On ne si ps clculer : muvis choi 9

6 e choi : u ' sin v cos u v ' cos On choisi u : e v : u e v son définies e dérivles sur [ ; ] u ' e v ' son coninues sur [ ; ] I sin d u ' v d Donc d près l formule d IPP : I u v u v ' d cos cos I d cos cos cos I d I cos d sin I I sin sin 4 4 I 5 ) Quelques méhodes pour ggner du emps dns les choi e d hoi : u ' e d où u v 6 ) Remrque e d où v ' («on ue le») Prfois on es oligé de fire IPP ( u mimum en TS) Eemple : sin d Aenion dns les clculs u en priculier Dns ce cs, noer u, v, u e v les foncions 7 ) À propos de l formule d inégrion pr pries ) L formule d IPP fi inervenir une foncion sous forme d une dérivée pr le produi d une foncion sous «forme originle» ) d u v u v u v u u u v ) Principe ALPES ALPES : Arccos/Arcsin/Arcn ; ln ou log ; puissnce ; e ; sin/cos Frnçoise Sévenier TS ln d P polynôme hoi : u ' P e v ln («on ue le ln») (On ne connî ps de primiive de ln en T le ) Principe ALPES dns l ordre on prend comme foncion v à dériver Arccos/Arcsin/Arcn ; ln ou log ; foncions puissnces ou puissnces ; foncion eponenielle ; foncions sinus e cosinus, considérées comme des foncions puissnces On uilise le principe ALPES pour celle que l on veu dériver (v) es pour ggner du emps e voir ou de suie une inégrle que l on si clculer

7 VIII Vleur moyenne d une foncion ) Définiion f es une foncion coninue sur un inervlle [ ; ] ( ) On ppelle vleur moyenne de f sur [ ; ] le réel f d ) Propriéé (inéglié de l moyenne) f es une foncion coninue sur un inervlle [ ; ] m e M son deu réels els que [ ; ] On : m M m f M Démonsrion (RO) Remrque : L noion de vleur moyenne d une foncion générlise l noion de moyenne rihméique pour des nomres ) Inerpréion grphique dns le cs d une foncion coninue posiive f es une foncion coninue e posiive sur un inervlle [ ; ] On si que : [ ; ] m f M u v Donc pr croissnce de l inégrle : u d f d v d = Remrque sur l inégrle d une foncion consne : k d k k k k (consne fois différence des ornes) consne O i O i es l deuième dimension d un recngle don l première dimension es e qui l même ire que D (domine sous l coure) Donc : m f d M d f m M m M ( : ) f d A en non A l ire comprise enre l coure e l e des scisses 4 ) ommenire sur l vleur moyenne L vleur moyenne ser peu en mhémiques cee nnée Elle ser en revnche dvnge en physique Elle es qund même inéressne pour l inéglié de l moyenne 4

8 IX Epression d une primiive à l ide d une inégrle ) Prolème Écrire une primiive d une foncion don on ne connî ps de primiive ) Théorème (ppelé prfois «héorème fondmenl de l nlyse») e e d inégrle de à de l foncion On noer que es l vrile d inégrion f es une foncion définie e coninue sur un inervlle I I fié Pour ou réel I, on pose d inégrle de f de à f (repsser le en rouge) es dérivle sur I e I ' f Remrque sur l écriure d Il y deu vriles : e f : es l vrile d inégrion (c es une vrile muee) : on peu dire d une mnière un peu usive que «prend oues les vleurs de à» es l vrile de définiion de l foncion ) Démonsrion RO On noe F une primiive de f sur I I f d F F ce Pr définiion, F es dérivle sur I e I F ' f Donc es dérivle sur I e I ' F ' omme f d 4 ) Eemple : e d ' f, es l primiive de f sur I qui s nnule en 5 Il ne fu ps chercher à clculer l inégrle e En effe, il n es ps possile de déerminer une primiive de l foncion Nous llons nous inéresser cependn à l déerminion de vleurs de e d Pour oue vleur de différene de, il n es ps possile de clculer Si on désire nénmoins oenir une vleur pprochée de fu uiliser l clculrice (cf prgrphe plus loin dns le cours) Eemple : e d Sur clculrice TI 8, on pe fnin(e^t/(+t^),t,,) On oien l ffichge,9678 Ainsi, on :,9678 IL es possile églemen de renrer l foncion dns l clculrice pour une vleur de différene de, il On pe Y= fnin(e^t/(+t^),t,,x) On peu lors oenir un leu de vleurs de l foncion On peu même oenir l coure représenive de l (ç prend use un peu de emps!) L foncion f : es coninue e f d 6

9 Donc es dérivle sur e ' f e ' X Applicion des inégrles u clculs d ires g d D g f ) Aire ssociée à l coure d une foncion de signe consn f : [ ; ] ( ) coninue de signe consn i f i f sur [ ; ] f sur [ ; ] D Aire de D = f d en u d f i d D Aire de D = f en u d f g f en u Aire de D d D f y g ) Unié d ire dns un repère orhogonl O, i, repère orhogonl du pln O I J K D y f D f y u ire du recngle OIKJ J K ) Aire du domine compris enre deu coures f : ; coninue : ; ; f g g coninue Eemple : i cm cm u i I u ire du recngle OIJK OI OJ cm cm 6 cm 7 8

10 4 ) Eemples Qudrure de l prole Qudrure de l hyperole On noe S z l ire de l secion à l coe z pour z (Le solide es limié pr les plns d équions z e z ) f : f : Volume du solide S z z (en uv) d D i f es coninue e posiive sur [ ; ] u O i D ln u Idée : On découpe le solide en minces rnches presque cylindriques Méhode pour clculer le volume d un solide vec l formule pr découpge en rnches pr des plns perpendiculires à l e des coes - On rouve les ornes de l inégrle S z (on verr en eercices commen le clculer) - On rouve - On clcule l inégrle ee formule rese vlle pour un découpge en rnches pr des plns perpendiculires à l e des scisses Aire de D = d u f es coninue e posiive sur [ ; ] Aire de D = d ln ln ln ln u On noe S l ire de l secion à l scisse pour (Le solide es limié pr les plns d équions e ) Volume du solide S (en uv) d ee formule rese vlle pour un découpge en rnches pr des plns perpendiculires à l e des ordonnées XI Applicions u clculs de volumes ) Théorème (dmis sns démonsrion) ) Volume d une oule Formule de clcul pr découpge en rnches pr des plns perpendiculires à l e des coes R L espce E es muni d un repère orhonormé O, i,, k On considère un solide délimié pr les plns de coes e ( ) R 9

11 Boule de cenre O de ryon R ( R ) On pplique l formule vec R R lculons S(z) (l secion es un disque) Aire d un disque de ryon r : r H M R V R z dz R z V R z R R R R V R R R R R R V 4R V Uilision de l linérié de l inégrle k O 4 V R dv (NB : ire de l sphère A 4 R ) dr ) Volume d un solide de révoluion (méhode des disques) HM R z Donc f es une foncion coninue e posiive sur [ ; ] : représenion grphique de f dns un repère orhonormé O, i, z H O R z M R S z ire du disque de cenre H e de ryon HM S z HM R z S z R V S z dz R R V R z dz R On considère le solide engendré pr l roion de uour de l e des scisses S ire du disque de cenre H e de ryon HM f f V S d f d

12 V f d Le volume du solide es donné pr (ee formule es prfois ppelée «formule des disques») XII lcul pproché d une inégrle ) Méhode des recngles On se plce dns le cs d une foncion f posiive ou nulle e coninue sur un inervlle [ ; ] On clcule l somme des ires des «recngles inférieurs» e l somme des ires des «recngles supérieurs» Lorsque f es monoone, cel fourni un encdremen de l ire, e donc de l inégrle de f sur l inervlle [ ; ] ee méhode se prêe priculièremen ien à l progrmmion (lgorihme vec une oucle «Pour» isé à progrmmer : voir eercices) ) Aures méhodes (voir eercices) On peu menionner pr eemple l «méhode des rpèzes» ccessile en erminle ) Uilision de l clculrice e de logiciels clculrices Les clculrices «simples» donnen une vleur pprochée logiciels de clcul formel L usge d un el logiciel peu êre rès inéressn : il perme de rouver l vleur ece de l inégrle dns de nomreu cs d Pr eemple, pour e d, on oiendr l vleur ece e, pour, on oiendr l vleur ece ln Il n y ps esoin de clculer l primiive de l foncion On renre direcemen l foncion originle L clculrice clcule l inégrle u moyen d un progrmme inégré, sns clculer l primiive Avec l TI 8 Ssfr ou TI 8 ère fçon : mh mh 9 : foncinegr( X, X,,) ou MATH MATH 9 : fnin( X, X,,) On rouve, c es-à-dire ce qui es «logique» e fçon : Y = X GRAPH nd lc 7 (déplcer le curseur sur puis Ener puis sur Ener ) Avec l TI 84 plus fnin( X, X,,) Avec l ASIO GRAPH 5 + Dns le mode RUN, uiliser l foncion (que l on rouve en fisn OPTN, F4 (AL), F4 ( d) Elle s uilise comme ceci : (<foncion>,<orne inférieure>,<orne supérieure>) Tper l epression de l foncion per l orne inférieure c es-à-dire (ici ) orne supérieure c es-à-dire Xs clcule une inégrle sous forme ece lorsque c es possile logiciels de géomérie dynmique lcul d inégrles vec l clculrice : Eemple : lculer l inégrle d 4

13 XIII Méhode des recngles ) dre On se plce dns le cs d une foncion f coninue, posiive e monoone sur, On noe s coure représenive dns un repère orhogonl du pln Dns l suie, on v supposer que f es croissne sur, ) Principe de l méhode des recngles Elle consise à encdrer l ire pr des sommes d ires de recngles en dessous e u-dessus de l coure Elle es illusrée sur les deu séries de grphiques ci-dessous où l on considère 5 recngles u-dessous e 5 recngles u-dessus Sur l ère série, on considéré des recngles de ses différenes Sur l e série, on considéré des recngles de même se On crée une sudivision régulière de l inervlle [ ; ] Pour des risons évidenes, on privilégie les recngles de même se 5 6

14 e série : 7 8

15 L méhode des recngles consise à sudiviser l inervlle, en n inervlles de même longueur On conçoi isémen que plus n es grnd, plus l somme des ires des recngles u-dessus ou u-dessous es proche de l ire sous l coure ) Applicion prique L somme des ires de recngles peu se clculer isémen vec l clculrice (progrmme ou foncion somme de l clculrice) el poin es eplicié dns le prgrphe 5 ) 4 ) Résul générl Soi f une foncion coninue, posiive e monoone sur un inervlle ; Soi n un enier nurel supérieur ou égl à f d es encdrée pr k n f k e n n k k n f k n k n f f n L précision de l encdremen es : Démonsrion : 9

16 Remrque : On conçoi isémen que plus n es grnd, plus l somme es proche de l ire sous l coure 5 ) Algorihme Un lgorihme perme de rouver rpidemen un encdremen de l ire sous l coure d une foncion posiive, (coninue) uris roué monoone : croissne ou décroissne Enrées : Sisir les réels e Sisir l enier nurel n Iniilisions : L prend l vleur n prend l vleur m prend l vleur p prend l vleur Triemen : Pour i lln de à n Fire m prend l vleur m m f FinPour prend l vleur L p prend l vleur p L f Sorie : Afficher m e p