Exercice 2 ( 5 points ) Réservé aux candidats ayant suivi l enseignement de spécialité

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1 Exercice 2 ( 5 points ) Réservé aux candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Soit a et b deux entiers naturels non nuls; on appelle réseau associé aux entiers a et b l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées ( x, y) sont des entiers vérifiant les conditions : 0 x a et 0 y b. On note R a, b ce réseau. Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés aritmétiques des entiers x et y à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau. A- Représentation graphique de quelques ensembles Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous forme de graphiques qui seront complétés et rendus avec la copie. présenter graphiquement les points M ( x; y) du réseau R vérifiant : Re a) x 2 (modulo 3) et y 1 (modulo 3) : graphique 1. b) x + y 1 (modulo 3) : graphique 2. c) x y (modulo 3) : graphique 3. B- Résolution d' une équation On considère l'équation ( E) : 7x 4y, où les inconnues x et y sont des entiers relatifs. 1- Déterminer un couple d'entiers relatifs ( x, y ) solution de l'équation ( E). 2- Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation ( E). 3- Démontrer que l'équation ( E) admet une unique solution ( x; y) pour laquelle le point M ( x; y) correspondant appartient au réseau R. 4,7 C- Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau a b OA R a, b Si et sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [ ] du réseau, avec O(0,0) et A( a, b). 1- Démontrer que les points du segment [ OA] sont caractérisés par les conditions : 0 x a ; 0 y b ; ay = bx. 2- Démontrer que, si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls points du segment [ OA] appartenant au réseau R a, b. 3- Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [ OA] contient au moins un autre point du réseau. ( On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = da' et b = db')

2 Graphique 1 : Graphique 2 : Graphique 3 :

3 Corrigé exercice de spécialité Bac Blanc TS Février 2009 A- Représentation graphique de quelques ensembles On se place dans R : a) x 2(mod 3) x = 2 ou x = 5 ou x = 8 y 1(mod3) x ou x = 4 ou x = 7 Il y a donc 9 points M ( x, y) vérifiant x 2(mod 3) et y 1(mod 3) dans R ( 2,1 ),(2,4),(2,7),(5,1),(5,4),(5,7),(8,1),(8,4),(8,7) b) x + y 1(mod3) x + y + 3 k, y = x k, Les points sont donc situés sur des droites parallèles, de coefficient directeur l'origine 1+ 3 k, k Z. Il y a 27 points M ( x, y) vérifiant x + y 1(mod3) dans R : les points du réseau situés sur ces droites parallèles c) x y(mod3) x = y + 3 k, y = x 3 k, 1, d'ordonnée à Les points sont donc situés sur des droites parallèles, de coefficient directeur 1, d'ordonnée à l'origine 3 k,. Il y a 27 points M ( x, y) vérifiant x y(mod3) dans R : les points du réseau situés sur ces droites parallèles Graphique 1 Graphique 2

4 Graphique 3 B- Résolution d'une équation On considère l'équation (E): 7x 4y, où x et y sont des entiers relatifs 1- PGCD(7,4)=1. 7 et 4 étant premiers entre eux, il existe, d'après le théorème de Bezout, des couples ( u, v) d'entiers relatifs tels que 7u + 4v On écrit l'algorithme d'euclide : 7 = =3 1+1 On en déduit : 1 = 4 3 donc 1 = 4 (7 4) = Le couple ( x, y ) = ( 1, 2) est donc une solution particulière de l'équation (E): 7x 4y 2 Si ( x, y) est solution de (E), on a : 7x 4y 7x 4y Par soustraction membre à membre, on obtient donc : 7( x x ) 4( y y ) = 0 soit : 7( x + 1) 4( y + 2) = 0 De l'égalité 7( x + 1) = 4( y + 2), on déduit : 7 divise 4( y + 2) 7 et 4 étant premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, on en déduit que 7 divise y + 2 On a donc : y + 2 = 7 k,

5 L'égalité 7( x + 1) = 4( y + 2) s'écrit : 7( x + 1) = 4 7 k et on en déduit que : x + 1 = 4k On a donc montré que : si ( x, y) est solution, alors ( x, y) = (4k 1,7k 2), Réciproquement : si ( x, y) = (4k 1, 7k 2), alors 7x 4y = 7(4k 1) 4(7k 2) ( x, y) est donc solution de (E) L'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des couples ( x, y) = (4k 1,7 k 2), 3 Le point M ( x, y), avec ( x, y) solution de (E), appartient au réseau R ( x, y) = (4k 1,7k 2), ( x, y) = (4k 1,7 k 2), k Z ( x, y) = (4k 1,7k 2), x 4 0 4k 1 4 k y 7 0 7k k 7 7 ( x, y) = (4k 1,7 k 2), ( x, y) = (4k 1,7k 2) 2 5 ( x, y) = (3,5) k k 7 4 L'équation (E) a une unique solution ( x, y) = (3,5) appartenant au réseau R C- Une propriété des points placés sur la diagonale du réseau Soit O(0,0), A( a, b) 1 Le point M ( x, y) appartient à [ OA] Il existe un réel k tel que : OM = koa avec 0 k 1 x = ka Il existe un réel k tel que,0 k 1 y = kb Les points du segment [ OA] sont donc caractérisés par : 0 x a,0 y b, ay = bx 2 Le point O(0,0) et le point A( a, b) appartiennent toujours au réseau R. Si l'un seulement des 2 entiers x ou y est nul, il est impossible d'avoir ax = by car a et b sont non nuls. Envisageons le cas où les deux nombres x et y sont simultanément non nuls. Si a et b sont premiers entre eux: a divise bx donc a divise x d'après le th de Gauss. On sait que: 0 x a. On en déduit que x = a b divise ay donc b divise y d'après le th de Gauss. On sait que : 0 y b. On en déduit que y = b Les deux seuls points du réseau situés sur [ OA] sont donc O(0,0) et A( a, b). 3 Si a et b ne sont pas premiers entre eux, on nomme d = PGCD( a, b), d 1 On écrit alors : a = da ', b = db', PGCD( a', b') ay = bx s'écrit : da' x = db' y et en simplifiant par d, a' x = b' y D'après la question 2, les seuls points du réseau R situés sur [ OA'] sont O(0,0) et A'( a', b'). a ', b ' Le segment [ OA] contient donc au moins un autre point du réseau : A' a, b 4, 7 4,7