Information Quantique Corrigé de l examen du 21 Mai 2012

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1 ENSEIRB-MATMECA Option second semestre, / Notation : la note finale est min(,note-ex+note-ex). Information Quantique Corrigé de l examen du Mai Exercice (/ pts) Circuits quantiques. - On cherche une matrice unitaire R telle que R = NOT, ˆ Une méthode possible consiste à réduire NOT ˆ àuneformediagonale PDP (P est la matrice de passage et D est une matrice diagonale) puis à choisir R := PD P où D est une racine carrée de D (il y a 4 choix possibles pour D car chaque valeur propre possède racines carrées dans C). Dans le cas de NOT ˆ : les valeurs propres sont, (car, vue comme une application linéaire sur R, il s agit de la symétrie par rapport à la première bissectrice) associées aux vecteurs propres (de norme et orthogonaux) : ( ) ( ),. P = ( ) ( ), P = P, D =, On peut choisir, par exemple R := P ( i ) P = ( ) +i i i +i - ˆ TOF x,x,x 3 = x,x,x 3 x x TOF x ˆ,x,x 3 = x,x,x 3 si x x = = x,x NOT x ˆ 3 si x x =

2 ce qui est la définition de Λ ( ˆ NOT). 3- Le circuit T est un produit de 5 portes. Considérons la valeur du vecteur d état après chaque porte (on commence par la valeur d entrée puis on écrit les 5 valeurs successives obtenues) : R R R R R R R R R Onvoitdoncquececircuital effetsuivantlesvecteursdelabasecanonique: x x x x si x x =, x x x x R si x x =, Il coïncide donc avec Λ ( ˆ NOT) sur la base canonique, et par linéarité, il coïncide avec Λ ( ˆ NOT) sur tout l espace des états : il calcule l opérateur de Toffoli. 4- Soit U : B B une application linéaire unitaire. Alors U est diagonalisable (dans une base orthonormée) : U = PDP avec P matrice unitaire. On peut donc appliquer le raisonnement de la question :soit D unematrice diagonale telle qued = D. Commeleséléments

3 de la diagonale de D sont de module, la matrice D est unitaire, et comme P,P sont unitaires, la matrice V := PD P est une racine carrée unitaire de U. 5- On peut construire un circuit C U sur le modèle du circuit T, mais en remplaçant la porte R par la porte V : voir la figure. 6-DésignonsparG l ensembledesportesélémentaires { cnot} {Λ ˆ (W),W V V V Figure Le circuit C U U()}. Afin de résoudre cette question par récurrence sur k, étendons la définition de Λ k (U) au cas où U est un opérateur unitaire sur B l (où l est un entier strictement positif) : pour tous x,...,x k B,y B l : Λ k (U) x,...,x k,y = x,...,x k y si x x x k = = x,...,x k U y si x x x k = Montrons maintenant, par récurrence sur k, la propriété : U U,Λ k (U) est calculable par un circuitc k, de taille 5 k sur G. Si k =, Λ (U) est une porte de G. Si k =, Λ (U) est calculable par le circuit C U fourni à la question 5, qui n utilise que des portes de G et qui est de longueur 5. Soit k 3. La matrice U admet une racine carrée unitaire V (question 4) et V := Λ k (V) est une racine carrée de U := Λ k (U). On peut appliquer la construction de la question 5, à l opérateur Λ (U ) : le circuit T, dans lequel on remplace R par V, calcule Λ k (U) (notons-le T[V /R]). Par hypothèse de récurrence, Λ (V ) = Λ k (V) est calculable 3

4 par un circuit C k de longueur 5 k sur G. En remplaçant, dans le circuit T[V /R], chaque porte Λ (V ) par le circuit C k, on obtient un circuit C k, de longueur 5 k sur G, qui calcule Λ k (U). Une analyse plus fine de la longueur de C k donne : d où C k = 3 k. C =, C k+ = 3 C k + Exercice (/9 pts) Algorithme de Grover - Notons On vérifie que et on sait que y :=, y + := +. y s y t = δ s,t pour s,t {+, }, x x = δ x,x pour x,x {,}. Considérons la famille des n+ vecteurs : Le produit scalaire de deux d entre eux vérifie : ( x y s ) x B n,s {+, } () y s x x y t = x x y s y t = δ x,x δ s,t cette famille est orthonormée. α α = ( ) N M = ( N M ) f(x)= f(x)= = ( )(N M) N M =. y x x y Un calcul similaire montre que β β =. Les ensembles de vecteurs { x f(x) = } et { x f(x) = } 4

5 sont des parties disjointes de la famille orthogonale(). les sous-espaces engendrés par ces ensembles sont orthogonaux. Comme α appartient au premier sous-espace et β au second, α β =. - Les coefficients N M M c α := N,c β := N satisfont 3- cos(θ ) = c α c α +c β Comme cos(θ ), θ := Arcsin 4- On vérifie que, pour tout x B n, Il découle que : et par linéarité : = 5- La famille des n+ vecteurs : ψ = c α α +c β β N M N, sin(θ ) = c β c α +c β M N O x y = ( ) f(x) x y O α = α, O β = β, O ψ = c α α c β β. = M N. est une mesure de l angle ( α, ψ ). ( x b ) x B n,b {,} () est aussi une famille orthonormée de B (n+). Comme elle est de cardinal n+ qui est la dimension de B (n+). c est une base orthonormée. La définition de S montre que : - sur le sous-espace P engendré par n, n, S vaut l identité, - sur le sous-espace Q engendré par x, x (pour x B n \{ n }, S vaut l opposée de l identité. Comme () est une base orthonormée, en fait Q = P. S coincide bien avec la symétrie orthogonale par rapport à P. 6- Si S est une symétrie par rapport au sous-espace I et parallèlement au sous-espace D alors, pour tout isomorphisme F : B (n+) B (n+) l application F S F est la symétrie par rapport au sous-espace FI et parallèlement au sous-espace FD. En prenant S = S et F = H n Id on obtient donc que : S Ψ est la symétrie par rapport au sous-espace H n IdP et parallèlement au sous-espace H n Id(P ). 5

6 La transformation H n Id envoie sur ψ et sur ψ. L espace des vecteurs invariants de S Ψ est donc le plan (complexe) engendré par les vecteurs ψ, ψ. Comme la transformation H n Id est unitaire, la direction de la symétrie est aussi (H n IdP ), i.e. S ψ est la symétrie orthogonale par rapport au plan (complexe) engendré par les vecteurs ψ, ψ. 7- On a vu à la question 4 que O laisse le plan P globalement invariant. O α = α, O β = β, (3) S ψ ψ = ψ Soit ψ := cos(θ +π/) α +sin(θ +π/) β. Comme l angle ( ψ, ψ ) a pour mesure π/, ψ ψ. Par ailleurs ψ ψ, car ψ appartient au sous-espace vectoriel (complexe) engendré par { x y x B n } alors que ψ appartient au sous-espace vectoriel (complexe) engendré par { x y + x B n }. On en conclut que ψ P, ce qui entraine que S ψ ψ = ψ, S ψ ψ = ψ. (4) Comme ψ, ψ est une base de P (sur R), S ψ laisse le plan P globalement invariant. 8- Les équations (3) montrent que Õ est une symétrie orthogonale par rapport à α. Les équations (4) montrent que S ψ est une symétrie orthogonale par rapport à ψ. S ψ Õ est la rotation de P d angle double de l angle entre les axes des symétries i.e. θ = θ. 9.- Notons par ( u, v ) ˆ l angle orienté entre vecteurs et µ( ( u, v )) ˆ β ψ θ α O ψ Figure Le plan P 6

7 R/πZ sa mesure. Or on a choisi k tel que γ = µ( ( η, β )) ˆ = µ( ( α, β ) ˆ ( α, η )) ˆ = π (k +)θ. (k +)θ π < (k +3)θ donc π (k +)θ < θ γ < θ. 9. La sesqui-linéarité du produit scalaire justifie le calcul suivant : η β = η + β β η = + cos(γ) = ( cos(γ)) = 4sin (γ/). 9.3 En utilisant Q9. puis Q3 puis l hypothèse de l étape 3, cas : η β = 4sin (γ/) 4sin (θ ) = 4 M N 4s. - Notons λ x (resp. µ x )la valeur propre de vecteur propre x x + ).. Décomposons le vecteur η sur les sous-espaces propres de M : η = avec f(x)= f(x)= ρ x x + ρ x x f(x)= = cos(π/ γ) α, (resp. ρ x x + x +, x B n f(x)= ρ x x = sin(π/ γ) β. 7

8 Le postulat de la mesure, en mécanique quantique entraîne que : Pr( {M = λ x }) = ρ x, Pr( {M = λ x }) = ρ x, Pr( f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= x B n {M = µ x }) =. Pr( {M = λ x }) = f(x)= f(x)= ρ x = cos(π/ γ) α = sin (γ) 4sin (γ/) 4 M N 4s etcommepr( x B n{m = µ x}) =,laprobabilitédel événement comlémentaire des deux événements ci-dessus est ( 4s) : Pr( {M = λ x }) ( 4s). f(x)=. Si on répète r fois l algorithme, la probabilité d échouer (i.e. de ne pas obtenir une valeur x telle que f(x) = ) est : donc la probabilité de réussite est p r (4s) r p r (4s) r Cette probabilité est supérieure ou égale à si (4s)r suffit que r 3 ln() ln(4s) ; donc il pour s = / on obtient r = 3 ln() ln(4 ). - Par un raisonnement analogue à celui de la question. on obtient : r 3 ln() ln( s) 8

9 -. On suit le même raisonnement quà la question, en remplaçant le vecteur η par le vecteur ψ. ψ = f(x)= N x + f(x)= + x +. N x x B n Pr( f(x)= {M = λ x }) = f(x)= N = N M N s.. Si on répète r fois l algorithme, la probabilité d échouer (i.e. de ne pas obtenir une valeur x telle que f(x) = est : p r ( s) r On obtient une probabilité de réussite supérieure ou égale à lorsque ( s) r ; donc il suffit que r 3 ln() ln( s) ln() pour s = / on obtient r = 3ln( ). Remarque finale : Aussi bien dans le cas, que dans le cas, le nombre de rétitions de l algorithme est constant. L algorithme complet a donc la même complexité que la version de base de l algorithme de Grover i.e. O( N). 9